非概率响应面法在结构可靠性中的应用

陈旭勇

(武汉工程大学环境与城市建设学院, 湖北 武汉430074)

0 引 言

优化搜索法是进行非概率可靠性研究的主要工具，其主要计算量花费在搜索验算点，避免了区间运算，因此，不存在区间扩张的问题.验算点又称最可能失效点(Most Probable failure Point，简称MPP)，可用于判定结构的安全可靠性能.非概率可靠性指标本质上是标准化空间中坐标原点到失效面的最短距离(按无穷范数度量)，即坐标原点到MPP的距离，其求解过程是一个有等式约束的优化问题.在极限状态函数不是很复杂的情况下，郭书祥[1]提出了3种计算方法：定义法、转换法及优化法.这些方法各有其特点和不足，对于定义法，在极限状态方程较复杂的情况下，计算工作量非常大，甚至计算无法实施；转换法主要实用于区间变量的单调性易于确定的情况，但对于非线性方程，多数区间变量的单调性不易确定；而优化法是一种近似解法，且对于复杂函数，其上、下边界往往不易求得.也可以经简单优化法求解[2]，一般情况下，极限状态函数形式复杂，没有统一规律可循，需要采用优化、加速、迭代进行搜索求解.罗阳军等[3]研究发现，当极限状态函数非线性程度较高时，迭代过程经常会发生迂回振荡现象，甚至不收敛.为了解决此问题，在Hasofer-Lind Rackwitz-Fiessler(HL-RF)算法的基础上，针对非概率可靠性指标的计算，以夹角θ值的相对大小为检测严重迂回振荡的判据，提出了一种能有效消除迂回振荡的修正迭代算法.马超等[4]针对凸集模型比例因子的非概率可靠性指标相对隐式极限状态方程难以求解问题，提出一种基于支持向量机(support vector machine, 简称SVM)回归的非概率可靠性指标分析方法.针对区间运算非概率可靠性指标扩张的问题，文献[5]利用仿射型表示变量的不确定性，由仿射运算计算出结构的响应区间(功能函数的上下界)，并由响应区间与其许用区间获得非概率可靠性指标.江涛等提出了响应面法的非概率可靠性指标求解[6]，主要通过多样本点进行响应面的拟合，再求解非概率可靠性指标，通过计算验证了所提方法的有效性，但该方法没有明确样本点选择多少是合适的.江涛等[7]提出了一维优化算法，证明了非概率可靠性指标只可能存在于标准化区间变量张成的对称凸域及其扩展空间中通过原点和凸域顶点的有限条射线与失效面的某一个交点处，在此证明的基础上提出了求取非概率可靠性指标的一维优化方法，该方法将求取非概率可靠性指标转化成有限个一元代数方程的求根问题.一维优化方法能很好的计算非概率可靠性指标，优于其它计算方法，但当方程的变量较多时，计算量较大.在此基础上，陈旭勇等[8]提出了改进一维优化算法，使得非概率可靠性指标的计算量极大减小，但主要针对极限状态方程明确的求解.总体来说，通用的有效搜索方法并不存在，原因是算法上客观存在数学困难，但研究者们根据具体的研究对象可以寻求解决问题的途径.因此，为了非概率可靠性理论在实践工程中得到有效利用，发展一种有效的非概率可靠性计算方法是必要的.

