关于亚纯函数φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布

金瑾

(毕节学院数学与计算机科学学院,贵州 毕节 551700)

关于亚纯函数φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布

金瑾

(毕节学院数学与计算机科学学院,贵州 毕节 551700)

设n和k为任意的正整数,f(z)是复平面上超越亚纯函数,φ(z)为f(z)的不恒为零的小函数,讨论了亚纯函数φ(z)fn(z)f(k)(z)值分布,并提出一个新的定理,进行了较为详细的证明.

超越亚纯函数;Nevanlinna理论;值分布

1 引言与主要结果

等.1959年,文献[1]证明了下面的著名定理.

定理1.1[1]设f(z)为超越亚纯函数,n为正整数,如果n≥3,则fn(z)f′(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.

文献 [2]中还猜测:定理1.1的结论对 n=1和 n=2也成立.1979年,文献 [3]解决了n=2的情形.1995年,文献[4-5]独立地解决了n=1的情形,并得到如下定理.

定理 1.2[4-5]设f(z)为超越亚纯函数,则f(z)f′(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.

文献[6-11]做了大量的工作并得到了许多漂亮的结果.1999年,文献[9]得到如下结果.

定理 1.3[9]设f(z)为超越整函数,n和k为正整数,f(z)的所有零点的重数至少为k,则fn(z)f(k)(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.

文献[15]对函数f(k)(z)−afn(z)进行了研究,并得到了如下结论.

定理 1.4[15]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为非零有穷复数,则当n≥k+3时,函数f(k)(z)−afn(z)有无穷多个零点.

文献[16]中证明了定理1.5和定理1.6.

定理 1.5[16]设f(z)为超越亚纯函数,k正整数,k≥2,f(z)的所有零点的重数至少为n,则对每一个 k(k≥2),f(z)f(k)(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.其中,当 2≤k≤4时, n=k+1;当k=5时,n=5;当k≥6时,n=6.

假定读者熟悉Nevanlinna关于亚纯函数理论的标准记号和主要结果[1-31],如

定理 1.6[16]设 f(z)为超越亚纯函数,f(z)的所有零点的重数至少为 n,则f(z)f(k)(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.至多除去三个可能的例外正整数(n=2,3,4).

文献[17]得到如下结论.

定理 1.7[17]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为任意非零复数,对任意的正整数

则当m≥λ+∆+2时,

可取无穷多个零点.

文献[18]研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面结论.

定理 1.8[18]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为非零复数,对任意的正整数n≥2,函数f(z)+a(f′(z))n取每一个有穷复数无穷多次.

在本文中,利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论和技巧,进一步探讨亚纯函数的值分布,得到如下结论.

定理 1.9 设n和k都是正整数,f(z)为复平面上的超越亚纯函数,φ(z)为f(z)的不恒为零的小函数,若k≤4时,

则φfnf(k)取每一个非零有穷复数无穷多次.

2 引理及其证明

引理 2.1 设f(z)为复平面上的超越亚纯函数,φ(z)为f(z)不恒为零的小函数,则

3 定理1.9的证明

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The valued istribu tion of the m erom orphic function φ(z)fn(z)f(k)(z)

Jin Jin

(Departm ent of M athem atics and Com puter Science,Bijie University,Bijie 551700,China)

Let n and k be positive integer,f(z)be a transcendentalm erom orphic function in the com p lex p lane, andφ(z)be small function of not constant zero of f(z).Value distributions of atranscendentalmeromorphic functionφ(z)fn(z)f(k)(z)is discussed in this paper,and a new theorem is presented and proved in m ore details.

transcendentalm erom orphic function,Nevanlinna theory,value distribution

O174.52

A

1008-5513(2012)06-0711-08

2012-02-10.

贵州省科学技术基金(2012GZ10526);贵州省毕节地区科研基金([2011]02).

金瑾(1962-),教授,研究方向:复分析.

2010 M SC:30D35