巧用思维定势 构建合理认知

王章莲

教学片段

一、铺垫诱导，运用思维定势

师：有五个好朋友，他们的年龄分别是10、11、13、14、12岁，看到这组数据你能提出什么数学问题？

生：他们的平均年龄是多少？

师：怎么计算他们的平均年龄？

生1：把五个数加起来除以五。

师：他是用总年龄除以总人数来解决的。

生2：不用计算的，13拿出1来给11，14拿出2来给10，这样五个数都变成了12，他们的平均年龄是12岁。

师：他是用移多补少的方法解决的，不错。

师：这个算出来的12是谁的年龄，和什么有关系？

生3：不是哪一个人的年龄，是他们的平均年龄。

生4：12比最大的小一些，比最小的大一些。

生5：平均年龄和每个人的年龄都有关系。

生6：它是这几个人年龄的中等水平。

生7：这五个朋友的年龄都在12岁左右，相差不大。

师：12岁这个平均年龄和每个人的年龄都有关系，它代表的是这几个人年龄的一般水平。

二、变式设疑，打破思维定势

师：这里还有五个好朋友，不过，只知道这五个好朋友的平均年龄是18岁，他们可能是怎样的一些人？

生1：他们中有些人比18岁小一点，也有些人比18岁大一点。

生2：他们的年龄在18岁左右。

生3：他们是一群高中生，也可能是一群大学生。

师：他们可能是一群小学生吗？

生4：不可能，小学生的年龄哪有这么大。

生5：他们的年龄相差不会太大，最大也不会超过23岁吧，最小也不会小于16岁吧！

师：想知道他们的具体年龄吗？

师出示：10、11、12、14、43。

生6：怎么可能？真有小学生。

生7：我们都猜错了，年龄相差太大了。

生8：有一个人的年龄太大了，平均年龄也变大了。

师：你觉得像这种情况用平均数来表示一般水平合适吗？你认为用什么数更能代表这组数据的一般水平？

生9：中位数。

师：中位数是什么呀？

生10：中位数就是中间的一个数。

师：这么简单，中间的一个数就是中位数。

生11：不对，这些数还要按从小到大排列后，中间的一个数才叫中位数。

师：这组数据的中位数是多少呢？

生12：中间的一个数是12。

生13：这组数据的中位数是12。

三、深化拓展，发展思维定势

生1：如果是6个数，中间的数有两个，哪一个才是中位数呢？

师：这个问题问得好，如果是6个数呢？还有哪些问题不好解决？

生2：如果一组数据的个数是单数，中位数就是中间一个。如果数据的个数是双数，中间就有两个数，选哪一个数好呀？

师：能举一个例子说说吗？

生2：还是举年龄的例子吧，6个好朋友，他们的年龄分别是15、16、20、14、17、18岁。

生3：他们的年龄比较接近，用平均数表示就可以了。

师：什么情况下用中位数好呢？

生4：有一个特别大的，就不适合用平均数表示了。

生5：把他们的年龄改成：15、16、20、14、17、48岁。

师：为什么要将18改成48？

生5：这样用中位数表示就更合适了。

师：为什么？

生6：中位数和最大的数没有关系。

师：中位数不受大数的影响。

师：这组数据的中位数是多少呢？如何解决？

生7：先把这组数据按顺序排列14、15、16、17、20、48。

生8：中间的数有两个呀？

生9：把中间的两个数加起来除以2。

师：不错的方法，求中间两个数的平均数，你们认为可行吗？

生（部分）：行。

师：看来，我们班的同学就是牛，一下子解决了中位数的许多问题。你了解中位数了吗？说一说。

生11：中位数就是几个数中间的数。

生12：不完整，应该是把一组数按顺序排列后中间的数。

生13：如果数据的个数是单数，中位数就是中间的那个数；如果数据的个数是双数，中位数就是中间两数的平均数。

生14：中位数不受大数的影响。

师：如果一组数据中有一个特别小的数呢，用什么表示比较合适？

生15：中位数。

师：中位数不受偏大或偏小数据的影响。

师：中位数这么好，以后我们不要平均数了，用中位数就行了。

生16：不行，一组数据中出现偏大或偏小的数据时，用中位数表示这些数的一般水平比较合适，但一组数据比较接近时，用平均数比较合适。

师：看来它们各有优点，我们千万不要喜新厌旧。

……

教学思考

一、运用思维定势要把握“适度”

思维定势可以有效提高解决问题的效率，但同时也容易使人的思维刻板、固化。因而，教学时我们要根据这一特性，适度使用。如本案例中学生在解决平均数的问题时，就是充分利用在学习平均数过程中形成的思维定势，很快解决对数据“10、11、13、14、12”的分析，在此过程中几乎没有遇到任何障碍，这都得益于学生在平均数学习中形成思维定势。然而，如果用此思维定势去分析所有的数据，必然不可行。平均数对数据集中趋势的反映受具体数据特点的影响，因而，适度使用已形成的思维定势不仅能帮助学生形成熟练解决问题的技巧，更能为他们思维进一步发展留下必要的空间。

二、运用思维定势要善于“求变”

在日常教学过程中，我们往往更多地利用定势思维的积极作用，很少或根本不去考虑如何利用定势思维的消极影响。其实，根据具体的教学内容，有时利用思维定势的积极作用可以促进教学，有时利用思维定势的消极作用也可以取得意想不到的效果。如上述案例中，当要求学生根据“五个好朋友的平均年龄是18岁”来分析五个人的具体年龄时，学生固有的思维定势自然引导他们认为每个人的年龄都与18岁接近，似乎已解决了问题。然而，当教师出示五人的年龄分别为“10、11、12、14、43”时，学生原有思维定势产生的成果被打破了，思维定势的负面效益突显，形成强烈的认知冲突。如何解释这组新出现的数据集中趋势呢，自然就需要一种新的表述方式，中位数出现也就顺理成章了。同时，负面影响有效加深了学生对平均数与中位数的区分。从以上情况不难看出，运用思维定势开展教学时不能一成不变，要按需利用，重在实效，贵在灵活。

三、运用思维定势要突出“发展”

教学中运用思维定势解决问题，更多的是促进原有的思维路线、方式、程序、模式更加稳定，更加模式化与固化。这样做可以保证学生形成某一内容稳定的认知结构，但不利于他们的思维进一步拓展。如在上述案例中，学生运用平均数描述数据趋势的定势思维碰壁后，思维不是停止了，而是在教师的引导下去寻找更加合适的描述数据的方式。当发现中位数成为合适的描述方式时，学生原有的定势思维得到更多内涵，即当数据较为集中时适用平均数来描述，当数据有个别较为突出时适用中位数描述。此时，学生在学习平均数过程中形成思维定势即得到运用，又得到发展。

（作者单位：安徽省黄山市黄山区焦村中心学校 责任编辑：王彬）