电压互感器的高频无源电路模型

张重远 徐志钮 律方成 杨 彬

（华北电力大学河北省输变电设备安全防御重点实验室 保定 071003）

1 引言

气体绝缘变电站（GIS）由于具有占地面积小、运行安全、维护方便以及与周围环境隔绝等诸多优点而在世界各地的应用越来越广泛。由于电站体积小，一次设备和二次设备距离很近，二次电缆处于电磁污染严重的环境中，开关操作等干扰源产生的暂态电磁波有可能在二次电缆中感应出危险的电压并进入气体绝缘变电站的控制设备和保护设备，影响它们的正常运行。因此，必须对二次侧产生的电压进行分析。

端口模型仅预测系统中感兴趣的频率分量，不用进行完全和详细的分析，可缩短计算时间、提高仿真精度。然而用有理函数对测量数据进行拟合建立的频域函数模型[1-3]难以与国际上通用的电磁暂态计算程序（如EMTP或PSPICE等）匹配，而电路模型适用性强，使用方便。

文献[4]对测量所得电压传递函数进行综合，获得电路模型，但模型中缺少输入输出阻抗，在一定程度上影响了仿真的准确性。针对此问题可直接建立等效电路模型[5-7]，但矢量拟合[8]所得网络函数仅能保证稳定性，根据网络函数直接综合所得的往往是有源电路，而有源的模型可能会得到不稳定的仿真结果[9]。文献[10]提出了满足端口无源的电路模型修正方法，文献[11]将该方法用于PT高频电路模型的修正，该方法在一定程度上实现了仿真的稳定性，但并不能保证每一个电路元件的无源性。若将该模型作为大系统中的一个子系统进行仿真计算，仍有可能产生不稳定的仿真结果[12]。文献[13]研究了PCB的无源电路，提出在矢量拟合方法的基础上使用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)公式对优化问题进行求解然后使用遗传算法对所得结果进行优化而最终实现了微观无源。该方法对无源电路综合进行了很好的尝试，当建立阶数较低的等效电路时，这种方法计算效率很高，但由于 PT高频电路模型阶数较高，无源条件较难满足，无源修正所得结果误差较大，而使用遗传算法（Genetic Algorithm，GA）则增加了算法的复杂程度和不确定性。鉴于此，有必要进一步深入研究网络参数的无源拟合方法，以获得稳定高效的无源电路综合算法。

本文测得PT的散射参数并将其转化为 π型等效电路，然后用矢量拟合方法获得导纳的Foster表达式，通过分析指出将矢量拟合获得的留数、一次项和常数项进行调整获得无源的结果属于含不等式约束的二次规划问题，选择了起作用集方法（active set method[14]）求解二次规划，然后对所得参数进行微调后最终获得无源参数，最后以无源修正前后的比较验证了所提方法的有效性。

2 PT散射参数的测量和π型等效电路的建立

传统方法中的扫频法和脉冲测量法只能测量传递特性，不能得到设备的阻抗特性，而散射矩阵测量法不仅可以测量阻抗特性且具有测量信噪比高、操作简单高效和抗干扰能力强等优点。因此，散射参数测量法因具有更简单、准确和实用的特性而被本文采用。测量所得散射参数通过式（1）转化为短路导纳矩阵[15]

式中，y1=y2=1/z，z为散射参数测量时的匹配阻抗。

短路导纳矩阵可以转化为如图 1所示的π型等效电路。

图1 二端口网络的π型等效电路Fig.1 PI-type equivalent circuit model for two-port network

具体公式为

3 无源电路的综合

3.1 稳定Foster表达式的实现

在获得 π型等效电路具体元件的导纳表达式后，可采用矢量拟合（Vector Fitting）[8,10]方法获得其稳定的Foster表示形式

式中，s为复频率；pk和 rk分别表示函数的极点和留数，它们均为实数或复数共扼对；N表示拟合阶数；d、e分别为常数项和一次项系数。

3.2 无源电路的综合

以Foster表达式表示的导纳参数可以使用文献

[16]提出的方法进行电路综合，常数项 d可以综合为一个阻值为dΩ的电阻；而一次项se可以综合为一个电容值为1/eF的电容。实数的极点pkr和对应的留数rkr可综合为电阻和电感的串联，如图2所示。

图2 实数极点和留数对应的综合电路Fig.2 Synthetical circuit of real pole and residue

图2中的电阻和电感值如下

对于复共扼极点和留数，设极点分别为ckp 和，留数分别为 rkc和，则对应项可综合为如图3所示的综合电路。

图3 复共扼的极点和留数对应的综合电路Fig.3 Synthetical circuit of conjugated poles and residues

图3中各元件值如下

要实现微观无源即要求每个元件参数值都为正值，综上所述，考虑到矢量拟合结果由于满足传递函数稳定性而自动满足Re(pk)≤0，对应要求极点、留数、常数项和一次项系数分别如下

式中，函数Re(·)表示对复数取实部。

对于实数的极点和留数可以看为复数的特例，也要求满足上述条件。

式（10）～式（14）这5个条件无法自动满足，从而导致了综合所得电路不是无源的形式。矢量拟合所得极点已满足稳定性条件，故本文考虑使用优化算法对所得留数、常数项和一次项系数进行优化，使它们能满足上述无源的条件。

