有限区间上奇异摄动系统T ikhonov定理的推广

王凯明,金德泉

(1.西安交通大学数学与统计学院,陕西 西安 710049;2.长安大学理学院,陕西 西安 710064; 3.广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

有限区间上奇异摄动系统T ikhonov定理的推广

王凯明1,2,金德泉1,3

(1.西安交通大学数学与统计学院,陕西 西安 710049;2.长安大学理学院,陕西 西安 710064; 3.广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

为了研究奇异摄动系统的解的性态,在一个指数稳定的新准则下推广了有限区间上非线性奇异摄动系统的Tikhonov定理,最后给出了实例以验证本文给出的条件.

奇异摄动;指数稳定;Tikhonov定理

1 引言

考察非线性奇异摄动系统:

系统(1)是一个经典奇异摄动控制系统.许多经典物理系统都具有这种形式,例如,汽车减震系统、柔性关节机器手[14]等.这些控制系统的主要特点是控制器u只是直接作用在快子系统 (1-2),而控制的目标却经常在慢子系统(1-1).所以如果雅克比矩阵为奇异矩阵,则系统(1)的线性化系统是不可控的.所以线性化方法并不适合这样的系统.然而,在一定条件下,系统(1)可以由两个不同时间尺度的独立子系统来逼近,亦即边界层系统和简化系统(参考Tikhonov定理[2]).所以,如果把控制输入分为两个相应部分,它们相对独立地出现在快慢子系统中,这就使得系统(1)可以通过分别设计边界层系统和简化系统而具有一种期望的设计能力.复合控制就是建立在这样的理念上,许多奇异摄动系统的控制设计都是复合控制[1,5].

由于奇异摄动系统的广泛应用而使它的研究得到了越来越多的关注,多时间尺度下的Tikhonov定理成为这些研究中一个主要的方法[6-7].Tikhonov定理指出系统(1)的解可以由简化系统和边界层系统的解逼近,只需边界层系统以及 (或)简化系统平衡点满足一定的稳定性.在现有的研究中,有很多关于边界层系统指数稳定的方法,Lyapunov直接方法一直都是一个主要的方法[8].然而,由于Lyapunov函数的构造具有很强的技巧性,而且基于构造Lyapunov函数的直接法既不能确定状态平衡点的收敛速率也不能判断吸引域的大小.在2001年,文献[9]提出了一个新的方法:非线性测度,来研究非线性动力系统的指数稳定性.在2011年文献[10]在此基础上提出了一个判断非线性系统指数稳定的一个新的准则.应用这个准则,可以定量地研究奇异摄动系统中的指数稳定性.

本文应用文献[10]提出的新准则证明了有限区间上奇异摄动系统的Tikhonov定理,并给出实例以验证本文给出的条件.实例说明,这种新条件在实际控制系统中更易证明和计算.

2 非线性系统的稳定性

在本节中,给出文献[10]中提出的非线性系统指数稳定的新准则.在这个准则中提出一个指数稳定的特征数,这个特征数使得指数稳定性成为一个可以度量的性质,可以给出指数稳定的收敛速率和吸引域的估计.

考虑以下系统:

其中H绝对连续以保证此系统解的存在唯一性.

定义 1[2]如果存在正数c,k和λ,使得

则称系统(2)的原点是指数稳定的,λ为收敛速率,{v|‖v‖＜c}为原点的吸引域.

引理 2.1[10]对于给定点e∈Rk,假设在Rk和开球Ω={v∈Rk:‖v−e‖＜r}存在向量范数‖·‖,使得

则e为系统(2)的指数稳定平衡点,而且系统从Ω(即v(t0)∈Ω)出发的任意解满足:

注意到α(H,Ω,e)不仅依赖于函数H,域Ω和点e,而且依赖于范数‖·‖.事实上,范数的自由选取使得α(H,Ω,e)更有应用价值.当‖·‖为l2-范数时,有

3 T ikhonov定理的推广

本节在上节的指数稳定准则的基础上给出有限区间上Tikhonov定理的新的证明.与传统的通过Lyapunov函数的证明相比较,新的准则更易于计算和验证.

考察奇异摄动系统[2],

函数f和g对(t,x,z,ε)∈[0,t1]×Dx,×Dz×[0,ε0]连续可微,其中Dx⊂Rn,Dz⊂Rm为连通开集,ξ(ε)和η(ε)对ε是光滑的,t＞0.记系统(7)的解为x(t,ε)和z(t,ε).

在方程(7-2)中令ε=0,则

设方程(8)对任意的(t,x)∈[0,t1]×Dx有唯一的孤立实根z=h(t,x),其中h(t,x)被称为“准静态”.得到简化系统

令y=z−h(t,x),则系统(7)在新变量(x,y)下成为:

4 例子

是线性的,显然定理3.1的所有的假设都满足,所以可以用简化系统的解和边界层系统的解来逼近x和z.

令 ε=0.001 A=−0.5,B=−1,C=1.在 [−1,1]×[−1,1]随机选取 10个初始点.在图 1可以看到系统 (16-1)在原点的周围没有吸引子.然而,图 2和图 3相应的表明:当t∈[0,0.0003],可以用z(t,ε)和h(t,¯x(t))+ˆy(t/ε)来逼近x(t,ε)和z(t,ε),逼近误差为O(ε).

图1 系统(16-1)的解.

图2 误差x(t,ε)−(t).

图3 误差 z(t,ε)−h(t,(t))−(t/ε).

参考文献

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[8]杨逢建,张超龙,吴东庆,等.具有时滞的一般型脉冲神经网络的指数稳定性 [J].纯粹数学与应用数学, 2011,27(1):1-6.

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[10]Wang Kaim ing,Peng Jigen,Jin Dequan.A new development for the Tikhonov theorem in non linear singular perturbation system s[J].Nonlinear Analysis:Theory,2011,74:2869-2879.

A developm ent of T ikhonov theorem for singu lar pertu rbation
system s on fi nite interval

Wang Kaim ing1,2,Jin Dequan1,3
(1.School of Mathematics and Statistics,Xi′an Jiaotong University,Xi′an 710049,China; 2.School of Science,Chang′an University,X i′an 710064,China; 3.College of M athem atics and In form ation Sciences,Guangxi University,Nanning 530004,China)

To study the non linear singular perturbation system s,this paper develops T ikhonov theorem of singular perturbations on finite time interval under a new exponential stability criterion.At last,exam p les are given to our condition.

singular perturbations,exponential stability,T ikhonov theorem

O175

A

1008-5513(2012)06-0728-07

2012-07-07.

国家自然科学基金(60970149);中央高校基本科研业务费(CHD 2011JC009).

王凯明(1974-),博士生,副教授,研究方向：非线性系统稳定性.

2010 M SC:35B25