Mathematica软件在高等数学教学中的应用

左占飞

摘要： 本文通过一些具体的例子，介绍了Mathematica软件在高等数学教学中的应用。说明在高等数学教学中融入软件的学习，不仅使得抽象概念变得形象生动，而且能避免冗长繁杂的计算，从而激发学生学习高等数学的兴趣。

关键字： Mathematica软件高等数学教学应用

一、引言

极限、导数、定积分等概念，可以说是高等数学中最重要、最具有代表性的概念，它们体现了应用微积分的思想和方法，其应用几乎涵盖了所有的自然学科。但上述概念对于学生来说也是最难理解的，因为从本质上来说它们有三种表示形态：逻辑形态、算法形态和直观形态。大学老师呈现最多的是前两种形态，因此造成大部分学生觉得高等数学的学习抽象枯燥，运算繁琐冗长。为了帮助学生解决认知中的困难，首先通过数学软件的直观演示，加深学生对一些重要概念的理解，然后再详细地介绍它们的逻辑形态和算法形态，这样使得抽象概念的学习更加形象生动。下面就Mathematica软件在教学中的具体应用谈谈心得体会。

二、Mathematica软件在高等数学教学中的应用

1.运用软件演绎极限的概念

在同济版的高等数学教材中，数列极限的引入借用的是刘徽的割圆术，即利用圆内接正多边形来推算圆的面积，具体过程如下：

设有半径为r的圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A■；再作内接正十二边形，其面积为A■；循此下去，每次边数加倍，一般的把内接正6×2■边形的面积记为A■。当n越大，内接正n边形与圆的差别就越小，从而用其内接正n边形的面积A■逼近圆面积S，由图1经过计算可知A■=nr■sin■cos■（n=3，4，5，…），当n无限增大时，A■无限逼近S。上述的文字叙述过程在课本中非常繁琐，如果我们只用语言表达，学生理解起来会比较吃力，因为他们看不到n无限增大时，A■与S逼近的程度。如果用Mathematica软件，在图1中用动画的方式将上述过程演示出来，学生就会更加直观地看到上述逼近的过程，从而对极限概念有一个更直接的感官认识。用这样的几何直观再配合理论推导，学生反映普遍较好，取得了比较明显的教学效果。

图1

2.运用软件演绎导数的定义

在高等数学中，导数概念的引入主要是来源于两个问题：瞬时速度的计算和切线问题。我们在教学中采用了第二个问题，用Mathematica来演绎导数的定义。首先给出函数在点x■导数的定义：

■■=■■=f′（x■）

单从定义上去看，导数是函数变化率的极限，学生理解起来还是有些困难.如果借助图2，从导数的几何意义去讲解就会比较容易，而且可以利用Mathematica选中上面的所有图形，并从菜单中演示动画（如图3），从中注意观察割线逼近切线的过程及割线斜率逼近导数值的过程，让学生直观地了解切线为一系列的割线运动的极限位置。

图2图3

3.运用软件演绎定积分的定义

定积分的定义是高等数学里比较难理解的一个概念，因为它和曲边梯形的面积求法密切相关，步骤比较复杂。估算函数的积分值，教材中一般采用的矩形法，所谓矩形法就是把函数曲线下方的区域分成许多小矩形，再根据这些矩形面积的总和估计出函数的积分值。虽然Mathematica没有内置与矩形法相关的命令，但是我们可以利用其强大的图形功能，编制程序实现矩形法，具体的程序可参阅文献[1]。我们以函数f（x）=sinx在区间[0，π]上的定积分为例，通过直观图4发现，当n不断增大时，黎曼和不断接近积分真实值2，而且这种差距，即二者之差的绝对值（称之为误差——Error）随着n的增大而越来越小。需要说明的是，在实际教学中上述图形阴影部分和曲线的颜色是不同色彩的，并且以动画的形式给出，学生反映效果极佳。

图4

4.软件在基本运算方面的应用

高等数学除了基本概念的学习，还有一项就是掌握基本的运算，包括计算极限，导数和积分（定积分和不定积分）等。Mathematica强大的计算功能，可以帮助学生们轻松地解决一些难题，例如一些复杂函数的极限问题。

例1：判断函数■在0是否存在极限，如果存在求出极限值。

研究生入学考试中存在不少这样的题型，如果用传统的方法，计算起来是非常困难的，甚至有没有极限我们都不敢保证。运用Mathematica的基本命令limit[■，x→0]很容易得到极限的结果1/6。有了这个结果再去猜想解题的方法。这样的逆向思维方式在数学的学习中经常用到，而且一旦学生掌握了，就会产生去尝试解决比较困难习题的冲动，因而调动了学生学习高等数学的积极性。当然对于导数和积分，用Mathematica计算也很方便，特别是求一些复杂函数的高阶导数，混合偏导和积分问题，软件的运算优势就表现得非常明显。

例2：计算sinx■y对x的2阶偏导数。

我们只需要输入D[sin[x^100*y]，{x，2}]很快便得到结果：

9900x■ycosx■y-10000x■y■sinx■y

如果我们把偏导的阶数提高到10阶或者更高再来对比，软件的运算优势就会表现得非常明显，限于篇幅的关系就不列举了，有兴趣的学生可以自己尝试一下。

例3：计算定积分

此题中被积函数的原函数不是初等函数，用一元函数的积分方法无法求解，若是借助软件运行命令NIntegrate[Exp[-x^2]，{x，0，3}]，则很容易得到其数值解0.886207，并且我们还可以自己调节精度。

但我们也应清醒地认识到，数学运算是教学中的重要环节，是提高学生素质的重要手段。如果学生过分依赖计算机，而忽视数学基本运算能力的培养，反而不利于教学质量的提高。在引进Mathematica进行计算的同时，我们不能忽视学生的数学运算能力，应该在基本概念、基本运算按大纲要求讲解完成后，将Mathematica作为巩固已学知识、提高学生知识运用能力的有利工具。

三、结语

引入Mathematica软件进行高等数学教学，给传统的教学注入了活力，使得抽象概念变得形象生动，冗长繁杂的计算变得简单。今后还要对Mathematica软件如何深入地与教学相结合的问题做进一步探讨，提高信息技术与数学教学整合的实效性，提高教学的质量与效率。

参考文献：

[1]郑靖波.将数学软件和数学实验融入微积分教学的实践.安徽工业大学学报[J].2003（1）：82-83.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.