运用应用题等量关系的几个误区和纠正

黄佩葵

常听到有的中小学生说，在列方程解决问题时，对题目出现的多个等量关系不知所措，所以难打开解题之路，因此怕解应用题。学生对列方程解决问题的这种困惑，原因之一是我们有的教师在列方程解决问题的教学中，对等量关系的理解及应用存在误区，或者引导学生探讨等量关系不够透彻。为了攻破这一困惑，下面浅谈关于应用等量关系的几个误区和纠正。

误区之一：忽略了“公式”这一等量关系

有的教师在分析应用题“题中有几个等量关系”时，往往把例如“工作量=工作效率×工作时间”这样公式类的等量关系忽略了。公式本身就是几个数量之间的相等关系，是等量关系的一种类型。应用题中的等量关系可以分为两大类：一是不同量之间的相等关系（一般是公式），题目一般不另外写出来，如“路程=速度×时间，总价=单价×时间”等等。二是同一种量之间的相等关系，如“甲的速度=2倍乙的速度”等。公式类的等量关系在解决问题中有着重要的作用，在应用题教学中不容忽略。

误区之二：等量关系有“主次”之分

曾在某市的教育类刊物上看到一篇论文，作者在论述怎样列方程解决问题时举例了五年级上册的一道题：“小明家养的白兔和黑兔共有18只，白兔只数是黑兔的5倍，小明家的黑兔和白兔各有多少只？”作者在让学生自主探索之前提出这样的思考问题：题目的两个等量关系中，哪一个是列方程的依据？当时学生表明对该思考题不太理解，该教师这样引导：“‘白兔是黑兔的5倍，体现两个未知数的倍数关系，而‘白兔和黑兔共有18只是主要的等量关系，也就是列方程的依据。”其实，解决问题中题目所给的多个等量关系都没有主次之分，也没有规定哪个等量关系就是列方程的依据。该教师如此对等量关系分“主次”，还规定哪个是列方程的依据，学生怎能理解并区分等量关系的“主次”呢?又怎么可能判别哪个等量关系是列方程的依据呢？所以，学生困惑了。

误区之三：等量关系只用于列方程

正因为有“等量关系只用于列方程”的误区，所以有的教师出现了如上面举例中“哪个是列方程的依据”的定向误导。其实，应用题中的等量关系，哪一个都可以作为列方程的依据，但是又不仅用于列方程。解决问题中的每一个等量关系都可以有两种用处：①用于表示所设未知数数量之外的其他未知数量，②用于列方程。但是在一道题中，同一种解题方法，每个等量关系只用一次。

例如，上例中的两个等量关系：①白兔的只数=黑兔的5倍（倍比关系），②白兔只数+黑兔只数=18只（和差关系）。解题时如果先求黑兔的只数，可先设黑兔有X只。解法一：用等量关系①表示白兔的只数是5X只，用等量关系②列方程：5X+X=18。解法二：用等量关系②表示白兔的只数是（18-X）只，用等量关系①列方程：18—X=5X.因为五年级没有学到18—X=5X这类方程的解法，所以教师和学生对这种解法的探讨点到为止，从而让学生明白了现在为什么只用和差关系列方程这种解题方法。由此可见，等量关系不仅用于列方程，而且还可以用来表示未知数量，这样就可以使学生对等量关系的应用有了比较系统的认识。

误区之四：列方程（组）解决问题，找出一个（或两个）等量关系就可以了

一道应用题的等量关系，不可能只是有一个或两个，特别是初中阶段的应用题，一道题往往有多个等量关系。如果约束学生只找两个等量关系，那么，哪两个是所需找的等量关系呢？学生会因此又困惑了。

其实，在列方程解应用题时，对于题目中的所有等量关系都必须逐一明确，因为每个等量关系在解题中都会用上。只有正确认识和使用等量关系，学生才能轻松打开解题之路，并且一题多解。现以七年级的一道列方程解决问题的习题来展示对等量关系的理解、应用以及应用方法的多种形式。

王平要从甲村走到乙村，如果他每小时走4千米（速度1），那么走到预定时间，离乙村还有0.5千米，如果他每小时走5千米（速度2），那么比预定时间少用半小时就可以到达乙村，求预定时间是多少小时？甲村到乙村的路程是多少千米？

这道应用题，共有三个等量关系。①公式即不同量之间的关系：路程=速度X时间；②路程之间的关系：速度2走的路程- 0.5千米=速度1走的路程；③时间之间的关系：速度1的时间=速度2的时间—0.5小时。

其中，两个速度都已经知道，所以这两个速度之间不存在某种等量关系，两种速度所走的路程和所用的时间都是未知数量，存在某种等量关系。

解法一：先求预定时间（速度1走的时间）。设预定时间是X小时，用等量关系③表示速度2走的时间为（X-0.5）小时，用等量关系①表示速度1、速度2的路程分别为4X千米、5（X-0.5）千米，还剩下的等量关系②则用于列方程为：5（X-0.5）-0.5=4X。

解法二：先求甲村到乙村的路程。设甲村到乙村的路程为Y千米（即速度2走的路程），用等量关系②表示速度1走的路程为(Y-0.5)千米，用等量关系①表示速度1、速度2所走的时间分别为y-0.5/4小时（即预定时间），y/5小时，则剩下的等量关系③用于列方程为： y-0.5/4= y/5-0.5。

解法三：同时求题目所求的两个未知数量，设预定的时间是X小时，甲村到乙村的路程是Y千米。

用等量关系②表示速度1走的路程为（Y-0.5）千米，用等量关系③表示速度2走的时间为(X-0.5)小时。则剩下的等量关系①，用于列方程组为：y-0.5=4x、y=5(x-0.5）。

由本题的三种解法可以看出，题中的三个等量关系都需要寻找并且应用，才算完全正确地解决了问题。

总之，只有走出应用题等量关系的误区，正确、灵活地应用等量关系，教师的引导才能轻松自如，学生的学习才能得心应手，学生对列方程解决问题的知识才不会感到困惑，不再说“怕”字。应用题（解决问题）是中小学数学课程的重要教学内容，这一板块知识的迎刃而解，将在一定程度上解除学生对数学的畏惧心理，提高他们学习数学的兴趣，从而促进数学教学质量的整体提高。

（贵港市港北区石羊塘学校）