【摘要】数学在人们生活中的应用非常广泛，我们要对数学和应用数学进行特色的专业建设.这样做有利于进步优化学科的专业结构，提高学科的影响力.为了适应现代化社会的发展需求，我们要大力地进行特色专业的建设.在这个过程中我们应该从多个方面入手，本文就对这些因素进行阐述和探讨.【关键词】数学；应用数学；特色专业；专业探讨一、特色专业建设的意义和目的数学与应用数学的特色专业的建设主要是指在高等教育过程中对教学手法和手段、教学技术以及教学原理进行特色化建设和规划，这是对数学及应用数学学科的丰富和发展.特色专业建设是现阶段提升学科地位和提高学科竞争力的重要手段，也有助于合理优化本学科，意义十分重大，是我们应该大力发展的任务和工作.二、如何理解和衡量特色专业高校如果想长远发展，需要的就是本校的特色专业，特色专业所依仗的在于对人才的培养方法和经验.作为特色专业，应该具有别人所不具备的特点和属性.下面我就对特色专业应具有的特点进行阐述.1本哂斜鹑瞬痪弑傅奶氐这种特点主要体现在办学理念、教育思想以及教学定位上.这些因素要和别的院校有所不同，而且需要起到模范带头作用，真正做到领先其他人，在某一地区或某一领域内非常突出.2币有代表性特色专业需要在学科特色、人才教育的方法和培养以及专业队伍的建设方面具有专业的代表性和杰出性.3币提高社会地位还有一个非常重要的评定和衡量标准就是对这个学科的社会地位和人民群众的口碑进行分析.既然作为特色专业那就应该有良好的社会声誉和广泛的知名度，要受到全社会的好评和推崇.但是，作为特色的专业和学科，要想达到以上的声誉就要做到让社会各个阶层了解和熟悉学科的属性.比如本文所阐述的数学和应用数学领域，数学专业的难度较大，人们比较难以理解.所以说，要想在数学领域建设成特色的专业就需要培养出一些高素质、高水平、高智商的“三高”人才，而且这些人才还要走入社会，让全社会的人都了解数学，为提高全社会的科学素质作出贡献，奉献出自己的力量，为经济发展提供必要的帮助和支持.4本哂邢∪毙既然叫特色专业，就要具有一定的稀缺性.试想，如果某一专业数量特别多，那么何谈特色专业？所以说，在特色专业的建设中应该考虑地点和社会条件的因素等条件.特色专业的建设关系到一个学校的声誉和地位，是十分重要的因素.三、数学与应用数学特色专业建设的思路和方法数学与应用数学特色专业建设并不是那么容易的，需要我们总结出一定的经验和技术，这是我们做到特色专业化建设的关键，下面就是我总结的几点思路和方法.1毙枰有专业技术的师资队伍人民群众是历史的创造者和主体，人的作用是十分巨大的，是不可估量的.我们知道，数学和应用数学比较难于理解，专业技术比较高，所以说需要大量的专门人才和强大的师资队伍，只有这样才能在数学和应用数学方面进行特色专业的建设.作为高等学校，要想提高和建立特色专业水平就要首先建立出一个富有战斗力和凝聚力的师资团队，这是建立特色专业的重要保障和关键所在.师资队伍的建立并不是非常容易的，难度和困难非常之多.首先，数学领域的难度和复杂度比较大，专业人员也往往较少，顶尖的人才也就更少了，人才的匮乏是数学和应用数学特色专业建设的难点.其次，研究技术手段不够成熟，人为的努力较大，由于我国的数学研究技术在世界上不是最先进的，因此我们的研究难度非常大，完全需要用人力的方法进行特色专业的研究和建设.2笔学与应用数学特色专业建设要对学生进行能力的培养对于学生能力的培养是非常重要的.教师承担的任务就是传道、授业、解惑，对知识的研究和深加工是学生的主要任务.创新是一个国家兴旺发达的不竭动力，整个社会的主旋律就是创新.在学术研究领域也是如此，学生是学术创新的主体，学生具有思维灵活和创造力强的特点，尤其是在数学和应用数学方面.3苯ㄉ枋学与应用数学特色专业要建立在加强就业的基础上我们国家的就业形势非常的严峻，有许多大学生对专业的挑选上是建立在就业率的基础上的，学生往往对该专业以及就业前景和方向进行了广泛的了解之后再进行志愿的填报.通常来说，一个专业的发展在一定程度上是根据就业方向和就业率来定的.所以说，数学和应用数学在特色专业的建设上需要对就业前景进行分析，这是关乎这个专业的前途和将来的重要因素.作为高校，就要通过各种手段和方法提高学生的学习兴趣，尽最大努力吸引学生，使其关注数学及应用数学，提高就业率，为建立特色专业做最初必要的和充足的准备.从而提高数学和应用数学专业的就业率，进而提高专业的影响力，进行良性的循环.四、结语作为高等学校，应该充分地了解特色专业的意义和目的，尽最大努力发掘和研究特色专业建设的新方法，充分发挥老师和学生的巨大作用，深入了解当今的社会现实，从而达到数学与应用数学特色专业的相关探索和建设.基于素质教育背景下的高职数学教学探究基于素质教育背景下的高职数学教学探究◎陈如奎（江苏省盐城生物工程高等职业技术学校224051）随着现代教育的不断改革与深化，素质教育备受各教学领域的关注.因此，在高职数学教学中，教师不但要让学生吸取知识，还应引导学生把握数学的自身特点，全面促进学生综合素质的提高，让学生学会学习、学会思考、学会做人，提高审美能力、创造能力，增强职业道德、职业素质.一、注重智育教育，培养学生的学习能力1币导与启发学生会学在素质教育下的教学中，教师应以学生为主体，调动其主动积极地参与课堂教学.同时引导与启发学生会思考、会学习，能够掌握科学的自学方法，提高学习效率.例如，“初等函数的导数公式”的推导教学时，因为这类公式的推导过程大多数是先求改变量，再求改变量的比值，最后取极限，教师在教学中可先示范推导出几个公式，然后要求学生自己推导其他公式，而后教师可设计几个相关题目，来检测学生的学习情况.这样通过学生自学，同时练习巩固，有利于学生加深对所教知识的理解与掌握.其他章节内容较简单的，抑或方法相似，都可如此让学生自学，帮助学生掌握方法而学会自学.2币蕴岣哐生能力为主在素质教育中，注重培养与提高学生的综合学习能力，如创新能力、逻辑与思维能力、分析与解决问题的能力等，这也是高职数学的教学目标.因此，在高职数学教学中，首先教师要引导学生形成严谨认真的思维习惯，培养学生的思维素质，也就是让学生能够将所学的基本数学公式、概念、法则等理解透彻、准确，这样做题时才可以有理有据，全面思考.其次，教师应教授学生一些问题的思维方法，如演绎归纳、分析综合、逆向思维、发散思维等，尤其是发散思维与逆向思维，有利于学生突破思维定式，使思维变得独特、变通、流畅.此外，除对学生展开一题多变、一题多解的训练之外，教师还可运用多种教学法来提高学生能力.如章节复习，引导学生编小结提纲，将各知识间的联系编为提纲网络等.二、渗透德育教育，提高学生的职业素质1蔽ㄎ镏饕逅枷虢逃在数学教材中，其内容均是基于唯物主义，而数学发展，其本身知识结构及逻辑体系都极具辩证法.如直线和曲线、正的和负的、常量和变量等都是辩证法的体现.所以，在高职数学教学中，教师应将数学的发展史渗透到相关的数学教学中，加强学生的辩证唯物主义教育，向他们展示人类认识自然的过程.例如，借助曲边梯形面积来将定积分概念进行引入，经历四个过程——取点、求和、近似与取极限，从辩证法观点看，则为由整体至局部，再到整体，由变到不变，再到变，由曲到直，再到曲，经历否定之否定这一过程，而第二次否定的完成则借助极限法，实现从量变到质变、从近似转化为精确.这样让学生进一步认识辩证法，再逐渐以辩证法来认识与学习数学知识.2卑国主义与职业道德教育在数学学习中，也蕴涵着多种多样的兴趣素材.在平时的数学教学中，教师可适当穿插一些数学史料，引入数学家们的一些生活趣事，抑或介绍历史典故、数学知识的背景等.例如，在极限概念的引入时，教师可向学生讲述相关故事：早在我国古代，数学家刘徽以割圆术求解圆周率，这是极限萌芽，表明我国文化悠久.再如，祖冲之对圆周率的研究、华罗庚推广与应用的优选法及陈景润探究“哥德巴赫猜想”等均是好的素材，这些数学家们不但具备献身科学与追求真理的精神，而且有爱国主义精神.通过这些兴趣因素，不但可以唤起学生的求知欲，还可对学生进行爱国主义与职业道德教育，使其认识到数学对社会生活的意义.三、融入美育教育，提高学生的审美能力在数学知识中蕴涵着丰富的美.如数学方法之多样、奇妙，公式之整齐、简练，概念之统一、简洁，结构之完备、协调等.尤其是黄金分割体现出数学的和谐之美，而黄金分割比成为了艺术家、建筑师不可缺少的数据，由此而出现不少臻美艺术品、辉煌建筑.因此，在高职教学中，教师应联系教材，引导学生学会观察.例如，教学“抛物线形”时，可想到具有特色的拱桥，其美观而耐压；由行星运行轨道，可联想到所学的圆锥曲线，其运行轨道是因不同速度而形成的双曲线形、椭圆形、抛物线形.同时在自然界中也有不少几何形态，如正六角形的雪花、五角形的星星、正六边形的蜂窝等，而螺旋线则是富有美感与诗意的曲线，这些都体现数学之美与自然之美的和谐统一.教师在教学中应善于发掘与引导，通过设置教学情境来让学生进行欣赏与体会，带领学生探究数学规律，感受数学之美.四、穿插心理教育与职业素质教育，提升学生的整体素质当今社会充满着激烈的竞争，具备良好的心理素质是十分重要的，这样才能更好地面对挫折、失败，迎接挑战.因此，在高职数学教学中，教师应重视学生的心理教育，让学生在数学学习过程中明白每一数学成果均是数学家们通过艰苦努力，经过多次失败而获得的.教师在教学中可介绍些数学家的奋斗事迹，让学生学习他们的顽强毅力、坚强意志，从而提高学生克服学习困难的信心与勇气.在教学中，教师还可适当地营造竞争氛围，培养学生竞争意识与战胜困难的承受能力，从而提高学生的社会适应能力.将职业素质教育融入数学教学中.职业素质是职业中所需的基本品质，体现了知识与能力的结合.因此，在高职数学教学中，教师应以学生为主，不管是新课学习与习题练习，还是复习巩固与小结归纳，均应在老师的引导下要求学生独立、自主地完成.这样让学生经过自己的劳动体会到成功的喜悦，不仅可以激发学生的学习热情，还树立了学生的劳动职业观念.微积分教学中提高学生兴趣的探讨微积分教学中提高学生兴趣的探讨◎刘卉（唐山学院063020）【摘要】随着社会的发展和科学的进步，社会对于教育的要求越来越严格，教师单一的教学手段已经不能满足多样化信息时代教学的要求.教学中需要教师根据教学内容灵活选择教学方法，不断强化教学技巧，使教学变得更加具有时代性特点，更易于被学生理解和接受.本文以微积分教学为例，通过进一步研究，结合内容的特点，合理地利用教具及分析手段，融会贯通，由浅入深，最大限度地让本节内容变得易于理解和接受，从而让学生对数学产生兴趣，最终达到教学目的.【关键词】教育要求；微积分教学；最大限度；兴趣随着社会的发展和科学的进步，学习不单单是教师机械地讲解书本知识，学生被动接受的过程，更多的是学生了解所学知识的现实意义，主动学习的过程.只有学生积极主动地参与，才能更加透彻地理解所学知识，从而更进一步与现实生活相联系，将知识付诸实践.以微积分的教学为例，为了能使学生更好地学习这部分知识，应在以下几个方面做好准备.一、发挥学生的主观能动性，安排学生做好课前预习学生是课堂教学的主体，可以课前给学生布置两道思考题：变速直线运动的速度和距离两者之间如何已知其一求另一个？曲边梯形的面积如何计算？让他们对将要学习的知识有一定的认识.也可以让其通过网络或书籍了解赵州桥的形状及其构成，为定积分求面积做准备.有了一定的了解之后微积分的学习就会比较自然并且学生也容易接受.二、在微积分教学中渗入数学文化有时单纯讲解数学概念及习题是比较枯燥的，其实数学中的许多概念并不是凭空捏造出来的，而是经过历史的沉淀，一代代数学家不断的潜心研究发展而来的，若能将这部分背景按照讲故事的方式呈现给学生，讲解生动形象，那么学生也会喜欢听.但由于课上时间的限制，并不能对这部分背景进行系统详尽的介绍，而是要根据所讲内容选取主要事件进行讲解.在微积分教学中对其思想萌芽的讲解是必不可少的，两千多年前的古希腊时期，地中海沿岸的奴隶们认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力，于是广泛应用装有滑轮和圆轴的车子来运输东西.而要精密地制造这些工件，就需要对圆形有精确的认识，在深入研究的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽.我国古代也早就有了微积分思想的萌芽，西汉刘歆的“记里车”，东汉张衡的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物件，魏晋时期刘徽提出的“割圆术”就使问题得到了解决，他用正多边形的面积来逼近圆的面积，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，包含了“无限细分，无限求和”的微积分思想方法.又如：隋代建造的赵州桥，是微积分“以直代曲”思想的生动原形，它是用一条条长方形条石砌成的，一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈.但当时由于生产实践水平的限制，并没有形成完整的微积分理论.直到16世纪前后，社会生产实践进入了一个新时期，开普勒总结出行星运动三大定律，伽利略发现了自由落体运动规律，笛卡尔及费马提出了变数的概念.在这种背景下，微分和积分就成为必要的了，于是也就产生了.那么微积分是解决什么问题的呢？其中最重要和比较典型的要属速度和距离以及曲线的切线和曲线下面的面积这两类问题.中学及之前我们学过了匀速直线运动路程及速度的计算，那么当物体做变速直线运动时又是什么样的呢？我们也会计算三角形、矩形、梯形的面积，但如何计算曲边三角形、曲边梯形的面积呢？正是为了解决这两类问题，才导致了牛顿和莱布尼茨两人各自独立创立了微积分.实际上对于曲边三角形来说，古代的“割圆术”和古代劳动人民用一块块石头砌成的拱桥的桥洞给了我们启示，整体看是曲的东西，在局部却可以“以直代曲”.牛顿和莱布尼茨创立的微积分由于时代的限制有些观点并不严密，之后的数学家在极限理论上建立的微积分使得其完善起来，这也就是我们现在要学习的微积分.通过对历史的讲解，可以让学生们对这部分知识的来龙去脉有个清晰的认识，同时，古代数学家们对知识探求的精神也是值得我们当代人学习的.三、加强数学软件的运用，以辅助教学随着科学的进步，数学软件的运用将成为一种趋势，目前国内高校普遍运用的数学软件主要有Matlab，Mathmatic，Maple等，这些软件的运用很大程度地方便了教学，对于学生和老师来说都大有帮助.其一，通过数学软件绘图可以更清晰地将要学习的对象展示给学生.如在学习用“微元法”计算图形面积和体积的时候，通过图形的三维性，能够更清晰地理解微元如何选取以及变量是怎么变化的.如果能以动画的形式将微元随着变量的变化而移动的过程展示出来，那么效果更佳.其二，通过简单编程实现微积分的实践应用.在微积分教学中适当使用数学软件辅助教学，通过设计一些小程序，在讲解完基础知识之后让学生来实践练习，既验证了理论知识，又提高了学生的实践能力，当然也能够激发学生的学习热情.四、通过适当的作业来巩固教学课堂上大部分时间是老师讲，学生互动和接受的过程，作业对教学来说作用是非常重要的，通过课下作业可以巩固学生课堂上所学的知识，加深对内容的理解，也提高了学生的动手能力.当然对于作业的布置也是有要求的，并不是老师灵机一动，信手拈来，而是需要之前认真准备，挑选最能反应课堂内容并且具有可行性的题目，由简到繁，以培养学生分析解决问题的能力，将课上知识转化为技能和技巧.总之，要想上好一堂数学课，课前、课上、课后的准备都不可少，通过教师有计划的引导，使用适当的方法和工具，要让学生们有兴趣来学习，发挥学生的主体作用，那么学生从知识的理解、接受到应用都是比较容易的，从而也就达到了目的.【参考文献】［1］朱家生.数学史［M］.北京:高等教育出版社，2004.［2］樊艮.微积分教学的有效性的探讨［J］.中国西部科技，2011（1）.［3］薛有才.数学文化［M］.北京:机械工业出版社，2010.优化高等数学课堂教学的策略探讨优化高等数学课堂教学的策略探讨◎王永静（河南质量工程职业学院467000）【摘要】高等数学是工科院校学生的一门重要基础课.它不仅是学习后续课程必不可少的基础，而且对培养学生的各种能力有重要作用.笔者根据多年的教学实践，对如何优化高等数学课堂教学，提高课堂教学质量进行了探索.【关键词】高等数学；课堂教学；优化策略高等数学是理工科院校一门重要的基础课，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性.通过高等数学的学习，不仅可以培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力和分析判断能力，而且是学习其他学科和进行科学研究的基础.然而，许多学生学习高等数学都感到困难.因此，优化高等数学课堂教学，提高高等数学课堂教学质量，已成为教学过程中急需解决的问题.一、加强教学的针对性合理安排教学内容，根据专业和学生的特点，打破统一教纲和教案的框框，调整教学内容，因材施教.比如，一开始就让学生明确学习目的，理解学习的意义，了解课程的主要内容和作用，帮助学生端正学习态度.教师备课时要深入理解教材内容，确定重点、难点内容，分析知识点的背景及来龙去脉，分析教学内容对学生知识结构、技能训练的作用.教师不仅要备教材，还要备学生，要深入了解学生的知识水平、心理特点，站在学生的角度去感受内容，分清授课内容的主次、轻重、缓急，避免全面开花，改变教师滔滔不绝、学生昏昏欲睡的状况.二、改革教学方法教师应根据不同的教学内容和教学对象，优化组合不同的教学方法，让每名学生的思维都处于积极状态，使教师的主导作用与学生的主体作用有机结合起来.例如，加强“直观”教学.对于高等数学中抽象、复杂的理论，教师应尽量运用猜想、画图、类比等直观性教学法，使学生易于理解和接受，给学生提供了一个具体的想象空间，不仅容易加深对概念的理解，而且也有利于培养学生对数学的兴趣.教师的教学语言更要注意生动形象，举例时注意结合他们的专业，适时地插入一点文学、语言学、经济学、美术学、音乐学、影视艺术等方面的例子，插入一点数学家的故事，插入一些在现实社会生活中发生的与数学有关的事例，既可活跃课堂气氛，加深学生对数学的地位和作用的认识，也可启发他们如何去学习数学、学好数学.三、充分利用先进教学手段高等数学中有很多概念是比较抽象的，如果用语言表达很难表达清楚.随着现代科学和计算机技术的迅速发展，多媒体技术等多种教学手段在数学教学中的应用，使得传统教学中的很多弊端得以改善，减少了板书，降低了重复教学的工作量，增加了单位时间的教学信息量，丰富了教学内容，有利于激发学生的学习兴趣.现在大多数高校的教室都配备了多媒体，针对高等数学这门课的特点，适当的用多媒体教学，可以提高教学效果.高等数学的一个显著特点就是内容比较抽象，传统的板书方式使抽象的东西不能形象直观地展现在学生面前，学生理解起来就比较困难.如果利用多媒体，可以起到很好的效果.比如极限这个概念，在课件中引入刘徽的割圆术，并用动画演示，通过动画演示形象地表明:当分割越细，多边形的面积就与圆的面积越来越接近，充分体现了极限概念中“无限接近”的深刻内涵.又比如:定积分的引入，分割、近似、求和、取极限的过程，用动画演示分割越细，小矩形面积的和就越接近于曲边梯形的面积，从而很容易理解定积分的思想，并加深了对这个概念的印象，提高了课堂教学效果和授课质量.四、注意理论联系实际大学数学与高中数学相比，概念抽象了很多，学生理解起来就会很吃力，这样枯燥的概念讲多了，学生就只能死记硬背，这样既不能激发学生学习的热情，又使学生学习起来很费劲，达不到很好的教学效果.对于一些抽象的概念即使我们讲解得再深刻、再透彻，学生有时还是难以迅速地消化吸收.因此我们必须通过一些例题来帮助学生对于概念的理解和掌握，能够举出恰当的例子也是对课堂教学效果的一个促进，另外还能活跃课堂的气氛.因此，教师在讲到应用时，尽量从生活中发掘熟悉的事物设计数学问题，让学生体验到数学与生活的联系，也便于他们理解抽象的东西.例如，在讲到第三章“函数的极值”时，我们给学生提出这样一个问题:敌人乘汽车从河的北岸A处以17 m/s的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为33 m/s.问：我军摩托车何时射击最好(相距最近射击最好)?五、将传授数学知识和揭示数学文化有机结合起来作为面向大学生开设的一门通识课程的高等数学，既要介绍高等数学最基础的知识，又要开阔学生的眼界，尽可能使学生对近现代数学的概貌有一个粗略的了解，并着力揭示数学科学的精神实质和思想方法，这样才可能使学生终生受益.传授知识和揭示实质二者不可偏废，因此，所介绍的应当是最基础、应用最广泛的高等数学知识.首先应当介绍研究确定性现象的一元微积分和研究随机现象的概率统计初步.在此基础上，再比较简要、系统地介绍一点数学发展史，介绍一些经典数学问题、传统数学分支和当代数学科学的发展，通过史实与例证来揭示数学科学的精神实质、思想方法、对社会进步的推动、与其他学科的交叉等.教学的根本目的是使学生们通过该课程的学习，既学到必要的数学知识和技能，又了解到数学科学的基本思想方法和精神实质；既受到形式逻辑和抽象思维的训练，又受到辩证思维和人文精神的熏陶，使得学生在今后的一生中，即使把许多具体的数学定理和公式忘掉了，但数学科学分析问题、解决问题的基本思想方法和严谨求实、一丝不苟的科学精神仍然在帮助他，指导他的工作、学习和生活.