把握数学本质 促进数学理解

建构主义者认为学生学习数学的本质是：数学学习不应被看成对教师所授予的被动的接受，而是以学生已有的知识经验为基础的建构过程；理解并不是指学生要弄清教师的本义，而是指学生能联系已有的知识和经验对教师所传授的内容达成数学理解。在教学实践中我们发现，有部分学生对知识理解深刻，能举一反三，融合贯通，具有创新能力；而部分学生对知识的理解只停留在表面上，形式地记住了某个概念的词句，但并不知道概念的本质属性，会套用公式、法则，但不知道公式的来龙去脉，往往出现“知其然，而不知其所以然”这样的情况，主要是目前的数学教学中，很多老师只重视知识的结果和通过习题训练形成的技能。数学教学只有重视引导学生经历数学理解的过程，构建促进学生理解的数学课堂，引导学生关注和把握数学的本质与联系，促进学生在课堂中主动探索、主动建构新的认知结构，才能有效地提高学生的数学素养。

一、创设丰富的情境，设计促进思维的学习任务。

影响学生数学理解的重要因素是学生是否具有“理解”的心向，即是否能通过自己积极的思维活动，实现对所学数学知识本质和规律认识的心理愿望。具体地说，学生具有学习的好奇心，想投入到某项数学学习的活动中去，那是因为教师在教学中激发学生“理解”的意向，使学生积极主动调动自己认知结构中与所学知识相应或相关的认知图式，全神贯注地投入到学习中去。在设计学习任务时，应力图有多种多样的呈现形式，以宽松的、开放的活动让学生“大展拳脚”，容许、肯定、接纳多样性的答案而非唯一的理解，并且在此过程中，鼓励学生大胆表达自己的想法，让他们再相互激发，使他们的理解不断得到提升，从而获得自己独有的，可能是超越教师预知的理解。

例如：在教学长方体和正方体的体积公式推导时，教师可以设计这样的活动情境：用若干个1立方厘米的正方体摆出4个不同的长方体，并填写下表：

学生对数学知识的理解往往起源于自我的活动经验，并且在学习过程中自主地建构对知识的理解。学生开始在理解长方体体积大小时，都是用1个体积单位去度量，目标单纯地指向个清点小正方体的个数。这个学习活动，注意激发了学生的思维投入，而不仅仅是以掌握知识为目的，帮助学生生成正确的数学表象，初步感知了长方体的长、宽、高与长方体体积的一种对应关系，促进学生数学的理解。在此基础上，教师继续引领学生进行第二个数学活动：

用1立方厘米的正方体摆出下面的长方体，各需要多少个，先想一想，再摆一摆。

（1）长：4厘米， 宽：1厘米， 高：1厘米。

（2）长：4厘米， 宽：3厘米， 高：1厘米。

（3）长：4厘米， 宽：3厘米， 高：2厘米。

这三个长方体的体积分别各是多少立方厘米？

这一活动，学生之间就发生了明显的差异，有的学生还是用前面的方法去摆一摆，再数一数；但是有部分对数敏感的同学就已经发现了长、宽、高与长方体体积之间的关系，会有猜想，通过摆又进行了证实。从而得出：长方体的体积=长×宽×高。

紧密联系，但深度不同的两个数学活动让学生对数学的理解可以经历一个由浅入深的过程，学生在感受、选择、判断等数学思维活动的过程中去建构自己对数学学习内容的理解，当然不同的学生可以形成不同层次和水平的理解。

二、经历“再创造”过程，让学生亲身经历数学思想方法的形成

学习不是纯粹的模仿和纯粹的记忆，要通过合理的数学活动，为学生提供探索知识的时间和机会，让学生经历知识的“再创造”过程。

案例：引导学生经历“平行四边形面积”计算方法的“再创造”过程。

教师：我们来回忆一下长方形的面积（长是15厘米，宽是10厘米）是如何计算的，和什方形的什么条件有关。

学生回忆。

教师出示1个平行四边形，设计问题：那么这个平行四边形的面积和什么条件有关,该怎么计算呢？

生：和平行四边形的边有关.

