基于带漂移布朗运动的滚轮滑轨可靠性预测方法研究

蔡 景 任淑红 陆晓华

南京航空航天大学，南京，210016

0 引言

统计数据表明，近年来民用飞机襟翼、缝翼系统故障数占整个飞行操纵系统故障总数的64.7%，其中滚轮滑轨故障是襟翼、缝翼卡阻、不一致、不对称等故障的主要原因之一，占襟翼、缝翼系统故障总数的30%～80%［1－2］。由于滚轮滑轨造价昂贵，无法投入大量样品开展寿命试验，所以不可能得到足够的试验失效数据，而且由于机构磨损具有长寿命的特点，甚至经常出现“零失效”现象，因此，对于高可靠、长寿命的滚轮滑轨，很难通过寿命试验或加速寿命试验的方法来获取其失效时间，这给以产品失效数据为基础的传统可靠性分析带来了极大的困难。基于产品性能退化数据的可靠性分析可以不需要产品的失效数据，而是寻找产品的性能退化规律对其可靠性进行分析，Nair［3］曾指出退化数据对可靠性分析来说是一个丰富的信息源，因此，基于性能退化数据的可靠性分析方法为开展滚轮滑轨的可靠性评估提供了一条可行的途径。

在滚轮滑轨的实际磨损过程中，磨料磨损、黏着磨损、疲劳磨损、腐蚀磨损类型往往同时存在，相互影响，因此，要准确确定具体磨损机理是相当困难的，这正是难以准确进行磨损量预测及对应可靠性预测的重要原因之一。为此，国内外学者对该类问题进行了大量的研究并取得了不少成果：Archard模型在实际磨损量的计算中被广泛采用，但该模型提出的是磨损体积的计算公式，而对于滚轮滑轨而言，磨损深度更具有实际意义；吴越等［4］采用线性回归模型方法对磨损量进行了预测研究，但在严重磨损阶段，由于磨损量过程不完全是线性过程，所以在严重磨损阶段，线性回归模型方法效果并不是很好；张彦［5］研究了制动器摩擦衬片磨损量的等维灰色预测方法，然而灰色理论建立的是生成数据模型而不是原始数据模型，灰色预测的数据是通过生成数据的gm（1，1）模型所得到的预测值的逆处理结果。此外，闫志琴等［6］通过建立合适的仿真数学模型研究了材料磨损量随载荷变化的规律；刘锐等［7］通过BP神经网络实现对铣刀磨损量的在线监测和刀具剩余寿命的预测，但该研究的对象以及监测手段与滚轮滑轨不同。

从目前国内外的相关研究可以看出，在材料磨损方面的研究主要集中在磨损量本身的监测和预测上，而在此基础上更进一步的磨损可靠性预测方法研究基本属于起步阶段，尤其是针对滚轮滑轨的可靠性预测方法研究还未见报道。本文以滚轮滑轨的试验为基础，针对试验缺乏失效数据的难点，引入带漂移布朗运动的概念，建立了基于带漂移布朗运动的滚轮滑轨可靠性评估模型，提出了基于当前磨损量状态的滚轮滑轨寿命预测方法，实现了对滚轮滑轨的可靠性实时预测。

1 基于带漂移布朗运动的可靠性评估模型

1.1 带漂移的布朗运动

近年来，采用产品的退化性能数据进行可靠性评定已经成为研究的一个热点［8］，由于产品性能的退化过程与微粒扩散的过程比较类似，因此，布朗运动被广泛用于描述产品的退化过程。

布朗运动是一种随机扩散的极限过程，其定义为：如存在随机过程｛B（t），t ≥0｝，它满足①B（0）＝0；②｛B（t），t≥0｝有独立的平稳增量；③ 对每个t＞0，B（t）服从正态分布N（0，σ2t）；则认为｛B（t），t≥0｝是布朗运动。如σ＝1则｛B（t），t≥0｝是标准的布朗运动，如果σ≠1则可认为｛B（t）／σ，t≥0｝是标准布朗运动。