总之，我们要考虑高等数学的学科特点，加强教学的针对性，改革教学方法，充分利用先进教学手段，注意理论联系实际，将传授数学知识和揭示数学文化有机结合起来，建立和谐融洽的师生关系，才能调动学生的学习热情，提高高等数学的课堂教学效果.【参考文献】［1］乔建中，等.我国有效教学研究的现状与问题［J］.青年教师，2008(9).［2］向昭红.高等数学“研究性教学”的研究［D］.湖南师范大学，2005.［3］詹棠森，等.普通本科和独立学院数学类课程教学比较［J］.大学数学，2010(2).［4］鲁炎夏，安潇潇.独立学院高等教学课堂教学最优化问题初探［J］.教育教学，2010(8).［5］黄光清.高等数学中数学思维培养的教学对策与设计［D］.湖南师范大学，2005.浅谈数学文化如何渗入高职数学教育教学中浅谈数学文化如何渗入高职数学教育教学中◎郑燕华（济南工程职业技术学院基础部数学教研室250014）【摘要】在高职数学的教育教学中，将数学文化渗入其中，会使学生感到学习数学不是枯燥的，数学逻辑不是冷酷的，它可以令人赏心悦目，能够陶冶人的性情；体会数学的科学价值、应用价值和人文价值；欣赏数学的美丽，知道数学应用的门径；开阔视野，加强对数学的宏观认识和整体把握；受到优秀文化的熏陶，领会数学的理性精神，从而提高自身的文化素养.【关键词】数学文化；数学教学；数学史；数学美一、数学文化渗入高职数学教育教学中的意义数学是一门抽象的学科，掌握扎实的数学知识对开拓和提高学生的逻辑性思维有很大帮助.数学教育目标已经发生转变，正在向以培养学生数学素质为宗旨的能力教育转变.在这种形势下，如何改革数学的教学方法，做到以学生为中心，积极培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习积极性，学会用数学的思维方式来判断解决身边的事物，这是数学教育的重点，更值得我们探讨.数学也是一种文化.数学文化是指人类在数学历史活动过程中所创造的有价值的东西，是以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、技术、理论等联系起来的相关文化领域组成的一个具有强大功能的系统.随着人们对数学文化认识的不断深入，数学文化的教育价值越来越受到广大数学教育工作者的关注和重视.“数学教育应具有‘文化素质教育与‘数学技术教育的双重功能.”如果这种认识仅仅停留在学术的理论层面上，数学文化的教育价值就只有潜在的意义，不能自然而然地成为一种教育效果体现在学生身上.因此，非常有必要将数学文化渗入高职数学教育教学的实践中.如果在高职数学的教育教学中，将数学文化渗入其中，会使学生感到数学学习不是枯燥的，数学逻辑不是冷酷的，它可以令人赏心悦目，能够陶冶人的性情，使人聪明、高尚.通过介绍数学知识产生的背景，讲述数学史，介绍数学语言的特点和数学在其他学科、日常生活和社会发展中所起的作用，培养学生对数学的兴趣；运用现代教学技术把数学内容声情并茂地展示给学生，让学生亲身感受数学之美，激发学生学习数学的兴趣，形成较强的求知欲，提高学生的数学素养.从这点来看，也就要求学生适应社会的能力要进一步提高，这是大学生实现自身价值的需要，也是顺应时代变化的体现.二、结合学生所学专业将数学文化渗入高职数学教育教学中喝白开水与品茶，感受是不同的.如果你只把数学当做一门工具，很可能是淡而无味的；而作为一种文化来讲，就要慢慢地让学生有一个体验和感悟的过程.这就需要我们教师去创设生活情景，采撷生活实例，与学生一起走进生活，捕捉数学信息，领会数学思想，学好数学，为专业服务，为社会服务.1苯樯苌活中的数学美，让学生感受数学的美丽我教的学生是工程造价专业的，在介绍高等数学绪论时，我讲了黄金分割，建筑艺术必须遵循的黄金律.我通过引入的情境“一支粉笔多长最好？”让学生了解黄金分割的实际应用价值，向学生介绍如何运用黄金分割法得到一支粉笔最合适的长度.然后，再向学生介绍我国著名数学家华罗庚用“优选法”即黄金分割法帮助五粮液集团研制低度酒和发现煤矿创造了几十亿的经济效益.这些都能让学生感受数学在生活中的应用价值.学习黄金分割后我还让学生走进生活中，引导他们发现黄金律是建筑艺术必须遵循的规律.2苯樯苁学史，让学生感受数学的魅力用数学史创设情境可以让学生充分感受数学的魅力.比如在课堂上介绍数学家的趣闻轶事、数学概念的起源和发展过程、古今数学方法的简单对比等，都能激发学生的学习兴趣.我在微积分教学过程中，多次介绍与课本内容相关的数学人物、数学事件.例如：在学习第一章函数、极限及连续时，介绍康托的生平，由集合论引起的一些数学悖论，第三次数学危机，柯西、魏尔特拉斯的生平及在极限和连续方面所做的工作，古诗词中包含的极限与连续的思想等.通过数学史的讲解，让学生明白数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科.3苯樯苋粘Ｉ活中的数学，让学生懂得生活中处处有数学结合课堂教学内容采集生活中的数学实例，为课堂和专业教学服务，让学生对数学不再感到陌生.比如在学习概率知识时，由于概率的思想方法有其独特之处，学生在初学时难以理解，从而感到这门学科枯燥乏味，有的知识则似乎很“玄”，离我们很远，因此对概率学习不感兴趣.4苯樯芏猿菩缘氖学美，让学生提高解题效率在微积分解题过程中，恰当地利用对称性，可减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题效率，达到事半功倍的效果.比如，分部积分公式∫udv=u·v-∫vdu，可写为：∫udv+∫vdu=u·v+C.例如，∫ex(sinx+cosx)dx=∫exsinxdx+∫excosxdx=∫sinxd(ex)+∫exd(sinx)=ex·sinx+C.通过了解数学中蕴涵的对称美，增强学生学习数学的兴趣，提高解题的效率.总之，在高职数学的教育教学过程中，通过讲授数学语言、数学精神、数学思想及数学技术，使学生初步了解数学与人类社会发展的关系；体会数学的科学价值、应用价值和人文价值；欣赏数学的美丽，知道数学应用的门径；开阔视野，加强对数学的宏观认识和整体把握；受到优秀文化的熏陶，领会数学的理性精神，从而提高自身的文化素养.【参考文献】［1］张楚廷.数学文化［M］.北京:高等教育出版社，2000.［2］齐民友.数学与文化［M］.长沙:湖南教育出版社，2000.［3］张奠宙.20世纪数学经纬［M］.上海:华东师范大学出版社，2002.［4］中外数学简史编写组.中国数学简史［M］.济南:山东教育出版社，1986.［5］M.克莱因.古今数学思想(1-4)［M］.上海:上海科学技术出版社，1979.试论远程开放教育专科数学课程的标准与结构试论远程开放教育专科数学课程的标准与结构◎汤慧龙（浙江绍兴广播电视大学312000）【摘要】远程开放教育数学课程，由于保持了传统的数学逻辑体系，使教和学存在较大的难度.根据远程开放教育的特点，数学课程标准和教材结构应该重新审视并进行改革，以适应远程开放教育的发展.【关键词】开放教育；课程标准；教材结构；问题教学【课题编号】浙江广播电视大学XKT11J17课题研究成果一、数学课程现状远程开放教育专科层次涉及数学的课程有高等数学基础、经济数学基础、微积分初步等.这些课程包含一元微积分学中实数、函数、极限与连续、导数及其应用、一元积分学中不定积分、定积分及其应用、二元微分学和线性代数等主要内容.相对于普通高校中的数学课程，远程开放教育的数学课程降低了难度，不过分追求理论上的严密性，不过分追求复杂的计算和变换，但仍然保持了微积分的逻辑体系.另一方面，远程开放教育学员的数学基础普遍较差，工学矛盾突出，学期时间短，学习的连续性难以保证.于是，数学课程实施的实际情况是学员普遍感到难学，教师难教.大多数学员由于纯粹为了应付考试，课程学习结束后，很少留下数学的概念和方法，更不可能用数学的方法解决实际问题.要使学员学有所得，保证开放教育具有一定的教学质量，应该重新审视数学课程的标准和数学课程的结构.二、数学课程标准数学课程标准是对一定学习阶段学生在知识的掌握和技能的培养等方面应发生的一些变化的规定，以及一定的数学教学内容及其安排.很显然，课程标准必须根据受教育对象的实际和教学形式而确定，数学教育必须基于学生的“数学现实”.1苯逃对象远程开放教育的受教育主体是成人，更多的是从事业余学习.专科层次的学生大多只经过技校、职校的学习，数学知识的难度和深度不高，系统性不强，总体上数学基础较差.这样的“数学现实”，让学生在较短的时间里，学习连一般的全日制大学生也感到困难的高等数学系统理论，显然是不现实的.2苯萄目的远程开放教育主要定位在高等教育大众化、终身教育上，更多的是为了普及和提高，更强调职业性、技能性、实用性取向.当前，远程开放教育中几乎已经没有纯数学专业的学生，数学只是其他专业，特别是理工科专业培养方案中的重要组成部分.数学课程的教学目的是使学生了解高等数学的一些基本的结论和方法，这些结论和方法可以解决哪些实际问题，以及如何解决问题，从中领悟数学的一些思想精神.3苯萄内容基于上述的现实与考虑，远程开放教育专科数学课程的内容不可能也不必要是系统的和完整的.我们应该选择一些实用性的、技术性的、可操作性的基本内容.远程开放教育的数学课程更适合作为一门技术性的课程，正像我们学习计算机的操作与应用一样.在已经建立的数学理论平台上直接学习一些技能和方法并能解决实际问题.三、数学教材结构远程开放教育强调学员自主学习，而最基本的学习媒体也称为理解性课程是文字教材.由于以传统的高等教育的教材标准来编写和审定远程开放教育课程的教材，造成许多学员阅读困难甚至根本不去阅读教材.所以，改革数学教材结构，提供给学生一本简明、通俗、实用的数学教材，是保证开放教育质量的重要措施之一.1蹦谌菡合目前远程开放教育在不同专业开设不同的数学课程，尽管课程名称不同，但其基本内容总是涉及微积分、线性代数以及概率统计等知识.而我们认为，这些技能和方法，无论对于理工科专业，还是经济管理类专业，甚至其他专业，从高等教育大众化的角度来看都是十分必要的.所以，可以把数学的一些基本的和重要的知识和方法整合在一起，形成通用的数学教材，内容就是导数的计算和应用、积分的计算和应用、线性方程组的解法、概率和统计数据的计算.2苯滩奶逑教材体系应该打破传统的编写模式，采用“提出问题——知识方法——解决问题”的形式.例如，对于微积分，取消抽象难懂的极限理论，在初等函数的基础上，直接给出微积分的运算方法，继而着重介绍导数和积分在经济及工程技术中的基本应用.数学具有严谨的逻辑体系，但数学学习并不是非要遵循这种严格的逻辑体系.数学发展的历史告诉我们，中国传统数学有辉煌成就，但并未纳入严谨的逻辑演绎体系，牛顿—莱布尼兹创立微积分时，也根本没有研究其严谨性.事实上，兴盛于20世纪50~60年代的范例教学理论就认为，臃肿庞大的课程内容，实际上使学生获得的知识，往往是掌握得少，丢弃得多.提倡要敢于实施“缺漏”教学，让学生学习最基本的、有可能一辈子都记住的东西.四、结语从根本上说，课程问题是关乎人才培养的模式问题，课程建设必须时刻关注教育实践的走向.不同类型、不同层次、不同模式的学习，课程的结构体系也应该不同，反映在数学课程内容上，就不仅仅是题目的难易和多少，更重要的是根据学习对象和学习模式，建立新的课程标准和结构体系.上述讨论是对于远程开放教育数学课程走出困境的一种有益的尝试.基础教育数学课程的理念同样适用于远程开放教育：人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展.我们希望远程开放教育的专科数学是一门实用的、学起来不是那么枯燥而且是有趣的课程，让更多的人能学到数学的技术，领略数学的魅力.【参考文献】［1］钟启泉，等.新课程师资培训精要［M］.北京：北京大学出版社，2002.［2］孟昭鹏，等.论发展的网络教育质量观与人才培养模式的持续改进.高校现代远程教育创新与实践文集［M］.北京：《中国远程教育》杂志社，2005.［3］张奠宙，唐瑞芬，刘鸿坤.数学教育学［M］.南昌：江西教育出版社，1991.［4］杨庆余.小学数学教学研究［M］.北京：中央广播电视大学出版社，2004（12）.数学文化融入高职数学教学的探讨数学文化融入高职数学教学的探讨◎裴琴娟（常州纺织服装职业技术学院213164）随着教育事业的发展，数学逐渐以一种文化的形态出现在人们面前，数学文化分为广义的数学文化和狭义的数学文化.广义的数学文化是以数学的科学体系为核心，以数学思想、精神、技术、知识、理论等为组成部分构成的一个动态系统；狭义的数学文化专指观念性的成分，强调广义的数学文化对人们行为观念的影响，是一种隐性的数学文化.数学文化在教育和社会、文化的发展中具有重要地位.一、数学文化的特征及意义1笔学文化的特征（1）数学文化具有理性特征.数学是一种稳定、可靠的知识，它不受外界习俗和权力的影响，只需要实践的检验，在数学的发展过程中，它不断追求最简洁的理论体系，研究的内容不但包括宇宙规律，还包括自身局限.（2）数学文化具有传播性.由于数学语言具有统一性，因此数学文化能够超越民族和国家得到广泛传播.数学语言没有歧义，数学符号较为简洁，为文化的传播提供了便利.（3）数学文化具有延续性和稳定性.虽然数学发展的历史悠久，在发展过程中不断超越，但在每一个时期仍具有相对稳定的意义，保持着连续发展的状态.（4）数学文化具有应用性特征.数学文化已经逐渐渗透到文化发展的各个领域，为人类文明的发展提供了理论、方法和手段，它的发展前景广阔，并且在发展中不断完善和提高自己，往高科技方向发展.2笔学文化融入高职数学教学的意义（1）有利于素质教育的实施.数学学科有文化功能，能够对人们起到科学教育和人文的教育，对高职学生来说，数学学科能够培养学生的精神品格.数学不仅是一门学科，还是一种精神，这种极具理性的精神能够促进人们思维的发展.素质教育要求促进学生的全面发展，高职数学不但要教授学生数学知识，更要让学生真正认识到数学的学科文化，这样才能提高学生的数学素养，提高学生的综合素质.（2）有利于促进社会经济的发展.数学作为一门学科，有很强的实用性，科学技术和经济的发展离不开数学，数学已经渗透到各个学科内部.随着经济的发展，社会对专业技术人才的需求量大大提高，这就需要高职院校重视校园文化建设，把数学文化融入到数学课堂教学中来，提高学生的整体素质.（3）有利于促进文化的传承和发展.数学文化的传承和发展离不开载体，数学课程就是重要的载体.数学不但能带给学生专业的理论与实践知识，还蕴涵着很多隐性知识，比如数学发展史、数学知识的来源与背景等，教师在授课时要结合这些隐性知识，引入数学文化思想，使数学文化得以继承和发展.二、将数学文化融入高职数学教学的策略1痹诳纬棠谌葜腥谌胧学文化高职的学生普遍的数学基础比较差，相对于数学的学习兴趣也都不太浓厚，如何能够吸引学生听课，将被动学习转化为主动学习，也是我们每个高职数学教师所必须面对的现实，单纯纯粹地讲解数学的公式证明等很难将数学课上得生动有趣.教师可在教学中加入一些人文知识，将一些理论思想的发展过程、一些公式的由来告知学生，或者介绍一下著名数学家的奋斗历史、数学学科取得的辉煌成就，把知识和理论的背景告诉学生，教师可以把数学家的辉煌成就当做励志故事讲给大家，让学生们明白天才之所以成为天才，并不是不劳而获的，而是辛苦的汗水换来的.在微积分的学习中，自然要提到奠基人牛顿和莱布尼兹，牛顿于1661年考上剑桥大学，1665年因为鼠疫的流行回到了家乡，但在校外的生活并没有让牛顿放弃学习，正相反，牛顿在这段时间里有了重大发现，微积分就是在这时候发现的.1667年牛顿返校后继续学习，第二年就获得了硕士学位，1669年就超越了自己的老师，成为科学史上的名人.牛顿研究积分法的时候只有23岁，在一般人看来牛顿无疑是天之骄子，但牛顿自己仍谦虚地称自己是站在巨人的肩膀上，所以看得更高更远.牛顿的故事告诉大家即使是天才，也仍需要别人的帮助和自己的努力，激励学生努力学习.2卑延τ眉壑等谌氲绞学文化教育中去数学学科具有很高的应用价值，各个学科和领域都有所涉及，很多学生认识不到数学的应用价值，觉得实际生活中用不到这么复杂的数学知识，学习数学的目的就是为了应试，教师应该在数学教学中突显数学的应用价值，让学生了解到数学与日常生活中的很多现象息息相关，从而引起学生的学习兴趣，主动学习.比如微积分与社会经济生活之间的联系，现在社会提倡资源的充分合理利用和费用的节省，对于费用的节省问题，无论是生产者还是消费者都想用最小的资金和最少的劳动力来换取最大的利益，那么运用导数知识就能帮助人们在一定条件下做到费用的最小化.在日常生活中也能运用微积分，比如切菜，我们在切黄瓜圈的时候，可以利用定积分和微元法计算黄瓜片切成的薄片的面积相加得到黄瓜片的体积，并且瓜片越薄，体积越精确，提高数值的精确度可以利用定积分.在讲授知识时结合实际生活中的例子能够让学生认识到数学学习的实用性和精确性，提高学习兴趣.3惫菇ㄐ滦偷钠兰刍制合理的评价机制不仅能科学地反映学生的学习状况，还能增强学生学习的自信心，对学生的学习起到激励作用.传统的评价机制只是对学生掌握数学专业知识的情况作出评价，对数学文化并没有要求，教师要把数学文化加入数学评价中去，并且改变以前只重结果不重过程的现象，采取多种评价方法，改变评价方式、评价内容、评价主体，发挥评价的激励作用.三、总结文化之间是相互联系的，数学文化的传播和发展对整个文化体系和科学的发展都有重要的推动作用.因此，在高职数学教学中要促进数学文化的融入，从教育观念、教育内容、教育方法等方面入手，改革高职数学教学，促进数学文化的传播和学生人文精神的发展.对《经济数学》课教学感想◎夏冬群（湖南化工职业技术学院412004）【摘要】本文分析了经济数学教学之现状，并提出了几点在教学中的想法.【关键词】经济数学；改革；数学应用通过近三年的经管类专业的数学教学，深深地感到经管类专业的《经济数学》教学任务之重，课改势在必行.以下是本人在教学中的一些想法，与大家商讨.一、经管类《经济数学》教学现状由于《经济数学》在高职教育的经管系中作为公共心修基础教育课,加上职业教育形成时间较短,教材仍处于完善阶段,经管类的《经济数学》常常是高职高专理工类《高等数学》的删繁就简，去掉了一些相对较难的内容，虽然也介绍了一些与经济有关的内容，如常见的经济函数、边际分析、弹性分析等仅仅也是简单介绍，真正能联系现实经济现象和时代背景、体现专业特色的内容并不多.概念的引入缺少专业背景的铺垫，应用问题脱离生产和生活实际，与学生的知识背景和生活体验之间存在较大的差距，缺乏真正联系实际的应用问题.学生在学习这些内容后，很难感受到数学对他们的专业和今后的工作有多大用处，更无法体会到数学在定量研究、分析、解决经济问题的重要性.从教学方法上来看,教师大都习惯从理工科学生角度来讲授《高等数学》，这种教学模式只会使学生感觉数学抽象,很难做到因材施教,无法使学生体会到《经济数学》在所学专业中的应用性,学生必然感到《经济数学》也是难学且又无用.二、经管类专业学生的现状首先，经管类学生是文、理兼有且数学基础较低，很多学生由于自身学习经历的原因,在学习中往往忽视各部分知识的联系,不能将各知识点融会贯通，更有些学生从中学就没有养成良好的数学学习习惯，甚至对学习数学有恐惧心理.其次，学生的数学思维能力低加上学习方法不当，不能准确领悟数学知识的获取和数学思维方法的形成过程,不会以数学为工具去解决专业所涉及的实际问题.三、经管类专业数学教学改革方案1贝友Э迫胧,优化教学内容高职经济管理类专业开设《经济数学》的主要目的是培养学生的思维方式和能力,提高他们的数学素质,从而全面提高综合素质.然而,目前高职数学教学使用的教材是统一编写的且缺乏一定的实用性和针对性,在这种情况下,我根据所任教班级的专业,对教学内容进行优化，如一元微分学在往年的教学中占了80%的课时，而今采取只介绍知识产生的背景，至于如何计算，我安排学生在机房依靠MATLAB和LINGO软件中完成，这样一来，所占课时只有52%.对线性代数和概率论与数理统计的内容，也根据专业不同来取舍，如金融、会计专业要加强数理统计的内容;而旅游管理、电子商务专业、物流、营销等专业则加大线性代数、线性规划等应用数学内容的学习.课堂上常选择如：生产函数模型、期权定价模型、大型超市购物付款排队系统优化模型、风险投资模型等与专业紧密联系的实例,融专业知识于数学教学中,激发学生学习数学的兴趣.注重对学生的数学应用意识和应用能力的培养.让学生真正产生对所学知识的“想用、能用和会用”,这样才能真正实现数学的价值.2贝咏谭ㄈ胧郑注重培养学生的数学分析思想现行的经济数学课程是以学科逻辑作为教学主线，课程突出数学计算能力培养，这种知识与结构随着专业课程改革逐步失去存在的价值.在经管类专业课程中需要进行数学计算的内容越来越少了.由经管专业数学需求分析可知，经管类专业课程中对数学的主要需求是数学的分析方法，而不是数学工具本身.如案例：假设A公司和B公司的产品需求曲线分别是QA=200-02pA，QB=400-025pB，这两家公司的销售量分别为100和250（1）求A，B两公司当前的价格弹性（2）若B降价后，销售量增加到300，同时，又导致A的销售量下降到75%，问A的交叉价格弹性是多少？（3）假定B公司目标是谋求销售收入最大，你认为它降价在经济上是否合理？此问题的计算并不难，只要会用现成的弹性公式就能完成，但此题反映的经济含义是需要学生通过数据进行分析后作出决策，这正是在教学中要注重培养的数学分析思想的体现.