钢筋混凝土悬臂梁复合弹性模量研究

刘庆涛，李长冬，胡新丽，王亮清，雍 睿

（中国地质大学 工程学院，武汉430074）

近些年来，钢筋混凝土弹性模量的研究引起了学者们广泛的重视。钢筋混凝土复合弹性模量是一个十分重要的参数，其在计算钢筋混凝土的变形、裂缝扩展、温度应力以及估算预应力损失等方面是必不可少的指标。采用传统的静力载荷试验的方法测试钢筋混凝土材料的弹性模量存在着费事、费时、代表性不强和难以全面检测等缺点。黄秋红［1］通过激光笔将梁发生的挠度放大，建立了挠度及荷载同金属梁弹性模量之间的计算关系式，从而间接测量了梁的弹性模量值。杨成学［2］等提出了利用现场无损检测的方法测试混凝土结构和材料的弹性模量的方法。何晓婷［3］等发明了一种确定带裂钢筋混凝土梁弹性模量及抗弯刚度的方法，涉及带裂纹工作的钢筋混凝土梁的受拉杨氏弹性模量和受压杨氏弹性模量的测量方法，以及抗弯刚度的确定方法。吴玉章等［4］推出了一种微分法的近似解法来预估复合材料有效弹性模量的方法。

在数值模拟方面，肖映雄等［5］在最小二乘意义下提出了一种计算复合材料等效弹性性能的有限元方法。近十几年来，均匀化方法作为计算复合材料宏观等效材料性质的一种有效方法颇受人们青睐。B.Hassani和 E.Hinton［6－8］等对渐近均匀化理论在弹性问题中的应用进行了详细的总结和讨论。袁红等［9］将均匀化理论应用于金属基复合材料的弹性本构数值模拟，通过对不同尺度增强相金属基复合材料等效模量的数值模拟，考察了均匀化方法适用情况。闫晓鹏等［10］基于均匀化理论及有限元方法，对混凝土的等效弹性模量进行了研究，结论与试验结果比较接近。

国内外对于钢筋混凝土复合弹性模量的计算方法研究较少。笔者通过力学理论分析，并结合数值模拟反演分析，提出了一种钢筋混凝土复合弹性模量的求解方法，可为工程实践提供一定的借鉴与参考。

1 弹性模量对受弯构件挠曲变形的影响

选取材料力学悬臂梁受均布荷载的经典模型（见图1），其中梁的抗弯刚度为EI，全梁受集度为p的均布荷载作用，采用材料力学相关理论建立弹性模量与挠度之间的关系。

图1 悬臂梁受力示意图

梁轴线弯曲成曲线后，在x轴方向也是有线位移的。由于工程中常用的受弯构件的挠度均远小于跨长，因此，受弯构件变形后的轴线是一平坦的曲线。横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量，可略去不计，因此，在设定坐标系后，梁变形后的轴线可表达为：

w ＝f（x）.

式中：x为梁在变形前轴线上任一点的横坐标；w为该点的挠度。梁变形后的轴线称为挠曲线，由于是在弹性范围内的挠曲线，故也称为弹性曲线，其表达式则称为挠曲线（或弹性曲线）方程。

为求得梁的挠曲线方程，利用曲率k与弯矩M间的物理关系［11］：

根据几何特征，平面曲线的曲率可表达为：

由于M与w 的正负号相反，将式（2）代入（1）中，可以得到［11］：

由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，因此，w′2与1相比十分微小，可略去不计，故上式可近似地表述为

若为等截面直梁，其弯曲刚度EI为一常量，上式可改写为：

当l＝x时挠度最大，即

由公式（4）可知，弹性模量和受弯构件的挠度成反比，即弹性模量越小，受弯构件的挠度越大。要确定一种材料的弹性模量，最关键的是要确定荷载与挠度的比值p／wB.

2 悬臂梁复合弹性模量数值率定试验

悬臂梁受荷及截面尺寸如图2和图3所示，混凝土材料性能如表1所示。

图2 载荷及悬臂梁尺寸

图3 钢筋混凝土悬臂梁截面尺寸

表1 混凝土材料性能参数

当悬臂梁为素混凝土，p＝3.6N／mm时，采用ANSYS有限元数值模拟得到悬臂梁弯曲变形如图4所示。

图4 集度荷载为3.6N／mm时悬臂梁弯曲变形图

由图4可知，悬臂梁wB＝0.275 204mm，将wB代入公式（4）得

Ec＝2.043 94×104MPa.