教师：这只是我们的猜想，我们需要去验证。老师这里为大家准备了6个形状不同的平行四边形，它们相邻的一组边分别长15厘米和10厘米，请你思考一下他们的面积分别是多少？

学生计算后，反馈交流。

生1：这些平行四边形的面积都是150平方厘米，因为一条底长15厘米，一条底长10厘米，相乘的结果是相同的。

生2：我认为这些平行四边形的面积肯定是不相等的，你看这个平行四边形这么大（高相对大的一个），而这个平行四边形这么小（高相对小的一个），这两个平行四边形的面积不可能相等的。

教师：这个同学提出了一个值得思考让大家的问题，看来平行四边形的面积不仅仅和这两条底有关系，究竟和谁有关系呢？

生：平行四边形的高。

教师：能不能把平行四边形转化成我们以前学过的图形，来找到它面积的计算方法呢？

生操作活动后反馈：

生1：我沿着平行四边形的高剪开，平移后把它拼成了一个长方形。

生2：这个长方形的长就是原来平行四边形的一条底，长方形的宽就是原来平行四边形的高。虽然平行四边形变成了长方形，但是它的面积没有发生变化，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

……

数学学习中，会背定义、会套公式计算并不等于理解了相应的数学概念、数学法则。平行四边形的面积教学不仅要让学生知道公式、会用面积公式进行计算，更重要的是要引导学生经历探索研究平行四边形面积计算公式的过程，通过实践操作、讨论、交流等活动，自己探索发现平行四边形面积的计算方法，并领悟到“底×高”的算理，促进学生对数学的理解。也就是说，不仅要会用“底×高”计算面积，而且要通过语言表述、实际操作等解释“底×高”的意义，并能实际应用，这样才是真正理解了数学知识。学生这样的数学学习过程是一个建构自己对数学知识的理解过程——每一次学习活动都会对相应的学习对象形成一定的理解，并将新的信息纳入自己的知识体系，形成新的知识网络和图式结构。这样的教学方式不仅有助于学生理解数学，还有助于他们获取比单纯知识本身更重要的东西——数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

三、提供交流平台，让学生用自己的方式表达对数学的理解

由于每个学生都在以自己的经验为背景建构对新知识的理解，不同的学生对同一知识有不同角度、不同层次的理解。“新基础教育”创始人叶澜教授曾在她的著作中将教学过程的任务定位为：使学生努力学会不断地、从不同方面丰富自己的经验世界；努力学会实现个人的经验世界与社会共有的“精神文化世界”的沟通和富有创造性的转换；逐渐完成个人精神世界对社会共有精神财富具有个性化和创造性地占有；充分发挥人类创造的文化、科学对学生“主动、健康发展”的教育价值。那么通过不同个体之间的合作与交流，可使每个学生分享他人的精神文化世界，可以互相取长补短，超越自己的认识，从而形成更加丰富的理解。教学时，教师要组织学生开展充分的数学交流活动，鼓励和指导学生有效使用多种语言表达自己的理解。

案例：用自己的方式表达对“小数性质”的理解

师:老师手里有一个数，这是几？

生：4。

师：你们说一下变，它就会变化了。

师：变成40，变成400。

师：你发现了什么？

生1：在整数末尾加一个0，这个数就扩大10倍；添两个0，这个数就扩大100倍。

生2：在整数末尾去掉0，这个数就缩小10倍；去掉两个0，这个数就缩小100倍。

师：现在老师手里还有一个数0.4，我让它也发生变化。变成了0.40.

师：0.4是变大了还是变小了？

生1：变大了。

生2：变小了。

生3：没变。

师：到底变没变呢？请同学结合0.4和0.40的意义，自己先思考，然后在小组里进行讨论，把你的想法告诉别人。

学生讨论后交流。

生1：0.4和0.40一样大的。譬如0.4元是4角，0.40元是40分，40分就是4角。所以0.4和0.40是相等的。

师：很好，你是给它加了一个相同单位后进行比较的。

生2：我也发现0.4和0.40是相等的，因为0.4表示4个十分之一，0.40表示40个百分之一，也是4个十分之一，所以是相等的。

师：很好，你利用小数的意义来比较这两个数的。

生3：发现0.4和0.40的4都在十分位上，位置没有变化，所以都表示4个十分之一。

师：不错，你是利用数位来比较这两个数的大小的。通过比较你们都发现了什么？

生1：0.4和0.40是相等的。

师：也就是说在0.4这个小数末尾添上一个0，小数的大小没有发生变化。如果在0.4这个小数末尾添上两个0，小数的大小会发生变化吗？

……

儿童对数学的理解常常是稚嫩的、不成熟的，但这种理解往往都是合乎常理的，具有个性的。我们要珍视这种最初的朴素的理解，创设机会鼓励学生用自己的方式表达对数学的理解，并抓住契机进行适时引导，让学生在交流的过程中，进一步理清自己的思考方法，分享同学们的观点。这样的教学，使每一个学生都能主动地参与数学活动，都有充分的时间和空间进行思考，都能对面临的数学问题表达自己的理解或想法。这样的课堂，学生学习数学的方式也不再是单一的，枯燥的，数学学习真正成为充满生命力的过程。

（陆小青，吴江市鲈乡实验小学，215200）