1 非概率响应面法

1951年，Box和Wilson最早提出了响应面法(RSM)，通过一系列的输入与对应的响应拟合一个近似功能函数，用近似功能函数模拟实际功能函数.实际工程中，极限状态方程一般没有解析表达式，结构是用有限元分析得到相应数值，因此，传统的可靠性方法不能求解.在此基础上，Faravelli等[9]首次将响应面法引入到概率模型中求解可靠性问题，此后，响应面法在概率模型中得到了极大的发展并用于实践工程中.响应面法中近似的响应面函数的模拟精度和计算效率是最关心的问题，函数的次数越高，模拟的精度将越高，所需的样本点越多，其计算量较大，效率比较低，同时，精度不一定有较大的提高.因此，找到一计算效率高且模拟精度也高的响应面是科学家关心的问题.大量的研究显示，二次多项式能兼顾精度和效率的要求.苏永华等[10]对含一次项及二次交叉项与不带交叉项的二次多项式的响应面函数进行了对比研究，发现两者精度相差不大，但后者的计算效率高得多.程进[11]对5种响应面函数模型进行对比分析，得出了不带交叉项的二次多项式的响应面函数所需样本点最少，但计算精度较高的结论.因此，工程中一般用不带交叉项的二次多项式的RSM法进行求解.构造失效面函数：

(1)

式(1)中：a，bi(i= 1,2，…,n)，ci(i= 1,2，…,n)均为待定系数，共2n+1个待定系数.

对于结构的非概率可靠性求解，计算中需进行结构分析、方程组求解、非概率可靠性指标的求解.因此，要用到两个工具，如结构分析可采用商业有限元软件MIDAS、ANSYS或SAP等.方程组及可靠性指标的求解可利用MATLAB进行编程得到.

1.1 非概率响应面法

目前，对结构进行可靠性评估的响应面研究与应用主要集中在随机变量，而区间变量不同于随机变量，因此，不能用随机变量的响应面法进行可靠性分析.江涛[6]等将RSM的思想与基于区间变量的非概率可靠性模型结合，提出了一种基于区间模型的非概率响应面法，该法能很好地解决极限状态方程没有解析表达式的结构非概率可靠性问题，是目前解决此类结构的一种有效方法.但该算法存在两个问题：一是该模型选择的含一次项及和二次交叉项函数，当变量较大时，计算量非常大；二是样本点数量的选择不明确，从而对其结果无法验证.本节在已有的研究基础上，构造出一种基于响应面法和改进一维优化算法相结合的非概率响应面法.

对n个区间变量x1,x2,...,xn的情况，二次多项式表达为同公式(1).应用响应面法构造一函数来近似模拟真实功能函数，再利用改进一维优化算法[8]进行非概率可靠性分析的步骤如下：

a. 选取2n+1组初始点x10,x20,...,xn0和x10±x1r,x20±x2r, …,xn0±xnr，其中x10,x20,...,xn0为区间变量中值，xir为xi0的离差，利用结构有限元数值分析方法求得2n+1个功能函数值g.

b. 求解线性方程组(1)式，得到2n+ 1个待定系数a，bi，ci(i= 1,2，…,n)，从而得到由二次多项式表示的响应面函数M0=g(x0)(初始响应面函数).

d. 令初始响应面函数G(δ)=0，利用改进一维优化算法求解非概率可靠性指标η*(k)，其中k=0, 1,…为迭代步数[11].

e. 利用上步求得的η*(k)，确定新的验算点.在改进一维优化算法确定单调性的基础上：若

f. 选取2n+1组验算点x1k+1,x2k+1,...,xnk+1和x1k+1±mfx1k+1,x2k+1±mfx2k+1,...,xnk+1±mfxnk+1，其中f对应的各变量变异系数，m为离差控制系数，在迭代计算中，第一个迭代步(k=1)时m=1/2，以后(k>1)取m=1/4,利用结构有限元数值分析方法求得2n+1个功能函数值g，求解线性方程组(1)式，得到第k个迭代步的 2n+1个待定系数a，bi，ci(i= 1, 2，…,n)，从而得到第k个迭代步的响应面函数Mk=g(xk).

g. 重复第d～f步，进行非概率可靠性指标的求解，直到满足收敛条件：│Mk│<ε│M0│和│η*(k)-η*(k-1)│<ε│η*(k-1)│，迭代终止，取非概率可靠性指标η=η*(k)，其中ε为容许误差极限值，本文中ε按10-4取值，若收敛条件不满足，迭代两次后，用线性插值得新非概率可靠性指标：

(2)

以加速迭代过程.

