运动的合成与分解在解题中的应用

周力伟

所谓运动的合成与分解，就是速度、加速度、位移的合成和分解，同样遵循平行四边形定则. 在具体的应用过程中同学们容易把合运动和分运动混淆，不能正确判别它们之间的关系. 现通过“牵连”模型加以说明其原理.

■ 一、 基本模型

■ 模型一如图1所示，小车以恒定的速度v水平向左做匀速直线运动，通过轻绳牵引小船向左运动，当船运动至绳与水平方向的夹角为θ时，船的速度的大小为多少（结果用v和θ表示）？

■ 解析小船从位置1到位置2的过程中，沿绳方向的速度大小就是小车水平向左运动的速度大小. 同时，绳与水平方向的夹角θ在增大，相当于绳端点O沿逆时针与绳垂直的方向摆动. 实际上船的速度应该是沿绳方向的速度和逆时针摆动速度的合速度见图2. 则有v船=■=■.

■ 模型二如图3所示，小车以速度v水平向左匀速行驶，当小车运动至图示位置时，轻绳与水平方向的夹角为θ，此时物体M上升速度大小是多少.

■ 分析小车由位置1到位置2的过程中，绳的端点O相对定滑轮被拉长，同时轻绳与水平方向的夹角θ在减小，相当于绳的端点O逆时针与绳垂直方向在摆动，沿绳方向的速度大小就是物体M上升速度的大小. 见图4. 则有vM=v绳=vcos θ.

■ 二、 例题解析

■ 例1如图5所示，轻且不可伸长的细绳悬挂质量为m1=0.5 kg的小圆球，圆球又套在可沿水平方向移动的框架槽内，框架槽沿竖直方向，质量m2=0.2 kg，自细绳静止与竖直位置开始框架槽在水平恒力F=20 N的作用下，移到图中所示的位置，此时细绳与竖直方向的夹角为30°，绳长L=0.2 m，不计一切摩擦，取g=10 m/s2，求：

（1） 此过程中小圆球克服重力所做的功；

（2） 外力F所做的功；

（3） 小圆球在此位置的瞬时速度v的大小.

■ 解析（1） 小球克服重力所做的功等于小球重力势能的增加，以小球为研究对象

WG=m1gL（1-cos30°）

=0.5×10×0.2×（1-■） J=0.135 J

（2） 根据功的定义式：

WF=F×Lsin30°=20×0.2×■ J=2 J

（3） 整体讨论，由动能定理

WF -W′G=■m1v21+■m2v22①

小球的实际速度是竖直方向的速度与水平方向速度的合速度.

v2=v1cos30°②

由①②解得：

v1=■=2.52 m/s.

■ 例2在竖直平面内有一个半径为R的半圆形的截面，用轻质的不可伸长的细线连接的A、B两球，悬挂在圆截面的边缘侧，如图6所示，A球质量是B球质量的2倍，现将A球从边缘处由静止释放，已知A球始终不离开球面，且细绳足够长，整个半圆形截面固定，若不计一切阻力，求：

（1） A球沿圆滑至最低点时的速度的大小；

（2） A球沿圆面运动的最大位移是多少.

■ 解析（1） A从开始运动到最低点过程中，A、B系统机械能守恒，有

2mgR-mg·■=■×2mv21+■mv22①

A在最低点时速度方向水平向左，是沿绳方向的速度与垂直绳方向速度的合速度，见图7.

v2=v1sin45°=■v1②

由①②解得：v1=2■

（2） 当A球的速度为零时，A球沿圆面运动的位移最大设为s，A物体下降的高度为h，见图8. AB系统机械能守恒

2mgh-mgs=0，

则s=■R.

■ 例3一根长为L的细绳固定在O点，O点离地面的高度大于L，另一端系质量为m小球，开始时绳与水平方向的夹角为30°，如图9所示，求小球由静止释放后运动到最低点C时速度的大小.

■ 解析A位置运动至B位置过程中，小球的机械能守恒，有

mgL=■mv2①

小球在B点绳被绷紧的瞬间沿绳方向的速度v2变为零，切向速度

v1=vcos30°②

B至C的过程中做圆周运动机械能守恒

mgL（1-cos30°）+■mv21=■mv2c③

由①②③可得：vc=■