数学命题转换的途径与方法

刘立田

数学题材的本质就是通过命题转换，设法消除条件与结论的差异，化条件为结论，或设法从已知条件求出未知结论。也就是说数学的命题过程就是对原命题一系列转换的过程。在命题转换过程中，每一个命题都有若干个转换的方向与途径，它们有难易之分、繁简之别。因此，选取并确定最佳的转换方向与途径就成了数学解题的关键。

一、因果转换

这是建立在因果联想基础上的命题转换，它是命题转换中最主要的形式。所谓因果转换就是指条件与结论之间的转换，如“化条件为结论”与“化未知为已知”是基本的指导思想。当条件与结论相距较远时，可设法寻求中介将两者联系起来，这是转换中最具创造性的方法，称为构造法。与此相仿，公式也是联系条件与结论的中介，熟悉应用有关的公式解题，也常能收到较好的效果。

二、数形转换

数形转换是因果转换的辅助手段，它包括“由形化数”“由数化形”与“数形互补”三方面，它们都体现了数形结合的思想，坐标法是数形转换的常用法。“由形化数”就是将几何问题化为代数问题去处理，常见的有解析法、三角法、面积法、体积法、复数法等；“由数化形”就是将代数问题化为几何问题去处理，为此必须构造辅助图形；“数形互补”就是兼顾形数两方面，一般是将“形”作为解题的辅助工具，具体方法有图示法、图像法等。

三、化直接为间接

这是一种特殊的命题转换，它体现了逆反原则的应用。我们知道，直接就原命题进行因果转换，这种方法就是直接法，这是数学解题的常规方法。但是这种方法并非总是可行的，这时我们就应遵循逆反原则，改从反面或侧面去考虑，这就是间接法。反证法、同一法也是这类方法。

四、化特殊为一般

化特殊为一般这类转换，一般不能用于严格的数学证明，但它同样可以作出猜想结论，指明探索方向，因而对解题仍有重要作用。以归纳推理为基础的有：完全归纳法、不完全归纳法与数学归纳法。

五、化繁为简

化繁为简就是简单原则的体现，其主要手段是归类整理与消元降次。归类整理就是所证数式化为已知的数学模式，换元、通分、约分、因式分解、合并同类项等都是归类整理的具体手段；消元降次就是消去所论数式中的未知数或未知项，以及降低有关未知数、未知项的次数或降低所论数学问题的维数与阶数。

总之，数学解题的本质就是命题转换，解题过程就是命题转换的过程，转换的方向与途径决定了解题的成败与优劣。

（唐山市玉田县第三中学）