圆周运动的疑难解答

张双成

我们常见到的圆周运动问题归纳起来有三类，一类是生活中圆周传动问题，一类是水平面内的圆周运动问题，还有一类是竖直面内的圆周运动问题. 下面就如何解决圆周运动中常见的这三类问题总结如下：

■ 1. 如何解决传动问题

传动主要有皮带传动（包括齿轮及摩擦直接传动）和同轴传动两种类型. 下面我们通过实例来说明传动问题的解题思路.

■ 例1车床电机的转速n=1 440 r/min，它的转轴套着齿轮A，A与变速箱中另一个齿轮B啮合时，变速比调为1 ∶ 3，齿轮B的转轴上固定待加工的金属零件，需要通过车刀的切削来加工它的外表面，如图1所示，已知车刀的刀刃到轴心的距离是3 cm，求这次切削加工的切削速度（即工件表面的线速度）.

■ 解析A、B构成齿轮传动，它们的线速度相等，B与工件构成同轴传动，其角速度相等.

vA=vB即2πn1rA=2πn2rB，由此得：

n2=■n1=8（r/s），又ω=2πn.

所以v工件=2πn工件r工件=0.015 m/s.

■ 2. 水平面内圆周运动问题如何分析求解

解决这类问题的关键是做好受力情景与运动情景分析，在此基础上找出向心力的来源，然后列出动力学方程.

■ 例2图2是高速公路弯道的局部图片，路面有什么特点？为什么要做成这样呢？

■ 解析要回答这个问题，我们先来看，如果弯道是水平的，情况会怎样？设汽车与地面间的最大静摩擦力是车重的k倍，拐弯半径是R，为了防止汽车拐弯时侧滑或外翻，则汽车最大限速是多少？

汽车拐弯时，由于它有沿半径向外滑动的趋势，所以它受到沿半径指向圆心的静摩擦力的作用，静摩擦力提供了汽车拐弯时需要的向心力. 由向心力公式得：kmg=m■，所以最大速度v=■.

由速度公式可知：由于k值不会很大，汽车过弯道时速度不能太快，特别急转拐弯处，否则易侧滑.

现在我们来讨论高速公路拐弯处路面为什么设计成内低外高. 设汽车的拐弯半径为R，路面与水平面的倾角为θ，车在拐弯处无侧滑趋势，这时汽车拐弯时的最大速度为多少？

汽车只受到重力和斜面的支持力，如图3所示. 支持力的竖直分量与重力平衡，而水平分量（也就是重力与支持力的合力）提供车做圆周运动的向心力. 在竖直方向上有：

FN cos θ=mg（1）

在水平方向上，汽车做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得FN sin θ=m■（2）

由此可解得v=■.

如果汽车拐弯时的车速大于这个临界速度将会怎么样呢？由于离心现象，汽车有上滑的趋势，这时摩擦力方向沿斜面向下，它的水平分量也可以提供一部分向心力，这样汽车过弯道时的速度可以更快一些. 火车拐弯时轨道的设计也是这样的，其力学原理大致相同.

■ 3. 竖直平面内圆周运动问题怎么分析求解

这类问题一般只考虑两个特殊点即最高点与最低点. 物体在通过这两点的瞬间其合外力是指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应动力学方程，然后求解.

■ 例3半径为R的光滑半圆柱体固定在水平地面上，顶部有一小物块，如图4所示，给小物块一个初速度v0=■，则物体将（）

A. 沿圆面ABC运动

B. 立即离开圆柱表面做平抛运动

C. 立即离开圆柱表面做半径更大的圆周运动

D. 先沿圆面AB运动，然后在空中做抛物物线运动

■ 解析物块在最高点将要飞离圆周的临界条件是圆柱体对小物块的支持力恰好为零，这时物块所需的向心力恰好由重力提供. 由mg=■得v0=■. 根据题意可知，当小物块下滑时，物体的速度进一步加快，所以小物块将会离开圆周做平抛运动，答案选B.

■ 例4如图5所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定状态时，以角速度ω做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力与最小压力的数值之差为多少？

■ 解析铁块在竖直平面内以角速度ω做半径为r的匀速圆周运动，铁块做匀速圆周运动的向心力由铁块重力及电动机对它的作用力的合力提供. 当铁块在最低点时，电动机对铁块的作用力最大；当铁块到最高点时，电动机对铁块的作用力最小，所以当铁块运动到最低点时，电动机对地面的压力最大；铁块运动到最高点时，电动机对地面的压力最小. 显然这个问题只涉及到最高点与最低点的力学问题.

现在隔离铁块进行分析.

在最高点铁块所需的向心力由重力和电机的支持力的合力提供，故有：

mg－N1=mω2r

在最低点电动机的拉力与铁块重力的合力提供，故有：

N2－mg=mω2r

隔离电动机进行分析.

当铁块处于最高点时，电动机对地面的压力为：

N′1=Mg+N1

当铁块处于最低点时，电动机对地面的压力为：

N′2=Mg+N2

所以电动机对地面的最大压力与最小压力数值之差为：

ΔN=N′2－N′1

解之得：ΔN=2mω2r.