将专业应用与数学课程结合起来，在专业应用中开展数学教学，以经济现象的数量形式来构造数学模型，借助工具进行计算，分析经济现象的背景，体现了数学分析思想在专业课程中的应用，也可以提升经济分析的高度、精度和准确度.3贝幼ㄒ敌匀胧郑数学教师必须转变观念首先,教师要增强应用意识,提高教师应用数学的水平,这是数学应用教学成功的关键.其次,担任经管类专业的数学教师要适当阅读一些经济管理类有关书籍,了解经济管理类专业哪些方面的问题需要用数学知识解决,以及怎样运用这些知识,从专业应用的角度体现数学思想和数学工具的应用.再次,数学教师要善于将蕴含于实际生活中的数学题材与数学基础知识有机地结合起来,将培养学生应用数学意识和能力贯穿于教学过程的始终,要注重从实际引入概念,如“从连续复利引入极限”，“从边际成本引入导数”，“从现金流引入定积分”，从实际提出问题,从而使学生体验数学与日常生活的密切联系.让学生在社会生活中学习数学,在解决问题中巩固所学到的数学知识.最后，教师要善于将现代化的教学手段与传统教学手段相互结合，使教学活动更加形象直观,增加它的趣味性和直观性,充分调动学生的学习积极性,更好地培养学生数学思维能力和实际应用能力.4贝臃务性入手，改变经济数学的考核方法在教学过程中增加了培养学生运用数学解决实际问题能力的内容，就必须在考试、考核中体现出来，这样学生就会在平时的课程学习中格外注意提高自己的数学素质和能力.为此，要改变一考、一卷定成绩的局面，可以采用多方面考核，如在授完一元微分学后，我及时布置上网查询“微积分在经济学中的应用”案例及与此相关的数学模型资料，并借助大学城，鼓励学生自编练习题发到我空间以便交流；并能在学期结束时要完成一篇心得或感想.课后的作业也是不定期，形式不拘一格，如数学小论文、上网查询数学史等.形式多样，综合评定学生成绩，把考试与教学过程有机结合起来.【参考文献】［1］卢春燕.关于高职经济数学改革的几点思考［J］.中国科教创新导创，2008，(35):104－105.［2］陈亚丽.高职数学教学改革中若干问题的思考［J］.兰州教育学院学报,2005（3）.独立学院微积分教学中对微分中值定理的讨论独立学院微积分教学中对微分中值定理的讨论◎樊艮（武汉长江工商学院（原名中南民族大学工商学院）430065）【摘要】在微积分中，微分中值定理是学好导数应用的基础，因而其教学也显得尤为关键.探讨微分中值定理及其相关内容的教学以及怎样构造辅助函数去解决问题，历来是独立学院师生所关注的热点课题之一.【关键词】中值定理；教学；辅助函数；独立学院罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理.它们是沟通函数及其导数之间的桥梁，是研究函数性态的有力工具.微分中值定理对于独立学院学《微积分》这门专业课来说是一个比较重要但又不容易掌握的章节.很多老师讲解完这节课后学生仍然不会解题，这其中一个重要原因就是在教学过程中老师只注重传授给学生中值定理的内容而忽略过程的分析，大多数教师遵循传统的教学方法已经形成一种思维定式：教学生解题时总是习惯从已知条件推导待求结论.显然这种单一思维方式已经不适用于现在微积分特别是独立学院的学生的学习，原因有两点：一是本节课理论性强，二是学生基础相对薄弱.如何让学生更好地掌握微积分中微分中值定理并有效运用，我们针对教学中遇到的一些普遍现象经过研究摸索得到一些体会，与大家共同探讨.一、微分中值定理的内容1甭薅（Rolle）中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ0)，则此函数的单调性如何？奇偶性如何？于是，对一类函数f(x)=x+mx(m>0)就有了一定的了解，对解这类问题的技巧和方法也有一定的掌握，进一步求函数y=x2+5x2+4的最小值，由y=x2+4+1x2+4≥2，等号成立条件为x2+4=1x2+4，无解，怎样做？由转化、分类讨论思想可得t=x2+4(t≥2)，即y=t+1t，它在［2，+∞）上单调增，故y的最小值为52，得以解决.若再引进参数k，则变为y=x2+1+kx2+1≥2k，等号当且仅当x2=k-1时成立，此时又要对k≥1和00)，再将点M代入即可，因而一带而过，甚至视而不见.其实在教学中若能积极加以引导，合理变式，学生将有很大的收获.教师可以带领学生继续深入研究本题，给出变式练习.深入变式1：如何改变上述问题中的条件，使得其解法分别是设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，x2=2py(p>0)，x2=-2py(p>0)？此问题并不难，但能激发学生观察、对比、分析和概括，让学生也参与到变式教学的问题设计当中来.拓展变式2：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，-22)，求它的标准方程.有了上面的铺垫，学生应能想到用分类讨论手段解决.变化变式3：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(a，b)(ab≠0)，求它的标准方程.此时学生仍可利用分类讨论解决，但在教师的引导下，通过对照结果以及变式1中的情况，还是有可能概括出此时抛物线的方程可设为y2=2mx(m≠0)，以避免分类讨论.到此时学生完全可以自己类比出变式4及其解决方法：延伸变式4：已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(a，b)(ab≠0)，求它的标准方程.解法是可设抛物线的方程为x2=2my(m≠0).这样学生通过自己分析、概括，参与问题设计，使得对抛物线标准方程的理解将更透彻、更深入.通过一题多变的练习和阶梯式的设问，不仅分散了难点，更使学生将所学的知识融会贯通，学习兴趣高涨，便于提高学生思维的灵活性和创新性，培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生勇于探索、勇于创新的发散思维能力.总之，在教学中教师要利用数学学科的特点，根据教学内容，紧扣教学目标设计好课堂练习，加强设计“精品”习题的意识，以少胜多，以质为上.在知识和难易程度适宜的基础上设计有一定“坡度”“难度”“密度”的习题，练习时注意加大知识间的“跨度”，变换形式间的“角度”，求新、求活，让课堂练习不断成为学生学习数学兴趣的直接发源地.让学生身处“做题初，趣已生；做题时，趣愈浓；做题终，趣不尽”的学习情趣中，那么我们的课堂练习设计就是有效的.【参考文献】［1］普通高中数学课程标准(实验)［M］.北京：人民教育出版社，2003.［2］陈柏良.数学课堂教学设计的艺术［J］.中学数学教学参考，2006（6）.［3］张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京：高等教育出版社，2004.［4］胡勇健.高中数学学法指导的几点思考［J］.江西教育科研，2001.高中数学教学中对学生创造性思维的培养高中数学教学中对学生创造性思维的培养◎缪红燕（江苏省苏州市吴中区东山中学215107）【摘要】一直以来，在传统教育模式的影响下，数学教学多偏重对学生进行知识的教育，而在学生的创造性思维方面却没有应有的注重.但是在知识日益膨胀的今天，对于知识传播而言，更重要的是对于能力的培养.数学以其自身的对学生创造性能力的培养的优势，一方面是给学生传授数学知识，另一方面也对学生的创造性思维培养起了很大作用.【关键词】数学教学；创造性思维；能力培养一、引言创造性思维通常是通过思维的发散水平反映出来的，想要更好地挖掘学生的创造性思维能力，就需要重视对学生发散性思维的培养.数学教学对于学生的创造性思维的培养是有其自身的优势的，利用数学对学生的创造性思维进行培养，这就能够综合运用到数学中的各种知识.学生在解题过程中对数学的概念和法则的理解运用，不仅能够发展逻辑思维能力，而且能发展学生的创造性思维能力.二、如何利用数学教学来对学生的创造性思维进行培养1笔樟菜嘉与发散思维并行不悖在创造性思维的培养过程中，发散思维往往是其核心.对于学生发散思维的培养，要在学生了解问题、掌握真正核心的情况下，引导学生打破思维定式，运用多维的思考方式，在自己可能的范围内拓展思路，从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行或顺向、逆向、纵向、横向的灵活而敏捷地思考，从而获得众多的方案或假设.唯有“发散”，才能多角度、多层次地从不同方面去思考，才能深刻地理解、巩固并灵活运用知识，培养学生的创造性思维能力.同时，老师在教学中一定要注意方法，切不可方法单一、过程枯燥.数学题目由于其内在规律或思考的途径不同，可能会有许多不同的解法.在例题教学中，可让学生先做例题，引导学生广开思路，探求多种解法，然后教师再给学生分析、比较各种解法的优劣，找出最佳的、新颖的或巧妙的解法，激发学生的创造性思维.比如，立体几何中点面距离的计算，可以作垂线段来求解，也可以用等体积法求解，其中等体积法较为巧妙别致.在解题时，不要满足于把题目解答出来就完事大吉，而应向更深层次探求它们的内在规律，可以引导学生变化题目的条件、结论等.可以看出，对数学问题的回味与引申，使学生从不同角度处理问题，增加学生总结、归纳、概括、综合问题的意识和能力，培养了思维的灵活性、变通性和创造性.2背９嫠嘉与逆向思维共同作用逆向思维就是打破常规去思考的一种方法，它是把人们常规的思考方式反过来思考的一种思维方式.从反方向去思考，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象.当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维.对于概念、定理、公式、法则，往往习惯于正面看、正面想、正面用，极易形成思维定式.在解决新问题面前，这种思维定工是一种负迁移，作用是消极的，学生往往感到束手无策，寸步难行.所以，在重视正向思维的同时，养成经常逆向思维的习惯，破除常规思维定式的束缚.在逆向思维的培养中，要重视概念、定理、公式、法则的逆向教学，同时，强调一些基本方法的逆用：从局部考虑不易，是否能整体处理；一般情况下不好办，考虑特殊情况；前进有困难，退一步如何；正面入手分类太多，对立面如何；从“执果索因”与“由因导果”两方面寻找解题途径；直接证明不行，则考虑用间接证法；等等.3敝本跛嘉与逻辑思维结合使用在训练逻辑思维的同时，应有意识地加强培养学生的直觉思维，逐步学会猜测、想象等非逻辑思维，以开发学生的创造性思维.事实上，很多著名的数学定理就是经过先猜想后证明得出来的.正如著名数学家徐利治指出的：数学创造往往开始于不严格的逻辑分析思维.学生的猜想、直觉可能是错误的，甚至是可笑的，但只要其思想有一点可以借鉴的地方，就要鼓励、支持，保护学生大胆探索的精神，并把它引导启发到正确的数学思想方法上来，切不可对学生的错误进行挖苦、嘲笑，扼杀学生进行创造性思维的积极性.4毙蜗笏嘉与抽象思维共同运用形象思维是用直观形象和表象解决问题的思维，其特点是具体形象性，属于感性认识阶段.抽象思维是人们在认识活动中运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映的过程，属于理性认识阶段.抽象思维是创造性思维的重要组成部分.对于那些抽象的概念、定理、公式，直接给出时的效果总不太理想.在教学中，只有引导学生的思维从形象逐步过渡、上升到抽象，才能在获取知识的同时发展能力.通过直观因素来解决抽象问题，进行形象思维与抽象思维结合的训练，不但激发了学生的学习兴趣，而且提高了观察力和概括能力，对培养学生创造性思维，无疑有莫大的促进作用.5鼻笸思维与求异思维结合使用在创造性思维活动中，求异思维占主导地位，也有求同的成分，而且两者是密不可分的.在教学中，只有引导学生从同中求异与异中求同的反复结合，才能培养思维的流畅性、变通性、新奇性.例如，在推导“等比数列的前n项和公式”时，因后一项恰好是前一项的q倍，很多同学认为利用后一项、前一项及公比之间的关系，这是思维的求同；至于如何利用它们之间的关系，这便是思维的求异点.学生们勇于探索，各抒己见.有同学提出：将前一项乘以公比q转化为后一项.也有同学认为：将所有项都用首项和公比来表示.还有同学想到：将后一项除以前一项得到公比.多种方法能够解决问题，学生的求异思维十分活跃.然后通过比较，异中选优，大家认为“前一项乘以公比转化为后一项”较为简捷！6苯淌教学思想的突破是培养学生创新思维的首要条件教师必须具有创新意识，必须把培养学生的创新意识当做教师教学的一个重要目标，因而应从教学思想上，大胆突破，确立创新性原则.首先要克服创新认识上的偏差.每一个合乎情理的新发现，不同于别人的思路，别出心裁的观察角度都是创新.一个人对某一问题的解决是否有创新性不在于这一问题是否别人解决过，而是关键在于这一问题的解决对于个人来说是否新颖.所以每名学生都可以创新，也都具备创新的潜能，如何挖掘和提高这种潜能，取决于学生主体作用发挥的程度.要使学生积极主动地探究知识，成为学习的主体，发挥创造性，必须克服那些课堂上教师是主角，少数学生是配角，大多数学生是听众的旧的教学模式，给学生充足的思考空间，以平等、宽容、鼓励的态度对待学生，更多地采取讨论、探究等方式，给学生充分展示的机会，让学生积极主动地参与到教学过程的始终，真正成为探索研究的主体.7贝瓷枨榫常鼓励学生质疑在课堂教学中，教师要善于创设问题情境并敢于让学生独立思考，把数学知识的认识过程转化为学生自学发现问题的质疑过程.学生能够质疑问难，是主动学习的一种表现，更是培养创新意识不可少的.在实际教学中，应鼓励学生大胆提问题，并鼓励他们自行解答，或给出多种答案，也是一种培养学生创新思维的好办法.8币鼓励学生动手动脑，大胆尝试在教学过程中要引导学生大胆尝试，为学生安排创新的空间和时间，给学生尝试创新的自由度，不断激发学生的创新意识.在课堂教学中老师应多给学生以引导、鼓励，引导学生动手、动脑、动口，创设好的思维环境，并通过小组合作、操作讨论等方式，培养学生的合作意识、合作能力和创新意识.9痹谑学教学中培养学生的探索能力“探索是数学教学的生命线.”适时、经常地组织学生进行探索性学习，有利于将教学过程的重点从教师的教转移到学生的学，学生从被动接受变为主动探索、研究，确立学生在学习中的主体地位，促进学生独立思考，培养和发展其创造性思维能力.而这些创造性思维的产生，都不同程度来源于教师设计的一些具有探究性的问题，如果设计的问题不具有挑战性，就不能使学生产生创造的欲望.在此基础上，教师再引导学生交流、比较、小结，学生在自主探索中形成的个性经验就能在交流中上升为智慧经验，进而学会创造，促进自身个性的发展.这样，在培养学生思维的创造能力上，就有了一次探索的成功.但是，老师在教学工作中应同步做好以下几项工作：第一，善于引导学生的学习兴趣，保护其好奇心，激发其求知欲.第二，创设问题情景，引导学生探索发现.第三，鼓励学生发现问题、提出问题.第四，引导学生自己研讨，培养独立思考能力.第五，让学生动手实验、操作，手脑并用.实践证明，在教学过程中，如果我们多设计一些探究性的问题，就会使学生逐渐养成在以后的学习过程中注意观察分析，努力探索，从而培养学生的思维创造能力.10痹谑学教学中培养学生的思维批判能力没有批判就没有创新.因此，批判性思维也是思维品质的一个重要方面.思维的批判性，是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的思维品质，设计些陷阱式的思维问题，培养学生的批判思维能力.例如：在教学中我们经常看到这样的现象，当一个问题正面学习完以后，仅有大约百分之六十的学生基本掌握，有的学生因用错了概念、法则、公式、定理而把题做错.因此，应加强从反面培养学生的思维批判能力.在教学实践中，当讲完某一数学知识后，故意设陷阱给学生，创设下列情境：一是使学生欲言而不能，心欲求而不得；二是诱使学生“上当”“中计”.经过分析批判后才恍然大悟.这种对事物的认识正确程度是正面培养所不能达到的.三、总结在数学教学中培养学生的创新思维，不是能够一蹴而就的，必须稳扎稳打，一步一个脚印才行；同时，注意对学生的培养做到全方位平衡发展.数学教师应在课堂教学中多采用探究法、讨论法，创设一种自由思考的课堂教学氛围，给学生创造一个自由思考的空间，从而引导学生大胆思考.在新的环境、新的挑战下，数学教学应更加注重创造性思维的培养，注重培养创新型人才.【参考文献】［1］李巧.数学课培养创造性思维的探讨［J］.河南教育(基教版)，2006(11).［2］陈亮萍.学生创造性思维的培养［J］.语文教学与研究，2006(23).［3］王霞.谈数学教师在教学过程中对学生创新思维能力的培养［J］.大学数学，2004（2）.［4］边文莉，薛婷婷，王玉花.高等学校基础课中创造性思维的培养［J］.佳木斯大学社会科学学报，2004（3）.优化高中数学作业，促进学生发展◎王春（江苏省南京市天印高级中学211100）受应试教育的影响，高中数学作业重复、机械地训练，作业的布置、检查形式单一，评价缺乏典型性、针对性和有效性，造成了学生负担过重，困扰着教育质量提高，严重影响了学生的身心发展.按照新课程标准，以人的发展为本，优化高中数学作业迫不及待.一、传统高中数学作业设计和批改上存在的弊端1痹谧饕瞪杓粕洗嬖诘谋锥（1）布置方式单一，以老师布置为主.从作业的布置方式上看，依然延续着自上而下由老师布置作业的传统，学生只需做个记录，回家一样一样去做就可以了，不需要去考虑应该做什么作业，该怎么去做，哪些是自己会的，不需要做的；哪些是自己不懂的，需要去琢磨的.因此，学生的主体意识、自觉意识在不自觉中慢慢被剥夺了，成为了老师精神上的附庸.（2）作业内容单一，讲究“一刀切”.传统的数学作业中，题目大都是由教师提供的，45名学生布置统一的作业，而学生必须被动接受.这样的作业阻碍了学生“提出问题的能力”的提高.而且面对不同水平的学生实施无差异的作业设计，讲究“齐步走”“一刀切”，这样采用“一刀切”、统一化的数学作业，对不同层次的学生会产生不同的难易度，非常不利于全体学生的共同发展.（3）完成形式单一，以解题为主.从调查情况来看，“数学作业就是解题”没有得到学生的认同，尽管他们绝大多数时候都是在解题，但还是希望作业形式应多样化，如看书、查资料、调查、做模型等.但实际情况与此相差太大，大多数数学教师只关心与高考有关的题目，凡是指向考试的，师生在认识及行动上是比较一致的，即考试就是解题，所以老师的作业也是解题.2痹谧饕蹬改上存在的弊端（1）重答案轻过程.“肌焙汀艾拧笔墙淌ζ蓝ㄑ生作业的工具.教师往往只顾得上使用“肌薄艾拧钡确号进行简单判断，学生也只能由这些符号获得自己作业正误的信息，而对于产生错误的原因却一无所得，从而堵塞了他们由谬误走向正确的渠道.（2）单方参与.教师一般认为作业是学生的任务，批改则是教师的工作，把作业和批改孤立起来，在批改时习惯用自己的思路代替学生的思路.在批改“一题多解”问题时，习惯以自己的方法作为衡量对错的唯一标准.这样不但不利于培养学生的学习积极性和创造性，而且很难使学生主动地参与进来.二、优化高中数学作业的策略1庇呕高中数学作业设计的原则(1)梯度原则.要让作业激起学生持续的探究热情，教师在设计作业时要注意梯度原则，要切实把握好“台阶”间的潜在距离，距离近了，吊不起胃口，距离远了，学生断了念头.通过设计合理的梯度，观察学生在作业上反映出来的解题思路和思考过程，教师能够进一步挖掘学生潜在的学习能力，精准地把握每名学生的特点，进行更有针对性的个别辅导，促进其更快更好地提高.(2)分层原则.每名学生在学习基础、接受能力等方面都是存在差异的，考虑到这种个体的差异性，数学教育要面向全体学生，不同的人在数学上得到不同的发展.科学的数学作业设计要做到以学生发展为本，使每名学生都能从作业中获益，在作业与评价中获得满足、愉悦和成功的体验.对一个班级的学生，在作业的内容上不能一刀切，要对作业分层设置.2鄙柚酶咧惺学多样化实践性作业数学实践性作业是指可以让学生在现实生活中自主实践、自主探究的数学问题.实践性作业可以开发学生的创新潜能，促进学生数学的应用意识，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.多样化的实践性作业为学生提供了自由探索的空间，每名学生可以根据自身的知识经验与生活经验，结合自己的喜好自主选择、计划、探究、体验.在宽松、民主的氛围中，他们的潜能得到开发，个性特长得到发展.教师在布置常规的书面作业之余，根据学生的特点，结合所学的内容，充分挖掘生活中的教学资源来开发各类内容丰富、生动有趣的调查性、操作性、探究性、应用性实践作业课题，让学生根据自己的爱好、特长来选择自己喜欢的实践性作业，合理地安排、有序地开展.教师要为学生提供广阔的活动空间、充裕的时间和自我表现的机会，真正做到学生是活动的主体，教师是组织者、引导者、参与者和合作者，让学生在一个真实的环境中进行做中学、玩中学，来培养学生的动手实践和解决实际问题的能力.3备咧惺学作业检查与批改的总体要求（1）作业的检查.批改要及时.严禁对布置的作业不检查、不批改、不讲评.老师发现学生作业拖欠、缺交、马虎或抄袭等现象，要及时批评教育并要求补做或重做.努力做到：有练必选、有发必收、有收必改、有练必评.（2）教师批改作业要认真、细致，要求做到全批全改，尽量精批细改.作业的批改不能只打“肌被颉艾拧保要画出错误所在，注明批改日期、等次并书写发展建议等.