对数函数的定义域和值域对数函数的定义域和值域

侯淦洪

【摘要】对数函数，特别是对数复合函数的定义域以及值域，由于它牵涉的知识点比较多，在中学数学教学中占有相当重要的地位，笔者根据平时教学经验的积累，总结了一些关于对数函数的定义域和值域的问题，与同行切磋。

【关键词】定义域；值域；对数函数

一、简单对数函数的定义域和值域的实用判别法则

设y=logax(a>0,a≠1)为简单对数函数，则有如下判别法则：

（1）当a>1，函数y=logax在定义域(0,+∞)单调增加，没有最大值，也没有最小值，函数值域为(-∞,+∞)；在定义域［x1,x2］(0

（2）当0

二、对数复合函数的定义域和值域的实用判别法则

设y=logau=logag(x)。(a>0,a≠1)是对数复合函数，其中中间变量u=g(x)叫内函数，y=logag(x)叫外函数，则对数复合函数的定义域是{x|g(x)>0}，在这个定义域内，先确定内函数u=g(x)的值域，然后再在u的值域范围内讨论对数复合函数的单调性与最值，从而得到对数复合函数的值域。

（1）当a>1，如果u=g(x)的取值范围是(-∞,+∞)，没有最大值，也没有最小值，则对数复合函数y=logag(x)在(-∞,+∞)内也是单调增加，没有最值，值域为(-∞,+∞)；如果u=g(x)在取值［u1,u2］单调增加，则对数复合函数在［u1,u2］也单调增加，有最小值y1=logau1=logag(x1)，有最大值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y1,y2］；如果u=g(x)在［u1,u2］单调减少，则对数复合函数在［u1,u2］也单调减少，有最大值y1=logau1=logag(x1)，有最小值y2=logau2=logag(x2)，这时，复合对数函数的值域为［y2,y1］。

（2）当0

例1 求函数y=log2(x2+2x+5)的定义域和值域。

解 要使函数有意义，则需x2+2x+5>0。

∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-16<0,

∴对于任意的实数x，恒有x2+2x+5>0，

故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的定义域是(-∞,+∞)。

∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞)，y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4，

∴函数u=x2+2x+5，当x=-1时，有最小值y0=4。

即函数u=x2+2x+5的值域是［4,+∞）。

∴函数y=log2u在［4,+∞）是单调增函数，且当u=4时，y=log24=2，故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的值域是［2,+∞)。

例2 求函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域和值域。

解 设u=-x2+4x-3是内函数，

要使函数有意义，则需-x2+4x-3>0，

解之得1

故函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域是［1,3］。

x0=-42×(-1)=2∈［1,3］，

y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。

∴内函数u=-x2+4x-3在x0=2时，有最大值u=1，当x=1或者x=3时，有最小值u=0。

∴内函数u=-x2+4x-3的值域是［0,1］,函数值单调增加，

∴对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)在定义域内是单调减少，但当u=1时，y=log12u=0，当u=0时，y→-∞。

故对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0］。

例3 求函数y=lgx+1x-1的定义域与值域。