材料的实际弹性模量值由表1可知：

Ec＝2.113 4×104MPa，

基于数值模拟计算得到的材料弹性模量与实际值相比稍微偏小，误差仅为3.3%，且计算偏于安全，对于实际工程应用而言，在误差允许范围之内。数值率定试验结果表明，利用数值模拟方法来反演材料的弹性模量是可行的。

3 钢筋混凝土复合弹性模量的算法

当悬臂梁材料为钢筋混凝土时，混凝土材料性能同上，另配有4根受拉主筋，钢筋的弹性模量为2.1×105MPa，泊松比为0.3，不考虑腹筋，全梁受集度为p的均布荷载作用。悬臂梁受荷及截面尺寸分别如图2和图3所示。

采用分离式建模方式，对混凝土和钢筋分别选用不同类型的单元进行模拟，混凝土材料选用SOLID65三维实体单元，钢筋材料选用LINK8三维杆件单元。假定材料之间具有足够的黏结度，不会产生相对滑移，这样钢筋与混凝土单元就能够通过共用一个节点来保证它们之间的位移协调和力的传递。

本构模型采用Sansz公式：

式中：k3、A、D 均为常数，k3＝1，A＝1.738 8，D＝0.5；ε0为初始应变，ε0＝0.002；fc为混凝土轴心受压强度，fc＝24.5；ε为应变；σ为应力。

利用数值模拟，可以得到不同荷载作用下钢筋混凝土悬臂梁挠度值见表2所示。图5所示为钢筋混凝土悬臂梁受集度荷载p＝3.6N／mm时y方向的位移云图，最大挠度wB＝0.203 95mm。不同荷载作用下荷载－挠度关系曲线如图6所示，由图可以发现二者呈现较好的线性关系。根据线性方程拟合方法，可以建立p与wB的关系方程为：

将式（5）代入公式（4）计算可得钢筋混凝土复合弹性模量

表2 不同荷载数值模拟得到的梁的挠度值

钢筋混凝土结构中钢筋混凝土和素混凝土的弹性模量差异较大，这是因为钢筋混凝土复合体的弹性模量与配筋率有一定关系。一般情况下，配筋率越高，钢筋混凝土的弹性模量也越大。而素混凝土的弹性模量主要与混凝土的强度等级有关，不同强度等级混凝土的弹性模量不同，从C20到C60混凝土的弹性模量在2.0×104～3.5×104MPa之间。

图5 集度荷载为3.6N／mm时悬臂梁y方向位移云图

图6 不同荷载－挠度拟合曲线

4 结论

1）基于ANSYS分离式建模方法，分别用SOLID65单元和LINK8单元来模拟混凝土和钢筋，可以较好地实现钢筋混凝土悬臂梁材料的模拟计算。

2）基于数值模拟计算得到的材料的弹性模量与实际值相比稍微偏小，误差仅为3.3%，在实际工程应用误差允许范围之内，表明利用数值模拟方法来反演材料的弹性模量是可行的。

3）基于材料力学理论，建立了荷载、挠度关系方程，并提出了利用ANSYS软件反演钢筋混凝土悬臂梁复合弹性模量的方法。

4）本文提出的方法克服了采用传统静力载荷试验方法测试混凝土材料的弹性模量存在着费事、费时、代表性不强和难以全面检测等缺点，可为相关工程提供一定的借鉴与参考。

［1］ 黄秋红.挠度法测量金属悬臂梁弹性模量［J］.工程技术，2011，28：67.

［2］ 杨成学，杨文礼，杨露.现场测试混凝土弹性模量的方法研究［J］.四川理工学院学报（自然科学版）2010，23（5）：504-507.

［3］ 何晓婷，孙俊贻，朱海桥，等.一种确定带裂钢筋混凝土梁弹性模量及抗弯刚度的方法［P］.中国专利：CN101923024A，2010-12-22.

［4］ 吴云章，兑关锁，朱玉萍.有效弹性模量微分法的一种近似解法［J］.固体力学学报，2011，32（3）：282-286.

［5］ 肖映雄，张平，舒适，等.一种计算复合材料等效弹性性能的有限元方法［J］.固体力学学报2006，27（1）：77-82.

［6］ Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimizationⅠ-homogenization theory for media with periodic structure［J］.Computers and Structures，1998，69（6）：707-717.

［7］ Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimizationⅡ-analytical and numerical solution of homogenization equations［J］.Computers and Structures，1998，69（6）：719-738.

［8］ Hassani B，Hinton E.A review of homogenization and topology optimizationⅢ-topology optimization using optimality criteria［J］.Computers and Structures，1998，69（6）：739-756.

［9］ 袁红，钱江，王秀喜，等.金属基纳米复合材料等效弹性模量的均匀化方法数值模拟［J］.力学季刊，2003，24（4）：567-571.

［10］ 闫晓鹏，牛卫晶，王志华，等.基于均匀化理论的混凝土等效弹性模量的数值模拟［J］.太原理工大学学报，2011，42（2）：212-214.

［11］ 孙训方.材料力学［M］.北京：高等教育出版社，2001.