由于产品的性能退化过程都存在一定的趋势，因此，需要采用带漂移的布朗运动进行退化规律的描述。带漂移的布朗运动退化模型可表述为

式中，x0为初始状态，为常数；μ为漂移速度；σ为扩散速度；B（t）为标准布朗运动。

由于B（t）为标准布朗运动，因此根据布朗运动的定义，可知X（t）服从正态分布N（x0＋μ t，σ2t），并且具有独立的平稳增量。

1.2 首次到达时间

在性能退化的可靠性分析中，产品失效是通过X（t）与失效阈值L的大小关系来确定的，如向右漂移时，X（t）≥L时为产品失效；如向左漂移时，X（t）≤L时为产品失效。根据滚轮滑轨的磨损特点，可知其退化规律属于向右漂移。

Schrodinger和Smoluchowsk在研究布朗运动过程中定义了布朗运动过程首次达到某个点的时间的分布，即逆高斯分布［9］，首次到达x的时间Tx具有下面的概率密度函数：

因此，其分布函数可以表示为

可靠度函数为

式中，Φ（·）为标准正态分布的累积分布函数。

1.3 基于当前磨损量的剩余寿命预测

以上所得的滚轮滑轨可靠度函数反映的是多个滚轮滑轨磨损量的统计规律，而在实际工作中更关心的是在某一磨损量下，预测单个滚轮滑轨的失效时间，为此，可以利用布朗运动的Markov性以及独立增量性质，得到滚轮滑轨基于当前磨损量的可靠度预测模型。

设当前时刻h的磨损量为x（x＜L），t为h后的某一时刻，即t＞h，因此可得

式中，P（·）为概率。

因此，可以进一步得到此时的期望寿命（即预测的寿命）为

2 滚轮滑轨的磨损失效分析

2.1 滚轮滑轨的磨损失效特点［10］

对于单件滚轮滑轨的磨损试验，其磨损退化是一个随时间变化而磨损量不断增大的过程，如图1所示。

然而，如果多个滚轮滑轨件同时进行磨损试验时就会发现，磨损量和时间的关系并不是一条光滑的曲线，而是非常粗造的曲线，如图2所示，其原因如下：① 不同的滚轮滑轨件之间存在差异，这种差异是由于制造过程的差异形成的；②存在外部干扰，即在磨损量监测过程中存在测量误差、人为误差等。

图1 单件滚轮滑轨的磨损量变化

图2 多件滚轮滑轨的磨损量变化

2.2 模型中未知参数估计

由于带漂移的布朗运动具有独立增量特性，因此可以利用退化增量数据获得参数μ、σ的估计值

设有m个试验样本，在n个不同时刻对磨损量进行观测，不同时刻ti，j、ti，j＋1（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）时的磨损量增量Δxi，j为

且服从正态分布N（μ（ti，j＋1－ti，j），σ2（ti，j＋1－ti，j））。

利用式（5）所示的极大似然估计方法进行参数估计：

可得方程组

2.3 磨损量变化的分布检验

根据式（7）可得

由于B（t）服从布朗运动，所以在时间上的小增量Δt内满足其中ε是一个标准正态随机变量，因此上式可变为

利用Monte Carlo法模拟滚轮滑轨磨损量的具体步骤，如图3所示，这样就可以得到一组波动遵循带漂移的布朗运动的数据。

图3 采用Monte Carlo法模拟磨损量的流程图

根据文献［10］可以构造参数k，它是实际磨损量波动与模拟磨损量波动之差的函数，其计算公式为

采用SPSS软件中的Kolmogorov－Smirnov检验（D检验，适合样本数大于2000的情形）和Shapiro－ Wilk检验（W检验，适合样本数小于等于2000的情形）法来检验k是否符合标准正态分布，即可说明实际磨损量变化数据是否服从带漂移的布朗运动。对于此两种检验，如果P检验显著性水平值大于0.05，表明数据服从正态分布。

