共形平坦黎曼流形上的Schou ten张量

华义平

(池州学院数学计算机科学系,安徽池州 247000)

共形平坦黎曼流形上的Schou ten张量

华义平

(池州学院数学计算机科学系,安徽池州 247000)

M是一个紧致的局部共形平坦黎曼流形,其上定义的Schouten张量是一个Codazzi张量.本文借助这个Codazzi张量引入Cheng和Yau的自伴算子,从而获得了局部共形平坦流形上的一些性质,改进了已有的结论.

局部共形平坦;Schouten张量;Ricci曲率;数量曲率

1 引言

文献[1]研究了具有非负截面曲率的共形平坦黎曼流形,得到了:

定理1M为紧致共形平坦流形,如果M具有常数量曲率及非负截面曲率,则M为常截面曲率流形或者M可以表成一个常截面曲率流形和一个一维黎曼流形的乘积.

本文继续对局部共形平坦黎曼流形进行研究,将定理1中截面曲率非负削弱为Ricci曲率非负,得到了:

定理2M为紧致共形平坦黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,且其中S为Schouten张量,∇、tr S分别表示梯度算子和S的迹,则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

推论1M为紧致共形平坦的具有非负常数量曲率的黎曼流形,若则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

推论2M为紧致共形平坦的具有常数量曲率的黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

注推论2中蕴含了定理1.

推论3M为紧致共形平坦黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,且

则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

推论4M为紧致共形平坦黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,且

则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

2 预备知识

令M为n维黎曼流形,e1,e2,…,en为M上的局部标架场,w1,w2,…,wn为其对偶标架场,M的结构方程为:

其中wij是M的Levi-civita联络,Rijkl是M的黎曼曲率.

如下定义的张量在度量的共形变换下不变,称其为Weyl共形曲率张量[2]:

显然Sij=Sji,并且(7)式可以表示成:

当M为共形平坦黎曼流形时,有

即S是一个Codazzi张量,于是引入□[3]算子:

其中f∈C2(M,R),可以验证□是关于M的L2-内积自伴的[4],即

在P∈M点附近选取标准正交标架场e1,e2,…,en,使得Sij=λiδij,则(13)式可以简化为:

通过对(14)式积分得到[5]:

引理1[6]若M的数量曲率非负,且Ricci张量满足:

则M的Ricci曲率非负.

引理2[7]等式

蕴涵着下面的不等式

直接计算有

引理3令M为共形平坦黎曼流形,如果

则(17)式成立.

3 定理的证明

由于Ricci曲率非负,因此不妨设0≤ρ1≤ρ2≤…≤ρn,于是当i＜j＜k时,

结合(26)式命题成立.

从命题的证明过程中知,(20)式取等号当且仅当

根据定理条件,结合(15)式,从而M为常曲率的或者为Sn-1(c)×R.这就完成了定理2的证明.

由引理2,引理3知推论3,推论4分别成立.

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Schouten tensor on the locally conformally flat manifold

Hua Yiping
(Departm ent of Mathem atics and Com puter Science,Chizhou College,Chizhou 247000,China)

A com pact locally conformally flat Riemannianmanifold Mwas considered,The Schouten tensor on Mis a Codazzi tensor.In this paper,som e new propertieswere obtained by introducing Cheng-Yau′s self-ad joint operator on locally conform ally flat Riem annian m anifold,which im prove known conclusion.

locally con formally flat,schouten tensor,ricci curvature,scalar curvature

O186.12

A

1008-5513(2012)03-0308-05

2012-04-03.

池州学院研究生启动项目(2010RC 019).

华义平(1982-),硕士,研究方向：微分几何.

2010 MSC:53C20