双机协同定位误差分析的研究

朱剑辉， 方洋旺， 张 平， 李望西

(空军工程大学工程学院，西安 710038)

0 引言

测向交叉定位是利用多个观测器在同一时间对同一目标测得的方位角信息，对目标进行交叉定位的一种定位技术。由于其较单站定位具有明显的优势，目前已得到广泛的研究和应用，由于多种因素影响，其定位精度有限［1］。因此，研究目标的协同测向定位对改善目标的定位精度具有重要意义。

文献［2］中，针对雷达超远距离目标的定位问题进行了新的算法研究，研究了在球体坐标系下的定位模糊区和圆概率误差;文献［3］通过对不同布站方式的侦察定位进行研究，给出了最大定位误差和实现最小定位误差的条件;文献［4］针对三维多站的测向定位算法，推算了基本定位方法的误差模型，并提出用泰勒级数法结合最小二乘的思想交叉定位的方法。在空中，载机对目标进行定位时，载机与目标的相对高度差要远远小于两者之间的距离，因此，可将对目标的定位视作二维上的交叉定位。本文主要围绕二维双机协同交叉定位算法，以及对定位的模糊区和定位误差进行分析和研究。

1 测向定位的求解

设两架载机 O1(x1，y1)、O2(x2，y2)分别对目标 T进行探测，测得的方位角分别为β1、β2，载机O2相对于载机O1的方位角为β3，建立坐标系［2］如图1所示。

图1 测向交叉定位基本原理图Fig.1 Basic diagram of cross location

由图1得

解上述两式可得目标T的坐标为

由上式可以得出如下结论。

1)tan β1、tan β2不能同时为 0，β1= β2≠kπ，即当目标在两机之间或者两机的延长线上时，将无法对目标进行联合测向交叉定位。

2)在上式中，当β1或β2为π/2时，无解，因而无法进行定位。而在实际应用中，这是很有可能存在的。

下面将对当β1或β2为π/2时的定位算法进行讨论。

①当 β1=π/2，β2≠π/2时，此时 O1T将垂直于 X轴，此时目标的坐标为

②当 β1≠π/2，β2=π/2时，此时 O2T将垂直于 X轴，此时目标的坐标为

2 定位模糊区分析

如果空中两载机的位置准确无误，而且测向设备对目标辐射源测向时没有误差，则依第1节所述的交叉定位方法，得到的交叉位置就是目标的真实位置，没有定位误差。

但实际上，载机的坐标定位以及对目标测向所得角度都不可避免存在误差，因此定位误差亦不可避免地存在。以测角误差5 mrad为例，当目标在(80 km，50 km)时的模糊区面积达到3.8365 km2。

假设两架载机装备相同的测角设备，载机测角设备的最大测向误差均为Δβmax，则真实的角度分别位于以β1、β2为中心，±Δβmax扇形区域范围内，如图2 所示。

图2 测向定位造成的定位模糊区Fig.2 Locational ambiguity region of cross location

目标的真实位置应在位于两扇形区域相交的四边形阴影区域中，由于测向误差是±Δθmax范围内的任意值，因此目标就可能出现在四边形ABCD区域内的任何一个位置上。由于无法确定目标在此四边形ABCD区域中的真实具体位置，因此称四边形区域ABCD为定位模糊区。

定位模糊区的大小是决定定位精度高低的一个重要指标，若四边形ABCD的面积越小，则说明定位精度越高。

在载机位置已知的情况下，分别用β1±Δβmax、β2±Δβmax代替β1、β2，可以得到4条虚线的解析表达式为

同时，也可以分别求出4点的坐标 A(xA，yA)、B(xB，yB)、C(xC，yC)、D(xD，yD)，此时，以图2 为例，对阴影区进行积分，即可得到模糊区的面积为

图3 目标位于(10 km，20 km)的模糊区Fig.3 Locational ambiguity region whentarget is located at(10 km，20 km)

图4 目标位于(40 km，30 km)的模糊区Fig.4 Locational ambiguity region when target is located at(40 km，30 km)

图5 目标位于(60 km，40 km)的模糊区Fig.5 Locational ambiguity region when target is located at(60 km，40 km)

图6 目标位于(80 km，50 km)的模糊区Fig.6 Locational ambiguity region when target is located at(80 km，50 km)

分析当目标位于不同位置时，定位模糊区发生的变化。设载机1的坐标为(5 km，5 km)，载机2的坐标为(30 km，15 km)，测角误差为5 mrad。目标的坐标分别为(10 km，20 km)、(40 km，30 km)、(60 km，40 km)、(80 km，50 km)时，可以分别得到4个不同的模糊区(图3～图6)，图中圆点表示目标真实位置，线条围成的区域为定位模糊区，对其进行积分即可得到模糊区的面积。

