论数学直觉思维及培养

何丽芳

中学数学教学大纲(试验修订本)将培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉两个字，概念的内涵却更加丰富：在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。过多地注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力，是适应新时期社会对人才的需求。

一、数学直觉概念的界定

数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。

（1）直觉和直观、直感的区别。直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。彭加勒说：“直觉不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变得无能为力。”正如迪瓦多内所说：这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓“直觉”……因为它适用的对象，在一般情况下，我们的感官世界中是不可见的。

（2）直觉和逻辑之间的关系。从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。一直以来人们刻意地把两者分离开来，事实上，这是一种误解，逻辑思维和直觉思维从来没有被切断。初步的数学概念，是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，解决问题不能离开直觉。

数学证明可以分解成许多基本操作或演绎推理元素，这些基本操作或一种成功的组合演绎推理元素的数学证明，像是一条从出发点到目的地的通道。一个个基本运算和演绎推理元素，就是这条通道的一个个路段。当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们相信，沿着这条路一定能成功到达目的地，但逻辑不能告诉我们，为什么这些路径的选择与这样的组合，可以形成一个通道。教师在教学过程中，由于把证明过程过分严格化、程序化，学生看到的只是一个僵硬的逻辑外壳，直观的光环被掩盖，把成功归功于逻辑，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜力没有激发，学习兴趣没有被调动起来，得不到思维的乐趣。

二、直觉思维的主要特点

直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、不可靠性的特点，从培养直觉思维的必要性角度来说，我认为直觉思维具有以下三个主要特点。

（1）操作简单。直觉思维是从整体上研究对象，并调动自己的知识和经验，通过丰富的想象作出的敏锐快速的假设、猜想或判断，它消除了需要一步一步分析推理的中间环节，采取了跨越式的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但它显然触及事物的本质。

（2）有创造力。现代社会需要创造性的人才，我国的教科书很长一段时间，借鉴国外经验，过分注重逻辑思维的训练，受过训练的人大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创意能力和开拓进取的精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。

（3）自信。对数学感兴趣的学生有两个原因，一是教师的人格魅力，第二是数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用，但兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着强烈的自信。相比其他物质奖励和情感激励，这种自信是更加稳定和持久。现在中学生很少有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，将无法形成自信。

三、直觉思维的培养

一个人的数学思维、判断能力的高低，主要取决于直觉思维能力的水平。徐利治教授指出：数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。数学直觉是可以通过训练提高的。

（1）我们要注重知识积累。直觉不是靠机遇，直觉的获得虽然具有偶然性，但绝不是无缘无故的胡思乱想，而是以扎实的知识为基础。如果没有深厚的知识，是不会迸发出思维的火花的。一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其他东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验，对此，你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。

（2）渗透数学的哲学观点及审美观念。直觉的产生，是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点，包括普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。美感和美的意识，是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。

（3）注重解决问题的教学。教学中，选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维。例如选择题，由于只要求从四个选项中挑选出来，允许一个合理的猜测，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。

（4）设置直觉思维的意境和动机诱导。这就要求教师转变教学观念，对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。

跟着感觉走，是教师经常讲的一句话。其实，这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该制定适当的策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，如：替代、数形结合、归纳猜想、反证法等。这对渗透直觉观念与思维能力的发展大有益处。

（定西市通渭县通和初级中学）