广义积分中值定理的推广与应用

李元玉

摘要：广义积分中值定理是数学分析中的一个重要定理，对微分中值定理、曲线和曲面积分中值定理等的认识有很大帮助.本文根据广义积分中的广义积分和积分中值定理的定义和相关性质，扩展到广义积分中值定理中，重点在单调区间上的广义积分中值定理、带有参数的广义积分中值定理、广义Riemann积分中的推广这三方面进行探讨.

关键词：广义积分；积分中值定理；广义积分中值定理

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0164-03

1 广义积分

1.1 第一类广义积分

设函数f（x）在区间[a，b]上可积，则称■f（x）dx为第一类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时，称该广义积分收敛，反之称之为发散。

同理，有■f（x）dx属于第一类广义积分形式，而■f（x）dx由双向极限（a→-∞，且b→+∞）确定其收敛性，属第一类双边广义积分。

1.2 第二类广义积分

设f（x）在x=a右侧领域内无界（x=a称为f（x）的一个奇点），？坌X∈（a，b]，f（x）在[X，b]上可积，则称■f（x）dx为第二类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时称■f（x）dx收敛，反之极限不存在时，称广义积分■f（x）dx发散。

被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而无界函数反常积分■f（x）dx又称为瑕积分。

类似上述描述可有积分上限为奇点的第二类广义积分，甚至可有[a，b]内有奇点x=c的广义积分■f（x）dx称为第二类广义积分。

2 积分中值定理

2.1 积分中值定理及其几何意义

积分中值定理[1]：若f在[a，b]上连续，则至少存在一点ζ∈[a，b]，使得■f（x）dx=f（ξ）（b-a）.积分中值定理的几何意义：若f在[a，b]上非负连续，则y=f（x）在[a，b]上的曲边梯形面积等于以f（ξ）为高，[a，b]为底的矩形面积。■■f（x）dx理解为f（x）在区间[a，b]上所有函数的平均值。

2.2 积分中值定理的推广

推广[2]函数f（x）在[a，b]可积，m，n∈R，且m≤1≤n，则存在ξ，η∈[a，b]，使：

■f（x）dx=m■f（x）dx+n■f（x）dx（2.2.1）

■f（x）dx=n■f（x）dx+m■f（x）dx（2.2.2）

3 广义积分中值定理

3.1 广义积分中值定理

广义积分中值定理[3]：设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且g（x）在[a，b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=f（ξ）■g（x）dx.当g（x）≡1时，即为积分中值定理.

引理[4]设函数f（x）在[a，b]上连续，g（x）在[a，b]上可积且不变号，则必存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=f（ξ）■g（x）dx.

（或存在0<θ<1，使■f（x）g（x）dx=f（a+θ（b-a））■g（x）dx）

特别地，当时g（x）≡1，结论为：存在ξ∈[a，b]使■f（x）dx=f（ξ）（b-a）.

（或存在0<θ<1，使■f（x）dx=f（a+θ（b-a））（b-a）.

3.2 广义积分中值定理的简单应用

例.■■（1-x2）ndx；

解：（1）对任意ε>0（ε<1）取δ：0<δ<■

■（1-x2）ndx=■（1-x2）dx+■（1-x2）ndx

其中 0≤■（1-x2）dx≤■dx<■

0≤■（1-x2）dx=（1-ξ2n）n（1-δ）

[ξn∈（0，1）]<（1-δ2）n+1

因■（1-δ2）n+1=0，故对■>0，存在N，当n>N时，

有0≤■（1-x2）ndx<■，从而有■（1-x2）ndx=

■（1-x2）ndx+■（1-x2）ndx<■+■=ε

表明：■■（1-x2）ndx=0

3.3 广义积分中值定理的推广

3.3.1 在单调区间上的广义积分中值定理

定理1[1] 设函数f（x）在[a，b]上可积，且函数g（x）在[a，b]上减，g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=g（a）■f（x）dx ξ∈[a，b] （3.3.1）

定理2[1] 设函数f（x）在[a，b]上可积，且函数g（x）在[a，b]上增，g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得■f（x）g（x）dx=g（b）■f（x）dx η∈[a，b]

定理3[1] 设函数f（x）在[a，b]上可积，若g（x）为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得：■f（x）g（x）dx=g（a）■f（x）dx +g（b）■f（x）dx

3.3.2 带有参数的广义积分中值定理

定理4 设f（x）在[a，b]上单调递增且非负，g（x）在[a，b]可积，n∈R且n≥1，则存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=nf（b）■g（x）dx

定理5 设f（x）在[a，b]上单调递减且非负，g（x）在[a，b]可积，n∈R且n≥1，则存在ξ∈[a，b]，使■f（x）g（x）dx=nf（b）■g（x）dx

3.3.3 在广义Riemann积分中的推广

定理6 （关于无限区间上广义函数的广义积分中值定理）设f（x）在半直线[a，+∞]上有界连续，g（x）是[a，+∞]上的非负函数，且■g（x）dx<+∞，则？坌ε>0必存在一有限点ξ∈[a，+∞）满足■f（x）g（x）dx-f（ξ）■g（x）dx<ε.

定理7[5] （关于无界函数的广义积分中值定理）设f（x）在区间（0，c]上连续有界，g（x）在（0，c]上非负（无界）即：■g（x）dx<+∞，那么对？坌ε>0，必存在一点ξ∈（0，c]使■f（x）g（x）dx-f（ξ）■g（x）dx<ε.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].高等教育出版社，2001.

[2]刘宁.强化积分中值定理结论，使其更具应用性[J].金华职业技术学院学报，2004，6（2）：50-52.

[3]闫彦综.关于积分中值定理的推广[J].牡丹江大学学报，2003，2（2）：68-69.