深刻理解课程内容 优化数学教学过程

王林 侯正海

新世纪以来的课程改革，更加重视在数学教育中培养人，数学教育更加关注促进学生的终身发展，以激励学生的学习为特征，强调将数学教育纳入培养人的范畴，提倡面向全体学生，使每个学生都受到良好的数学教育。在教育教学观念深入人心、数学课堂教学明显改善、教师专业成长快速提升、学生学习方式丰富多样的背景下，根据近几年数学课程改革的经验和实施过程中出现的问题，修订的《义务教育数学课程标准（2011年版）》(以下简称“数学新课标”)结构更加合理，表述更加准确、规范、明了、全面，可操作性增强，易于理解，便于实施。更重要的是，数学新课标既有传承，也有改进和发展，更加凸显数学对于学生发展的独特价值，坚持体现国家利益，坚持数学课程改革的大方向，突出培养学生应用意识、创新意识和实践能力，完善了数学课程改革的基本理念、课程目标，明确地提出“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）、“四能”（发现问题的能力、提出问题的能力，以及分析问题和解决问题的能力），较为详尽地阐述了数学课程有关数学素养的核心词，将数学实验课标提出而尚未显性化的有关理念显性化，使十年数学课程改革的成功经验得到进一步提炼和升华。

数学新课标提出的“人人获得良好的数学教育”，既是所有学生在数学学习方面的目标，也是对我们数学教育工作者提出的新要求、高要求，要求我们必须为儿童的学习和发展提供最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进不同的人在数学上得到不同的发展，实现公平的、均衡的、全面的、持续的、和谐的教育。在新的背景下，我们进行小学数学教学需要关注以下两个重要问题。

一、进一步深化对数学课程内容的理解

数学课程内容是作为科学的数学内容在数学学科课程中的具体体现。数学科学内容是千百年来人类智慧的结晶，虽一直处于动态发展与建构的过程之中，但已经形成了从理论到应用、由具有众多分支构成的内容宏富的体系。小学数学课程内容是数学科学中对人的生活和学习最具基础性，也是最容易理解的那一部分。我们进行小学数学教学，不仅要理解教哪些内容，教到什么程度，还更要理解为什么要教这些内容，要对所教的内容从数学角度吃透，清楚其数学意义，真正理解其教育的价值，并在此基础上研究教学这些内容如何体现核心概念，如何体现数学思想。

1．数学课程的内涵及价值

数学教学就是在作为科学的数学与学生的现实经验之间建造一座桥梁，使数学科学以学生能够接受和理解的方式呈现出来。由于教师对作为科学的数学的认识客观上对作为教育的数学存在着实质性的影响，因而有必要宏观地认识数学科学的内涵和价值。对此，数学新课标进行了描述：“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，“数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面”，“数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用”。数学还“直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展”。作为人类思维的表达形式，数学反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。

作为课程内容的数学，是将数学科学赋予“课程”的内涵。杜威等人把课程定义为学生在教师指导下所获得的经验。这样的课程理念消除了传统课程中“见物不见人”的倾向，从一味关注学科内容转变为关注学生现实的、活生生的经验和体验。课程内容不再是控制学生发展的工具，而是有机整合于学生的现实经验之中，成为促进学生发展的动力源泉。数学课程必须建立在学生原有的生活经验和数学活动经验的基础上，数学课程的内容应该“基于学生的经验，为了学生的经验”。没有“经验”这一前提，没有“数学活动”的内涵，数学课程就失去了其价值追求。从这个角度，我们或许能够更好地认识数学课程强调“积累基本的数学活动经验”这一目标的意义。

数学自身的发展、社会的现实需要和学生普遍的认知规律这三个维度，决定了数学课程内容的面貌，并使其一直处于与时俱进的动态发展过程之中。基于数学课程内容如何突出社会主义核心价值观，如何继承和弘扬民族传统文化，如何更好地发展学生的数学素养，培养创新意识等重要的价值考量，数学新课标对课程内容进行了充实、调整和完善。例如，增加了“知道用算盘可以表示多位数”，体现出中国传统文化在数学学科中的传承；又如，将实验课标中的“统计观念”调整为“数据分析观念”，强调 “会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”，同时降低了对可能性的教学要求。这样，学生原来主要是依靠概率来体会随机思想，现在就要通过数据来体会随机思想。强调发展数据分析观念，初步培养学生通过数据来分析和解决问题的习惯，在活动中逐步提高对随机现象的把握能力，意在更加凸显数据在统计与概率活动中的基础地位、核心地位，以及数据处理过程所蕴涵的一般数学思想。