3 实例分析

本文采用的滚轮的材料为不锈钢1Cr17Ni2，其弹性模量为193GPa，泊松比为0.30；滑轨材料为钛合金TC4，其弹性模量为110GPa，泊松比为0.33，接触应力为800MPa。总共进行了10组试验（10个试件），分别在2000、4000、…、70000循环时记录磨损厚度，试验中的磨损数据如表1所示。

由于滚轮滑轨初试磨损量为零，所以x0＝0，同时假定磨损量失效判据L＝140μm，为此，采用2.2节中极大似然估计方法可得到在此基础上按照 Monte Carlo法模拟滚轮滑轨磨损量数据，并采用SPSS软件对构造参数k进行标准正态分布检验，检验结果如表2所示。表2中，Statistic为统计量，df为自由度，Sig为检验显著性水平值。

表1 滚轮滑轨磨损量 μm

表2 正态分布检验

由表2可知，无论采用Kolmogorov－Smirnov检验或Shapiro－Wilk检验，检验显著性水平都大于0.05，所以磨损的变化量都服从标准正态分布，因此，滚轮滑轨的可靠度分布函数可表示为

可靠度函数曲线如图4所示。

图4 可靠度函数曲线

为了验证可靠性函数的准确性，又开展了三个滚轮滑轨试件的磨损试验，试件序号分别为11、12和13。其中11号试件在20 000循环时的磨损量为42.33μm，又经过57 656个循环时达到了磨损量允许值140μm；12号试件在30 000循环时的磨损量为66.51μm，又经过33 479个循环时达到了磨损量允许值140μm；13号试件在40 000循环时的磨损量为83.72μm，又经过16 237个循环时达到了磨损量允许值140μm。而根据式（6）的剩余寿命预测方法，可以预测到11号试件在20 000循环时的剩余寿命为51 160个循环，12号试件在30 000循环时的剩余寿命为36 480个循环，13号试件在40 000循环时的剩余寿命为17 232个循环。表3列出了11、12和13号试件的真实寿命和预测寿命的误差比较。

表3 结果比较

4 结论

（1）基于布朗运动的滚轮滑轨的可靠性预测方法充分利用了试验过程中的摩擦磨损数据，克服了缺少失效样本的不足，为高耐磨、长寿命的滚轮滑轨的可靠性预测提供了理论方法。

（2）本文可靠性预测方法的平均误差为8.41%，能较好地满足工程实际需要。

［1］ 冯元生.机构磨损可靠性［J］.航空学报，1993，14（12）：642－644.

［2］ 贺东斌，冯元生.航空关节轴承可靠性分析［J］.机械强度，1995，17（1）：29－31.

［3］ Nair V N.Discussion of‘Estimation of Reliability in Field Perofrmance Sutdies’by J.D.Kalbfleisch and J.F.Lwaless［J］.Technometrics，1988，30：379－383.

［4］ 吴越，王玫，陈勇.线性回归模型诊断和在线预测刀具磨损量的方法研究［J］.机械设计与制造，2009（6）：236－238.

［5］ 张彦.制动器摩擦衬片磨损量的等维灰色预测［J］.润滑与密封，2009，34（12）：30－33.

［6］ 闫志琴，刘燕萍.材料磨损量数值仿真试验研究［J］.机械工程与自动化，2008（2）：184－186.

［7］ 刘锐，王玫，陈勇.铣刀磨损量监测和剩余寿命预测方法研究［J］.现代制造工程，2010（6）：102－105.

［8］ Vladimir Crk.Reliability Assessment from Degradation Data［C］／／Proceedings Annual Reliability and Aintainability Symposium.Los Angeles：IEEE，2000：155－161.

［9］ Ross S M.Stochastic Processes［M］.2ed..New York：John Wiley ＆ Sons Inc.，1996.

［10］ 李洪宇，李述山，蔺香运.股票市场价格波动的实证分析［J］.山东科技大学学报（自然科学版），2001，20（4）：79－81.