由图3～图6可知，当目标位置为(10 km，20 km)，此时对应的模糊区面积为0.0215 km2;当目标位置为(40 km，30 km)，此时对应的模糊区面积为0.2935 km2;当目标位置为(60 km，40 km)，此时对应的模糊区面积为1.1342 km2;当目标位置为(80 km，50 km)，此时对应的模糊区面积为3.8365 km2。由以上结果可知，当目标距离载机的距离越来越大时，定位模糊区也会随着快速增大。例如，当测角误差为5 mrad时，定位目标在(80 km，50 km)时的模糊区面积达到 3.8365 km2。

在仿真中由于选取不同的目标坐标，就会产生不同的 β1、β2，由式(7)分析可知，β1、β2的变化影响着定位模糊区的大小，参考文献［3］通过分析，得到当β1=β2=π/3时，对应的定位模糊区为最小。

3 定位精度分析

图7 测向定位示意图Fig.7 Sketch map of cross location

如图7所示，以载机1为直角坐标系原点，目标T与载机2相对于载机1的方位角为β1、β3，载机2测得的目标方位角为β2，两载机之间的距离为L，有

式(8)中，当 β1= β2=0 时或 β1=0，β2=π，即目标在两载机之间或者其延长线上，式(8)无解，则在上述情况下无法定位。

对式(8)进行全微分得

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可得x、y轴的定位精度为

对于双机协同定位系统，其定位精度可以用空间位置的均方根误差(RMS)表示，也称为定位精度的几何分布(Geometrical Dilution of Precision，GDOP)［4］，表示为

GDOP值越大，定位精度越低;反之，则定位精度越高。

4 仿真分析

假设两载机装备相同的测向设备，测量误差服从零均值的正态分布，且相互独立。载机1的坐标为(0 km，0 km)，载机2的坐标为(3 km，4 km)，两机之间的距离为L=5 km，距离误差σL=0.05 km;角度测量误差均为mrad，探测目标范围X轴(-100 km，100 km)，Y轴(-100 km，100 km)。仿真结果如图8所示，图8为等高线曲线图，图中等高线上的数字即为定位精度GDOP数值。

图8 双机协同定位GDOP分布图Fig.8 Distribution map of locational GDOP by two cooperated aircrafts

根据GDOP的分布图，可以将定位区域分为如下3个区域。

1)不可定位区域。这主要分布在两载机之间或者其延长线上，定位误差很大，精度很低，在此区间的定位数据甚至不可用，是定位盲区。可以发现，越靠近载机延长线，精度越低。

2)高精度区。在两载机附近，尤其是两载机的中心延长线上及其两侧，定位精度较高，在中心延长线上越靠近载机精度越高(不包含不可定位区间)。

3)低精度区。这主要是在离两载机较远的区域，定位精度随着距离的增加而逐渐较小。

这与上节的分析相同，在载机之间及其延长线上，目标不可探测;在两载机附近但不在延长线上，模糊区面积小，定位精度高;随着距离的增加，模糊区的面积增加，定位精度随之降低。

4.1 载机间距对定位精度的影响

假设载机1的位置不变，载机2的坐标为(6 km，8 km)，载机间的距离为10 km，方位角的测角误差为5 mrad，载机间距误差为0.05 km，其余条件均不变化，可得到此时系统的定位GDOP分布图，见图9。

图9 间距为10 km时定位GDOP分布图Fig.9 Distribution map of locational GDOP when the distance between two aircrafts is 10 km

对比图8和图9可知，随着载机间距的增大，定位的高精度区域增大，系统总体定位精度提高。

载机间距增大的同时，定位误差能否一直减小?为了研究载机间距与定位误差间的关系，假设载机1的坐标为(0 km，0 km)，载机间距为L(5～100 km)，载机1与载机2的相对方位角β3=arctan(4/3)保持不变，则载机2 的坐标为(L*0.6，L*0.8)，研究目标位置为(-40 km，40 km)时，定位误差随间距变化的变化曲线。仿真结果如图10所示。

图10 定位误差随载机间距的变化曲线Fig.10 The locational error vs the distance between two aircrafts