数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。曾经，我们过于关注数学基础知识和基本技能的教学，将数学课程内容不恰当地窄化为数学的结果，导致数学结果的形成过程及其所蕴涵的数学思想方法成为认识数学内容的盲区。在数学的知识结构上我们也许只看到数学结果及其内在联系，但从动态的角度看，每一数学结果都有一个生动活泼的形成过程，并且在这一结果的形成过程中常常蕴涵着上位的数学思想方法。如此，我们才可能在数学教学中以数学结果的形成过程为载体，充分展开数学教学过程，实现过程与方法、情感与态度的课程目标。例如，数学新课标重视估算能力的培养，第一学段要求“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”，第二学段要求“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”。“结合具体情境”强调了估算的实际问题背景，“选择适当的单位进行简单估算”强调了估算的核心策略，这两点都启发我们从结果形成过程的角度理解估算，即估算是基于解决实际问题的需要而产生的，从而逐步培养学生的估算意识和能力。“选择合适的方法进行估算”则不仅强调估算方法的运用，还强调方法选择的过程以及其中所蕴涵的近似思想、逐渐逼近的极限思想。

2．数学课程内容的选择与组织

从学生认知规律的角度考虑，数学课程内容的选择要“贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索”。贴近学生实际的课程内容，主要是要符合学生认知发展水平的实际和学生已有经验的实际，有助于学生体会数学与生活的联系，能为抽象的数学结果找到一个熟悉的生活原型，便于学生调用已有的生活经验理解抽象的数学结果。贴近学生实际的课程内容还要求我们能够基于班级学生的实际，对教材中的内容适度分解、整合、充实或更新。有利于学生体验与理解的课程内容需要创设活动的情境，引导学生通过实践等方式亲身经历数学结果的形成过程，让新的数学结果和已有的认知结构发生实质性的联系。有利于学生思考与探索的课程内容需要关注课程内容的思维含量，内容的思维水平应落在学生的“最近发展区”，内容的呈现应体现“层次性和多样性”，便于学生展开数学思维活动，实现富有挑战的探索性学习。

课程内容的组织决定着理想的课程内容能否在课程实施过程中取得预期的教学效果。10年数学课程改革的实践与反思使我们认识到，数学课程内容的组织“要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系”。

重视“过程”的目的不仅仅是为了“结果”，不再仅仅是为了更好地理解和掌握知识，过程本身也是数学教学追求的重要目标。过程教学就是要让学生不断地经历观察、操作、实验、猜测、计算、推理、验证等过程，在获得数学知识与技能的基础上，积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想方法，更重要的是培养终身学习的能力。学生经历生动的数学活动过程，还有可能获得丰富的情感体验，享受数学学习的挑战与挫折、成功与喜悦，这对于人的持续发展是十分有益的。提倡并注重过程的教学，并不等于可以忽视教学的结果。过程以“结果”为目的，是结果的前提，而结果又以“过程”为基础，是过程的延续。过程决定结果，但结果对过程有反作用。课程内容的组织既要注重过程，同样要注重结果，不可偏废其中任何一个方面。

重视直观，是由小学生生理与心理发展的特点决定的。小学生知识水平及所接触事物的有限性，导致其思维发展的基本特点是从以具体形象思维为主逐步过渡到以抽象逻辑思维为主。并且，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，具有很大的具体形象性。因此，课程内容的组织要重视学生经历直观的学习活动，经由对现实情境的观察、比较、分析、抽象、概括等数学活动过程，从而实现对抽象数学内容的认知和理解。数学新课标将“几何直观”列入数学课程有关数学素养的核心词之一，重视培养学生初步学会借助图形的几何性质表征数学事实，描述、分析和解决数学问题，探索和发现简单数学规律，初步形成从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论证（小学不涉及几何证明）的能力。学生通过几何直观，利用图形描述和分析抽象的数学问题，更有利于他们展开富有想象力和创造性的探求活动，简明、形象地解决数学问题（包括“数与代数”中的数学问题），因而几何直观对于培养学生创新意识和实践能力是十分有益的。当然，在重视直观的同时，我们还需要注意抽象层面的数学知识的系统性，引导学生建立良好的数学认知结构。