（3）教师对学生的优秀作业应给予表扬、张贴，对学生不合格的作业，应进行面批面改，尽最大努力做好辅优补差工作.（4）教师在统计学生作业所有问题后要及时地把作业返还给学生，并积极向其反馈普遍存在的问题.一般在隔一个课时之内向学生反馈，并跟踪了解.（5）在多样化的实践性作业中，让学生充分合作探究、自主解决问题，教师主动、及时地了解学生动态，主动为学生提供帮助，并指导学生学习方法，提升解决问题能力.（6）作业矫正中具体的讲解与辅导过程中务必要坚持整体矫正与因材施教相结合的原则、由主到次与由浅入深相结合的原则，以求实效性.辅导的重点是后进生，每学期科任教师要确定所任班级学生本学科后进生名单，制定补差方案，对症下药，使之转化，并做好记录.在辅导中，教师要做到热心、耐心、有信心，抓反复，反复抓.对部分学有余力的学生，教师则要提出新要求，着重培养自学能力和创新能力，并鼓励和指导学生参加经过教育行政部门同意举办的各种竞赛，以培养和发展学生的特长.总之，优化高中数学作业，应认真落实以人的发展为本的教育理念，在教学过程中依据学生的实际水平，设计出数量适当、难易适度、形式多样的作业，客观地评价学生和提升学生，将学生从过多、重复、机械、单一的训练中解脱出来，使他们能够自主、生动活泼地发展对数学的兴趣，拓展学生的学习空间，培养学生良好的学习习惯，促进学生终身发展.如何提高高中数学课堂教学中提问的有效性如何提高高中数学课堂教学中提问的有效性◎郑利芳（浙江省衢州高级中学324000）【摘要】课堂提问设计得好，可以激起学生强烈的好奇心与浓厚的学习兴趣.在教学中我们要以问题为中心，营造出乐学善思的课堂教学氛围，改变传统教学由教师传授现成知识，学生被动接受，实现通过教师和学生之间的双边互动活动来引导学生学习知识，让学生学会发现问题、分析问题、解决问题的能力.我分别从提问的层次性、趣味性和延伸性三个方面来提高提问的有效性.【关键词】高中；数学；提问；有效现代数学教学理论认为：问题不仅是学生学习动力的起点和贯穿学习过程的主线，同时也是联系师生双边活动的桥梁与纽带.课堂提问设计得好，可以激起学生强烈的好奇心与浓厚的学习兴趣，使学生主动积极地参与到课堂教学中来，积极思考、主动探索，增强课堂教学的有效性.在教学中我们要以问题为中心，营造出乐学善思的课堂教学氛围，改变传统教学由教师传授现成知识，学生被动接受，实现通过教师和学生之间的双边互动活动来引导学生学习知识，让学生学会发现问题、分析问题、解决问题的能力.一、提出的问题要有层次性因基础水平、接受能力等因素而造成全班同学存在一定的差异，因此在设计问题时，要正视学生间的差异，基于学生现有的数学水平，针对不同层次的学生提出不同的问题.如对基础较差的学生可以提出一些基础知识和基本技能方面的问题，重在让此类学生夯实基础，可以运用基本公式定理解决一些基础性的问题；对基础较好的学生可以提出一些需要认真思考经过高水平思维活动才能解决的问题，重在提高此类学生的应变能力，向一些高难度的试题挑战.这样针对不同层次的学生提出不同的问题，既面向了全体学生，又区别对待，可以让各层次的学生都享受到成功的喜悦，增强学生学好数学的信心.二、提出的问题要有趣味性数学本身具有抽象性的特点，这使得大多数学生觉得数学枯燥乏味，而产生厌学情绪.在进行课堂提问时，我们也要避免单调枯燥、直接陈旧的提问，要善于提出一些具有趣味性的问题，以活跃课堂气氛，营造出一种轻松愉悦的学习氛围，激起学生参与教学的积极性.实践证明：寓有趣味性的课堂提问可以有效调动学生的学习兴趣和探索热情，使学生在思考与交流中碰撞出思维的火花.如在讲“等比数列前n项和”时，我提出这样的问题：某人要向债主借30000元钱，债主说，要求他在一个月内还清，提出两种还款方式：一种是每天还1000元，另一种是第一天还1分钱，第二天还2分，第三天还4分，后一天所还的钱是前一天的2倍，以此类推.同学们可以帮他选一种还款方式吗？问题一经抛出，立即激起学生的学习热情，有的说第一种，有的说第二种，还有部分同学在冥思苦想，我让学生间进行讨论交流，最后学生提出，要将两种还款方式所还款项进行计算比较后才能选择.但是学生对于1+2+4+8+…的结果束手无策，此时教师提出通过此节课的学习，我们就可以很快算出结果.这样学生就会带着疑问，积极主动地参与到课堂教学中来，实现了“要我学”到“我要学”的转变，教学效果自然事半功倍.三、提出的问题要有延伸性高中数学新课程标准提倡自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，倡导让学生亲身经历整个探索的学习过程，因此在设计问题时要注重延伸性，以促进学生主动探索，让学生在动手实践、动脑思考中认真观察、抽象概括、归纳总结、不断完善，以让学生切实掌握新知识，提高学生的数学思维能力.如在学习了函数奇偶性的相关内容后，针对函数奇偶性的判定提出一系列问题.1迸卸虾数y=2x3和y=3x2的奇偶性.2迸卸蟳=x+x-1，y=2x+x3的奇偶性.3迸卸蟜(x)=-x，（-1＜x＜2），f(x)=x2+2，x∈(-1，1)的奇偶性.学生对于第一道题通过函数图像的对称性很快作出了判断.但对于第二道题，学生发现用函数奇偶性的概念无法判断，此时我引导学生进一步研究，在y=2x3和y=3x2中，f(1)和f(-1)，f(2)和f(-2)有什么关系，学生很快就得出：在y=2x3中，f(1)=-f(-1)，f(2)=-f(-2)，推导出f(x)=-f(-x)；在y=3x2中，f(1)=f(-1)，f(2)=f(-2)，推导出f(x)=f(-x)，学生提出大胆猜想，如果f(x)是奇函数，那么f(x)=-f(-x)，如f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)，我对学生的猜想给予肯定，并表扬学生大胆猜想、勇于提出问题的精神，并向学生讲述这是函数奇偶性的一个重要特征，也是判断函数奇偶性的一个重要方法，这样第二道题便迎刃而解.对于第三道题，学生的答案有了差异，有的同学用判断第二道题的方法认为分别是奇函数和偶函数，有的同学认为不是，但又说不出为什么.此时我在黑板上清晰准确地在给定的区间上画出它们的图像，并让学生积极思考，进行讨论交流，此时学生恍然大悟，它们虽然满足f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x)却没有奇偶性，因为它们的定义区间不关于原点对称.通过这样一系列问题，学生经过不断地探讨，总结出：函数具有奇偶性要满足两个条件，一是函数的定义域要关于原点对称，二是在定义域内要满足f(x)=-f(-x)或f(x)=f(-x).在判断时要灵活运用两种判断方法，容易画图像的用图像法，很难画出图像的用解析式法.实践证明：具有延伸性的问题，可以让学生从大量具体实例中抽象出数学概念与定理，并在运用中透彻理解，灵活掌握，熟练运用.既让学生感受到了探索的乐趣，增强了学好数学的信心，同时也有力地发展了学生的数学思维能力.中职数学分层递进教学模式的探析中职数学分层递进教学模式的探析◎李蕊（江苏省徐州市中等专业学校221000）【摘要】“分层递进教学”是一种适应学生差异、面向全体学生的新教育模式.本文结合自己的教学实践和探究，从“分层次教学”的缘起、“分层次教学”的实施以及“分层次教学”的成效等方面来阐述.【关键词】中职数学；分层次递进教学一、分层递进教学的缘起面对我校的现状——生源杂、班级多，学生的个体特征参差不齐，我们在思考：面对迥然各异的学生，如何进行因材施教？学生不同的学习需求如何满足？如何促进学生合作学习、共同提高？如何正确地去评价学生的学习？课堂教学怎样才能缓解学生的学习压力，创建师生民主和谐的教学场景？诸多问题，促使我在思索，在寻求答案.正是在这种形势背景下，上海市教科所倡导的分层递进教学策略以及他们开展实验研究所取得的成果给了我很大的启发.分层递进教学的指导思想可以归纳为三句话：第一，教师的教要适应学生的学，学生是有差异的，教也要有差异；第二，教学要促进学生的发展；第三，教学要取得良好的效果就需要充分利用各种教育资源，学生之间的差异就是一种可供开发利用的教育资源，在教学过程中要努力使各层次学生各展所长，相互弥补，相互帮助，形成合作学习的氛围.基于以上认识，我进行“分层递进教学模式”的研究，并以此为契机，为提高学校的教学质量，注入新的活力，寻找新的促动力.二、分层递进教学的实施开展“分层递进教学策略实验研究”的具体操作方法按五个环节进行：学生分层、目标分层、分层施教、分层作业、分层评价.1毖生分层分层依据：对学生知识结构、能力优势和发展意向做全面调查，再根据学生的学习成绩（数学学习能力测试及数学思维能力测试）、智力水平、认知水平，在三个方面综合考虑.分层原则：按学生自愿和教师调节相结合的原则.分层形式：在每个班按上、中、下三种学习程度分为发展组、中层组、基础组三个层次，在分层中需要把握好以下几点：（1）充分倾听和尊重学生的个人意见，尽可能地避免和消除对学生自尊心的伤害.通过分层，让学生正确认识自我，进行准确的自我定位，并给自己制定切实可行的学习目标，这对于学生的心理健康是非常必要的.（2）学生的分层不是一成不变的，而无论处在怎样的层次只是个人在一个阶段的学习状态而已，因而每一层次的学生都会感受到学有榜样，学习有信心.（3）分层的结果要让学生充分认识到“进步不分先后，分层不讲优劣”，从而使分层学习体现出一种动态的教育管理形式.2蹦勘攴植方法:在分析学情的基础上，结合课程标准，从知识、技能、情感领域制定各层次学生应达到的分层学习目标.要求:任课教师要确定与各层次学生的学习可能性相协调的分层次教学目标.要注意化解难度，放低起点，使学生能通过自己努力完成学习任务.多数学生对所学内容能了解和进行简单应用即可.对于基础组需降纲缩本，让学生理解并基本掌握基本知识，会解基础题；对于中层组需近纲靠本，让学生理解掌握基本知识，初步学会解中等题；对于发展组需达纲拓本，让学生不仅能够掌握知识，而且会综合应用.3狈植闶┙（1）教学内容方面：对于不同层次的学生要精心设计出不同梯度的内容.例如，在“等差数列”一课的教学过程中，可设计如下一组问题：问题一选择题：下列数列是等差数列的有（）.A3，0，-3，-6，…B5，5，5，5，…C1，-1，1，-1，…D2，4，6，8，…问题二某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成.已知最小与最大的滑轮的直径分别为15 cm和25 cm，求中间四个滑轮的直径.问题三我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗.人别加三颗.问：五人各得几何？”然后让基础组学生回答问题一，中层组学生完成问题二，发展组学生完成问题三.通过提问分析，既复习了所学知识，又可调动各个层次学生的学习积极性，从而在“成功的体验”中，不知不觉中突破难点.（2）教学结构方面：在实际教学中，分层施教的操作方式从整体上是“合——分——合”的结构.基础组学生采用“低起点，补台阶，拉着走，多鼓励”的做法，对中层组学生采用“放一放、扶一扶”的做法，对发展组学生采用点拨式.同时利用学生的差异，开展合作学习，主要措施有：①发展组学生和基础组学生结对子；②设立学习辅导员，由发展组学生担任；③设立四人学习小组，由不同层次学生组合.4狈植阕饕对于基础组的学生设计一些基础习题，对于中层组的学生设计一些基础练习和发展性练习，对于发展组的学生，增设一些综合性练习，完成一些灵活运用方面的习题，题量要少.分层作业的目的就是让学生正确认识自我，特别是让差生获得学习成功的体验，树立自信心.此外，我们还比较注重对学生接受和掌握知识、形成能力的心理行为过程的研究，关注学生心理方面的感受，保护和提高学生的学习自信心.5狈植闫兰“多一把尺子，就会多出一些人才”，在课堂教学中对于不同层次的学生的课堂表现应给予不同的评价、鼓励.实行分层评价、多元评价和良好的激励机制，不同层次的学生都体验到成功的喜悦，有效促进了学生乐观、顽强、自信等心理品质的形成.三、分层递进教学的成效通过大量的探索和实践，已取得了一些初步的阶段性成果.成绩时间班级实验前2011—2012第一学期期中数学成绩实验后2011—2012第一学期期末数学成绩平均分及格率％优秀率％平均分及格率％优秀率％焊接9实验班686320797022焊接8对照班6163.71665.46419以上数据能较好地说明分层递进教学有利于提高学生的学习成绩.“分层次递进教学模式”改变了传统的师生授受关系，让学生在课堂上是一位“实践者”，通过动眼看、动脑思、动手做、动耳听、动口议，汲取着知识的营养；教师在课堂上则是一位“引路人”，引领学生去发现、去感受、去创造.浅谈高中起始年级数学教学的问题与策略浅谈高中起始年级数学教学的问题与策略◎孙欣娜（河北省宁晋县职业技术教育中心055550）2011级高一学生是我校历史上招生人数最多、层次较为复杂的一届学生，个人的知识水平和能力水平也参差不齐.如何让学生学有所成，学有所得？如何因人施教，因材施教？如何面向全体学生，全面提高教学质量？让学生人人有所获，既要让优秀生出类拔萃，又要让后进生学有进步，也成了我们教学探索过程中所面临的一个重要课题.一、学生在数学学习上存在的主要问题（1）进一步学习条件不具备.高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度及能力要求都是一次飞跃.这就要求必须掌握基础知识与技能，为进一步学习做好准备.高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高，教材中学生自主探究的内容增多，如二次函数在闭区间上的最值问题、三角公式的变形与灵活运用等.客观上这些观点就是分化点，有的内容还是高初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，分化是不可避免的.（2）被动学习.许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权.表现在不订计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，没有真正理解所学内容，不知道或不明确学习数学应具有哪些学习方法和学习策略；而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背.（3）对自己学习数学的好差（或成败）不了解，更不会去进行反思总结，甚至根本不关心自己的成败.（4）不能计划学习行动，不会安排学习生活，更不能调节控制学习行为，不能随时监控每一步骤，对学习结果不会正确地自我评价.二、教学策略思考与实践针对我校高一学生的具体情况，我们在高一数学新课程教学实践与探究中，贯彻“因人施教，因材施教”原则.以学法指导为突破口，着重在“读、讲、练、辅、作业”等方面下工夫，取得一定效果.1倍俗话说“不读不愤，不愤不悱”.首先要读好概念.读概念要“咬文嚼字”，掌握概念的内涵和外延及辨析概念.例如，集合是数学中的一个原始概念，是不加定义的.它从常见的“我校高一年级学生”“我家的家用电器”“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”及“自然数”等事物中抽象出来，但集合的概念又不同于特殊具体的实物集合，集合的确定及性质特征是由一组公理来界定的.“确定性、无序性、互异性”常常是“集合”的代名词.再如象限角的概念，要向学生解释清楚，角的始边与x轴的非负半轴重合和与x轴的正半轴重合的细微差别；根据定义如果终边不在某一象限则不能称为象限角等等.这样可以引导学生从多层次、多角度去认识和掌握数学概念.其次要读好定理公式和例题.阅读定理公式时，要分清条件和结论.如高一必修2“直线与平面平行的判断”中由三个条件推导出一个结论；对数计算中的一个公式，其中要求读例题时，要注重审题分析，注意题中的隐含条件，掌握解题的方法和书写规范.读书要鼓励学生相互议论.俗语说“议一议知是非，争一争明道理”.新课程教材中每一节内容都辅以相应的探究内容和思考的内容.例如，让学生议论通过图像与单位圆的三角函数线分别掌握正余弦函数的性质等.2苯每堂新授课中，在复习必要知识和展示教学目标的基础上，老师着重揭示知识的产生、形成、发展过程，解决学生的疑惑.比如在学习两角和差公式之前，学生已经掌握五套诱导公式，可以将求任意角三角函数值问题转化为求某一个锐角三角函数值的问题.此时教师应进一步引导学生：对于一些半特殊的角（750°，150°等）能不能不通过查表而求出精确值呢？这样两角和差的三角函数就呼之欲出了，极大地激发了学生的学习兴趣.讲授中注意从简单到复杂的过程，要让学生从感性认识上升到理性认识.鼓励学生应积极、主动参与课堂活动的全过程，教、学同步.让学生自己真正做学习的主人.例如，讲解函数的图像应从振幅、周期、相位依次各自进行变化，然后再综合，并尽可能利用多媒体辅助教学，使学生容易接受.讲要注重突出数学思想方法的教学，注重学生数学能力的培养.3绷数学是以问题为中心.学生怎么应用所学知识和方法去分析问题和解决问题？必须进行练习.首先，练习要重视基础知识和基本技能，切忌过早地进行“高、深、难”练习.鉴于目前我校高一学生的实际现状，基础训练是很有必要的.课本的例题和习题要求学生要题题过关；补充的练习，应先是课本中例题及习题的简单改造题，这有利于学生巩固基础知识和基本技能.让学生通过认真思考可以完成，即让学生“跳一跳可以摸得着”.一定要让学生在练习中强化知识、应用方法，在练习中分步达到教学目标要求并获得再练习的兴趣和信心.同时，老师们在现有习题的基础上简单地做一些改造，便可以变化出各种不同的题目.其次，要讲练结合.学生要练习，老师要评讲.多讲解题思路和解题方法，其中包括成功的与错误的，特别是注意要充分暴露错误的思维发生过程，在课堂造民主气氛，充分倾听学生的意见，哪怕走点“弯路”，吃点“苦头”；另一方面，则引导学生各抒己见，评判各方面之优劣，最后选出大家公认的最佳方法.4弊饕鉴于学生现有的知识、能力水平差异较大，为了使每一名学生都能在自己的“最近发展区”更好地学习数学，得到最好的发展，制定“分层次作业”.即将作业难度和作业量由易到难分成A，B，C三档，由学生根据自身学习情况自主选择，然后在充分尊重学生意见的基础上再进行协调.以后的时间里，根据学生实际学习情况，随时进行调整.采取科学的三角函数策略提高数学教学质量采取科学的三角函数策略提高数学教学质量◎程晓梅（陕西省南郑县高台中学723113）【摘要】三角函数是中学数学教学和学习中的重要内容.新课标下的三角函数教学成为一个极有挑战性的课题.因此，需要我们在教学中重视学生的知识结构和认知水平，结合三角函数的性质和规律，对教学活动进行合理、科学的安排，从而提高数学教学质量.【关键词】三角函数；教学质量；知识体系；定义在中学数学知识体系里，三角函数是重要的组成部分，对其他部分的知识的学习起着桥梁的作用.因此，采取科学的三角函数策略，提高数学教学质量，培养学生学习能力，值得我们不断探索和思考.一、三角函数教学问题分析学生由于知识结构和认知能力的差异，对三角函数的概念和性质的理解也存在着很大的差异.部分学生对三角函数的概念和性质理解不透，对三角函数的对应关系不够清楚，只能简单地运用三角函数的图像解决一些比较简单的问题，这就严重偏离了“新课标”关于提高学生数学能力的要求，直接影响和制约着三角函数的课堂教学质量和效果的提高.二、如何采取科学的三角函数策略提高数学教学质量（一）阐明三角函数定义，为后续教学奠定基础1蔽颐强梢云舴⒀生把角规范地设定在平面直角坐标系中，进而运用坐标工具解析角的内在规律；启发学生主动地讨论和交流角α终边所在的各种位置情况和角的范围的表示，以及一些终边相同的角的表示方法.2苯埠没础，阐述定义做好铺垫：在角α的终边上任取异于原点O的一点P（x，y），|OP|=r.在这里主要是鼓励学生多讨论，然后得出结论：六个比值xr，yr，yx，rx，ry，xy均与P在角α终边上的位置没有关系，只是取决于角α的大小，随着α的变大而变大，随着α的变小而变小.3崩卫伟盐斩ㄒ褰行判断，记忆三角函数值正负符号：sinα=yr，符号只由y决定.可以编成口诀：上正下负横轴零(按象限依次记作+，+，-，-)；cosα=xr，符号只由x决定，口诀：左负右正纵轴零(+，-，-，+)；tanα=yx，同号得正异号得负，口诀：交叉正负(+，-，+，-)……符号判断是诱导公式的重要基础部分，记住了定义同时就很容易记住正负号的变化，熟知了定义也就很快知道了正负号.（二）适时拓展延伸知识点，激发学生的学习兴趣在三角函数的教学过程中，学生的注意力和对本知识点的兴趣与他们对该节课的教学内容的理解程度有很大的关系.学生的学习兴趣提高了，我们的教学活动就能更顺利地开展，教学质量也就自然而然地得到提高.因此，我们在教学中不但要注意对三角函数基本概念和性质的阐述，还要突出教学内容的生动性，适时拓展延伸知识点，激发学生的学习兴趣.例如，由于角的集合与实数集之间能够建立相互对应的关系，我们就可以把三角函数看做是以实数为自变量的函数，如sinα＝yr，不管α取任何实数，yr恒有意义，所以sinα的定义域为｛α|α∈R｝.同样，研究cosα，tanα，cotα的定义域；根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sinα，cosα，tanα，cotα的值在各个象限的符号.