数学教学中的定式思维与发散思维

杨洪瑞

对于定式思维，我们很多人在认识上带有一定的片面性，往往只看到其消极的一面，而忽略了其积极的一面。而在许多情况下，学生认识和解决问题总是在定式思维的基础上发生的，但这种思维方式有时会产生一种负面效应，即会制约发散思维的产生。因此，在教学中，我们应正确认识定式思维的双重性。

一、定式思维是发散思维的基础

学生积累新知的过程，实际上就是各种思维定式的构建过程。在正常情况下，学生解题时，大多都能迅速联想和使用已掌握的知识技能，把一些需要解决的新问题，纳入到曾经解决的旧问题范畴，依据旧知识的方法产生新的联想，从而寻找出新问题的解决途径。没有对基础知识和基本技能的牢固掌握，要想灵活多变地解决面临的新问题，是不可能的。

例如：已知m、n是方程x2+(a-2)、x+1=0的两根，求(1+am+rn2)(1+an+n2)的值。

这道问题中，将所求的代数式展开，然后利用根与系数的关系求值，这是学生解题中的一种思维定式，这种计算比较复杂。可以引导学生进行另一种思维活动，考虑到m、n是方程的两根，由根的定义可知，有m2+(a-2)m+1=0和n2 +(a-2)n+l=0，从而求得rn2+arn+l=2m，n2+an+l=2n，那么，有(rn2+am+1)(n2+an+1)=2m·2n=4mn=4。显然，后一种计算较简便。而这种思考问题的过程，是建立在根的定义及根与系数的关系的基础上，由此而产生一种新的思维，使学生的思维活动不限于已有的定式思维范围。

因此，在教学中，我们应有机地结合教材内容，教给学生一些数学解题的思维方法。要让这些思维方法在学生头脑中形成积极的思维定式，从而拓宽思维联想的渠道，提高思维联想的速度，以充分发挥思维定式的积极作用。

二、克服思维定式的消极性，培养学生的发散思维

定式思维对问题的解决既有积极的一面，也有消极的一面，它容易使人产生思维上的惰性，造成在解题中照搬已有的经验，照套已有的方法，只注意问题的相似性，而忽略其差异性。当新的问题形似质异时，定式思维往往会使解题者步入误区。因此，我们在教学中应改变传统的教学模式，克服定式思维的消极性，引导学生进行发散思维。

（1）在数学公式、法则的教学中应注重培养学生的逆向思维。逆向思维是发散思维的一种形式，是突破习惯性正向思维束缚的一个有效方法。数学公式总是双向的，可是不少学生只会顺用，对于逆用、特别是利用变形的公式，学生就很不习惯。例如：化简(a+1)2(a2-a+1)2(a-1)2(a2+a+a+1)2 ，如果受顺用公式的定式影响，将式子按完全平方公式展开，显然是很复杂的，倘若逆用(ab)n=an·bn，再利用平方差或立方和、立方差公式，则化简过程就比较简单。因此，为了使学生能灵活运用公式、法则，形成熟练的技能，我们在学了某一公式、法则及其应用后，紧接着举一些逆用公式、法则的例子是十分必要的。这样，有助于学生逆向思维能力的培养，从而提高学生的数学解题能力。

（2）加强知识系统的统一，培养学生的横向思维。横向思维是从知识之间的横向相似联系出发，即从数学的不同分支——代数、几何、三角等角度去考察问题、分析问题，用其他领域的知识和方法去解决本领域中的问题。培养学生的横向思维，不仅可以沟通各课程知识之间的内在联系，从不同侧面去加深对所学知识的理解和掌握，而且有助于学生克服思维定式造成的思维狭隘性、片面性，培养思维的广阔性，提高综合运用各系统知识解决问题的能力。例如：在正方形ABCD中，以顶点A为圆心，AB为半径作BD交AC于E，⊙O为扇形的内切圆，求证EC=OE。此题如果根据几何知识，利用推理论证EC=OE显然是较复杂的。如果设AB=a，圆O的半径为r，则解题相对简便。

（3）加强一题多解教学，引导学生多向思维。多向思维是发散思维的典型形式，它是从尽可能多的方面来考察同一问题，使思维不局限于一个模式或一个方面。培养学生多向思维，有助于开阔解题思路，活跃思维，克服思维定式的呆板性，培养学生思维的灵活性和创造性。在解题教学中，采用一题多解，可以使学生从不同角度多方面去思考问题，拓展思维的深广度，引发学生多向思维。

例如：已知：2AB切⊙O于点B，BC⊥AO于点C，求证∠ABD=∠DBC。

分析：要证∠ABD=∠DBC，方法①：联想到AB是⊙O 的切线，B为切点，则联结OB，易证∠ABD+∠OBD=90°，∠CBD+∠ODB=90°，从而问题得证。方法②：联想到直径所对的圆周角则延长DO交⊙O 于E，联结BE，易证∠ABD=∠E，∠DBC=∠E，从而有∠ABD=∠DBC。方法③：联想到BC⊥OD及垂径定理，则延长BC交⊙O 于F， 联结DF，易证，∠DBA=∠F，∠DBC=∠F ，从而有∠ABD=∠DBC。方法④：联想到平行线性质，则作DG∥BC，交AB于G，易证，DG也是⊙O 的切线，故∠DBG=∠BDG，而∠DBC=∠BDG，从而问题得证。

三、定式思维与发散思维可以相互转化

定式思维与发散思维虽然是对立的，但又是相辅相成的，它们可以互相依赖，相互促进，并在一定条件下相互转化，每一次转化都使两者共同进入一个更高的层次。如此继续下去，使我们的思维得以提高，发展，再提高，再发展……这种发展模式如下所示：

定式→（转化）发散(新的定式) →（转化）再发散(更新的定式) →……

由此可见，定式思维与发散思维不断深化的过程，就是逐步培养学生思维的广阔性、多向性和灵活性的过程。在教学中，既要注重定式思维的积极性，又要注意克服定式思维的消极性，引导学生进行发散思维。

总之，学生认识和解决问题，多数总是在定式思维的基础上发生的，但这种思维方式有时会产生一种负面效应，即会制约发散思维的产生。因此，在教学中，我们应正确认识定式思维的双重性。我们在教学中应加强基础知识、基本技能的教学，掌握一些常用的数学方法，构建良好的定式思维，为发散思维的培养奠定基础。同时，又要克服定式思维的不良影响，注意相似问题的不同性，不同问题的相同性，促进知识、经验的正迁移，这样才能使学生的思维活动再上一个新台阶。

（新沂市职业技术教育中心）