直接经验强调的是学习者在从事学习数学活动中亲历亲为，知识的习得、方法的建构依赖于学习主体自身在数学活动中的感受和理解。杜威认为，儿童的学习过程是从“做中学”和积累直接经验开始，然后通过学习间接经验和交往使直接经验的意义得以拓展和丰富。传统的数学课程过分关注学习个体对人类文化的传承，过多强调间接经验在数学学习中的作用，相对忽略学生对具体数学活动的主动参与和建构，从而弱化了学生对数学本身的理解和意义建构。强调学生亲身经历数学活动的过程而获得直接经验对于学生数学学习的价值，并不是说，我们就一定要弱化间接经验对于学生数学学习的意义。直接经验与间接经验对于学生的数学学习与发展，各自具有另一方所无法替代的独特功能，两者缺一不可，同等重要。

二、进一步优化数学教学过程

教师对课程内容的组织最终具体化为课堂教学的过程。应该说，提高教学的有效性是数学课堂教学改革的永恒主题。十年的数学课程改革实践，使我们对课堂教学有效性问题的认识更为科学全面：教师的教学立场已经由主要关注自己如何“教”转向重点思考和研究学生如何“学”，教学出发点已经由主要关注教材的逻辑结构转向重点分析学生的现实知识经验水平，教学着力点已经由主要关注自己如何讲清楚转向如何启发和引导学生展开积极的数学思考。当前，我们改进小学数学教学，需要进一步凸显学生学习的主体地位，优化组合学生的学习方式，切实引导学生经历数学学习的过程，培养学生的学习兴趣和习惯。

1．切实引导学生经历数学学习的过程

数学学习是一种复杂的活动过程。虽然不同内容的学习要求有所区别，有的只要对基本概念原理简单识记，有的要能理解知识的来龙去脉，还有的要对数学知识融会贯通、灵活运用，但都需要学生在教师的引导下，凭借已有的知识和经验主动建构才能达到。如果学生不经过一系列的观察、比较、分析、综合、概括等认识活动，没有多样化的思维过程和认知方式，没有多种观点的碰撞、争论和比较，就难以真正理解和巩固数学结论，难以获得基本的数学活动经验。更重要的是，没有以多样性、丰富性为前提的教学过程，学生的创新意识和创新思维就不可能培养起来。因此，数学教学需要培养学生“从头开始想问题”的意识，经历知识发生、形成、发展和应用的过程。

过程磨砺思维。数学教学是数学思维活动的教学，发展数学思维能力、提升数学思维品质是数学教学的重要目标。数学知识发生、形成和发展的过程，为学生展开丰富的数学思维活动提供了不可或缺的平台。这一过程中知识的每一次深化和转折都将引发思维的深入和灵活转向。因此，我们在教学中要善于捕捉知识的深化点和转折点，精心设计问题情境，启发学生展开积极的思维活动。例如，教学因数的特征时，要注意引导学生结合具体的实例，如15、16、36等数的因数，概括一个数的因数的特点。学生普遍都能说出“一个数的因数个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身”。就在学生沉浸在发现的喜悦之中时，抛出问题：刚才我们是通过几个数发现1是任何自然数（仅指非0自然数）的因数，任何自然数都是1的倍数。是不是所有的自然数都这样，怎么验证一下？有的学生说可以把这些自然数都列举出来，有的学生说那样太麻烦。此时，再依次出示由1个、2个、3个……相同小正方形拼成的长方形图，引导学生用一个概括的乘法算式1×（ ）=（ ）来表示所有的图形，从而借助一般化的算式验证刚才得到的结论。学生在教师创设的问题情境中经历了观察、比较、抽象、概括等探索性思维活动过程，数学思维就得到了磨砺。