1.2 程序实现

在求得近似功能方程后，可借助现有编程软件MATLAB进行求解，现对程序中主要问题进行阐述.上述步骤中除判断函数的单调性外，其它都容易实现，判断函数的单调性需进行自编程，现阐述其主要思路及证明.

将式(1)进行标准化得：

(3)

对δi求一阶偏导得：

(4)

由于式(4)中存在变量，不易用程序判断其正负.因此，对式(4)再求导，得：

(5)

2 算例分析

如图1所示悬臂梁[6]，梁长L=1 m，梁高h=0.2 m，梁宽b=0.1 m，绕z轴的转动惯量Iz=6.67×10-5m4，弹性模量E∈[21×1011，2.3×1011]N/m2.y轴方向集中荷载P∈[800，1 000]Pa.自由端容许挠度fcr∈[2.4×10-5，2.6×10-5] m.假定自由端挠度输出f>fcr时，结构发生失效.用本文所提非概率响应面法和失效点寻优法求结构的非概率可靠性指标η.

建模过程：将长1 m的悬臂梁划分10个单元，一端固结，即6个变量都约束，梁高和梁宽为一定值，代入不同的E和P值，有限元分析得到自由端不同的挠度值f.构造响应面方程z=f-fcr，按照1.1节介绍的计算步骤，采用非概率响应面法得到的结果见表1.

图1 悬臂梁受力图Fig.1 Force diagram of cantilever beam

表1 非概率响应面法Table 1 Non-probabilistic response surface method

表1中从第3次开始是前两次的内插值.

从表1可知，非概率响应面法得到的非概率可靠性指标η=1.044 768，为了验证结果的正确性和有效性，分别与文献[6]采用的方法和解析法计算的结果进行对比，见表2.

表2 各种计算方法比较Table 2 Comparison of different caculating method

从表2分析可得以下结论：

a. 本文提出的非概率响应面法得到的结果很好，与解析值一致(有限位小数内)，从而验证了方法的有效性.

b. 非概率响应面法虽然有限元计算的次数较文献[6]多，但由于它不需进行数学处理，是传统的随机响应面法的扩展，更易被接受，且其精度较文献[6]高.

c. 文献[6]中20样本点得到的值比12样本点的效果差(相对解析)，使得样本点个数的选择不明确.

d. 通过以上分析，对极限状态方程不易确定结构，非概率响应面法是一种理想的算法.

3 结 语

对于极限状态方程没有解析表达式的结构，构造出一种基于响应面法和改进一维优化算法相结合的单循环迭代法-非概率响应面法，并给出了相应的计算步骤，同时，阐述了程序化的思路.通过一算例，将本文所提算法与解析法及文献[6]方法进行比较，证明了本文所提方法计算结果准确、效率高.

参考文献：

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[3] 罗阳军, 亢战. 超椭球模型下结构非概率可靠性指标的迭代算法[J]. 计算力学学报, 2008, 25(6): 747-752.

[4] 马超, 吕震宙. 隐式极限状态方程的非概率可靠性分析[J]. 机械强度, 2009, 31(1): 45-50.

[5] 江涛, 陈建军, 张弛江. 区间模型非概率可靠性指标的仿射算法[J]. 机械强度, 2007, 29(2): 251-255.

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[8] CHEN XU-YONG, FAN JIAN-PING. Modified scheme based on semi-analytic approach for computing non-probabilistic reliability index[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2010, 23(2): 115-123.

[9] FARAVELLI. Response surface approach for reliability analysis[J]. J Engng Mech ASCE, 1989, 115(12): 2763-2781.

[10] 苏永华, 赵明华, 蒋德松,等. 响应面方法在边坡稳定可靠度分析中的应用[J]. 岩石力学与工程学报, 2006, 25(7): 1417-1424.

[11] 程进. 基于响应面法的几何非线性结构概率响应分析[J]. 同济大学学报:自然科学版， 2006, 34(9): 1148-1151.