最值问题浅析

秦天明

最值问题是中考的热点问题，也是难点问题。受思维定式的影响，不少同学看到最大值或最小值问题，就会想到利用配方法或公式法确定其最大值或最小值。殊不知，这类问题也有多种类型。在解决这类问题的过程中，只有认真分析、周密思考，具体问题具体分析，才能减少不必要的失误，从而提高正确率。

一、利用不等式（组）求最值

若方程x2+x+a=0无实数根，则a的最小的正整数值为 （）。

分析：首先根据方程根的情况得到⊿=1-4a＜0，求出a的取值范围，再求最小正整数值。

二、通过建立函数模型用二次函数的顶点坐标公式求最值

1. 某公司经销一种绿茶，成本为50元／㎏。市场调查发现，在一段时间内，销售量w(㎏)随销售单价x(元／㎏)的变化而变化，具体关系式为w＝-2x+240。设这种绿茶在该段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题。

（1）求y与x的函数关系式。

（2）当销售单价x(元／㎏)取何值时，销售利润为y的值最大。

分析：

（1）由总利润=每千克的利润×千克数可得， y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x+340x-12000.

(2)当x=-=85（元）， y=2450，当 x=85 元时，销售利润y的值最大。

2. 某次数学变换游戏中，把整数0，1，2，…，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”，按照上述规则变换后减小得最多的旧数是（ ）。

分析：本题可以设旧数为x，则“新数”为，设按规则变换后减少的数值为y，则y=x-，当x=-=50时， y最大值=50-=25.

三、通过自变量取值范围结合函数的增减性求最值

某饮料厂为开发新产品，用A、B两种果汁原料各19kg、17.2kg，试制甲、乙两种新型饮料共50kg，下面是试验相关数据。

设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，甲种饮料需配制x kg，这两种饮料的成本总额为y元。

分析：根据题意可列出不等式组：

０＜0.5x+0.2(50-x)≤190＜0.3x+0.4(50-x)≤17.2

解为 28≤x≤30，y=4x+(50-x)3 ，y=x+150 （28≤x≤30）。因为y随x的增大而增大，要使y最小，则x最小。当x=28千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。

四、根据“垂线段最短”求最值

已知：直线y=-x+9与x轴、y轴相交于C、D两点，直线y=-x-4 与x轴、y轴相交于A、B两点，F(4，0)是x轴上一点，过C点的直线l垂直于x轴，N是直线l上一点(N点与C点不重合)，连接AN．

（1）求A、D两点的坐标；

（2）若P是AN的中点，PF=5，猜想∠APF的度数，并说明理由；

（3）连接NF，求△AFN外接圆面积的最小值，并求△AFN外接圆面积的最小时，圆心G的坐标．

分析：

（1）易得A（-6,0），D（0，9）.

（2）易连接PC，易证△PCF∽△ACP，PC2=CF·CA=5×15=75=AP2，PF2=25，AF2=100，∴PA2+PF2=AF2， ∴∠APF=90°

（3）求△AFN外接圆面积的最小值。因为△AFN中AF已确定，故圆心G在AF的垂直平分线上，又⊙G过N，所以GN为半径。而G为x=-1上一点，故GN为点N到直线x=-1上某一点的距离。要使圆最小，必须GN最短，根据点到直线上一点的线段中，垂线段最短可知GN=MC=10,S最小=100?仔 ，再求出圆心G的坐标为（-1，5）、（-1，-5）.

五、用“两点之间线段最短”求最值

1. 如图1，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点，连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？并求出最小值。（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

运用这种方法一般可求两条线段或三条线段之和最短或两条线段之差最大等问题。

2. 如图2所示，圣诞老人的帽子是圆锥形，该圆锥的底面半径为15cm，母线长60cm，要用一根彩带饶帽子一圈，结点在底边上。作为帽子的装饰，请问这根带子至少需要多长（精确到0.1cm，不计接头重合部分）？

立体图形中的最短距离问题一般转化为平面图形，再根据“两点之间线段最短”求最值。本题首先根据圆锥与其侧面展开图的关系求出侧面展开图——扇形的圆心角为90° ，再求弦长BB'。

六、通过数形结合求最值

如图3，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，AB∥CD，AD＝BC＝ ，AB＝5，CD＝3，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点.

（1）求b、c；

（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值。

（1）易得b=3c=4

（2）设M点坐标为(a,-a2+3a+4) ,d=a-a2+3a+4. ①当-1

七、利用“a+b≥2”求最值

阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(-)2 ≥0，∴a-2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立。

结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2 ，只有当a＝b时，a+b有最小值2．

根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m＝

（ ）时， m+有最小值（）。

探索应用：如图4，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P为双曲线y= （x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状。

（1）m=1，最小值为2；

（2）设P(x,) ,则C(x,0),D(0,)，∴CA=x+3,DB=+4,∴S四边形ABCD=CA×DB=(x+3)×(+4)，化简得：S=2(x+)+12.

∵ x＞0,＞0，∴x+≥2=6，只有当x=，即x=3时，等号成立。

∴S≥2×6＋12＝24

∴S四边形ABCD有最小值24.

此时，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形。

（泰兴市南沙初中）