过程孕育思想。数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学教学的精髓。数学思想比数学知识和方法显得更加上位，抽象性更强。只有以数学知识的学习过程为载体，小学生才有可能逐步感悟其中蕴涵的基本数学思想方法。例如，教学圆的面积公式的推导，我们首先引导学生回忆以前研究一个新图形的面积时都用到过哪些方法，启发学生运用转化的思想思考新的问题。之后，引导学生依次将圆平均分成2份、4份、8份……体会转化后的图形越来越接近长方形。在这一过程中，巧妙地借助“不像”、“有点轮廓”“有点像”、“更像”、“更接近”这样的生活语言，并引导学生结合动手操作和动态演示，思考“和前面拼成的图形比，又有什么变化”，“如果让你把圆剪成128份，有什么感觉”，使抽象难懂的极限思想生动地外化为一个“无限趋近”的过程。学生在圆的面积公式推导的过程中感受了转化和极限的数学思想。

过程积淀经验，生长智慧。数学新课标将积累基本的数学活动经验作为数学课程的重要目标，关注人在学习过程中认知、情感和体验的内在丰富性，关注了人基于知识和能力基础的智慧生长。简单地说，数学活动经验，就是亲自或间接经历数学活动过程而获得的经验。经历数学活动过程是积累基本数学活动经验的唯一通道。和数学新课标在课程内容组织中的观点相一致，积累数学活动经验特别需要重视学生亲自经历数学活动过程获得的直接经验。在具体的情境中活动，才能逐步增强对情境的感知、辨别与顿悟，而后者是智慧最重要的表征。在教学中，我们要积极创设基于学生数学学习需要的活动情境，激发学生的活动动机，调动他们已有的知识经验，促使他们积极主动地参与到数学活动中。同时，还要给学生提供较为充足的时间和空间，引导学生参与、交流、内化、反思。正如后现代主义者的代表人物多尔所言，知识不是固定在那里等待被发现的，只有通过我们的反思性行为才能得以不断扩张和生成。

“综合与实践”这一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动，是学生积累数学活动经验、生长智慧的重要载体。“综合与实践”的教学，要使学生充分地全过程参与活动，积极动脑、动手、动口，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识之间的联系，努力综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养问题意识、应用意识和创新意识，体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值。要在以问题为载体、以学生自主参与为主的数学活动中，通过问题或任务引领学生全程参与相对完整的实践过程，展现思考过程，交流收获体会，积累活动经验，激发创造潜能。

2．重视教学方式的改善

教学方式直接影响着课堂教学生态，决定着学生的学习状态和发展状态。十年数学课程改革的经历使我们普遍认识到，“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式”。在采用示范、讲解、演示、说明等教学方式时，需要关注学生能否有意义地接受；在采用动手实践、自主探索的教学方式时，需要协调好学生主动性和教师指导性之间的关系。教学方式没有好坏之别，只有适切与否，需要根据教学内容特点和学生的实际需要，灵活组合多种教学方式，提升每一种教学方式的内在品质。为了进一步改善课堂教学生态，发展学生的创新意识和实践能力，我们在数学教学活动特别是课堂教学过程中，还要特别注意面向全体学生，尊重学生差异，重视运用启发式教学，培养学生的自主学习能力。

面向全体学生，关注差异。同一个班级中的学生在基础、能力、兴趣、气质和志向方面存在着广泛的差异。我们在课堂上同时面向全班几十个学生，步调统一，很难照顾到全班学生的个别差异。面向全体至少体现在两个层面：一是机会均等，即面向全体的课堂应努力关注每一个学生，不让任何学生处于教师视野的盲区上，让每一个学生都享受到良好的数学教育；二是差异发展，即面向全体的课堂必然关注差异，应努力适应并促进每一个学生的个性化发展，让每一个学生在各自原有的基础上得到尽可能大的发展。在数学教学中“面向全体”，从教学的起点来看，就是要面向学生已有的知识经验基础，基于学生的学习现实进行教学设计；从教学的过程来看，要注意因材施教，关注学生的个体差异；从教学的结果来看，每个学生都要达到数学课程目标的基本要求，并且在各自基础之上获得有差异的发展，发展的速度未必相同，路径未必同一。