例1计算下列各组角的函数值，同时归纳和总结出一般性的规律.（1）sin30°，sin390°.（2）cos45°，cos（-315°）.（3）tan2π3，tan-4π3.规律：终边相同的角有相同的三角函数值.即sin（α＋k·360°）＝sinα， cos（α＋k·360°）＝cosα，tan（α＋k·360°）＝tanα，（k∈Z）.（三）加强学生抽象分析与综合训练从三角函数的教学特点来讲，我们还必须通过加强综合训练的方式进一步学生抽象分析能力的提高.例如，在三角函数的实际教学中，我们应当让学生充分认识到要将三角函数如sin看做是整体概念，而非仅仅只是一个运算符号，进而为学生在推导和变形三角函数公式时奠定基础，达到真正理解三角函数基本概念和性质的目标.例2求函数f(x)=cos2x+2asinx-1(0≤x≤2π，a∈R)的最大值和最小值.解析f(x)=cos2x+2asinx-1=-sin2x+2asinx，设sinx=t，-1≤t≤1，则f(x)=F(t)=-t2+2at=-(t-a)2+a2，（-1≤t≤1）.(1)a<-1时，f(t)在［-1，1］上单调递减，∴f(x)max=f(t)max=F(-1)=-1-2a，f(x)min=F(t)min=F(1)=-1+2a；(2)-1≤a<0时，f(x)max=f(t)max=F(a)=a2，∴f(x)min=F(t)min=F(1)=-1+2a；(3)0≤a≤1时，f(x)max=f(t)max=F(a)=a2，∴F(t)min=F(1)=-1+2a；(4)a>0时，f(t)在［-1，1］上为增函数，f(x)max=f(t)max=F(1)=-1+2a，∴f(x)min=F(t)min=F(-1)=-1-2a.三、结语三角函数是中学数学教学和学习中的重要内容.中学数学新课标中课堂教学要求教师在课堂教学中要突出学生的主体地位，由于教师教学风格各异及教学对象不同，新课标下的三角函数教学就成为一个极有挑战性的课题.因此，需要我们在教学中重视学生的知识结构和认知水平，结合三角函数的性质和规律，对教学活动进行合理地、科学地安排，从而有效地提高数学教学质量.【参考文献】［1］吕彩霞.三角函数线在解题中的应用［J］.中学生数学，2011（6）.［2］卫金鑫.三角函数解题中不可忽略隐含条件［J］.数学教学，2010（12）.［3］胤裪.关于高中三角函数概念建构的思考［J］.中学数学月刊，2010（3）.高中数学试卷讲评课中学生创新思维的培养高中数学试卷讲评课中学生创新思维的培养◎王庆玲（江苏省昆山震川高级中学215314）试卷讲评有助于学生完善知识结构，提高解题能力，优化学生的思维品质，而且是培养学生创新思维的一个好契机.那么在讲评课中如何培养学生创新思维？一、在易错题中发展学生自我辨析的思维品质在讲评中可针对典型错答引导学生回忆自己做题时的思维经历，让学生自己发现自己思维的闪光点和错误.这样通过对自己思维过程的不断反省，在认知冲突中实现新知识的同化顺应，外在的教育信息才能有效地内化为自己的智能结构.在潜移默化中为学生创新思维的培养和发展奠定了思维基础.例1若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b(a≠b)，则mx+ny的最大值是（）.A盿+b2B盿bC盿2+b22D盿ba+b学生在测试时得分率较低，很多学生都选A.理由是：mx≤12(m2+x2)，ny≤12(n2+y2)，∴mx+ny≤12(a+b).但等号成立的充要条件是m=x，且n=y，由于a≠b，故等号不能成立.因此，a+b2比最大值大.错误原因找到了，学生显得十分激动，但我没有就此罢休，为了培养思维的广阔性，我又让大家讨论得到如下解法：设c=(m，n)，d=(x，y)，则|c|=m2+n2=a，|d|=x2+y2=b，∴mx+ny=c·d=|c|·|d|·cosθ=abcosθ≤ab.通过这样不断引导学生从反省错误到拓展解题思路，学生经历了一次由尝试错误到创造发现的数学探索过程，在不断强化记忆和训练中纠正错误思维，努力做到每一种类型题错过一次之后，不再出现相同或类似错误.让学生在“自我否定”中进行自我反省，从而使学生自我辨析的思维能力和思维品质得以优化和发展.二、在题目的联想类比中培养学生的立体思维思维的广阔性是指思维活动作用范围和全面的程度.在数学讲评课的教学中，教师要引导学生善于全方位地抓住问题的全貌以及与问题有关的相关因素，不就题论题，而是借题发挥，小题大做，横向类比，纵向联系，进行一题多解和一题多变的训练，开阔学生的思路，培养学生思维的广阔性.例2若点A(2，1)，设F为椭圆x216+y212=1的左焦点，M为椭圆上一动点，则|MA|+2|MF|的最小值为.学生通过抓住数字“2”这一特征，利用椭圆的第二定义进行转化可求出最小值为10.在讲评中若到此结束就会失去培养学生思维广阔性的机会，教师带领学生对问题进行下列变式：变式1将要求式中系数2去掉有：（1）若点A(2，1)，设F为椭圆x216+y212=1的右焦点，M为椭圆上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为，最大值为.带领学生通过数形结合方法得答案分别为：8-17，8+17.变式2将题中“椭圆”换成“双曲线”或“抛物线”有：（2）若点A(6，1)，设F为双曲线x216-y29=1的右焦点，M为双曲线上的一动点，则|MA|+45|MF|的最小值为.答案：145（3）若点A(4，1)，设F为抛物线y2=4x的焦点，M为抛物线上的一动点，则|MA|+|MF|的最小值为.（答案：5）一个题目立足于已给定的条件，通过变换等价条件，改造题型，添加题设、结论等各种方式往往能够达到举一反三、触类旁通的效果，而同类型题的联讲可让学生更深刻地理解该类题目的知识点，并可加强知识的纵横联系，强化做题的实际效果.从而提高学生应变、迁移能力，培养和发展学生的立体思维能力.三、在新颖题的研究中培养学生的探究性思维思维的探究性是指相对于已有的认识来说，具有独特性和新颖性.在试卷讲评中，对于新、奇、特的试题，教师要引导学生多思多想，标新立异，克服保守封闭的状态，探究问题的创新解法.要善于将试题进行创造性改造，还原、突显新颖题的内在知识结构，或者变封闭式为开放式、探究式、应用式，培养学生的创新能力和探索精神.四、在试卷讲评的反馈中培养学生的反思能力试卷中所反映出来的问题大多是学生的薄弱环节，不大可能一次讲评后就完全掌握.所以试卷讲评的反馈应着重于培养学生对知识、概念的反思，对解题思路、过程和途径的反思，对题目特征的反思，对数学思想方法的反思等的探索和实践，引导学生在问题解决后不断反思，提高学生自我学习数学的能力.试卷讲评后的反馈，让积累成为一种收获，让反思成为一种习惯.实践证明，在试卷讲评中，经常引导学生积极地反思自己的学习活动，能优化认知结构，提高学习效率，激发学生的创新意识，培养学生的创新思维.通过对学生进行有效的创新思维的培养，极大地调动了学生的学习积极性，发展了学生的思维能力，并使其掌握了科学的学习方法，学生在讲评课中的思维也变得活跃起来，有的学生在课堂上或者课后常常就他们的见解和思路进行探讨，促使学生真正成为学习的主人.试论直觉思维能力的培养试论直觉思维能力的培养◎赵波（江苏省睢宁县李集中学221221）【摘要】直觉思维是以“非逻辑”为主要特征的一种思维方式.数学虽以严谨的逻辑思维著称，但在人脑中进行的思维活动，“非逻辑”的直觉思维却占有很大的比例.所以说，直觉思维是数学思维的不可或缺的重要组成部分.在概念或是解题教学中，培养学生的直觉思维能力是数学教育义不容辞的职责.【关键词】直觉思维；数学悟性；直观领悟；合情推理；类比联想；顿悟灵感；严格证明培养学生严谨的逻辑思维能力无疑是数学教育的“重头戏”，但我们绝对不能因此而忽视“非逻辑”的直觉思维能力的培养.在以前历次颁布的《高中数学教学大纲》中提到的均是“数学逻辑推理能力”的培养，可在《普通高中数学课程标准(实验)》中，其中的“逻辑”两字已被去掉，而是说成“培养学生的思维能力”，意味着已经将“非逻辑”的直觉思维能力的培养纳入数学教育的目标之中，大大拓展了数学思维的外延，标志的是数学教育理念的发展和进步.何谓“非逻辑”的直觉思维？著名特级教师黄安成先生在文［2］中将此种思维统称为“数学悟性”，并指出其主要特征：“所谓数学悟性，就是指对数学对象及解决问题时的‘直观领悟、合情推理、类比联想、灵感顿悟.”1敝惫哿煳数学主题通常都是由逻辑推理得到的，彰显的是数学理性精神的光辉，理论上的严谨通达才能使人心理和谐顺畅，且记忆牢固.但我们也发现，也有一些数学主题的获得依靠的是直观领悟，而不是严谨的逻辑推理.正如德国数学家克莱因说：“一个数学主题，只有达到直观上的显然才能说理解到家了.”这种理念在数学新课程、新教材中已得到充分的体现.如两个计数原理、排列组合公式、各种概率公式的推得，都是不严密的，但利用生活中获得的数学经验，从特殊到一般，从具体到抽象，学生都能达到直观的理解.《立体几何》中的公理的出台也都是基于“直观上的显然”.一些概念与定理，如直线和平面垂直的定义，只能利用具体的事物来导引学生形成和树立.即便是定理，如直线和平面垂直的判定定理，过去的教材给出了严格的证明，但由于图形复杂、方法生涩、推理繁冗，初学者很难达到透彻的理解和熟练的驾驭，属于“吃力不讨好”之举，故新课程、新教材已将其删去.在现在的教学中，充分运用直观能力可使学生达到实质性的领悟.一条直线如果与平面内的一条直线垂直，当然不能判断这条直线与这个平面垂直；但即使一条直线与平面内无数条直线垂直，也不能判断这条直线与这个平面垂直，因为这无数条直线如果互相平行，那么它们只代表着一个方向，则只能“相当于一条直线”；但如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则可以判断这条直线与这个平面垂直，这就叫做“线不在多，相交就行”.在“纯理性”论持有者看来，这段话与逻辑思维毫不沾边，“什么叫‘相当于？不通！”可是学生绝对能懂，而且非常欢迎这种说法.还有一个更典型的案例，即“导数”的教学.从直线的斜率到函数的平均变化率、函数的瞬时变化率，再到导数概念的最终出台，我们何曾见到一点逻辑思维的痕迹？下面的教学片段颇具说服力：图1教者首先带领学生回顾“平均变化率”的概念，函数y=x2在区间［1，1+a］上的平均变化率，即对应的曲线割线的斜率.如图1(多媒体课件配合)，当a的值依次为0.1，0.01，0.001，…时，割线的斜率依次为2.1，2.01，2.001，…我们发现了一种奇妙的规律，即当a的值越来越接近于0时，割线的斜率就越来越接近于切线的斜率2.这不应是偶然的吧？需对一般情形进行探讨：设曲线C：f(x)=x2上的点P(1，f(1))，Q(1+a，f(1+a))，则割线PQ的斜率为k割=f(1+a)-f(1)(1+a)-1=(1+a)2-1a=2+a.那么当a的值无限趋近于0时，2+a无限趋近于2，即k割就无限趋近于k切，可概括为a→0，则1+a→1，2+a→2，Q→P，k割→k切.更一般地，设曲线C：y=f(x)上的点P(x0，f(x0))，Q(x0+Δx0，f(x)+Δx0)，那么割线PQ的斜率为k割=f(x0+Δx0)-f(x0)(x0+Δx0)-x0=f(x0+Δx0)-f(x0)Δx0.则当Δx0→0时，k割→k切，就将k切叫做函数y=f(x)在x=x0时的导数.这里的“越来越逼近”“无限逼近”“最逼近”等规律都不是通过严谨的逻辑推理得到的，而是借助于生动、具体、形象的画面，使学生的大脑产生“内化”效应，渐渐地领悟其实质，这种“内化”就是直观领悟的反映.再说一个反面的教学案例，某教师在“数学归纳法”的教学中，试图用“高观点”来统领教学，即用极严谨的推理方式来阐释数学归纳法的理论基础与渊源，甚至将最小正整数、无穷大等高深理论引进课堂，结果弄巧成拙、事与愿违，学生只能是一头雾水.这节课名副其实地归入“废品”之列.正面的经验和反面的教训使我们深刻地体会到严谨的逻辑思维不是万能的，也不是随时和随处可见的，学生的思维能力中绝对地包含直觉思维能力.2焙锨橥评合情推理与直观领悟有一定的内在联系，但也有自身的特征，那就是虽具有一定的推理成分，但却没有完整的逻辑推理链条，而具有简约、跳跃、猜测等特点.如前所述，在建构知识和技能的过程中需要合情推理，在解答填空、选择题中更需要合情推理.对于解答题，虽然最后的表述需要的是一丝不苟、滴水不漏的推理过程，但在形成思路、确定目标的探索、尝试、构思、检索、猜想、突破、检验、辨误等过程中却离不开合情推理.英国哲学家、数学家休厄尔说：“若无大胆放肆的猜测，一般是作不出知识的进展的.”将合情推理提升到“大胆放肆”的层面，可见合情推理的不可低估的作用.图2如在“补集”的教学中，通过教师的引导，学生在深刻领悟图2含义的基础上，很快顺理成章地理解知识的本质并得到“补集”的所有性质：(1)瘙 綂UA={x|x∈U，且x麬}；(2)瘙 綂UU=粒瘙 綂U=U，且称U与空集粱ゲ梗(3)瘙 綂U(瘙 綂UA)=A，且称A与瘙 綂UA互补；(4)若A∪B=U，且A∩B=粒则瘙 綂UA=B，瘙 綂UB=A，且称集合A与B互补.这类通过合情推理实现知识的顺应与同化的例子比比皆是，因此充分利用合情推理的强大功能是在数学教学中实现节时高效不可或缺的良策.图3例1如图3，过点P(0，3)的动直线l交椭圆x29+y24=1于不同的两点A，B，若A位于P和B两点之间(不含P，B)，设|PA|∶|PB|=λ，求λ的取值范围.此题原有的解法极其繁冗，可在课堂上竟有学生给出令人惊愕的简捷解法：当直线l与x轴垂直时，|PA|=1，|PB|=5，则λ=15.如果直线l与椭圆相切，设切点为M，此时A，B两点重合于M点，|PA|=|PB|，λ=1.而A，B为不同的两点，所以λ≠1.综上所述，λ的取值范围是15，1.上述解法虽不能说尽善尽美，但闪耀着智慧火花的合情推理应得到充分的肯定和褒奖.3崩啾攘想从表面上看来，甲乙两种事物似乎没有什么内在联系，但由甲事物的结构、形态、特征联想到乙事物.基于此，将解决与甲事物有关问题的技能、技巧迁移到与乙事物有关的问题中来，就叫做类比联想，属于“非逻辑思维”范畴的一种直觉思维.比如，设三角形的周长为C，内切圆半径为r，则三角形的面积S=12Cr，由此可得r=2SC或C=2Sr.那么在立体几何中，若多面体有一内切球，内切球的半径为r，多面体的表面积为S，体积为V，则V=13Sr，r=3VS，S=3Vr.从三角形到多面体，从面积到体积，从内切圆到内切球，跨度不可谓不大，但运用类比联想，瞬间实现了沟通，可解决的问题多多.例2在1，2，3，4，5，6这六个数中任取五个组成数字不重复的五位数，求所有五位数的和.此题的原本解法非常繁琐，经过改进，虽有所简化，但仍有学生感到不满意，他们给出了如下令人慨叹的更加简捷的解法：五位数共有A56=720(个)，其中最小的是12345，最大的是65432，所以所求和为12345+654322×720=27999720.道理如下：将这720个数按从小到大的次序排列，得a1，a2，a3，a4，…，a717，a718，a719，a720，它们虽然不能构成等差数列，却具有类似于等差数列的性质：a1+a720=a2+a719=…=12345+65432=77777，故得解.类比联想创造了奇迹！4绷楦卸傥一位哲人曾说过：“创造是思维的‘短路，通常是‘不大讲道理的，若过分囿于逻辑推理，则很难作出创造.”这与上面休厄尔的名言有着异曲同工之妙.著名数学家、数学教育家波利亚也说：“无论如何，你应该感谢所有的新念头，哪怕是模糊的念头，甚至是感谢那些把你引入歧途的念头.因为错误的念头往往是正确的先驱，导致有价值的新发现.”例3设集合A={0，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C同时满足：①若将C的各元素均减去2，则所得新集合是A的一个子集；②若将C的各元素均加上3，则所得新集合是B的一个子集，那么满足这两个条件，且元素最多的集合C=.若循规蹈矩地进行逻辑推理，此题的解答必将陷入困境，必须来个“灵机一动”：题目说“减去2”与“加上3”，我们就来个“加上2”与“减去3”.那么将集合A的各元素分别加上2，得集合D={2，4，5，7，10}，将集合B的各元素分别减去3，得集合E={-2，0，2，4，7}，则所求集合C=D∩E={2，4，7}.不起眼的一个“金点子”闪耀的却是创造灵感的思想光辉.图4例4如图4，平行六面体AC1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，当CD∶CC1为何值时，A1C⊥平面C1BD？请给出证明.这是一道著名的高考试题，有相当的难度，常规解法为：设CD∶CC1=x，设法列出关于x的方程，但构建和解方程谈何容易！在这种困境之中一个大胆的顿悟使题解出现了根本性的转机，所求比值会不会是1呢？试试，还真的试成功了：事实上，当CD=CC1时，C-BDC1是正三棱锥，很容易证得A1C⊥平面C1BD，与列方程的解法相比，简直有天壤之别！行文至此，我们一方面感慨于直觉思维的巨大功能和培养学生直觉思维能力的重要性，但在本文末，还必须说以下两点：(1)直觉思维的功能绝对掩盖不了数学理性精神的光辉，绝对不能因为强调了直觉思维能力的培养而削弱了逻辑思维能力的培养.(2)绝不能满足于利用直觉思维对于问题的解决，不能停留在“感情用事”的层面上.利用直觉思维解决问题，即使再漂亮、再简捷、再优美，最后还须做到理性回归，要知其然，还要知其所以然.【参考文献】［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(实验).北京：人民教育出版社，2003.［2］黄安成.谈数学悟性.上海：数学教学，2000（3）.浅谈高中数学教学中的情景创设浅谈高中数学教学中的情景创设◎江会棉（河北省宁晋县职业技术教育中心055550）情景教学是指通过语言描述、多媒体运用、实物演示、角色扮演、实验操作等多种手段创设课堂教学情景，将认知与情感、形象思维与抽象思维、教与学巧妙地结合起来，充分发挥课堂教学中学生的积极性、主动性和创造性，改变学生被动接受知识的一种教学方法.多年的教学实践使我们感到：在数学教学中，运用情境教学，能激发学生的学习兴趣，提高数学教学质量.下面，谈谈我们的几点做法.一、以趣味材料来创设情境在数学教学中，借助趣味性材料（故事、谜语等）可以使学生不由自主地走进教学内容的情境，从而积极地主动思考，寻找解决的方法，有利于学生主动参与，提高学生对教学内容的理解.学生对学习不感兴趣的主要原因是缺乏求知欲望，因此，培养学生的学习兴趣，教师必须在激发学生的求知欲上下工夫.例如，在介绍对数之前，我出了一道趣味问题：假设某城市有800万人口，现有一人带来一个好消息，在该城市传播.若每隔一个小时，每个知道此消息的人都传播给另外两人，问：一昼夜间这个消息能传遍全城每位居民吗？一开始，学生们都认为不可能，这时我引导学生进行计算：1小时后，有1+2=3人知道好消息（）；2小时后，有3×2+3=9人知道好消息（）；3小时后，有9×2+9=27人知道好消息（）.猜想，n小时后，有3+9+27+…=？人知道好消息，那么当n≤24时，能有＞800万吗？学生摇头，我说：“学习了对数之后，你们一定能用最简便的方法解决这个问题.”使学生的兴趣油然而生，从而投入到积极的思考中.二、创设“美感”情境，使学生对学习数学有享受感为了有效地学习，学生对所学的内容感兴趣，并在学习活动中找到乐趣.在数学教学中，如果教师重视创设学生的数学美感，不仅可以使学生在学习数学过程中得到一种精神享受，还可以激发他们对数学的兴趣，产生一种探索研究问题的要求.三、通过知识之间的矛盾冲突来创设情境数学问题的解决方法往往是多种多样，但殊途同归，所得的结果是一致的，如果不一致，就必须对解题过程进行观察，探究原因，而每一种原因都诱发学生的问题，导致知识之间的矛盾冲突来创设情境.四、从解决具体问题出发来创设情境学生解决具体问题时，有时出现如不学习新知识，则问题将无法解决.而解决了问题后，要说明解题过程的正确性，不用新知识也无法说清楚，而这些具体问题的解决，更能激发学生学习和应用知识的热情，使学生积极主动参与解决整个问题的全过程，能有效创设情境.从学生熟悉的现实背景出发，使学生认识到数学是解决实际问题和交流的重要工具，从而体现“学有价值的数学”的教学理念，用数学的眼光观察、分析、处理生活中的实际问题.五、创设“数形结合”情境，使学生对数学具有奇异感利用数形结合法进行教学，它不仅可以把优美的解题过程形象地展示在学生的面前，而且给学生带来层次分明的思维训练，使学生产生一种奇异的感觉，消除一部分学生因数学的抽象性而产生的畏惧、厌倦情绪，因而产生对数学的兴趣.例如，在讲“直线与圆的位置关系”时，适时渗透数形结合思想，由数到形，由形探数，往往可化抽象为直观，准确地把握住解题的思路与安排好解题的层次.六、创设“发散思维”情境，使学生对学习数学有新颖惑数学教学活动是师生的双边活动，教师在教学活动中若善于引发学生思维，创设发散性思维情境来作用于学生的思维过程，可以发展学生的思维能力，培养学生的学习兴趣.七、创设“期望”的情境，使学生对学习有成功感在学习过程中，学生如果获得成功，就会产生愉快的情境，如果这种情况反复出现，学习中的愉快情境就会建立起来，从而对学习产生极大的正迁移.