例析数形结合的妙用

袁亚娟

通过消元（如消去y），得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式的取值情况来判断方程组的解的情况，可以得到圆锥曲线之间的位置关系。

前几天，碰到这样一题：若双曲线-与圆x2+y2=1无交点，求实数k的取值范围。我也没在意，叫了个学生给他分析：这道题目的常规做法就是联立两条曲线的方程得到方程组，通过消元得到关于x（或y）的一元二次方程，再根据根的判别式的取值情况来得到实数k的取值范围。解法如下：

解法1：联立方程组-=1 (1)x2+y2=1 (2)，由（2）y2=1-x2代入（1），整理得：13x2-36k2-9=0（3）。因为根的判别式△=4?13?（36k2+9）>0恒成立，所以方程（3）对k∈R都有解，双曲线与圆始终有交点。结论：不存在实数k使得双曲线与圆无交点。

解法2：联立方程组-=1(1)x2+y2=1(2)，由（2）x2=1-y2代入双曲线（1），整理得：13y2+36k2-4=0（3）。根的判别式△=-4?13?(36k2-4)，因为双曲线与圆无交点，所以△=-4?13?(36k2-4)<0，即k2>。解得当k<-或k>时，双曲线和圆无交点。

两种类似的解法，但却得到了两种截然不同的答案。学生们来了兴趣。有学生发现-=1(1)x2+y2=1(2)，由（1）得=-1，并非x值存在，y值就一定存在。只有当-1≥0，即x2≥9k2时，y值才存在，此时方程（3）的两根应满足x1≤-3k或x2≥3k；而在（2）中x和y的取值也是有限制的，即x≤1,y≤1。可见，在解法1中不考虑方程(3)的根应满足的条件，仅根据方程(3)的判别式恒大于0，就断定两条曲线恒有交点的做法是有问题的。我们必须参照(1)中根的范围确定k的取值。

学生修改如下：由方程（1）可知,当x2≥9k2时，y值存在，由方程（2）可知，若y值存在时，x2≤1；反之，若x2>1时，y值不存在。故当9k2>1即x2≥9k2>1时，y值不存在，此时两曲线的交点就不存在了。因此，得到正确结论：当k<-或k>时，双曲线（1）与圆（2）的交点不存在。我问，还有其他方法吗？有学生回答用数形结合法。

解法3：先在坐标系中画出双曲线-=1（1）与圆x2+y2=1（2）的图像。

如图所示（图略），双曲线只在顶点（-3k，0）左侧和顶点（3k，0）的右侧有图像，可见双曲线中点的横坐标都满足x≤-3k或x≤3k；而圆（2）中的点的横坐标都满足-1≤x≤1。所以,当-3k<-1，3k>1，即k<-或k>时双曲线与圆没有交点。

有学生惊呼：数形结合真奇妙，又快又准确。

随后，我让学生们总结：一是遇题多动脑筋，二是数形结合法我们应该时常想到它，可能会给我们带来意想不到的效果。

（张家港职业教育中心校）