基本不等式……在物理解题中的应用赏析

陆健

高考物理既要考查学生对物理知识的掌握程度，又要考查学生综合分析问题的能力，这就要求学生在解决物理问题时能灵活运用知识，从不同角度或用不同的方法来解决物理问题，这离不开应用数学思想与方法. 而基本不等式a+b≥2■（a＞0，b＞0，a=b时，公式取等号）多次成为近几年各地高考中解决物理试题的数学工具. 下面通过两种情况分别加以说明.

■ 类型一：a+b=k（k为定值）

由a+b≥2■可得ab≤■=■，当a=b时，ab乘积取最大值■.

■ 例1晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉. 球飞离水平距离d后落地，如图1所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为■d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.

（1） 求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；

（2） 求绳能承受的最大拉力；

（3） 改变绳长，使球重复上述运动. 若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，求绳长以及抛出的最大水平距离.

■ 解析（1） 设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有

竖直方向■d=■gt2，水平方向d=v1t

得v1=■

由机械能守恒定律，有

■mv22=■mv21+mgd-■d

得v2=■

（2） 设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.

球做圆周运动的半径为R=■d

由圆周运动向心力公式，有T-mg=■

得T=■mg

（3） 设绳长为l，绳断时球的速度大小为v３，绳承受的最大拉力不变，

有T-mg=m■得v3=■

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1.

有d-l=■gt21，x=v3t1，

得x=4■.

设a=l，b=d-l，则a+b=d（定值），由基本不等式可知，当a=b时，即

当l=■时，x有极大值xmax=■d

■ 类型二：ab=k（k为定值）

由a+b≥2■可得a+b≥2■，当a=b时，a，b之和取最小值2■

■ 例2如图2所示，在投球游戏中小明坐在可沿竖直方向升降的椅子上，停在不同高度处将小球水平抛出落入固定的球框中. 已知球框距地面的高度为h0，小球的质量为m，抛出点与球框的水平距离始终为L，忽略空气阻力.

（1） 小球从距地面高H0处水平抛出落入球框中，求此过程中小球重力势能的减少量；

（2） 若小球从不同高度水平抛出后都落入球框中，试推导小球水平抛出的速度v与抛出点高度H之间满足的函数关系；

（3） 为防止球入框时弹出，小明认为球落入球框时的动能越小越好，那么，他应从多高处将球水平抛出，可使小球入框时的动能最小，并求出该动能的最小值.

■ 解析（1） 取地面为重力势能的参考平面，则小球在抛出点的重力势能Ep1=mgH0，小球在球框处的重力势能Ep2=mgh0，则小球重力势能的减少量为?驻Ep=mg（H0-h0）.

（2） 设小球做平抛运动的时间为t，则L=vt，H-h0=■gt2，解得：v=L■，（H>h0）.

（3） 由机械能守恒可知：Ek=Ek0+?驻Ep，且Ek0=■，?驻Ep=mg（H-h0），得

Ek=■+mg（H-h0），设a=mg（H-h0），b=■时，则ab=■（定值），由基本不等式可知，当a=b时，即H=h0+■时，Ek有最小值，所以Ekmin=mgL.