因此，在教学中，教师应尽量创造条件让学生自己操作、探索、思考，让其在获取知识的过程中，得到成功的满足，体会到智力活动的快乐.例如，在讲“立体几何”时，为了让学生形成正确的空间概念，提出了这样一个问题：给你六根火柴棒，能搭出四个正三角形吗？学生拿到火柴棒后积极动手操作，当有的同学突破平面搭出正四面体时，我不禁拍手叫好，动情地说：“这就叫冲出平面，走向空间.”那么，什么是立体图形呢？它具有哪些特点呢？让学生在动手操作的过程中体验到了动手操作的成功感，获得了知识，为后继学习鼓舞了信心，指明了方向.总之，在数学教学中运用情境教学，通过合理情境的创设，既能提高教师的业务水平，又能使学生的求知需求得到满足，激发起浓厚的数学学习兴趣，使学生由“厌学”转变为“爱学、想学、会学、乐学”，从而提高学生的数学素质.数学概念教学中思维能力培养初探数学概念教学中思维能力培养初探◎李祥（安徽省五河县第二中学233300）【摘要】数学概念教学在整个教学过程中具有举足轻重的地位，如何在概念教学中培养学生的思维能力又是数学教学中的重中之重.本文将结合自己的教学实践提出一点自己的看法.【关键词】概念教学；思维能力；培养；策略数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质特征属性的思维方式，其本身具有严密性、抽象性、科学性和明确规定性.数学教学的本质是思维展示和发展的过程，在这个过程中，数学概念教学是一个重要环节，也是学生数学思维能力产生和发展的初始阶段.抓好这个环节可以培养学生良好的数学思维能力，进而在整个数学学习过程中达到事半功倍的效果.一、重视概念教学，强化概念意识数学概念是数学思维的指向灯，只有有了正确的数学概念意识才能使数学思维能力向良性方向发展.教师要重视概念教学，强化学生的概念意识.我在给高一新生上的第一堂数学课中提出的第一个问题是：“什么是数学？”有些同学马上说：“是数的学问”.我提示道：“那数学就只研究数字不研究几何图形了吗？”有同学补充说：“数学是研究数与形的学问”.我告诉他们这还不是最好的回答，让他们在下面讨论一下到底什么是数学.最后有同学搬出新华字典给出数学的概念：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，包括算术、代数、几何、三角、微积分等.这次提问使学生明白了什么是数学以及数学研究的对象等，为下面数学的学习和研究指明了方向.也使学生认识到数学概念在数学学习中的基础和指向作用.二、定向引导，深入研究，抓好概念教学的初始阶段，培养良好思维能力人的思维是有一定惰性的，它常使人们对问题的理解停留在知识的表面，满足于一知半解.因此，在数学概念教学中，教师要善于定向引导，并且运用适当的方法（比如概念同化，概念迁移等），让学生由表及里，步步深入地学习某个概念，这样才能使学生的思维能力得以锻炼和优化.例如，在教函数概念之前，我设计了一个引入部分：让学生来研究圆的面积与半径之间相互变化的规律.先给出几组半径的数据让学生计算圆的面积，进而让学生来求：当半径为x时，圆的面积y的值.这样使学生由原有的认知结构中的常量数学自然过渡到变量数学，在这个基础上让学生总结得出函数的初中定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应.那么说x是自变量，y是x的函数.然后，强调定义中的两个“一”即“每一”和“唯一”.此时抛出一个问题：用你所学知识给函数重新下一个定义.由于映射的概念刚刚学过，学生很容易得出函数的映射概念.由于是自己探索出来的概念，他们会有一种成就感，学习兴趣提高.三、在概念教学过程中提高学生思维能力的策略1闭故靖拍畋尘埃培养思维的主动性在数学概念教学过程中向学生展示概念产生的背景，激发学生的好奇心，达到让学生主动思考的目的，从而培养思维的主动性.我在讲述对数概念时，先讲述对数的起源.对数起源于想把大数的相乘问题转化为加减问题的思想.我在黑板上写出两个数列，前一个为等差数列，后一个为等比数列，如：…-4，-3，-2，-10，1，2，3，4，5，6，7，8……132，116，14，12，1，2，4，8，16，32，64，128，256…要计算8×16，只需在下一列数中找到8与16，在上一列数中找到其对应的数3和4，3+4=7，在上面一列数中找到7，7在下一列数中所对应的数为128，则8×16的值为128.再如，求162，可转化为寻找16所对应的数为4，4+4=8，则162的值为256.这种特殊的算法一下子引起学生的好奇心，激发起他们对对数学习的欲望.从教学反馈的效果来看：大多数学生能够较好较快地掌握对数概念，并且在学习对数运算性质logaM·N=logaM+logaN时都能较快理解并接受.2贝瓷枨笾情境，培养思维的敏捷性数学概念一般比较枯燥乏味.如果只是照本宣科地讲述，学生容易失去兴趣，进而影响概念的理解和记忆.在讲述概念之前若能够创设一个求知情境，则不光是教学效果非同一般，而且能够培养学生思维的敏捷性.在讲述指数函数的概念时，我给学生提出“杨白劳的债务”问题：杨白劳3月初借黄世仁2元钱，月底要还4元钱，月底无法偿还，请求延期.4月底要还8元钱，仍无法偿还，又请求延期.如此下去，年关时要还多少钱？学生答：29=512元.我又问：x月后要还的钱数y应该多少呢？学生答：y=2x元（x∈N*）.此时，我说，若把这里的“2”推广到a（a>0，且a≠1），定义域推广到R，则可得到指数函数的概念.学生很快理解了我的意思，自己总结得出指数函数的概念.从他们喜悦的表情可以看出：这个概念他们已经理解并接受了.3本确表述，细致剖析新概念，培养思维的缜密性思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识.因此，当概念形成后，要求学生能够准确地表述概念.在这个基础上，对新概念进行剖析，使学生对新概念有更加深入、细致的了解.从而达到培养他们思维缜密性的目的.例如，在讲述三角函数的概念时，对六个基本三角函数的定义，以正弦函数sinα=yr为例进行如下分析：它本质上是一个比值，是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值；由于|y|≤r，所以这个比值不超过1；与点在终边上的位置无关；这个比值的大小随α的变化而变化，当α取某个确定的值，比值有唯一确定的值与之对应.经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意点P（x，y）一经确定，就涉及到x，y，r这三个量.任取两个组成比值，共有六组，对应着六个基本三角函数.这样对三角函数的内涵和外延就都揭示得十分清楚了.【参考文献】［1］田万海.数学教育学.杭州：浙江教育出版社.［2］顾援.概念的教学.山西大学师范学院学报，2001（10）.［3］郭思乐，刘远图.中学数学教学.北京：光明日报社出版社.高中数学课堂情境创设新策略高中数学课堂情境创设新策略◎张翔（安徽省灵璧第一中学234200）新课程高中生不再是课程教学与高考的工具，而是教学学习的主人，课程改革的目的就在于关注每名学生的个性特点，创造各种机会让学生得到其成长相适应的教育，开发学生的潜质，使每名学生在课程教学中能够充分学习、学会学习与发展，促进个体社会化.新课程打破以往按统一模式塑造学生的传统做法，关注每一名学生的特殊性，并在此基础上实施区别指导和分层教学.所以新课程迫切要求教师在教学过程中，关注个性差异，满足不同学生的学习需要.这就需要教师创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每名学生都得到充分的发展.教师要利用课堂情境创设，把沉睡在每名学生身上的潜能唤醒、激活起来；教师要利用课堂情境创设帮助学生学会主动参与、主动学习，启发学生提出问题，然后指导、帮助学生分析、解决问题，让学生能够举一反三.那么在课堂教学中如何创设情境，引导学生探究呢？一、从学生的生活中提炼情境高中数学教育在很长一段时间内对于数学与实际的联系未给予充分的重视，学生对数学学习的意义不明确，觉得数学学习只是为了高考拿高分，小学数学知识就够用了.课程标准明确提出要发展学生的数学应用意识，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.因此，教师可以引导学生对自己实际生活中的现象进行观察，抓住数学与实际生活的联系来创设情境.例如，在引入两个平面垂直的判定定理时，我提出：问题1建造一座大楼，怎样才能使墙面与地面垂直呢？学生很快会联想到建筑工人常常用一端系着铅锤的细绳让其垂直地面，并以这根绳子为参照，看看所砌的墙是否经过这条细绳.问题2然后问：为什么若墙面经过这条绳子，所砌的墙就与地面垂直呢？还可以引导学生观察教室门板与地面的位置关系，它们是否垂直？转动门扇是否还与地面保持垂直？为什么？到底隐藏着数学上的什么奥秘？由这些亲切的真实情景，导出两个平面垂直的判定定理就水到渠成了.用学生自身生活实际创设情境，不仅可以让学生认识数字来源于生活，应用于生产生活，培养学生的数学应用意识，而且所设置的情境与学生实际生活息息相关，所以能大大激发学生的学习兴趣，使学生的探索热情空前高涨.二、利用类比联想创设联系情境类比、猜想是创造性思维的一种重要形式，学生在学习旧知识的过程中，会对知识的联系产生类比联想，并提出质疑，教师适时引导学生进行类比、猜想，可以激发学生创造的思维火花，收到意想不到的良好效果.问题勾股定理大家都很熟悉，当一个△ABC的三边之长a，b，c满足a2+b2=c2时，该三角形是直角三角形.如果让指数作一些变化，如2→n，即an+bn=cn时，情况会是什么样呢？教师明确指出需要思考的问题，但结论留给学生自己去猜想、探求.学生首先会尝试着从具体的几个例子出发，如n=3，n=4，验证三角形是锐角三角形，通过同学间的相互交流，很自然会猜想an+bn=cn(n>2)时，三角形会是锐角三角形，并着手去考虑如何去证明这个猜测.在教学过程中，教师提出问题，而不是直接给学生结论，创设一种学生愿意主动去经历的活动，激发探索热情，学生经历自主探索、合作交流、猜想验证，这种自主发现式活动是学生在老师的引导下“再创造”的过程，这种学习方式不仅使学生对获得的知识理解得更深刻，而且培养了数学探究能力.在北师大版必修2第一章的教学中可以经常利用类比平面几何来创设情境，引导探究.著名数学教育家波利亚曾说过：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比.”例如，在“正四面体的性质”一课中，教师可以这样创设情境：“正三角形内任一点到各边的距离之和为常数”，那么在空间中有没有类似的命题呢？若有，你能给出证明吗？在二面角与平面角、圆、椭圆、双曲线、抛物线图像与性质、空间向量与平面向量的学习中都可以进行类比创设情境，引导学生进行探究.三、从浩瀚的数学文化中创设趣味情境数学文化是人类文化的重要组成部分.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.中国5000多年的文明史，给我们留下了无数宝贵的数学文化遗产，好好利用，可以为我们的数学教学增光添彩.比如，在学习“等比数列的求和公式”时，可以给学生讲述阿凡提和国王下棋的历史故事.下棋前，阿凡提说如果我赢了，就赏给我第一个格子放一个麦粒，第二个格子放2个麦粒，第三个格子放4个麦粒，第四个格子放8个麦粒，依此类推……国王一笑，根本不放在眼里，但最后的结果是国王根本拿不出这么多的麦粒来，这是为什么呢？又如，在学习必修3的“概率”时，可以创设如下情境：狄青在一次打仗中，为了鼓舞士气，就掷三枚铜钱占卜，说如果钱面（铸有文字的一面）全部向上，就有神灵保佑，必打胜仗，我们都知道掷三枚铜钱会出现八种可能：(正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(正，反，反)(反，正，正)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)，那狄青为什么这么说呢？结果掷出的铜钱果然都正面向上，为什么呢？在讲“反证法”时，我引用了这样一个历史故事作为情境：很早以前有个正直的大臣被小人陷害入狱，昏庸的皇帝也想置他于死地，但又想表现自己的清正，在执行死刑的时候给了两张纸条，说是一张写上“生”，一张写上“死”，让大臣从中抽取一张，抽到“生”就放了他，抽到“死”就杀了他，但小人早已把两张纸上都写了“死”，看守大臣的卫士已经偷偷地把这告诉了大臣，结果大臣用了一个办法使自己幸免，他用了什么办法呢？这些数学历史典故极大地增强了学生学习数学的兴趣，激发了他们的探索热情，更进一步了解了数学的文化价值.四、运用先进的教学技术手段革新情境新课程标准倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.数学实验是指实验者运用一定的物质手段，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动.在数学实验中创设教学情境，可使学生体验、感受“做”数学的乐趣，培养合作交流能力.（下转45页）加强发散思维训练培养学生创新能力加强发散思维训练培养学生创新能力◎杨敏(浙江杭州萧山第十高级中学311200)【摘要】通过对高中数学新教材的教学，结合新教材的习题和高中研究性学习的开展，对如何加强高中生发散思维训练，如何开展教学培养学生的创新能力方面进行了探索.【关键词】发散思维；创新能力；发散求异；联想转化科学上的新理论、新方法、新发现往往来源于发散思维，有人用“创新能力=知识量×发散思维”这个公式估计一个人的创新能力.可见，加强发散思维训练，是培养学生创新能力的重要方法.发散思维是一种创新思维，指思维从同一信息源出发，运用获取的信息沿着多种方向展开，以获得不同的思维的结果.思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性.在中学数学教学中有意识地抓住这些特性进行训练与培养，既可提高学生的发散思维能力，也有利于培养学生解决问题的灵活性与创新能力.一、创设发散情境，激发创新意识任何思维过程都受一定的情境所制约和激发.因而教师在教学中应根据教材与学生的生活实际，创设激发探索新知识的发散问题情境，围绕数学教学环节的衔接、转折、延伸，鼓励学生多提问题、发现问题、捕捉问题，激起学生对问题探究的高涨情绪.例1点P为△ABC所在平面α外一点，若∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，则点P在平面α内的射影H是△ABC的（）.A蓖庑B蹦谛C敝匦D贝剐本题运用线面垂直、线线垂直的判定与性质容易选择答案D.完成此题后提出问题：（1）满足怎样的题设条件时，点P在平面α内的射影Ｈ是△ABC的外心、内心、重心呢？（2）适当改变题设条件还会有此结论吗？如何改变题设条件呢？如三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直.又如PA⊥BC，PB⊥AC等.（3）保留原命题条件不变的前提下，还会有怎样的结论呢？如△ABC为锐角三角形.又如设α，β，γ分别为高与各侧棱所成的角（或底面与各侧面所成二面角的平面角），则有cos2α+cos2β+cos2γ=1等.二、发散求异，培养创新能力布鲁纳曾说“探索是数学的生命线”，发散求异思维过程就是探索过程，教学中教师应善于引导学生多方位多角度地观察问题，开阔视野，训练学生发散求异思维的习惯，激发学生的创新热情，培养创新能力.例2求证：不等式a+b22≤a2+b22.题目虽然简单，但证法很多，综合法、分析法、比较法、反证法皆可，但只满足于上述方法，则失去了一次引导学生从不同角度审视问题的求异创新的机会.实际上，这道题还可用函数、三角、解析几何等知识来解决.（1）构造函数：将原不等式移项变形，得a+b22-a2+b22≤0.联想到二次函数的判别式，于是构造函数f(x)=x2+a+b2x+a2+b28，变形得f(x)=12x+a22+12x+b22.因为f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0，可证得此不等式.（2）三角代换：注意到不等式中的a2+b22，令其为k2，则可设a=2kcosθ，b=2ksinθ，于是a+b22=2k(sinθ+cosθ)22=k222sinθ+π42≤k2，即a+b22≤a2+b22.（3）构造图形：不等式等价变形，得|a+b|2≤a2+b2，把a2+b2看成点(a，b)到原点的距离，而|a+b|2联想到点到直线的距离公式，可看成点(a，b)到直线y=-x的距离，于是从图形易得原不等式成立.三、变式引申，强化创新能力“数学题是永远做不完的”，多做题固然可以积累经验，但如果善于变题，在变式引申中掌握一类题的解法，则会以少胜多，既训练了发散思维的广阔性与深刻性，同时强化了学生的探索精神与创新才能.例3在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两个焦点连线互相垂直.大多数学生能直接设出点的坐标，再结合斜率公式，列方程组解题.也有学生运用椭圆的参数方程，引参设点求解.还有学生能根据焦点三角形为直角三角形这一特征，这个点也在以焦点为直径的圆x2+y2=25上，通过求两曲线的交点法解题.如果解完这题就此罢手，这样学生只学会了解一道题，达不到解决一类变式创新题的目的.此时教师要从改变题设特征条件出发，引申变式.如：变式1在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两焦点连线的夹角为60°.提问：上例的解题方法还适用吗？此题中的焦点三角形已成为一个角为60°的斜三角形了，解题思路也随之改变，结合椭圆的定义及余弦定理，再列式求解.促使学生对解题思路进行探索与灵活拓展，再让学生进行变式探索设计出创新试题.如：变式2在椭圆x216+y236=1上求一点，使它到两焦点距离之比为1∶3.变式3设P为椭圆x29+y24=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求∠F1PF2的最大值，并求此时△F1PF2的面积.变式4已知椭圆x29+y24=1的两个焦点F1，F2，点P为其上的一动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围.变式5设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2.若椭圆上存在点P使PF1垂直PF2，求证：离心率e≥22.变式6设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2.（1）求|PF1|·|PF2|的最大值、最小值；（2）求△F1PF2的面积.此处还可以引申到双曲线的相关问题等等.从而沟通了解几与代数、三角间的联系，迫使学生思维从不同方向发散，深化创新思维.四、联想转化，发展创新能力联想思维是以已知为基础，通过观察、类比、创新思考把待解决的问题转化成易于解决或已经解决的问题，从而发现解题途径，制定解题策略.联想转化能优化学生的认知结构，有助于学生自觉地调整思维方向，再创造出新的独特的解题思路，使创新能力得到发展.例4已知(x-2)2+(y-1)2=1，试确定y-3x+1的取值范围.从所求问题的外部特征来看，与解几中的斜率公式k=y2-y1x2-x1类比，通过数形结合联想，问题可转化为：求圆(x-2)2+(y-1)2=1上一动点P与定点A（-1，3）连线斜率的取值范围.另一方面，令u=x-2，v=y-1，原命题即为已知u2+v2=1，试确定v-2u+3的取值范围.命题的条件显然得到简化.再联想到圆的参数方程，可采用引参消元法，设u=sinθ，v=cosθ，问题可转化为：求s=cosθ-2sinθ+3的取值范围.常见解题思路是将此式转化为sin(θ+φ)=f(s)形式，再由|f(s)|≤1可求得S的取值范围.还有其他解法吗？再次深层联想，设tanx2=t，则sinθ=2t1+t2，cosθ=1-t21+t2，问题又可转化为：求函数s=-3t2-13t2+2t+3的值域.再运用判别式法可得出解答.以上事例说明，只要我们有意识地加强发散思维能力的训练，克服思维定式，锻炼思维品质，培养学生孜孜以求的探索精神，才能培养出有创新能力的学生.【参考文献】［1］徐斌艳.数学课程与教学论［M］.杭州：浙江教育出版社，2003.［2］唐街平.平面几何发散思维能力培养的商榷［J］.重庆教育学院学报，2002（6）.［3］沈德立，吕勇，马丽丽.中学生发散思维能力培养的实验研究［J］.心理学探新，2000（4）.［4］张雄.中国数学教育改革的趋势［J］.中学数学教学参考，2004（3）.［5］俞求是.中学数学教科书中的开放题［J］.中学数学教学参考，1999（4）.KEGAI QIANYAN课 改 前 沿课 改 前 沿KEGAI QIANYAN新课程改革背景下中职学生可持续发展教育的思考◎步红梅（杭州市余杭区成人中等专业学校311100）【摘要】随着社会的发展和进步，中职生已经成为社会发展进步和城乡建设的一个重要的组成，特别是国家强调要对劳动者全员职业技能培训，提升国家的产业水平.