探究一道椭圆“变态”高考题

罗小斌

椭圆问题一直以来都是高考大题的考查热点，主要以椭圆的标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系等内容为知识载体，其主要思想方法有数形结合、转化与化归和待定系数法等，重点考查学生的图形分析能力、等价转化能力和运算能力.下面我们来看一道今年在网上被评价为“变态”的高考题：

题目 （2012年江苏卷第19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），已知点（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

（ⅰ）若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；

（ⅱ）求证：PF1+PF2是定值.

一、试题参考解答

（1）略.（2）（ⅰ）略.

（2）（ⅱ）因为直线AF1与BF2平行，所以PBPF1=BF2AF1，于是PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1，

故PF1=AF1AF1+BF2BF1.

由B点在椭圆上知BF1+BF2=22，从而PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2），同理PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）.

因此，PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF2·（22-AF1）

=22-2AF1·BF2AF1+BF2.又由①②知AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2.

所以PF1+PF2=22-22=322.因此，PF1+PF2为定值.

点评 上述参考答案解法书写繁琐，不符合学生认知特点，在考场中很难正确列出并解下去.

参考解法书写改进如下：

解 ∵AF1∥BF2，∴∠AF1P=∠F2BP.

又 ∵∠APF1=∠F2PB，∴△APF1∽△F2PB.

∴PF1PB=PAPF2=AF1BF2.设AF1=p，BF2=q，∴PF1=pp+qBF1，PF2=qp+qAF2.

∵AF1+AF2=22，BF1+BF2=22，

∴PF1+PF2=pp+qBF1+qp+qAF2=pp+q（22-BF2）+qp+q（22-AF1）

=22-p·BF2+q·AF1p+q=22-2pqp+q，以后过程同参考解法.

分析 此题之所以在网络上被人评价为“变态”的问题，显然是因为其极度繁琐的运算.在高考考场中，由于紧张的氛围，学生的运算能力往往得不到正常的发挥.这就要求我们教师在教学时，要能传授学生正确转化问题的能力，学生转化能力的高低，直接决定了解题能力的高低.在本题中，如能注意到AF1和BF2平行条件，可转化为两直线倾斜角相等的结论，进而选择倾斜角作为变量来表示边长，再结合椭圆的定义，运算量将会减少很多.

二、优化解法

解 （1）略.（2）设∠AF1F2=α（α∈（0，π）），∵AF1∥BF2，

∴∠BF2F1=180°-α，设AF1=p，BF2=q.

∵AF1+AF2=22，BF1+BF2=22，∴AF2=22-p，BF1=22-q.

∴（22-p）2=p2+4-4pcosα，ぃ22-q）2=q2+4+4qcosα，解得p=12-cosα，q=12+cosα.

（ⅰ）若AF1-BF2=62，则12-cosα-12+cosα=2cosα2-cos2α=62>0，

∴3cos2α+42cosα-23=0且cosα>0，∴cosα=23.

∵α∈（0，π），∴sinα>0，

∴sinα=13，∴k瑼F1=sinαcosα=22.

（ⅱ）前面过程类似.2pqp+q=21p+1q=22+cosα+2-cosα=22，

∴PF1+PF2=22-22=322为定值.

点评 上述解法其实是以直线AF1的倾斜角作为参数来表示AF1和BF2，通过这种转化，可看到式子简化很多，运算量也相应减少，这就是数学中的转化与化归思想方法的价值所在.

本题之所以被考生戏称为“变态”，其主要原因是考生的运算能力和转换能力水平的下降，所以，高中教师在平时教学中一定要高度重视对学生运算能力和转换能力的培养，不仅要重视对数学解题思路的培养，更要舍得花时间让学生进行独立的运算，对于一些比较繁琐的公式，也可让学生进行运算演练，只有这样，才能培养出在高考中“眼高手也高”的学生！