等价无穷小的替换在加减法中的应用

罗诚 李莉

【摘要】众所周知待定型极限的求法有很多种，其中利用等价无穷小替换的方法相当方便，往往能起到化繁为简的作用.但美中不足的是在无穷小的乘法和除法中可以直接运用，而在加减法中应用却不是很方便，这一点很多读者都很难掌握，本文研究了无穷小及其性质，旨在介绍一种在加减法中应用等价无穷小替换求待定型极限的方法.

【关键词】极限；等价无穷小；主部；基本无穷小；替换

前 言

很多高等数学教材中都介绍了等价无穷小的替换在待定型极限中的应用，且给出了以下定理：已知α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），且limα′（x）[]β′（x）存在，则lim[α（x）·β（x）]=lim[α′（x）·β′（x）]，limα（x）[]β（x）=limα′（x）[]β′（x）.

该定理告诉我们，等价无穷小的替换可以用在无穷小的乘、除法中，但没有告诉我们能不能用在加减法中，更没有告诉我们在加减法中该如何用.

一、等价无穷小的性质定理

定义1 在所研究的无穷小内选出一个（比如α）作为一种标准，把它称为基本无穷小.

基本无穷小的选取在某种程度内是任意的，但通常总取最简单的，如被考察的量都是x的函数，而当x趋向于a时成为无穷小，那么根据a是零、是异于零的有限数或是无穷大，那么选取x，x-a，1[]x作为基本无穷小.

定义2 设α为基本无穷小，若limβ[]cα琸=1，则β～cα琸，那么称与给定的无穷小β等价的这个简单的无穷小cα琸为β的主部（或主项）.

定理1 已知两无穷小β和γ的主部是cα琸及c′α琸′，若k≠k1，则β+γ可以分别用等价无穷小替换，且β+γ的主部为cα琸及c′α琸′中次方最低者.

证明 不妨设k

定理2 已知两无穷小β和γ的主部是cα琸及c′α琸′且k=k′，若c+c′≠0，则β+γ的主部为（c+c′）α琸，即可以用等价无穷小进行替换；若c+c′=0（主部相消），则β+γ是比cα琸及c′α琸′更高阶的无穷小，此时不可以用等价无穷小直接替换，应分别考虑更高阶的无穷小进行替换.

证明 当c+c′≠0时，因为limβ+γ[]（c+c′）α琸=limβ[]（c+c′）α琸+limγ[]（c+c′）α琸=c[]c+c′+c′[]c+c′=1，所以β+γ的主部为（c+c′）α琸；当c+c′=0，因为limβ+γ[]cα琸=limβ[]cα琸+limγ[]cα琸=limcα琸[]cα琸+limc′α琸[]cα琸=limcα琸[]cα琸+lim-cα琸[]cα琸=1-1=0.

同理可得limβ+γ[]c′α琸=0.所以β+γ是比cα琸及c′α琸′更高阶的无穷小.

二、待定型极限的求法举例

例1 求limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2e4x-2的值.

解 limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2e4x-2=limx→0ln（1+x2）-sin2x[]2（e4x-1）=limx→0x2-2x[]8x=-1[]4.

例2 求limx→0sin2x-tan3x[]（1+3x）2-1.

解 limx→0sin2x-tan3x[]（1+3x）2-1=limx→02x-3x[]6x=-1[]6.

例3 求limx→0tanx-sinxx3.

解 此题分子中tanx和sinx的主部都是x，明显是主部相消，据泰勒公式有tanx=x+1[]3x3+o（x3），sinx=x-1[]6x3+o（x3）.

所以limx→0tanx-sinx[]x3=limx→01[]3x3--1[]6x3[]x3=1[]2.

【参考文献】

[1]菲赫金哥尔茨著.微积分学教程（第一卷）.北京：高等教育出版社，2006.

[2]李宗成，李国.泰勒公式在无穷小（大）量阶的估计中的应用.高等数学研究，1996（2）.

[3]吴汉华.关于无穷小的等价替换及其推广.闽西职业技术学院学报，2005（2）.