用三次函数培养学生的解题能力用三次函数培养学生的解题能力

陈扬浩 胡洪新

由于新的课程体系确立了以培养能力为核心的新教育观念和思想，因此统观近几年的文科高考数学试题和各地模拟试题中，对函数的考查并不仅仅在一些常用的函数上，出现了许多以三次函数为背景，成功地培养和考查了学生各方面能力。

（一）以三次函数为依托，培养学生分析运用函数性质的能力

1。考查函数的奇偶性和单调性

例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)为奇函数，且在R上为增函数，则（）。

A。p=0,q=0B。p∈R,q=0

C。p≤0,q≠0D。p≥0,q=0

解析 f′(x)=3x2+p≥0恒成立，易知p≥0，故选D。

2。运用函数性质和数形结合思想解题

例2 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示，则（）。

A。b∈(-∞,0)

B。b∈(0,1)

C。b∈(1,2)

D。b∈(2,+∞)

解析 由条件f(0)=0=d，

由f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax。

又 当x>2时，f(x)>0輆>0，∴b=－3a<0，故选A。

（二）以三次函数为载体，培养学生综合运用知识的能力

1。考查集合知识，特别注意不要忘了空集

例3 设f(x)=x3-x，M={x|1-k

解 N={x|f(x)<0}={x|x3-x<0}={x|x<-1或0

又 M糔,

∴1-k

k≤-1或1-k

1-k≥0,

k≤1或1-k≥k, 解得:k≤1。

∴k的取值范围为{k|k≤1}。

2。考查函数不等式等知识

例4 设f(x)=x3(x∈R)，若0≤θ<π2时，f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，求实数m的取值范围。

解 f(-x)=-f(x)，又f′(x)=3x2≥0恒成立，f(x)为奇函数，又在(-∞,+∞)上为增函数，而f(msinθ)+f(1-m)>0趂(msinθ）>f(m-1)，

∴msinθ>m-1(1-sinθ)m<1輒<11-sinθ。

又 0<1-sinθ<1,∴11-sinθ>1恒成立。

故m∈(-∞,1］。

(三）以三次函数为核心，培养学生分析、解决问题的能力

例5 已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)?ex,t∈R依次在x=a，x=b，x=c（a

（1）求t的取值范围。

（2）若a,b,c等差，求t的值。

解 （1）f′(x)=（x3-6x2+3x+t)′?ex+(x3-6x2+3x+t)?(ex)′=（x3-3x2-9x+3+t)?ex。

令g(x)=x3-3x2-9x+3+t，又ex>0恒成立，依条件f′(x)=0有三个不等实根，实质是g(x)=x3-3x2-9x+t+3有三个不同零点，由三次函数特性知，g(x)极大值＞0，g(x)极小值＜0。

又 g′(x)=3x2-6x-9，令g′(x)=0，则有x=－1或x=3。

而g′(x)>0輝<-1或x>3,g′(x)<0-1

因此有g(-1)>0

g(3)<0輙+8>0,

t-24<0,

∴－8

（2）由条件g(x)=x3-3x2-9x+3+t=(x-a)(x-b)?(x-c)。

即x3-3x2-9x+3+t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc。

∴a+b+c=3,

ab+ac+bc=-9,

-abc=t+3,

a+c=2b,

∴t＝8。