应用万有引力定律几种常见的错误例析

周为仲

由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的主要领域，所以万有引力、人造地球卫星成为近年来高考的热点. 但同学们在学习这部分内容时，由于混淆了一些概念，在解决问题时经常出现错误，为帮助同学们明晰思路，现将部分同学们常犯的错误作一归类总结.

■ 一、 误把在赤道上随地球自转的物体看成卫星

■ 例1同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2，运行速率为v2，地球半径为R，则（）

A. ■=■ B. ■=■

C. ■=■ D. ■=■

■ 解析一部分同学把在赤道上随地球自转的物体看成卫星，其轨道半径为地球半径R，把运行的速度v2当成第一宇宙速度，故误得向心加速度之比为：

■=■=■，

运行速率之比为：

■=■ ∶ ■=■

错选B、D答案.

事实上，在赤道上随地球自转的物体除了受地球对它的万有引力外，还要受地面对它的支持力作用，因此不能把这个物体当成卫星来处理. 由于该物体在赤道上随地球一起自转，故该物体与同步卫星绕地球转动的角速度是相等的，因而向心加速度之比为：

■=■=■，

运行速率之比为：

■=■=■，正确答案应为A、C.

■ 二、 不知道近地卫星与同步卫星的特点

■ 例2已知靠近地面运转的人造地球卫星每天转n圈，如果发射一颗同步卫星，它离地面的高度应是地球半径的多少倍？

■ 解析有部分同学由于不知道近地卫星与同步卫星的特点而无法求解此题.

近地卫星的特点：卫星运行的轨道半径约为地球的半径R，轨道平面不一定在赤道平面上. 同步卫星的特点是：轨道平面一定在赤道平面上，运行的角速度与地球自转的角速度相等，因而周期与地球自转的周期相同T=24 h.

若能掌握上述特点，则对近地卫星有：

■=m■2R

对同步卫星有：

■=m■2r

其中r=h+R，解得■=■-1，即同步卫星离地面的高度应是地球半径的（■-1）倍.

■ 三、 混淆了卫星轨道处的重力加速度和卫星表面处的重力加速度

■ 例3一卫星绕行星做匀速圆周运动. 已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比■=81，行星的半径为R行与卫星的半径为R卫之比■=3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比■=60. 设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星表面有

■=mg卫

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一. 上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果.

■ 解析在解决此题时，若不知道卫星轨道处的重力加速度和卫星表面处的重力加速度的区别，则很容易认为上述结果是正确的.

实际上，卫星轨道处的重力加速度是由行星对卫星的万有引力产生的，而行星表面的重力加速度是由行星对它表面上物体的万有引力产生的（忽略行星自转），卫星表面处的重力加速度是由卫星对它表面上物体的万有引力产生的（忽略卫星自转），因而有：

■=m′g行

■=m′g卫，

解得g卫=0.16g行.

■ 四、 卫星的运行速度和发射速度混淆不清

■ 例4如图所示,发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是

（）

A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

■ 解析卫星的运行速度是指卫星在地球周围的圆轨道上稳定运行时的线速度，它与轨道半径的关系是：v=■，一定的轨道半径对应着一定的运行速度. 卫星的发射速度是指卫星离开发射装置时的初速度，卫星的轨道半径越大，需要的发射速度就越大. 有些同学根据v=■也可以知道卫星在轨道3上的运行速率小于在轨道1上的速率，但会提出这样的疑问：当卫星在椭圆轨道上的P点再次点火时，完全可以将卫星速率提高到大于轨道1上的运行速率，对A选项产生了怀疑. 事实上当卫星在P点速率大于轨道1上的运行速率时，卫星就不能在轨道3上稳定运行了. 故正确答案是BD.