探究数学建模中创造性思维的技术
2012-04-29梁军
梁军
【摘要】创造性思维技术的使用是至关重要的，但创造性思维技术的理论依据、如何培养，长期以来一直是比较模糊和较为抽象的.通过对典型数学模型分析，在哲学理论指导下，揭示创造性思维技术的本源、产生发展过程和使用方法，获得培养创造性思维技术的途径.
【关键词】创造性思维；数学建模；哲学思想
传统的数学教学着重于逻辑思维的教学，而忽视创造性思维的教学.江泽民：创造力是一个民族发展不竭的动力源泉！人的创造性从何而来？如何发生的呢？探讨这个问题应溯本求源，哲学研究的是关于整个世界的最一般规律！
要用唯物主义世界观、辩证法分析解决问题.运用量变与质变的观点，坚持不懈地探索新的可能性，大胆尝试达到质的飞跃；用辩证的否定的观点，去除禁锢思维的条条框框，从更广阔的视角认识事物.用矛盾的普遍性与特殊性的关系，破除陈旧的经验，冲破矛盾特殊性的束缚，深入事物本质探索矛盾的普遍性；用事物普遍联系的观点，跨越事物间传统的界限寻找新思路.只有在科学理论指导下的实践才能符合客观规律，才能有效地培养思维的创造性.
我们以一个经典数学模型小虫与橡皮绳悖论的多种解法为切入点，说明创造性思维的技术手段是如何运用的.
题目1（离散型） 在橡皮绳（绳长100 cm）的一端，一条小虫以每秒1 cm的速度沿橡皮绳爬行.在1秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为110 cm；再过一秒钟后，它又拉长为120 cm.如此下去，小虫最后究竟会不会达到终点呢？
一、如何运用量变与质变的观点做到深刻的思维
事物的发展过程是量变和质变的对立统一.质量互变规律决定了创造性思维的方法：在认识和改造客观努力的过程中，创造者应当积极探索，不断积累，在量变基础上寻找适宜的突破口，促使其尽早发生质的飞跃.
题目1 解法一（整体法）：因为绳子均匀变长，小虫爬的时候，位移会随着绳的增长逐渐变大，所以位移就不是1 cm/s，会逐渐变大.又绳子均匀增长，小虫在第一秒爬了绳子的1100，第二秒爬了绳子的1110……第n秒爬了绳子的1100+10n，由每一秒运动距离占全程的分数，逐步积累到全程的百分之百即S=1时，求出其中的n即是到达另一头的时间！列出小虫爬行距离的分数之和S的计算式：
S=1100+1110+…+1100+10n+…
=110110+111+112+…+110+n….（1）
由调和数列近似求和公式（当n很大时）：
1+12+13+…+1n≈lnn+ 0.57722.（2）
1+12+13+14+…+19≈2.83.（3）
综合（1）（2）（3），得到10≈lnn+0.57722-2.83，解得n≈208981.29（秒）.
上述解法思维切入点是每一秒运动距离占全程的分数，逐步积累到全程的百分之百，即由量的积累达到质变；同时在知识运用上综合了小学、中学和大学的数学知识，这种系统的学习就是量的积累过程.质变也可以发自于当前信息的更为仔细的注意，以及对这些信息的意义更为敏感的灵活的把握.看起来似乎没有线索的地方探索线索是创造性思维中最根本、最强大的策略之一.
二、如何运用辩证的否定的观点获得思维质的飞跃
事物的发展是辩证的否定.否定之否定阶段，事物会出现维持某些原有的性质和现状，这不是原有事物简单的重复，而是在更高的层次上达到更新的程度.这正是创造性思维的本质所在.
从数学的严谨性来看，解法一的计算结果欠精确，这正是辩证的否定的出发点.鉴于数列的迭代特征及软件能快速有限次迭代的运算特点，运用QBasic程序语言设置题目的限制条件，达到精确解决问题的目的.
题目1 解法二（程序法）：设m为绳子长度，v为小虫爬行距离，n为绳子拉伸次数.用QBasic编写计算程序m=100：v=0：n=0： while（v
题目2（连续型） 设有一条绳子长100 cm，而且每秒均匀拉伸10 cm，同时一只虫子从绳子的一端爬向另一端，爬行速度每秒1 cm，问虫子能否爬到另一端？
三、如何运用矛盾的普遍性与特殊性的关系达到思维的跨越
矛盾的普遍性存在于特殊性之中，普遍性通过特殊性表现出来.利用矛盾的特殊性推演矛盾的普遍性，探寻特殊事物的一般规律，正是数学归纳思想的体现，由此及彼达到思维的跨越.
题目1（离散型） 可以看作特殊性，将其改编为题目2（连续型），连续型模型视为普遍性，由此可以建立微分方程解决问题.灵感来自于相关事物的模仿，是跨越式思维最为常用的方法.
题目2 解法一（微分法）：设t时刻小虫与原点的距离为x（t），绳子总长为 L（t），则L（t）=100+10t.
因为小虫的移动速度v（t）=dx（t）dt=小虫主动爬行速度1 cm/s+x（t）处的绳子伸长速度，可得微分方程dx（t）dt=1+10·x（t）L（t）=1+x（t）10+t，由初始条件x（0）=0，解得微分方程的唯一解x（t）=（10+t）ln1+t10，设T代表爬到终点所用时间，则x（T）=L（T），即（10+T）ln1+T10=100+10T，则T=10（e10-1）≈220254.7（秒）.
当我们遇到具体问题无从下手时，我们就将具体问题推演为问题的普遍形式，运用这种方法需要思维的跨越.当然，这种思维的跨越仅停留在传统的既定的范式之中.
四、如何运用事物普遍联系的观点获得丰富的联想思维
用事物普遍联系的观点，跨越事物间传统的界限寻找新的思路.灵感顿悟的产生经常是将原本分立的不同参照系连接起来，创造性的思维实际上都超越了既定的范式，往往跨越到另一个参照系，然后将它们有机地结合在一起.
题目2 解法二（物理法）：匀速吹胀的气球是一个物理模型.把题中的橡皮绳两端接起来成为一个圆圈，设想它就是气球的赤道.气球不断吹大，使赤道周长以10 cm/s的速度均匀变长.原问题就变成：赤道上小虫能爬满一圈回到起点吗？
由于赤道是均匀膨胀的，那么虫子不爬的话，就不会有相角变化，即球面大小的变化仅赋予了虫子径向速度分量，而虫子的周向速度分量不受影响，始终是其本身的爬行速度1 cm/s.因此虫子的爬行轨迹是一条等角螺线.
在时刻t，赤道周长C=100+10t，半径R=C2π，所以虫子的角速度ω=1R=2π100+10t，
虫子爬行的角度θ=2πА要瑃0dt100+10t=π5ln（10+t）瑃0=π5ln1+t10，由θ=2π可算出t=10（e10-1）（秒）.
该解法将数学问题联系到物理模型，只有发现了不同系统中相同的本质特征，才会出现这种跨越式思维方法.因此，只有博学、集思广益、多实践，在类比的基础上获得丰富的联想思维.
五、结束语
总之，从探究问题的过程来看，它表现在随新的条件而迅速确定解题方向，能从已知因素中看出新因素，从隐秘的形式中抓住实质的能力.它是创造性思维最生动的核心，主要体现在：其一，思维的连动性，由此及彼，全力的逻辑推理；由表及里，纵向探察的思维能力.其二，思维的跨越性，在思维进程上省略思维步骤，迅速完成“虚体”与“实体”之间转化的直觉思维.
【参考文献】
王辉.创造性思维的机制和方法[D].郑州大学硕士学位论文，2004-05-01.
