几种力做功的特点及求解方法

徐君生

功是物理学中一个非常重要的物理量，它是解决物理问题三大途径之一——动能定理方程中的关键物理量，同时也是解答物理习题重要方法之一——功能原理中至关重要的物理量. 因此能正确把握物体受到的各个力做功的特点及大小的求解方法就显得至关重要. 本文试就结合具体事例给同学们总结一下已学过的几种力做功的特点，为机械能守恒定律这一章内容的学习打下坚实的基础.

■ 1. 恒力做功

如果F是恒力，则求解恒力做功的基本方法是应用功的公式计算. 对功的计算式W=Fxcosα的使用，除知道F必须是恒力外，还应知道x的含义，公式中的x为力的作用点对地的位移. 对x的理解着重在三点：一是x是位移，位移的大小只与始末位置有关，所以恒力做功的特点是与移动的路径无关，只与始末位置有关，其典型代表就是重力；二是x为对地位移，一定是以地面为参考系而非相对位移；三是x是力的作用点对地位移而不是物体对地位移，这两个位移在绝大多数情况下没有区别，但如果力通过动滑轮施加到物体上，则这两个位移就完全不一样了，请看例1.

■ 例1一恒力F通过一动滑轮拉物体，沿光滑水平面前进了距离s. 在运动过程中，F与水平方向保持θ角不变，求该过程中拉力所做的功.

■ 解析此题最容易得出的答案是WF=Fxcosθ，错误的原因就是没有正确理解公式中x的含义，正确答案应该是：设在绳上打一个结，见图2中的A点，力的作用点位移应该是图中AB长，设为L，则WF=FLcosα，只不过图中的L及α均不知，而求解L及α比较麻烦，所以本题采用等效替代法求解，拉力F作用在物体上的等效力为F+Fcosθ，所以等效力做功为（F+Fcosθ）x.

■ 2. 变力做功

变力做功不能直接用W=Fxcosθ公式计算，求解变力做功常用如下几种方法.

（1） 求解变力做功的方法

方法一：平均值法. 当F是变力时，如果能求出F的平均值，则W=■xcosθ，只是中学范围内会计算平均值的情况就是力F随位移x线性变化，则平均值■=（F1+F2）/2.

方法二：图象法. 若F随位移变化，且能画出F—x图象，则W可用F—x图象与x轴所包围的面积表示，这种F—x图象称之为示功图. x轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，x轴下方的面积表示力对物体做负功的多少.

方法三：分段法（微元法）. 微元法是物理学中非常重要的方法，其基本思想就是化“变”为“恒”，把物体运动的位移分割为若干小段，每一个小段F为定值或近似当做定值，则每一小段可用公式?驻W=F?驻xcosθ，然后把每一小段做功累加求和得到总功.

方法四：等效替代法. 若某一变力做的和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功.

方法五：动能定理法. 动能定理是中学范围内求解变力做功的最基本方法，有关动能定理的应用限于篇幅这里不再赘述.

（2） 几种特殊变力做功的结论

结论一：以弹簧或橡皮绳为代表的弹力，其F与x成正比，应用图象法可得到弹簧被拉升或压缩x时弹力做的功为W=-kx2/2；

结论二： f 大小不变，方向始终与速度v方向相反，应用微元法可得W f =- f s总，式中s总是物体走过的总路程.

结论三：力的方向始终与速度v的方向垂直，应用微元法知这个力不做功（W=0）.

■ 3. 作用力与反作用力做功

（1） 一般作用力与反作用力

作用力与反作用力尽管大小相等，但由于作用在两个不同的物体上，这两个物体对地位移不一定相等，所以如果没有具体指明是什么力就笼而统之称作作用力与反作用力做功，则它们之间没有必然关系，没有作用力做正功反作用力一定做负功的说法. 例如放在光滑水平面上的两个磁体从静止开始在相互吸引力作用下的运动，作用力与反作用力均做正功；再如放在水平桌面上的物体在外加拉力作用下运动，则桌面对物体的摩擦力做负功，而物体对桌面的摩擦力不做功等.

（2） 几种特殊的作用力反作用力做功的特点总结

结论一：一对静摩擦力做功之和一定为零；

结论二：一对滑动摩擦力做功之和一定为负；

结论三：一对弹力做功之和一定为零.

■ 4. 合力做功

（1） 合力做功的求解方法

由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也可以等效替代，由此计算合力功的方法有两种：一是先求物体所受到的合力，再根据公式W=Fxcosθ求合力做的功. 二是根据W=Fxcosθ，求每个分力做的功W1、W2、W3……再根据W合=W1+W2+W3+……求合力做的功. 两种求解合力做功的方法要依据题目特点灵活运用，如物体处于平衡状态或某一方向受力平衡时，先求合力再求功的方法简单有效；如已知物体受力中有的不做功，有的做功，且方便求得该力的功（如重力的功），选择第二种方式简单方便.

（2） 重要结论及应用

同一根绳或同一轻杆对与之相连的两物体做功之和一定为零. 由于绳或轻杆的弹力一般不知，所以求解绳或轻杆的弹力做功比较困难. 如果把这两个物体当做一个整体，因为绳或杆的弹力做功之和为零，从而可以避开弹力做功的问题.

■ 例2如图3在光滑水平面上质量为M物体通过细绳和定滑轮与质量为m的物体相连，整体从静止开始运动，已知m与地面之间的距离为h，求当m着地时两者的速度.

■ 解析绳对m做功，做功的多少与绳拉力大小有关，但绳拉力不知，尽管可以求出，毕竟转了一个弯，所以以M和m为整体作为研究对象，则整体只有重力做功，根据重力做功的特点可知：

mgh=■（M+m）v2

从而求出m着地时的速度v=■