由图10可以看出，定位误差随着双机之间的间距先逐渐减小，当间距L=40 km时，定位误差最小，而后随着间距的增大，误差亦随之增大。

4.2 载机间距误差对定位精度的影响

假设载机1的坐标(0 km，0 km)，载机2的坐标为(3 km，4 km)，载机间距离为 5 km，距离误差为0.2 km，方位角的测角误差为=5 mrad，其余条件均不变化，可得到此时系统的定位GDOP分布图，如图11所示。

图11 测角误差为0.01 rad时定位GDOP分布图Fig.11 Distribution map of locational GDOP when the error of angle observation is 0.01 rad

由图8和图11发现，载机间距误差的变化对定位精度有一定的影响，但影响不是很大。当间距误差由0.05 km增加到0.2 km后，高精度区的范围有所减小，总体变化不大。

4.3 测角误差对定位精度的影响

假设载机1的坐标(0 km，0 km)，载机2的坐标为(3 km，4 km)，载机间距离为5 km，距离误差为0.05 km，方位角的测角误差为=10 mrad，其余条件均不变化，可得到此时系统的定位GDOP分布图，见图12。

图12 测角误差为0.01 rad时定位GDOP分布图Fig.12 Distribution map of locational GDOP when the error of angle observation is 0.01rad

由图8和图12发现，载机的测角精度对系统的定位精度有着极大的影响，当设备的测角误差由5 mrad增大至10 mrad后，整个探测区域的高精度区明显缩减，不可探测区域增大，系统的整体定位精度下降。

图13 定位误差随测角误差变化趋势图Fig.13 The locational error vs error of angle observation

对定位精度有很大影响作用的测角误差，做进一步分析。目标坐标为(-40 km，40 km)，除测角误差值外，均保持不变。由式(15)可以得到定位误差随测角精度的变化曲线图，如图13，其中测角误差的变化范围为0.003 ～0.01 rad。

所选目标位置(-40 km，40 km)处于定位高精度区，测角误差由0.003 rad变化到0.01 rad，定位误差增大了5倍，对于处于低精度区的目标，其定位误差会增加更多。

由此可知:定位误差随测角误差的增大而增大，双机定位精度降低;随着测角误差的减小而减小，双机定位精度提高。

由上述分析可知，提高载机间距离的测量精度、设备的测角精度，都可以很好地提高系统的定位精度。但提高测角误差精度对提升系统的整体定位效果影响更大。

5 总结

本文主要讨论了双机测向无源定位算法和定位模糊区，研究了影响定位精度的因素。通过建立模型，分析目标处于不同位置时的定位模糊区并进行仿真;对测角定位的定位精度GDOP进行了仿真，并对不同的载机间距、不同的距离误差和不同的测角精度下的定位精度分布进行了仿真分析，并分析测角精度对定位精度的影响情况。

仿真结果表明:目标定位精度与载机到目标距离、载机间距、间距误差以及测角精度有关，定位精度随着载机间距的增大先提高，当间距的增大到一定值时定位精度达到最优，而后随着间距的增大而逐渐降低。随着载机到目标距离、间距误差和测角误差的增大而降低。因此在实际应用中，可以通过适当地增大两机间距到达某一理想值，减小测角误差来提高系统的整体定位精度，这为载机提高对目标定位精度提供了重要参考依据。

［1］刘钰.无源定位技术研究及其精度分析［D］.西安:西北工业大学，2005.

［2］王智显，徐汉林.超远距离目标的交叉定位算法研究［J］.现代雷达，2008，30(12):39-43.

［3］吕义东，周铭.基于MATLAB的双站交叉定位及其误差分析［J］.实验科学与技术，2009，7(6):11-14.

［4］李洪梅，陈培龙.三维多站测向交叉定位算法及精度分析［J］.指挥控制与仿真，2007，28(4):54-59.

［5］黄剑伟，王昌明.一种改进的测向交叉定位方法［J］.航天电子对抗，2008，24(4):51-54.

［6］HO K C,XU W.An accurate algebraic solution for moving source location using TDOA and FDOA measurements［C］//IEEE Transaction on Signal Processing,2009,52:2453-4463.

［7］孙仲康，郭福城，冯道旺，等.单站无源定位跟踪技术［M］.北京:国防工业出版社，2008.

［8］刘尚福，许涛.无源定位误差试验的仿真分析［J］.舰船电子对抗，2009，32(4):99-101.

［9］廖海军.一种新的测向交叉定位算法［J］.电光与控制，2008，15(9):29-31.

［10］熊伟，王瑞，李智.纯测角无源定位跟踪算法研究［J］.装备指挥技术学院学报，2009，20(10):72-76.

［11］王本才，何友，王国宏，等.双站无源均值定位算法精度分析［J］.四川兵工学报，2010，31(4):78-81.