在此前提下根据国务院下发的《关于大力推进职业教育改革与发展的决定》的精神，中等职业技术学校更加要“加强文化基础教育、职业能力教育和身心健康教育，注重培养受教育者的专业技能、钻研精神、务实精神、创新精神和创业能力”.对中职的学生来说，职校学习时期也是从心理幼稚走向成熟的关键时期，是他们的个性人格趋于定型的时期，特别是在新课程改革的背景下，更要注重提高学生的基本素质，使得他们成为能在社会上不断进步的人.本文以人的终生发展为理论基础，通过对中职学生的特点进行分析，探讨如何在新课程改革的背景下，提升学生的可持续发展教育.【关键词】中职学生；可持续发展曾经在许多家长与学生眼中，中等职业技术学校的社会地位低下，是考不上普通高中的学生才读的学校.事实上，一些学习上的差生、品德上的差生和行为上的差生在现阶段职校生中占了相当大的比例.但是同时也能看到这样一种现象，一些从职校毕业出来的学生，其中相当一部分是在校期间调皮捣蛋的学生，现在工作比较好，待遇也比较高，甚至还有些开起公司，做起老板，“混”得挺好.人是可以终身发展的，不能因为短短的几次考试就决定了一个人的一生，中等职业学校更要以全面、协调、可持续的发展观来对待每一名学生，使他们获得终身发展的能力.本人在担任职业中专班主任期间，深刻地感受到终身发展观和培养学生终身发展能力的重要性.一、职业中等学校学生的状况和特点分析目前职校生的生源，主要是初中阶段的中下生以及一部分“差生”，他们的学习成绩确实差，伴随着他们学习成绩差的，他们还具有以下几个特点.1痹谘习上首先是学习目标不够明确.不少职校生对进入职业学校学习自信心不足，甚至没有学习的近期、中期和远期目标，因而学习态度不够认真，只求能够过得去，甚至是得过且过.其次是学习动机层次不高.不少职校生对学习的认知内驱力不足，对学习提不起内在的兴趣，学习的实用化倾向十分明显，过分追求学习上的急功近利和“短平快”，对学习文化基础课和思想品德课很不情愿，觉得学了将来没有用等于在浪费时间，还不如不学.第三是学习方法不当，学习习惯不良.不少职校生在初中阶段就没有养成良好的学习习惯，不知道怎样学更科学、更有效，没有掌握基本的学习策略，因为不会学因而学不好，由学不好到不愿意学，最后发展到厌学、逃学.第四是学习的认知能力水平较低.相当一部分职校生对学习过程、学习活动和自己的学习习惯缺少必要的反思自省意识，不懂得科学合理地安排学习时间，不懂得如何进行学习成败上的合理归因.第五是普遍存在学习焦虑现象.不少职校生是读不进书又不得不读书，在家中瞒着父母，在学校应付老师，对学习有着一种“剪不断、理还乱”，摆脱不掉的心理压力，对考试或某些学科、课程的学习存在比较严重的恐惧心理，有明显的厌学情绪和行为.2痹谛形和情感上一是情绪不稳定，情绪自控能力较弱，容易出现高强度的兴奋、激动，或是极端的愤怒、悲观.在日常生活中，不少职校生情绪躁动不安，动不动就想哭，大叫大喊或摔砸东西，与同学、朋友争论起来面红耳赤，甚至发生激烈的争执.也有一些职校生经常性的大惊小怪，给人一种装腔作势、无病呻吟的印象.二是内心不够自信，社会性情感表现冷漠.就其实质而言，职校生的冷漠是多次遭遇严重挫折之后的一种习惯性的退缩反应.不少情感冷漠的职校生对他人怀有戒心或敌意，对人对事的态度冷淡，漠不关心，有时近乎“冷酷无情”，对集体活动冷眼旁观，置身于外，给人一种“看破红尘”的感觉.有人说职校生情感世界中的“冻土层”很厚，因为在初中阶段老师关爱的“阳光”照耀到他们的时间不仅短而且热量少，处于“三无”状态，即无动于衷，谓之无情；缺乏活力，谓之无力；漠不关心，谓之无心.这在职校生中表现更为突出.三是感情容易遭受挫折，挫折容忍力弱.职校生群体普遍感到巨大的压力和深受伤害，对生活逆境没有充分的心理准备，不清楚如何把握自己的命运.一些职校生稍遇挫折，就觉得受不了，产生“还不如死了为好”的厌世心理.出走、打架、斗殴、自残、轻生等现象在职业学校并不少见，也说明职校生应对挫折的能力比较薄弱.四是情感严重压抑，情绪体验消极，自卑感强.受社会大环境的影响，许多家长认为孩子只有进入重点学校才是进了大学的门，才有前途和出息，进入职业学校等于是成才道路上领到一张红牌，被判定“下场”或没出息.在社会和家庭的双重影响刺激下，职校生普遍比较自卑，特别是一些单亲家庭、特困家庭或家庭关系不和睦的职校生，不愿意和别人交流自己的真实感受，也不善于合理宣泄自己的不良情绪，更容易产生抑郁、悲观等消极情绪体验.综合上面两方面，作为中考失败者的职校生中“落水者”的心态、“失败者”的心态、“多余人”的心态比较普遍，缺少振奋向上的个性面貌，缺乏应有的积极理想和追求，对将来没有想法，或者抱着碰运气的念头来学校混日子.面对这样的学生，如何才能有效的开展教育呢？二、积极调动学生实现自我的意愿，通过行动培养学生的可持续发展能力虽然不少职校生文化学习和思想行为习惯都不尽如人意，但并不是一无是处.在我担任班主任期间，通过深入的了解和观察，发现他们中还有相当一部分富于个性，聪明伶俐，喜欢独立思考，不愿盲从，有其闪光点.俗话说“授人以鱼，不如授人以渔”，究竟如何来做才能真正的“授人以渔”呢？这就要求我们职业教育工作者要将培养学生可持续发展的能力作为教育的主旋律，在教学中既要让学生掌握有关的知识，又要让学生习得终身受益的观念和方法.1币进行立志教育，使得学生树立明确的理想和志向人无志则无行，无行则无能.学生如果没有对自己的志向，就不可能主动地去追求或约束自己，在行为上就会出现各种问题，在担任班主任期间，我就非常重视立志.在高一刚接手班级的时候，在班会课上就逐一分析每一名学生的状况，给他们指出了成长的短期期望：一是顺利毕业，获得文凭.二是部分学生可以参加高考，升入上一级学校.三是其他进入社会的学生能够具有较好的工作能力和水平，找到工作自己发展.通过逐一的成长方向分析，使得每一名学生都感受到来自老师对他们的期盼，他们自己也获得了对自己新的认识，一定程度上明确了志向.2迸嘌自主探究的学习能力职校生由于基础较差，不少人已对学习失去了兴趣，但他们的思想依旧是活跃的，求新求奇思想较重，对周围世界十分敏感好奇，我就充分利用这种心理特征，帮助他们寻求途径，让他们对学习重新产生兴趣，激发学生学习的积极动机，树立起继续学习的愿望.比如在数学教育上，改变原来的课本中比较机械的教案，要学生寻找生活中的数学，然后制作题目，运用数学方法进行解决，使他们变被动的学为主动的找.让他们出题目难为老师，同时也增加了学习的趣味性，在这一过程中，在头脑中形成感性认识，然后教师通过教学，将实践内容引入到理论学习中，学生在学习过程中将理论与实践相联系，最后再进行综合训练的实习，进一步巩固学到的知识，达到理论与实践的纵向、横向贯通，教学效果比较明显，教师和学生都很满意.3迸嘌对各种信息的分析能力当前是信息爆炸的时代，大量的社会信息通过各种渠道涌入人们的生活，如何广泛收集相关信息，然后进行信息加工，并且结合实际加以运用，是任何个人、单位和团体获得可持续性发展的需要.职校生所面对的职业竞争是非常激烈的，要保证自身始终与时俱进，永远立于不败之地，就应该具有对各种信息收集、分析和利用的能力.特别在信息化社会，互联网已经成为广泛收集信息的一个重要途径，帮助学生学会向互联网索取信息的技术，并且教会他们将大量支离破碎的信息与数据进行归纳与综合，使之条理化.通过提取有用信息，增强自身的信息素养，不仅是自身生存的基础，更是适应信息社会和在高新科技产业快速发展的背景下创业发展与终身学习所必备的基本素质与基本条件.这里我通过班会课的方式，将一些要讨论的问题让学生自己到网络上搜寻，编成材料，通过老师布置作业的方式，迫使学生自己去寻找、分析，选择材料，然后在班会上进行讨论，在讨论中获得肯定和学习.三、以班级为团队，创造一种积极向上的氛围，努力让学生获得成功感没有成功感的人是无法在生活中继续复制成功的，对于失败感强烈、自卑的学生来说，如果不在学校里处理好这种问题，将来走入社会有比较大的问题.我针对他们这种情况，很注意通过班级竞争的方式来逐步地树立学生的自信，以班级团队来创造一种积极向上的氛围，使得学生具有成功感.比如，在自修课上，就强调自修的纪律，并且把自己班级良好的自修纪律与其他的班级不好的纪律进行比较，强调班级的特殊性.在获得五项竞赛的排名上，通过先严格管理外化，再到集体认同内化的过程，在学生中树立我们班级是最好的班级的思想，让他们为自己是这个班级成员而感到自豪.同时我还很注重把个别人的事情集体化，打破他们各自为政的想法，促使他们彼此合作学习，通过合作的行动能发现自身的价值和作用，分享成功的喜悦，培养他们在生活工作中与人共处，对他人要有爱心，能设身处地理解他人，能为共同目标而努力，要树立共同的社会价值观念.四、因人施教，让学生在不同的领域获得不同的发展每一个人都有属于自己的天空，关键不是好坏，而是合适.在学生入校不久，我就请人给全班学生进行了心理测试，重点是了解个性心理特点.也是基于心理测试的基础，我对每名学生的发展前景和发展方向有了初步的概念.成功是多元的，不能只看成绩好坏.在这个观念下，我选择和任用班干部上就有了更大的余地，一些看上去成绩不是很好的学生，我任用他们做班干部，一方面发挥了他们积极参加社会活动的能力，另外也通过班干部，给他们更多的约束.如担任团支部书记的学生叶某，虽然学习一般，但是具有很强烈的荣誉感，性格外向，我就有意识的培养她做团支部书记，她也能在这个位置上积极开展工作，获得了成功的体验；其他学生我也不同程度的运用不同的办法，将他们本人的特点和个性运用在不同的内容上使他们获得成功感，起到了因人而异，获得成功的效果.在担任班主任的时间里，我深刻感受到学生的变化，可持续发展不仅仅是社会国家的必需，也是每一个人的必需，特别是中职的学生，一定要在具体的行动和感受中，逐步的改变他们，通过成功感的确立和成功行为的复制，让他们在不同的领域内找到符合自己的位置.我所带的班级，通过努力在2005年被评为区先进班集体，学生在毕业后也各自走向了他们的人生路，相信他们也能随着社会的发展，自身获得更好的发展.【参考文献】［1］傅道春.新课程中教师行为的变化.北京：首都师范大学出版社，2001.［2］张春兴.现代心理学.上海：上海人民出版社，1994.对高中数学新增线性规划部分内容的理解以及教学建议◎王璐璐（陕西师范大学数学与信息科学学院课程与教学论专业710062）【摘要】根据教育部颁发的普通高中数学课程标准（实验），新的数学教材中新增加了很多内容，以期更好地培养学生的数学思维和数学应用能力，其中包含了很多高等数学中的基本内容，比如简单的线性规划.本文将论述对于高中数学教材中出现线性规划这部分内容的理解，并试图给出一些教学建议.【关键词】高中数学；线性规划；教学建议一、关于线性规划1毕咝怨婊在新教材中的位置普通高中课程标准实验教科书（北师大版）《数学》必修5第三章《不等式》中的第4小节介绍了简单线性规划的基本内容.这部分内容对于文科和理科的学生要求一样，要求学生掌握解决线性规划问题的基本步骤，学会从实际问题中抽象出简单二元线性规划并加以解决.整个不等式章节的教学约16课时，简单线性规划这节内容需要3~4个课时.在学习简单线性规划问题之前，先学习了不等关系、一元二次不等式以及基本不等式等内容，让学生感觉学习线性规划问题不会那么突兀和难以接受.2北冉闲戮山滩牡那别对于不等式，以往的课程比较关注不等式的解法，只是告诉学生如何去解不等式，机械地练习，而学生并不能理解不等式的意义以及用途；新的课程中强调不等式是刻画和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具，是描述、刻画优化问题的一种数学模型.增加线性规划这部分内容，让学生了解了不等式的应用及其几何意义，为学生理解不等式的本质、体会优化思想奠定了基础.二、为什么要增加线性规划这部分内容1毕咝怨婊与函数解决线性规划问题，可以归结为以下步骤：（1）确定目标函数；（2）确定目标函数的可行域；（3）确定目标函数在可行域内的最值.线性规划问题是最优化问题的一部分.从函数的角度来看，首先，确定目标函数，用目标函数来刻画题目中的“好”与“坏”，“大”与“小”，实际上目标函数就是二元函数（在中学教材中），学生很容易理解目标函数这个概念；其次，确定目标函数的可行域，就是由约束条件确定目标函数的定义域，学生可以通过画出图形很直观地看出可行域的范围；最后，确定目标函数在可行域内的最值，就是通过目标函数在可行域中移动，确定在约束条件下的定义域所对应的目标函数的值域的最值.可以看出，线性规划这部分内容与函数的联系极为密切，而函数是高中数学中非常重要的内容，因此，在高中教材中引入高等数学中的线性规划问题便不足为怪了.2毕咝怨婊与数形结合由于线性规划问题可以化归为目标函数求最值问题，而目标函数在某个区域上的最值问题又可以通过直线的平移加以解决，因此正确地画出不等式（组）表示的平面区域，平移直线就是解决此类问题的关键.这就用到了数形结合的基本思想，画出所求目标函数的可行域，直观地解决线性规划的问题.作为高等数学中的内容的线性规划与中等数学中最基本的数形结合思想有着如此密切的联系，将其引入高中课程也就变得理所当然.3毕咝怨婊的应用价值《数学课程标准》中列举了10项指导数学课程设计的基本理念，其中一项就是发展学生的数学应用意识.对数学的应用意识是衡量学好数学的一个标准，很多时候学生甚至教师将数学知识的学习与应用分开来看，这对于我们学好数学是非常不利的.而线性规划是一个应用性非常强的工具，可以很好地锻炼学生的数学应用意识.平时生活中的很多问题都可以抽象成简单的线性规划问题，例如：《数学课程标准》中的案例3是一个投入产出模型，北师大版教材上的例9是关于为病人配营养餐的问题，这些都是生活中很常见的，让学生感觉到用自己学的数学知识可以解决这么多实际的问题，会激励学生学习数学的兴趣和积极性.在新教材中引入线性规划这部分内容符合《数学课程标准》中提出的发展数学应用意识的课程目标，并能很好地联系实际，将所学知识运用到现实问题中，有利于培养学生发现问题、解决问题、应用所学知识的能力和意识.因此引入这部分内容有其现实意义.三、有关线性规划这部分内容的几点教学建议1弊⒅嘏嘌学生发现问题、抽象出数学模型的能力，发展其应用意识教师在教学过程中，不要简单地只讲解解决线性规划问题的基本步骤，只是为了应对考试才反复训练解题能力，应当有意识地鼓励学生善于将所学知识延伸到现实生活中，发现更多需要解决的问题，从而培养学生应用数学的能力和意识.比如，有这样一个题：某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，可以住游客5名，每名游客每天住宿费40元，小房间每间面积15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？老师可以在讲解了有关基本步骤内容以及课本上的例题后，给出学生这个问题.这是个很实际的问题，可以让学生想象自己需要办这么一家旅社，考虑它的装修问题，这会让学生感到数学就在身边，激发学生探讨数学问题的积极性.此题的解决实际就是按照线性规划的三个基本步骤进行的，确定目标函数、确定目标函数的可行域、确定目标函数的最值，但老师可以借此向学生举一反三，给出若干其他例子，也可以让学生去发现生活中的问题，借以体现数学应用的广泛性.从而训练学生发现问题、抽象现实问题的能力，增强其应用数学的意识和能力.高中数学新课标中创新能力的培养高中数学新课标中创新能力的培养◎武聪（河北唐山一中063000）随着数学新课程的实施，如何培养学生的创新意识、提高学生的创新能力越来越引起人们的重视.创新能力是指借助于概念、判断、推理并应用猜想、想象、直觉等获得发现和进行创造的能力.那么，如何在数学课堂教学中有效地提高学生的创新意识和创新能力，我总结几点自己的看法：一、创设矛盾式问题情境，提供学生学习的机会新课标强调“一切为了学生的发展”，从学生的经验出发，教师要备好学生.在教学中，教师要根据学生的年龄特征和认知特点组织教学，注重激发学生学习的积极性，向学生提供从事数学活动的机会.教师要善于激发学生的兴趣，在轻松活泼的课堂气氛和融洽的师生关系中推动学习进程.良好的问题情境在于它能有效地引起学生认识的不平衡，激发学生的求知欲望，使其产生矛盾心理.教师通过精心设计，揭露学生已有认知结构与数学知识结构之间的矛盾，进而寻找解决问题的途径.问题深浅适度，并且是学生很想知道的，这样的问题自然会吸引他们，可以激发他们的认知矛盾，引起认知冲突，引发强烈的新思维和求知欲，学生因兴趣而学，并提出新质疑，自觉去解决，通过制造矛盾打开学生的心扉，激发学生思考，逐步引入佳境.二、改善学生的学习方式，使学生主动地学习荷兰著名学者弗赖登塔尔说：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”在进行数学教学时，教师要根据不同的教学内容，从学生实际出发，采用不同的再创造方法.1毖盗反丛煨运嘉，培养学生的创新能力教师在数学解题教学中，可以引导学生多方位观察，培养学生敏锐的观察力和从不同角度分析问题的能力.教师要培养学生一题多解、一题多思、一题多变、举一反三的创新思维.作为数学教师，则要求我们必须转变教育思想、理念，与时俱进，把培养创新人才作为我们的教育目标，将培养学生创新能力落实到课堂中，让我们的学生不光会继承，更能发展创新.有些数学问题，若运用常规方法，则解题过程繁杂、冗长，甚至难以下笔，但若能抓住题目特征，引导学生寻求简捷、巧妙的解题方法，让学生置身于求新、求异的思维情境中，对培养学生的创新能力大有好处.如在讲函数最值时，可让学生提出自己的想法，有的题既可用代数方法也可用几何方法解决，很好地将学生的知识体系联系起来.解题后，教师还要让学生进行教学内容的反思和引申，鼓励学生积极求异和富有创造性的想象.2背浞掷用研究性学习，培养学生的创新意识教师教学时，应打破常规教学方式，变“传授”为“探究”，充分暴露知识形成的过程，促使学生以探究者的身份去发现问题、总结规律，促使他们在自主探索的过程中锻炼创新能力.弗赖登塔尔说过：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的.”如在高三数学总复习课教学时，可以安排学生自讲自评的环节，即课前把全班学生分成几组，每组学生利用课余时间收集易错题、重点题、经典题等.上课时，轮到出题的组，由组长组织本组讨论，选出经典题，派一名代表把题出示给全班同学进行讨论，周末全班总评.这样做，把枯燥无味的复习课，变成学生喜欢、易接受的形式，同时也具有挑战性，让学生在自由的空间里想象，而这时学生也往往会出现各种各样不同的看法，在讨论中增进了学生的解题能力、表达能力，让学生感受自己胜利的心理，体会数学给他们带来的成功机会和快乐，同时也激发了学生创造性学习的动力.教师还应鼓励学生积极参加社会实践活动，搞调查研究，写调查报告，从中体会数学的应用价值.总之，要培养学生创新能力，教师就要改进教学方法，激发学生学习兴趣，让学生自主地学习.积极地思考是创新的关键，是落实素质教育、全面提高学生技能的重要基础.创新是生命力，是源泉，只有创新，老师才能引导学生成为学习的主人，才能全面提高学生的学习技能和综合素质，才能为国家和社会培养有用的人才.高中数学数列教学中的教与学探究高中数学数列教学中的教与学探究◎赵国保（陕西省西安市长安区第八中学710106）【摘要】由于新课改教学理念在全国大范围的不断深入，使高中数学教学面临着前所未有的要求和考验，本文主要以高中数学数列教学为例，对新课改教学理念中的高中数学数列教学设计内容进行详细概括，同时对教学方法进行详细的探究.【关键词】高中数学教学；数列教学；教学内容在高中数学教学中，数列教学是其中较为典型的离散函数代表知识之一，并且在高中数学中占有相当重要的地位，同时数列在现实生活当中也具有较大的应用价值.高中数学教学当中的数列教学是有效培养学生的思维能力、分析能力以及归纳能力的一种重要的途径之一，同时也是培养学生在高中数学学习中对问题的分析能力与解决能力的重要知识.因此应对数列教学加以重视，结合新课改的教学理念，对数列教学进行深入研究.一、新课改教学观念下的教学设计按照传统的教学理念来说，教学设计主要是指有效地运用相应的教学系统，有效地将教学与学习理论逐渐转变为有效地对教学参考资料和教学活动具体规划实现系统化的整个过程，其中教学内容、教学方法和教学效果问题在教学设计当中得到有效的解决.也可以说，所谓的教学设计就是将教学具体活动步骤制定成合理的教学方案，同时在教学结束后对教学过程进行相应的评估与总结，从而使教学效果得到提升，并实现对教学环境的优化工作.1备咧惺学教学当中的数列教学的知识结构高中数学教学中的数列教学主要包括四大部分，即：一般数列、等差数列、等比数列以及数列的应用等.其中最重要的就是等差数列和等比数列.数列的主要学习内容有数列的基本定义、数列的基本特点和基本分类.重中之重是数列的通项公式，等差与等比数列的主要内容介绍了两种特殊的数列的基本特点.2笔列的基本数学概念与公式所谓数学概念是指对数学基本思维形式和基本属性的反映，定义的方式也多种多样.数学概念要求学生对数学知识的特性能够用语言表述出来，在教学过程中教师设计教学概念时应重点向学生表明定义所揭示的知识特性.原因在于概念是学生解题的基本理论依据.在高中数学教学中，数列教学中涉及的有关公式在相关的范围之内具有通用性与抽象性，其中，公式中字母所代表的数字是无穷无尽的.例如题目：在等比数列{an}中，a6-a5=2304，a3-a2=36，求a5-a4.