几何知识在中学物理教学中的运用

邱雷狄

(浙江省慈溪市浒山中学,浙江 慈溪 315300)

物理学研究物体的各种运动.运动的描述离不开空间和时间.几何学是描述空间的科学.物理学和几何学密切相关,许多物理问题的描述和解决得依赖于几何知识.离开了几何知识,很多物理问题就很难甚至于无法解决.几何知识在力学、电学、光学等所起的作用尤其重要.

先考察几何知识在力学中的应用.物体做机械运动,必须用几何图形来描述;力或其他矢量的合成,遵循平行四边形定则,就得用几何作图的方法.所以解决力学问题常常借助于几何知识.

图1

例.如图1所示,固定的半径为R的光滑大球正上方有一个定滑轮,细线系住质量为m的小球绕过定滑轮缓慢拉起.小球受到的大球的支持力FN和细线拉力FT如何变化？小球贴着大球面缓慢移动过程中始终受到重力G、支持力FN和拉力FT的作用,保持平衡状态,满足合力为0的平衡条件.根据三力合力为0确定支持力FN和拉力FT如何变化,这是解决问题的物理原理.没有数学工具还是不能找到答案.我们首选几何方法,作图求三力的合力.如图2所示,由于合力为0,三个力组成三角形.显然,力三角形中的重力G竖直向下,与图1中BO方向一致,支持力FN跟半径OA方向一致,拉力FT跟细线AB方向一致.力三角形跟几何三角形OAB相似.根据相似形原理可得

图2

由于重力G不变,小球移动,线段BO和AO长(即h和R)不变,细线AB长l变小,可知FN大小不变,FT变小.从画力的三角形到利用三角形相似找到答案,充分地运用了几何知识.

图3

再举一例.如图3所示,竖直放置的圆环有几条用光滑细杆做成的弦,中间一条AB是直径,A位于圆环的最高点.每条细杆套着小珠子.让小珠子从A静止起沿杆滑下,哪个珠子先与圆环接触？解决这个问题并不困难.先分析一下套在AC杆上的小珠子受力.设AC与AB的夹角为θ,容易确定小珠子受到的合力为F＝mgcosθ,由牛顿第二定律mgcosθ＝ma,得a＝gcosθ.设直径AB＝d,弦AC＝dcosθ,由位移公式,即可得

结果表明珠子从A滑下到圆环的时间跟弦与竖直线夹角θ无关,珠子都同时到达圆环.这是一个用物理知识和几何知识得到的结论,用它可以进一步解决更为复杂的问题.

图4

如图4(甲)所示,斜面倾角θ,A为斜面上方一点,AB为铅垂线,AD为光滑的杆子,一端位于A点,另一端在斜面上,它与铅垂线夹角α.杆上套一个珠子,让珠子从A静止起沿杆下滑,问角α多大时,珠子滑到斜面上的时间最短？这个问题可以通过求加速度,再列运动方程,求最小值方法来解决,但得花较多的时间.若能利用上面的结论,问题就简单了.以AB为直径作圆,圆交斜面于B和C点.由几何知识知∠ACB为直径上的圆周角,等于90°,即AC垂直BC,∠BAC＝θ.取BC弧的中点D′,连接AD′.根据图3的启示,珠子从A点静止起沿AB、AC或AD′下滑,将同时到达B、C和D′点.可见沿AD′方向的珠子先到达斜面.D′为BC弧中点,AD′为∠CAB的角平分线,它跟AB的夹角为

几何知识在电磁学中也有重要应用.我们用电场线形象描述电场,用磁感线形象描述磁场,就是用几何方法表示电场和磁场在空间的分布情况.带电粒子在电场中或在磁场中运动,其轨迹亦用几何图形来描述.利用几何知识可以求解未知的物理量.如图5所示的圆形匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里,圆半径为R.带电粒子质量为m,所带电荷量为q,对准磁场圆心O垂直磁场射入,偏转θ角射出,求带电粒子的速度v的大小.

图5

带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力f作用,洛伦兹力起到向心力作用,由牛顿第二定律可得

由此可见几何知识的重要作用,没有几何知识无法解决问题.

我们可以举大量的例子说明物理学离不开几何学.没有几何学就无法完整、确切描述物理概念和规律.尤其是对物理场的描述,可以说物理学已融入几何学,这称之为物理学的几何化.近代物理研究告诉我们,几何学也离不开物理学.最初的欧几里得几何学是关于空间规律的一门科学,它跟时间、物体的运动没有关系.有了相对论,长为L的棒沿棒的方向高速运动,棒的长度L将缩短.在高速运动的坐标系中研究空间几何学,就得考虑速度问题和时间问题,几何学离不开物理学,这称之为几何学的物理化.物理学的几何化和几何学的物理化是爱因斯坦在创立广义相对论的长期探索中提出的重要思想.把几何学与物理学相互融合起来,大大丰富和发展了科学的统一性思想.正确认识和正确处理物理学和几何学的关系,应该提到更深层次.

1 楼世洲.物理学的思想和方法导论.华龄出版社,2002.

2 李艳平,申先甲主编.物理学史教程.科学出版社,2003.