解析自行车的动力特性——自行车到底能跑多快

刘锡昌

(菏泽工业学校,山东 荷泽 274000)

自行车以轻便、环保、使用成本低等特点颇为世人青睐,现在自行车的种类和档次都在逐步提高,变速自行车也是中学生的时尚,平时骑行者悠然于市街,或急驰于道路,那么自行车到底能跑多快？

虽然自行车是由两个轮子、一副链轮安在一个稳定支架上,结构看似简单,但它的动力学内容很丰富,本文将利用物理学综合知识予以解析.

1 自行车的受力特征

设骑行者质量为m,人与车总质量为M,前和后轮半径为R,前后链轮半径为r0和r,传动比为(一般2.5～2.8),脚踏曲柄半径为L,链条主动拉力和被动拉力分别为T1和T2;并且设前车轮、前链轮、后轮转动惯量分别为I1、I0、I2,近似有

下面我们详细分析自行车的运动和受力特征.

自行车不同于其他动力车辆,它的动力就是人的踏动力,通过简单的传动关系,把依赖于自身重量的踏动力转化为推动力,从而提高整体速度,这是一套完美的运动结构.人凭自身重力mg或部分重量踏曲柄,对于前链轮产生一个主动力矩q1,前链轮对于自行车做定轴转动,根据刚体转动方程有

则

其中,β0是曲柄或前链轮的角加速度.通过链条传动拉力T1和T2作用于后链轮,对于后链轮产生一个动力矩q2,那么后轮在q2作用下产生加速转动,对后轮使用刚体转动方程并且忽略链条的质量等因素有动力矩q2作用于后轮,使后轮产生角加速度β,其中r0β0＝rβ(链条加速度),并且Rβ＝a(自行车纯滚动时平动加速度).

(2)计算主动力矩q1.

为了便于问题讨论,设人全力脚踏曲柄使自行车加速,由于曲柄在重力作用下做定轴转动,踏动力产生主动力矩q1可以通过半圈功的积分计算得到其有效值,得q1＝2mgL/π.

(3)自行车平动及转动力学特征.

①自行车后轮在动力矩q2驱动下,轮胎与地面接触点有相对滑动趋势,因而地面对车后轮接触处产生向前的静滑动摩擦力f2,该力是整车前进的动力(牵引力).

本文考虑如下的二维定位场景(可直接扩展至三维)：假设场景中有M个外辐射源和N个接收站，其位置分别已知为和目标位置x=[x,y]T为待估参量.那么，目标到外辐射源m的距离为

②f2除了是自行车平动的动力,还对后轮产生一个阻力矩f2R,对于后轮而言有

其中δ是滚动摩擦力矩.

③整车在f2作用下,前车轮是被动轮,因有向前的滑动趋势,故受到地面向后的静滑动摩擦力f1,该力产生的力矩使前轮产生转动,即

④整车除了f1、f2作用之外,还受到向后的空气阻力f3,它们的合力作用下产生平动加速度a,由牛顿定律有

2 自行车的动力学方程组

联立以上得到的方程:

解方程组得到

我们假设m/M＝0.9(m取70kg,M取80kg),一般自行车κ≈2.6,R＝0.33m,L＝0.18m,有

上式说明自行车获得的最大加速度是常数项1.17m/s2,(实际上,我们按a的综合表达式可以得到一般的表示)当a＝0时自行车获得最大速度.f3是空气阻力,按风洞实验给出的风阻系数公式,可以得到空气阻力f3≈γρAv2/2(其中,γ风阻系数,ρ空气密度,A迎风正面投影面积,v速度).

对于一般成人而言,A取0.4m2,γ取0.8(垂直平面体大约是1.0,球体大约是0.5);取20℃,1个标准大气压时,ρ＝1.2kg/m3,f3≈0.19v2＝1.17M,得到v＝22m/s.

对于专业运动员,γ可能更小些如0.6,A也更小些大约为0.3m2,κ更大些如4,那么v可以达到23m/s.

3 影响自行车获得最大速度的因素

自行车获得最大速度的一般表达式为

公式第1项:人的重量和曲柄半径积,属于动力项.第二项:自行车的变速比与动力轮半径积,属于传动项.第三项:空气阻力、空气密度、迎风面积,属于阻力项.由此看来,决定自行车最大速度的关系十分明了,专业运动员身体前倾、穿紧身衣都是为了减小A;减小传动比似乎可行,但是人的生理决定了脚的蹬踏频率有限,例如人类百米极限大约每秒4.5步,所以这一项还是大一点好一些;增大人的重量比较有效,但是质量大必然会增大A.另外,最大速度与自行车的质量没有关系.

若按百米极限大概每秒4.5步来计算专业自行车运动员的运动速度.

v′＝4.5κπR＝4.5×4×3.14×0.35m/s＝19.8m/s＝71km/h.

据资料记载:环法自行车选手在平路赛段时可以达到67km/h(18.6m/s),而奥运会场地自行车速度赛可以达到20m/s,这个结果与理论计算有一定的出入.由于物理学的计算通常都是建立在抽象模型之上,例如蹬踏频率较高时重力产生的有效力矩减小了等,实际的结果与理论有出入也是可以理解的.

通过以上对自行车的动力学特性分析可以看出,不论普通人还是专业运动员都可以借助自行车达到较高的运动速度23m/s(82.8km/h).影响自行车达到最大速度的因素有以下很多:如空气密度、气压、身体姿势、传动比、身体质量等,当然还有人的其他因素如体能和生理条件,自行车的品质以及路面状况和风速度等并没有考虑其中,实际所能达到的最大速度与理论计算会有一定的差别.自行车结构虽然简单,但它所蕴含的物理学知识还是相当丰富的.