以退求进妙解高等代数一类共性问题

张仕清

1.一类共性问题

(1)A=(a﹊j)﹏×n，a﹊j∈p，则AX=β关于任意的β∈p﹏×1有解，当且仅当|A|≠0.

证明 ①充分性：|A|≠0时，由獵rarner法则，对于任意的β∈p﹏×1，AX=β有唯一解.

②必要性：特别的取β璱=ε璱，其中ε璱为单位阵的列作成的向量，i=1,2,3…,n， 由题意知AX璱=ε璱有解， 即(AX1AX2…AX璶)=(ε1ε2…ε璶)有解，亦即A（X1X2…X璶)=(ε1ε2…ε璶)=E璶.令B=(X1X2…X璶)，即有AB=E璶有解.显然的，A非奇异，故而|A|≠0.现证AX=β关于任意的β∈p﹏×1有解，当且仅当AX=ε璱(i=1,2,…,n)有解.必要性不证自明，现证充分性：AX=ε璱(i=1,2,…,n)有解，即存在X璱=p﹏×1┦沟锚狝X璱=ε璱成立，从而对于任意的β∈p﹏×1，β=А苙[]i=1x璱ε璱=おА苙[]i=1(x璱AX璱)=AА苙[]i=1(x璱X璱)=AX,其中X=А苙[]i=1(x璱X璱).综上，命题即证.

(2)如果n(n>1)阶行列式中各行各列元素之和均为0，则该行列式的每个元素的代数余子式均相等.

证明 先证明任意两个相邻元素的代数余子式相等.令此行列式为|α1α2…α璶|，其中α璱∈p﹏×1，i=1,2,…，n，α璱=a﹊1

a﹊2

螵a﹊n

，则有α璱=А苙[]j-1,j≠iЕ联璲，从而M﹊+1j=-M﹊j,A﹊j=(-1)﹊+j狹﹊j，A﹊+1j=(-1)﹊+1+j狹﹊+1j=(-1)﹊+1+j(-M﹊j)=（-1）﹊+1+j+1.M﹊j=（-1）﹊+j狹﹊j=A﹊j，即有A﹊+1j=A﹊j，A﹊j+1=(-1)﹊+j+1狹﹊j+1=（-1）﹊+j+1(-M﹊j)=(-1)﹊+j+1+1狹﹊j=(-1)﹊+j狹﹊j=A﹊j，即有A﹊j+1=A﹊j，综上有A﹊j=A﹊+1j=A﹊j+1；一般地记A﹊j是a﹊j的代数余子式，A1m是a1m的代数余子式，不失一般性，记i≥1（否则令A﹊j与A1m对调），则有A1m=A1+1m=A1+2m=…=A﹊m，仍不失一般性，记j≥m（否则令A﹊j与A﹊m对调），则有A﹊m=A﹊m+1=A﹊m+2=…=A﹊j，综上即有A1m=A﹊j，由i,j,1,m的任意性，命题即证.

(3)令A∈p﹏×n，对任意的B∈p﹏×n，AB=BA成立，当且仅当A为数量阵.

证明 当A为数量阵时，结论自然成立，下证必要性：

取B=E﹊j(i,j=1,2,…，n)，A=a11猍]…[]a1n

，AB=BA，则有゛﹊j=0(i≠j)，a﹊i=a﹋j(i,j=1,2,…,n),即有A=a11狤.一般地，由于矩阵组E﹊j(i,j=1,2,…，n)作成矩阵空间的一组基底，从而对任意的B∈P﹏×n，B=А苙[]i,j=1b﹊j狤﹊j,(b﹊j∈p)，则有AB=AА苙[]i,j=1b﹊j狤﹊j=А苙[]i,j=1(Ab﹊j狤﹊j)=А苙[]i,j=1(b﹊j狝E﹊j)=А苙[]i,j=1(b﹊j狤﹊j狝)=(А苙[]i,j=1b﹊j狤﹊j)A=BA.综上对任意的B∈P﹏×n，AB=BA成立时，A为数量阵.

(4)令A=P﹏×n，若关于任意的X=x1う螵x璶∈P琻，AX=θ，则A=θ.

证明 取X璱=ε璱，ε璱为单位阵的列作成的向量，则有Aε璱=θ(i=1,2,…,n)，即有A(ε1ε2…ε璶)=AE=θ，从而〢=θ；一般地由于向量组ε璱(i=1,2,…，n)作成向量空间P琻的一组基底，从而关于任意的X=x1う螵x璶∈P琻，X=А苙[]i=1x璱ε璱,﹛璱∈狿，则有AX=AА苙[]i=1x璱ε璱=А苙[]i=1x璱Aε璱=А苙[]i=1x璱θ=θ.综上，命题得证.

(5)任何秩为r(r>0)的矩阵都可以表示为r个秩为1的矩阵之和.

证明 记A∈P﹎×n，r瑼=r(r>0)，当A为A的等价标准型A时，则A=A1+A2+…+A璻，其中A璱只有对角线上第i个元素为1，其余位置均为0，即有r〢璱=1，(i=1,2,…,r).对于一般的矩阵A，存在数域P上的可逆矩阵P﹎×n和Q﹏×n，使得PAQ=E(r)，其中r=r瑼，即有PAQ=E11+E22+…+E﹔r,〦﹊i∈狿﹎×n(i=1,2,…,r)只有对角线上第i个元素为1，其余位置均为0，r〦﹊i=1,(i=1,2,…，r)，则有A=P-1狤11猀-1+㏄-1狤22猀-1+…+P-1狤﹔r猀-1=A1+A2+…+A璻,A璱=P-1狤﹊i猀-1，其中r〢璱=1,(i=1,2,…,r)，命题即证.

(6)A∈P﹎×n,B∈P﹏×m,m≥n,则有Δ〢B（x)=x﹎-nΔ〣A(x).

证明 特别地，当m=n且A可逆时，BA=A-1(AB)A，即AB=BA相似，从而Δ〢B(x)=Δ〣A(x)；当A=E璻[]θ

θ[]θ时，对B进行合理分块，B=B1[]B2

B3[]B4

，则有AB=B1[]B2

θ[]θ

，〣A=狟1[]θ

B3[]θ

，故而Δ〢B(x)=|xE璵-AB|=x﹎-r獆xE璻-B1|;Δ〣A(x)=|xE璶-BA|=x﹏-r獆xE璻-B1|，从而有Δ〢B(x)=x﹎-nΔ〣A(x).一般地，r瑼=r，从而存在可逆矩阵P∈P﹎×m，Q﹏×n，使得

A=PE璻[]θ

θ[]θQ=PE(r)猀，于是Δ〢B(x)=Δ㏄E(r)猀B(x)=Δ〦(r)猀BP(x)=x﹎-nΔ㏎BPE(r)(x)=x﹎-nΔ〣PE(r)猀(x)=x﹎-nΔ〣A(x).プ凵厦题即证.

以上所列举的几个命题仅是高等代数中的几个问题，在浩瀚的高等代数知识中有无数的课题等待着人们去研究，去发现.当研究这些问题的时候，需要特别注意问题背景下的基本元，如矩阵的等价标准型、向量组的极大无关组、线性空间的标准基底，等等.把握这些基本元不仅是学习时需要注意的，而且也是解决困难题的一大方法.