有关p－级数与交错级数的和的研究*

梁双凤 刘 鹏 杨 胜

(1.楚雄师院学院数学系，云南 楚雄 675000;2.楚雄师院学院经济管理及计算机应用系，云南 楚雄 675000)

1.两个引理

(1)若m是偶数，则

(2)若m是奇数，则

证明 显然

当m≥2时，

即得出递推式

利用此递推式，可以得出

(1)当m是偶数时，有

即

(2)当m是奇数时，同理可以证明

引理2 设f(x)是周期为2π的函数，它在一个周期［－π，π］上的表达式为f(x)=xp。若p是偶数，则函数f(x)的傅里叶级数中的系数bn，a0，an分别为

证明 由于f(x)=xp是R上的连续的偶函数，所以傅里叶级数中的系数bn，a0，an分别为［1］

由引理1知

显然，当p=2时，函数y=x2在区间［－π，π］上展开的傅里叶级数为［1］

在(1)式中令x=π，则可得出

用同样的方法，我们可以得出

2.两类级数的和的递推公式

2.1 当p是偶数时，p－级数的和的递推公式

证明 当p是偶数时，根据引理2知道，偶函数f(x)=xp的傅里叶级数为

令x=π，则由上式得到

从而得到当p为偶数时求p－级数的和的递推式(8)

2.2 当p为奇数时，交错级数的和及其递推式

当p为奇数时，我们有下面的结果:

证明由引理2知道，当p是偶数时，偶函数f(x)=xp的傅里叶级数为

对上式两边关于x求导得

在(10)中，当p=2时，可得到函数y=x在区间(－π，π)上展开的傅里叶级数为

用同样的方法，我们可以求出

3.当p为奇数时，对级数的和的研究

当p(p＞1，p∈N)为奇数时，p－级数的和无法用准确公式表示出来.但我们可以借助MATLAB应用软件，用数学实验的方法得出其和的无穷近似值，或在满足一定计算精确度要求的前提下，利用近似公式，求出其和的近似值。

首先用MATLAB应用软件可求出

即

同样，借助MATLAB软件，我们可以得到

如果我们假设

现在可以确定的是:A是一个无理数，但它无法用准确值表示出来。

则当p为偶数时，X为有理数;当p为奇数时，X为无理数。

实际上，不仅仅当p为奇数时，p－级数的和无法用准确值表示出来，而且当p不是整数时，我们一般也很难求出其和的准确值。此时，我们可以考虑在满足精确度要求的前提下，用近似值来表示其和。

或者我们借助求p－级数的和的近似公式［2］

其中

利用公式(12)，取m=10，则可得到

其中误差|σm|＜ 9.88 ×10－5。

同样可得到，

其中误差 |σm|＜ 10－5。

［1］同济大学数学系编.高等数学 (下)［M］.北京:高等教育出版社，2010:302—303.

［2］朱文辉，张亭.p－级数的和的近似公式 ［J］.大学数学，2005，6(3):114—115.