构造法在不等式中的应用构造法在不等式中的应用

孙其天

【摘要】关于不等式的证明方法有很多种，而运用函数构造法证明不等式使得问题简单化，本文阐述了数学中构造法的含义及其应用所产生的影响，用实例介绍了函数构造方法的几种应用情形。

【关键词】构造法；不等式；证明

一、构造函数

理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。

例1 证明：如果（x+x2+1）(y+y2+1)=1，那么x+y=0。

证明 构造函数f(x)=lg(x+x2+1)(x∈R)，

易证f(x)在R上是奇函数且单调递增。

因为(x+x2+1)(y+y2+1）=1，

∴f(x)+f(y)=lg(x+x2+1)+lg(y+y2+1)=lg［(x+x2+1)+(y+y2+1)］=lg1=0。∴f(x)=-f(y)。即f(x)=f（-y）。

又因为f(x)是增函数,∴x=-y,即x+y=0。

二、构造方程法

根据所给不等式的特征，由根与系数的关系构造出一元二次方程，再由判别式或根的特点证明不等式。

例2 已知：a,b,c∈R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求证：a,b,c∈0,43。

解析 a+b+c=2,

a2+b2+c2=2，消去c，得

a2+(b-2)a+b2-2b+1=0，此方程恒成立，

∴Δ＝(b-2)2-4(b2-2b+1)=-3b2+4b≥0，即0≤b≤43。同理可求得a,c∈0,43。

三、构造数列证明不等式

在处理与自然数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径。如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解。

例3 已知数列{an},an=2an-1+n+1,a1=1,求an。

分析 我们希望an=2an-1+n+1,a1=1化为an+An+b=2［an-1+A(n-1)+B］。

即an+An+B=2an-1+2An-2A+2B。

∴an=2an-1+An-2A+B。

∴A=1,-2A+B=1軧=3。

解 由已知an+n+3=2［an-1+(n-1)+3］。设bn=an+n+3，则bn=2bn-1。即{bn}是公比为2的等比数列且b1=a1+1+3=1+1+3=5。

∴bn=5×2n-1，则an=5×2n-1-n-3(n∈N*）。

对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决。

四、构造复数

复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔天空”。

例4 若a,b,x,y∈{正实数},且x2+y2=1,求证：a2x2+b2y2+a2y2+b2x2≥a+b。

证明 设z1=ax+byi，z2=bx+ayi，则a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=∣z1∣+∣z2∣≥∣z1+z2∣=∣(a+b)x+(a+b)yi∣=(a+b)x2+y2=a+b。

不等式得证。

五、构造几何图形（体）

如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。

例5 求函数f(x)=x2-4x+13+x2-10x+26的值域。

解析 f(x)=(x-2)2+(0-3)2+

(x-5)2+［0-(-1)］2。

其几何意义是平面内动点P（x，0）到两定点M（2，3）和N（5，-1）的距离之和（如图），为求其值域只要求其最值即可。

易知当M，N，P三点共线（即P在线段MN上）时，f(x)取得最小值，f(x)min=|MN|=(2-5)2+(3+1)2=5，无最大值，故得函数的值域为［5,+∞）。

从以上各例不难看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。

【参考文献】

［1］田发胜。例谈构造复数解题［J］。中学数学教与学，2000（9）。

［2］宋玉连。构造法在解题中的应用刍议［J］。连云港教育学院学报，1999（2）。

［3］刘朝斌。解一元二次不等式的几点技巧［J］。数学教学通讯，2004（3）：46-47。

［4］王秀奎，李昆。构造解析几何模型求函数值域［J］。语数外，2006（2）：37-38。