导数思想在高考解题中的应用

2012-04-29彭耿锋

数学学习与研究 2012年21期

彭耿锋

【摘要】作为高考热点之一，导数在高中数学中有着举足轻重的作用，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具.本文通过例题来说明导数在高考解题中的应用，比如在数列、函数、不等式证明等方面的综合应用.

【关键词】导数；函数；单调性；最值；数列

高考热点词导数在高中阶段处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具.本文通过对导数在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力.

1.导数在求函数零点中的应用

零点问题即求函数图像与x轴交点的个数，解决此类问题就是利用数形结合及零点存在性定理.

例1 （2012年高考福建文）已知函数f（x）=axsinx-32，（a∈R），且在0，π2上的最大值为π-32.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明.

解析（Ⅰ）∵f′（x）=asinx+xcosx，x∈0，π2，∴sinx+xcosx>0，当a=0时，f（x）=-32，不合题意；当a<0时，f′（x）<0，f（x）单调递减，f（x）璵ax=f0=-32，不合题意；当a>0时，f′（x）>0，f（x）单调递增，f（x）璵ax=fπ2=π-32.∴a=1.综上f（x）=xsinx-32.

（Ⅱ）f（x）在（0，π）上有两个零点.证明如下：由（Ⅰ）知f（x）=xsinx-32，f（0）=-3[]2<0，fπ[]2=π-3[]2>0，∴f（x）在0，π2上至少有一个零点.又由（Ⅰ）知f（x）在0，π2上单调递增，故在0，π2上只有一个零点，当x∈π2，π时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，则gπ2=1>0，g（π）=-π<0，所以g（x）在π2，π上连续，∴m∈π2，π，g（m）=0，g′（x）=2cosx-xsinx<0，∴f（x）在π2，π上递减，当x∈π2，π时，g（x）>g（m）=0，f′（x）>0，f（x）递增，∴当m∈π2，π时，f（x）≥fπ2=π-32>0.∴f（x）在（m，π）上递增.∵f（m）>0，f（π）<0，∴f（x）在（m，π）上只有一个零点.综上，f（x）在（0，π）上有两个零点.

点评本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想.

2.导数在求函数的最（极）值中的应用

求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态.一般地，函数f（x）在闭区间a，b上可导，则f（x）在a，b上的最值求法：求可导函数f（x）的极值的一般步骤和方法是：

①求导数f′（x）；②求方程f′（x）=0的根；③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.

对于在[a，b]连续，在（a，b）可导的函数f（x）的最值的求解，可先求出函数在（a，b）上的极大（小）值，并与f（a），f（b）比较即可得出最大（小）值.

例2 （2012年高考重庆文）已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.

（1）求a，b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最大值.

解析（Ⅰ）因f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b.由于f（x）在点x=2处取得极值，

故有f′（2）=0，f（2）=c-16，即12a+b=0，8a+2b+c=c-16，化简得12a+b=0，4a+b=-8，解得a=1，b=-12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f（x）=x3-12x+c，f′（x）=3x2-12，令f′（x）=0，得x1=-2，x2=2.当x∈（-∞，-2）时，f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上为增函数；当x∈（-2，2）时，f′（x）<0，故f（x）在（-2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数.

由此可知f（x）在x1=-2处取得极大值f（-2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c-16.由题设条件知16+c=28，得c=12，此时f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=c-16=-4，因此f（x）上[-3，3]的最小值为f（2）=-4.

点评本题主要考查函数的导数与极值、最值之间的关系，属于导数的应用.①先对函数f（x）进行求导，根据f′（2）=0，f（2）=c-16.求出a、b的值.（2）通过列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.

3.导数在单调性上的应用

函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑f′（x）的正负即可，当f′（x）>0时，f（x）单调递增；当f′（x）<0时，f（x）单调递减.此方法简单快捷而且适用面广.

例3 （2012年高考山东文）已知函数f（x）=lnx+ke琸（k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点1，f（1）处的切线与x轴平行.

（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）略.

解析（Ⅰ）f′（x）=1x-lnx-ke瑇，由已知，f′（1）=1-ke=0，∴k=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=1x-lnx-ke瑇.设k（x）=1x-lnx-1，则k′（x）=-1x2-1x<0，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，由k（1）=0知，当00，从而f′（x）>0，当x>1时k（x）<0，从而f′（x）<0.综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）.

点评本题主要是切线定义的理解及单调性的简单应用，特别注意函数的定义域，此题型应熟练掌握.

4.导数在求切线方程中的应用

此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，f′（x0）的几何意义就是曲线在点P（x0，f（x0））处切线的斜率，过P点的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），但应注意点P（x0，f（x0））在曲线y=f（x）上，否则易错.

例4 （2012年高考广东理）曲线y=x3-x+3在点1，3处的切线方程为.

解析 y′=3x2-1，当x=1时，y′=2，此时k=2，故切线方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0.

点评本小题弄清楚点是否在曲线上，然后再用求导的方法求切线.如本题改成在0，1处切线方程又该如何求呢，留给读者自行证明.

5.导数在不等式证明中的应用

例5 （2012年高考辽宁文）设f（x）=lnx+x-1.

证明：（Ⅰ）当x>1时，f（x）<3[]2（x-1）；（Ⅱ）当1

解析（Ⅰ）（法1）记g（x）=lnx+x-1-3[]2（x-1），则当x>1时，g′（x）=1[]x+1[]2x-3[]2<0.又∵g（1）=0，

∴g（x）<0，即f（x）<3[]2（x-1）.

（法2）由均值不等式，当x>1时，2x