4 二次规划算法

4.1 二次规划

本文的优化问题相当于满足约束条件下使优化所得网络函数与实测结果具有最小误差的约束最优化问题。设将实数极点、留数转化为共扼复数极点、留数后拟合所得表达式有2N阶，第2节计算所得π型等效电路导纳Y=(y1, y2, …, yM)，第k对极点为p2k-1=ak+bki和p2k=ak-bki，第k对留数为 r2k-1=ck+dki和r2k=ck-dki，其中ak、bk、ck、dk为实数。待优化变量X=(c1, d1, …, cN, dN, d, e)T，A为一个2M×(2N+2)矩阵，函数Im(A)获得复数A的虚部。

当 1≤i≤M，1≤j≤N 时有

当 M+1≤i≤2M，1≤j≤N 时有

C 为 (2N+2)×(2N+2)矩阵，D=(0, 0, …, 0)T，E= (0, -∞, …, 0, -∞, 0, 0)T，F=(∞, ∞, …, ∞, ∞, ∞,∞)T。微观无源的优化问题等价于AX=B，CX≤D，E≤X≤F；其中A、C为矩阵，B为2M×1列向量，X、D、E、F均为(2N+2)×1的列向量。根据最小二乘原理满足 AX=B 即要求(AX-B)T(AX-B)=XTATAX-BTAX-XTATB=XTGX+HX最小化，式中G=ATA，H=-2BTA。而约束条件CX≤D，E≤X≤F可合并等价于C1X≤D1，其中C1为(6N+6)×(2N+2)矩阵，D1为(6N+6)×1列向量。因此，上述优化问题等价于minf(X)=XTGX+HX同时满足C1X≤D1，属于含不等约束的二次规划问题。

4.2 起作用集方法

对于满足不等式约束的二次规划问题可以使用Active Set Method[14]进行求解。该方法的基本原理是以可行点为起点，仅考虑该点起作用的约束作为等式约束，在获得更好可行点后重复执行至收敛。设在k次迭代中已知可行点为xk，此时约束指标集为Ik表示，此时需要解决等式约束问题

式中，ai是矩阵 A第 i行向量；bi是向量 B第i个元素。设dk=X-Xk，则上述问题等价于

这就是一个满足等式约束的二次规划问题，可以使用直接消去法或Lagrange乘子法。获得其最优解后 dk分 3种情况讨论：①若 Xk+dk为可行点且dk≠0，则第 k+1 次迭代中，Xk+1=Xk+dk；②若 Xk+dk不是可行点，则令 Xk+1= Xk+λkdk，使得对于任意都有ai(Xk+λkdk)≥bi；如果存在ap(Xk+λkdk)=bp则Ik+1=Ik∪{p}；③若dk=0，则Xk是最优解。

优化后所得结果基本能满足无源条件，即使有少数的留数不能严格满足，其差距也很小，只要稍加调整即可严格满足微观无源条件。基于此建立的等效电路中的任何参数都是无源，这将有效解决以往的有源电路或端口无源电路模型仿真时可能存在的不稳定问题。

5 实例分析

为了验证本文所提方法的有效性，对一 PT建立了其无源模型。PT为高压180匝、低压60匝的实体。应用HP 4395A频谱网络分析仪对一个电压互感器模型的输入与输出端口之间的S参数进行了测量。考虑到GIS中的VFTO主要集中的频率范围，选择了 0.1～20MHz进行分析。无源修正后所得电路参数 y11π仅有 2阶，其中 R0=4.73×105Ω、C0=1.31×10-12F；y12π有 36 阶，其中 R0=∞、C0=5.65×10-13F；y22π有38阶，其中R0=∞、C0=0；它们的其他元件值见表1～表3。

表1 y11π 的电路元件Tab. 1 The elements of synthesis circuits for y11π

表2 y12π 的电路元件Tab.2 The elements of synthesis circuits for y12π

（续）

表3 y22π 的电路元件Tab.3 The elements of synthesis circuits for y22π

最终形成PT的π等效电路的3个支路均由多个综合电路并联组成。从表中可以看出所有元件值都为正值，因此PT电路模型实现了完全的微观无源。

无源修正前后的 y11π、y12π、y22π的幅频特性和相频特性如图4～图6所示。

图4 y11π的幅频和相频特性Fig.4 Amplitude frequency and phase frequency characteristics of y11π

图5 y12π的幅频和相频特性Fig.5 Amplitude frequency and phase frequency characteristic of y12π

图6 y22π 的幅频和相频特性Fig.6 Amplitude frequency and phase frequency characteristics of y22π

从图可以看出，除了 y11π的相频特性在修正前后存在一定差距外，y12π、y22π的幅频和相频特性在修正前后差距都非常小。

无源修正前后的电压传递函数如图7所示。显然无源修正前后的电压传递函数的幅频和相频特性比较接近，尤其是幅频特性误差非常小，而相频特性误差在接近 0.5MHz时稍大一些，但此时幅值很小对传递特性影响很小。电压传递函数正是 PT的关键特性，这也验证了本文实现无源电路模型的有效性。

图7 电压传递函数的幅频和相频特性Fig.7 Amplitude frequency and phase frequency characteristics of voltage transfer function

6 结论

采用起作用集方法求解PT的 π型等效电路的微观无源优化问题，然后使用电路综合方法最终实现了 PT的微观无源电路。根据实测参数在 0.1～20MHz范围内的无源优化结果表明本文所提方法能实现元件级无源的 PT模型，这将有效解决以往的有源电路或端口无源电路模型仿真时可能存在的不稳定问题。而且无源修正前后电压传递函数无论是幅频特性还是相频特性变化都较小。

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