运用启发式教学。启发式教学主要是指教师从学生已有的知识经验出发，创设“愤悱”的问题情境，启迪学生主动思维。我们在教学过程中灵活运用启发式教学，一要重视学生学习动机的激发，通过不断创设认知冲突，激发学生内在的心理需求；二要变过多的讲授、告诉为学生动手实践、自主探索和合作交流，变学生听数学、说数学为“做”数学、想数学；三要给学生留有较大的思维空间，并准确把握学生思维的走向，通过富有启发性的问题推进学生的思考不断走向深入；四要重视采用生动直观的教学手段帮助学生积累丰富的感性经验，并由此逐步上升到抽象层面的数学认识。

培养学生的自主学习能力。教学就是教师“教”学生“学”的过程，叶圣陶先生早就说过：“教是为了不教。”学生的自主学习能力是在教师的指导下逐步形成的。数学新课标丰富了“教学观”的内涵，在“交往互动、共同发展”的基础上，增加了“积极参与”。而课堂参与需要从行为参与到思维参与再到情感参与，只有学生主动参与，才能成为真正的课堂参与。我们在教学过程中需要给学生提供自主阅读书本、思考和讨论问题、回顾和反思知识形成过程的机会，从而掌握基本的数学学习技能，如阅读的技能、计算的技能、根据情境画示意图的技能；掌握基本的数学学习方法，主要是数学思维的方法，如观察的方法、实验的方法、猜测的方法、推理的方法、验证的方法等。应该说，江苏小学数学教学已经初步建构起以“真实、朴实、扎实”为价值追求，以“活跃、活泼、灵活”为呈现方式，以“精细、精练、精致”为艺术特征的整体风貌。在这一基础上，我们还要积极探索如何适度增强课堂教学的开放性，特别是开放更大的学生自主学习的空间，从而有效地培养学生的自主学习能力。

3．重视学习兴趣的激发和学习习惯的养成。

知识与技能、过程与方法、情感与态度三维课程目标体现了数学课程促进学生全面发展的价值追求。数学教学需要关注三维目标在课堂教学过程中的整体实现，但并不等于每一节课都要平均使用力量，更不能割裂开。不过，学生的数学学习过程是行为参与、情感参与和认知参与的组合，我们要时刻关注学生参与数学学习的情感态度体验。积极的情感体验促进学生认知的灵活性，使学生做出决定时更深思熟虑。如果没有情感态度的参与，学习活动既不能发生，也不能维持。

激发学生的学习兴趣。兴趣是人们力求认识某种事物和从事某项活动的意识倾向。如果没有兴趣，学生的数学学习就可能因为外在力量的强迫而成为心理上的沉重负担。学生学习数学的兴趣一开始往往表现为数学的好奇心，随着年龄的增长和对数学认识程度的加深，逐渐萌生出强烈的数学求知欲。这时的兴趣就更多地指向数学内容和数学活动本身。因此，我们要根据不同年段学生的年龄特点，以激发学生的直接兴趣为开端，注意通过教学素材的选择、教学情境的设计与问题的提出，巧妙地制造认知冲突，逐步培养学生学习数学的间接兴趣，充分调动学生学习的积极性。

培养良好的学习习惯。数学新课标还明确要求学生“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”。史宁中教授认为，良好的学习习惯不是我们一般认为的课前预习、上课认真听讲、课后复习，良好的学习习惯第一条就是集中精力。他说，学数学不用笔不用纸，用脑袋想就能想出来，而这正是锻炼一个人集中精力思考问题的办法。数学知识的建构、数学方法的理解和问题的解决、数学思想方法的感悟和数学活动经验的积累，都需要学生能够集中精力进行独立思考，将自己的注意完全沉浸在对问题的思考之中。强调学习方式的多样与灵活，与重视独立思考并不抵触。学生只有对问题进行独立、深入的思考，才会产生与老师或同伴进行交流、碰撞与分享的需要。我们在教学过程中要细心观察学生在学习活动中的表现，如学生是不是独立认真地完成练习，是否养成了检验和反思的习惯等，及时评价与引导，提醒学生改正不良的学习习惯，逐步养成良好的数学学习习惯。

我们必须进一步研究和落实数学新课标对学生数学学习提出的基本要求，切实改进小学数学教学，坚持面向全体学生，适应学生个性发展的需要，激发每一个小学生的学习潜能，关心小学生学习成就的变化，关心小学生学习生活质量的提升，关爱小学生的健康成长。

（王林，江苏省中小学教学研究室，210013；侯正海，南京东方数学教育科学研究所，210036）