解题步骤大体为：将首项设为a1，公比设为q，根据题意可知：a1q5-a1q4=2304，a1q2-a1q=36.解得a1=3，q=4.所以a5-a4=3×256-3×64=576.由此可见，通过对等比数列的首项和相应的公式的掌握可以是基本计算更加便捷，同时还能对学生的运算基本功进行有效的培养，从而能够为培养学生的运算能力提供更有力的基础.二、新课改理念对教师进行数列教学内容设计的影响因素数列在庞大的高中数学知识体系中占有十分重要的位置，同时数列在日常生活中也有很大的应用价值，同时有助于培养学生的学习能力.因此高中数学教师应对数列教学加以高度的重视，教师应在新课改教学理念的影响下注重数列教学的设计方法，从而能够让学生更好地学习数列知识，本文结合优秀教师的教学方法对教学模式进行研究.1苯淌Χ允列教学设计的看待态度在教学过程当中，教师是教学活动的组织者、实践者和实施者.尤其对于优秀教师来说，教师在教学中的这种角色体现得更加明显，原因在于优秀教师具备丰富的教学经验和良好的教学方法.经过有关调查显示，在高中数学教学中教师的主要观点具体如下：（1）对教学情境的设置加以足够的重视，同时重视使用相应的教学实例.在高中数学数列教学中，教师共同认为要想使学生能够对数学知识进行良好的学习，就必须对学生的学习兴趣加以培养.教师们普遍认为，应设置较为科学合理的教学情境和对教学案例的充分利用，这样不仅能够使学生的学习兴趣得到有效培养，还能使学生得到良好的学习启发.（2）对于教学设计，应该以教师的教学习惯为主要根据.一些具备丰富教学经验的教师在经过多年教学生涯中的反思与探索后，已经在自身主观意识上形成了一定的教学理念，同时也形成了不同的教学习惯.例如，教师在进行等差数列教学活动过程中，采用了自身的教学习惯，在上课伊始，给学生提供了一个类似的题目：已知数列{an}的通项公式是an=3n-2，让学生求出a1，a2，a3，a4.让学生以讨论的方式对该等差数列公式进行探索.通过巧妙地进行情景设置来使学生进入课题.2苯行学生期望数列教学设计在教学活动中，学生占有主体地位，因此，对于学生来说，学生更需要老师经过详细的板书演示来对题目进行讲解.例如题目：在等差数列{an}中，已知a1+a4=60，那么a2+a3的结果是多少？教师应在学生不解的同时在黑板上列出该数列的前几项，a1，a2，a3，a4，a5，a6的值分别为12，24，36，48，60，72等等，通过教师这样详细地进行板书演示，学生可以得到独立思考和观察的时间，从而更有利地开发自身的思维能力.三、结束语总而言之，数列是高中数学知识体系中十分重要的一部分，因此教师在教学过程中应以新课改教学理念为基本依据，在教学过程中不断对教学方法进行探索和研究，并充分利用自身有力的教学特点根据不同学生的学习状况来对教学方法进行创新，从而使教学效果得到有效提高.【参考文献】［1］孔凡哲，王汉岭.高中数学新课程创新教学设计［M］.长春：东北师范大学出版社，2005.［2］杨开城，李文光.教学设计理论的新框架［M］.北京：中国电化教育，2001.［3］刘长华.新课程教学设计——数学［M］.大连：辽宁师范大学出版社，2003.［4］刘员伸，朱忠宝，徐姗姗.高中数学数列教学设计中的实践探讨［J］.高中数学教学探究，2010(9).新课标下高中数学三角函数线概念教学的探索新课标下高中数学三角函数线概念教学的探索◎黄瑞（江西省上饶市一中334000）数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式.章建跃博士曾经在南京师大附中演讲时说：“概念教学的核心是概括，是将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的例子为载体，引导学生展开观察、分析各事物的属性，抽象概括共同的本质属性，归纳得出数学概念.”现今新课程标准的核心理念强调为学生提供更为开阔的思维空间和发展空间，这就需要我们在教学中给予学生适度的思考时间和表现自己思维内容与思维过程的机会.在新课程实施过程中如何把握数学的概念教学，提高教学的有效性是我们每个教师都无法回避的课题.三角函数主要内容是任意角与弧度制、三角函数定义与单位圆、三角函数图像及性质、正弦型函数及性质，等等.分析三角函数及其相关概念构成的网络体系中可知三角函数线有着重要的意义，然而教学过程中老师们感到三角函数线这一内容比较难处理.其实掌握好三角函数线的知识，可以更好地理解三角函数的知识，进一步提升学生对“函数”这一高中数学核心概念的理解与把握.一、巧设教学情境，带出问题本质，导入三角函数线概念借助数学史将三角函数线的概念引入，可使学生了解知识发生发展的背景和过程，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程.合理设置情境，使学生感受到学习的乐趣，这样也能使学生加深对概念的记忆和理解.1蓖ü数学史引入三角函数线概念早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的，因为当时人们需要穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或经水路沿着海岸线做冒险的长途航行，首先要明确方向.18世纪前，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这是三角学的古典面貌.1748年，尤拉在著名的《无穷小分析引论》一书中指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”即任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP，OM，MP(即函数线)相互之间所取的比值，sinα=MPOP，cosα=OMOP，tanα=MPOM等.若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化.尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.2闭迁移引入三角函数线概念同学们对于初中阶段在直角三角形中如何定义锐角三角形的正弦、余弦、正切值，记忆犹新，依据教育心理学正迁移对于学习的作用，不妨在直角坐标系中，利用单位圆先将特殊的锐角如π6，π4，π3的三角函数线画出，然后由特殊过渡到一般，从而得出任意角的三角函数线，这样同学们感到三角函数线有似曾相识的感觉，学习过程中体验如何将三角函数的“数”与“形”自然地结合在一起，达到“数”与“形”的完美结合，形成对数学美的感悟.二、抓住三角函数线本质属性，有技巧地层层引导1币入单位圆，构建三角函数线的舞台对教师而言，由比值yr到y，xr到x，再到正弦线、余弦线的两步跨越，看似简单，同学们却是比较难以想到，在此处尽可能清晰再现知识的建构过程，使同学们明确原则，把握概念的形成.从数学思想层面上可以突出三角函数“简约”为“一个变量”的思想方法，进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线，在教学过程中反复强调“最简化”“统一”的要求，而这样的理念或思想，不仅能体现本节数学方法的特点，同时也在数学教学的过程中占据重要的地位，具有普适性.2庇烧弦线与余弦线引导向正切线同学们较容易理解与掌握正弦线与余弦线，是因为有直观感受，但是理解与掌握正切线有一定的难度，而突破这一难点的关键在于帮助学生充分理解“有向线段的数量”及相关概念.那么在讲一些诸如“有向线段”“有向线段的数量”等等比较数学化的很难表述的概念时，可以将同学们的注意力主要集中到关注“图形”与“数量”的对应关系上来，自然而然地突出了探究与确定“正、余弦函数线”的形成过程与基本方法，弗赖登塔尔指出，学生不是被动地接受知识，而是再创造，在这个阶段，如果可以给学生提供更为开阔一些的空间，那么到研究“正切函数线”时，学生就可以自觉或不自觉地用探究“正、余弦函数线”的方法解决新的问题.新课标对三角函数线的要求是掌握，即对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题.三角函数线在研究三角函数图像及其性质，求解三角方程、三角不等式，证明三角恒等式、不等式，以及数形结合思想的形成方面都有重要的作用，还可以从“数”和“形”两个不同的角度研究三角函数的表示，作为工具探讨三角函数的基本性质，是三角函数这一章中非常精彩的内容.三角函数线的讲解的确有难度，但是教学过程中教师们通过充分地铺垫，同学们对三角函数线的掌握完全可以实现水到渠成.提高课堂效益的一点思考——一堂公开课的教学反思◎张进（江苏省南京市宁海中学210036）【摘要】随着新课程改革的不断推进，高中数学的内容也在不断地改动不断的完善，减负增效是我们的目标，一个必然的问题是如何在教学时间减少的前提下提高课堂的效益.同时提高课堂效益也是我们一线教师永恒的追求.【关键词】课堂效益；减负增效；变式教学在一次市教学研讨活动上，我上了一节公开课，课题是“导数的应用——单调性”的第一节课.通过一些特级教师和专家课前指导和课后的研讨，我认真总结反思，就以这节课为例谈谈如何提高课堂的效益.一、认真研读教材，把握教材在一轮又一轮的课改下，高中数学的内容经历了一次又一次的变动，增加了一些新的内容，我们很多老师往往就是从网上随便下载一个教案或者课件，直接拿到课堂上讲，将教材搁置一边.殊不知教材是经过无数专家精心设计和认真打磨过的.认真研读教材不难发现教材的每段话、每个例题与习题的设计都是别具匠心的.教材的编写的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想、以直代曲思想、数形结合思想、转化化归思想等.因此我们在教学中就需要将这些思想准确地教给学生.如“导数的应用——单调性”这一节，我从网上搜索了很多教案课件等，但大部分的课件和教案开始的时候都是利用一个实例（过山车等），将其模型数学化，通过“几何画板”的演示，直观地给出导数大于零函数单调递增，导数小于零函数单调递减这一结论.例子的恰当与否暂且不论，但由这模型直接给出结论，这只是直观的认识，并不能上升到理论的高度，数学本身需要强大的理论支撑，这显然是不合理的.二、创设有效的问题情境数学教学要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有的知识点出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情景，使枯燥、抽象的数学知识更贴近学生的生活和他们的认知水平.我的这节课是以刚刚结束的男篮亚洲锦标赛中国获得了冠军为背景，导入新课，这不仅是最快的新闻，更是激发了同学们的爱国主义情操，符合我们教学目标中的情感目标，而且让学生们很振奋，处于高度兴奋之中.进而结合篮球运动员将篮球投出，篮球在空中划过一条优美的抛物线，再结合高一函数的单调性自然引出新课.不仅让学生感受到生活处处有数学，而且能够让学生直观感受到函数的单调性.自然过渡到本节课的主题.三、精选例题，变式教学变式教学应遵循适度适量的原则.适度，即是变式内容设计不宜过繁过多.否则，学生思维往往会出现“卡壳”，使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习效率，不利于学生主动探索精神的培养.为此变式题要精选，要以不太难、不太繁但要学生动脑筋思考为度，使学生肯于思考，乐于思考，善于思考，从中发现规律.在例题课中可以采取适当的变式教学，有的教师在例题讲解方面采用的是“教师讲例题，学生仿例题”的公式化的教学，这种单纯性地讲授和简单地套用阻止了学生思维的发展.而教材中的例题富有典型性和深刻性，在中学数学教学例题变式教学中所选用的“源题”应以课本的习题为主，课本习题均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它.在教学中，我们要精心设计和挖掘课本的习题，也可以是其他的题目，如选自辅导资料的题目或历年高考题等，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力.选取的范例应具有“四性”:针对性、基础性、灵活性和可变性.即对所学知识的训练有针对性，能用基本知识、基本方法加以解决，解法灵活多变，可以进行题目变式，联题成片.四、树立学生是主体的教学观念学生是教学的对象，教学不是只靠教师教，离开了学生的“学”就无所谓教师的“教”.教学的最终目标是促进学生的发展，学生有无进步或发展是教学有没有效益的唯一指标.因此发挥学生的主体性作用就显得尤为重要.我们必须确立学生的主体地位，树立“一切为了学生的发展”的思想.在课堂上我们应该从主导者转变成指挥者，应该将课堂还给学生，课堂上所有的活动应该围绕学生的发展来设计和展开.课堂上，我们不能只是单方面传授知识，讲解问题答案；而是应该师生双方合作探究解决学生学习上的问题，培养他们解决问题的能力，培养他们自主学习的能力.我们所能做的不是只教会他们知识，而是教会他们能自己去学知识.我的这节课，设置了3个例题，每个例题后面都设置了2个练习题，留了大量的时间给学生自己动手做练习，根据学生当堂的练习与反馈及时给予激励性的评价，对出现的问题，及时解决，予以纠正.特别是在学生板演练习前，有预见地让可能出现的各种错误或失误的学生来板演.通过反馈再次强调、纠正，真正起到课堂练习的效果.课堂的达成度毋庸置疑.五、注重教学反思，促进课堂教学质量思考的威力究竟有多大呢？牛顿由“一个苹果落地”深入思考发现了自然界的万有引力，瓦特看到水壶盖被水蒸气顶起来，引发了他进一步思考，改进了蒸汽机，推进了生产力的进步……教学反思就是教师自觉地把自己的课堂教学实践作为认识对象而进行全面而深入地冷静思考和总结.记得有人说过“教学是一门遗憾的艺术”.因为我们的教师不是圣人，一堂课不会十全十美，尤其是我们年轻教师.所以我们自己每上完一节课，都要进行深入的剖析、反思，对每一个教学环节预设与实际吻合的情况、学生学习状况、教师调控状况、课堂生成状况等方面认真进行总结，找出有规律的东西，在不断“反思”中学习，以促进课堂教学质量的提高，教学效果也一定会更好.著名的郑杰校长说过：写三年的教案不一定能成为名师，坚持写三年的教学反思肯定能成为名师.总之，提升课堂教学的有效性是深化课程改革的关键和根本所在，我们应该从促进学生主动发展的高度，认真总结反思，以全新的视野，审视当前的课堂教学，更加关注教学的目标和价值，追求真、实、活的课堂，实现课堂教学效益的最大化.新课程背景下如何创设高中数学课堂设问情境新课程背景下如何创设高中数学课堂设问情境◎于秀英（河北省故城县教育体育局教研室253800）【摘要】问题是数学的心脏，数学教学就必须精心设计数学问题，给学生创设可望、可及且有利于学生建构的问题情境，激发学生学习的兴趣，激发学生的认知内驱力，引发学生合理的认知冲突，促进学生自主学习，提高学习效率.【关键词】新课程；如何；创设；课堂设问情境《普通高中数学课程标准》（以下简称新课标）指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造过程.”传统的教师讲、学生听，导致学生被动接受知识，很大程度上阻碍了学生的主动参与，限制了学生的思维活动及相应能力的培养和形成.从过去的旧观念下的那种“满堂灌”，到现在部分教师的“满堂问”都存在着严重的问题.“提出问题比解决问题更为重要（爱因斯坦）”，所以提问不是简单的教师提、学生答，而应该更多地引导学生相互提问.学生只有参与教学实践，参与问题探究，才能建立起自己的认知结构，才能灵活地运用所学知识解决实际问题，才能有所发现、有所创新.在数学教学实践中如何设问有利于学生自主学习，提高学习效率呢？一、创设情境在引入中设问，激发学生兴趣从数学学习的认知本质看，数学学习离不开情境.事实上，学生学习知识的过程本身是一个建构的过程，无论是对知识的理解，还是知识的运用，都离不开知识产生的环境和适用的范围.新课标强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学，“问题——情境”是数学课程标准倡导的教学模式.因此，在新课的引入过程中，教师要对教材内容进行二次开发，精心创设问题情境，通过教师的适当引导，使学生进入最佳的学习状态，同时还要激活学生的主体意识，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生最大限度地参与探究新知识的活动，让学生在参与中感受成功的兴奋和学习的乐趣，促使学生全身心地投入学习，注意把知识内容与生活实践结合起来，精心设问.那么，创设引入问题情境的基本策略是什么呢？如何在引入中设问呢？1币疑激趣策略近代教育学家斯宾塞指出：“教育要使人愉快，要让一切教育有乐趣.”乌申斯基也指出：“没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望.”因此，教师设计问题时，要新颖别致，使学生学习有趣味感、新鲜感.通过创设趣味性的问题情境，增强了学生的有意注意，调动学生学习的主动性和积极性，激发了学生学习的求知欲和学习数学的兴趣.2鄙柚闷露炔呗心理学家把问题从提出到解决的过程称为“解答距”，并根据解答距的长短把它分为“微解答距”“短解答距”“长解答距”和“新解答距”四个级别.所以，教师设计问题应合理配置几个级别的问题，对知识的重点、难点，应像攀登阶梯一样，由浅入深，由易到难，由简到繁，以达到掌握知识、培养能力的目的.3鼻缮栊念策略悬念是一种学习心理的强刺激，使学生产生“欲罢不能”的期待情境，能引起学生学习的兴趣、调动学生的思维和引发求知动机.4币孕沃数策略华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是研究数学的重要方法，“以形助数”是数形结合的主要方面，它借助图形的性质，可以加深对概念、公式、定理的理解，体会概念、公式、定理的几何意义.5绷系实际策略新课标指出：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.”数学来源于生活，并对生活起指导作用，在数学教学中教师应根据生活和生产的实际而提出问题，创设实际问题情境，使学生认识到数学学习的现实主义，认识到数学知识的价值，这样也更容易激发学生的好奇心和兴趣，培养学生的主体意识.在我们身边有许多数学问题，如银行分期付款、商品打折、最优化等经济问题，市政建设与环保问题，时政新闻，计划决策问题，广告的可信度问题，等等.二、在探究过程中设问，引导学生主动参与，提高课堂教学效率建构主义学习理论认为：新知识的学习都是在学生已有知识经验基础上进行的.因此，新知识的学习都必须通过主体的积极参与，才能将新知识纳入已有的认知结构.在新知识教学中，为了让学生积极主动地参与到教学活动中去，精心的设问是关键.在数学学习中，具体的解题方法非常多，各种方法都有其适用性和局限性，如果我们只是简单地追求一题多解，那样学生最了不起也只是一个“卖油翁”的境界——唯手熟尔.更何况，学生在解决习题中的很多方法，虽然很多时候也成功了，但靠“碰”、靠“撞”的现象还是经常存在的.所以，我们还需对各种数学方法对比分析.三、在课堂小结中设问，有助于课后的自主学习，提高课堂教学效率课堂小结在课堂教学中往往起着提纲挈领、画龙点睛的作用，它通常是本节课的基础知识和思想方法及关键点.如果教师直接小结，哪怕“字字珠玑”，其结果往往是“平平淡淡”.因此，小结时，教师精心设问，有助于学生主动认清所学知识的本质，理清所学知识的脉络，使知识系统化，同时，更有助于学生课后的主动学习.总之，设问的目的不是“灌水”，而是为学生的思维“点火”.所以，课堂上的设问，应该是将现实生活中的数学素材、学生已有的数学知识和能力、数学文化发展史中的史料、数学教材中的数学内容等多方面的数学素材的自然结合，让学生们真切感受到数学“现实真理性”与“模式真理性”的双重价值，这样自然就能点燃学生的“智慧火种”，从而为学生的自主学习提供生存环境.将精心设问贯穿在课堂教学的各个环节，教师的知识传授与学生的学习在疑问中开始，探索、论证、小结、发展，则学生的思维习惯得以养成，求知的热忱得以激发，学习兴趣得以培养，思维品质、能力得以全面发展.精心设问，刺激学生心智不断向前追求，主动探索，自主学习，全面提高数学课堂教学效率.【参考文献】［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准.［2］潘振嵘.课堂教学中创设问题情境的尝试.数学通讯.浅谈新课程下高中数学高效课堂的构建浅谈新课程下高中数学高效课堂的构建◎袁茂欣刘玲（山东省沂南县山大华特卧龙学校276300）【摘要】文章从教学情境的创设、教学目标的设计、教学模式的选择、教学手段的运用等诸多方面，对高中数学高效课堂进行了深入的探索.【关键词】新课程；高中数学；高效课堂新课程的实施已经有几年，广大师生在分享新的教学理念、新的教学内容、新的教学方式的同时，纷纷探索高效的高中数学教学，那么在新课程背景下，如何构建高效的数学课堂呢？笔者进行了一些思考和探索.一、创设情境，激发探究兴趣“好的开端是成功的一半.”一堂课开头几分钟往往影响整堂课的成败.因此，教师在新课进行前必须有别出心裁的引入，来激发学生的学习兴趣，让学生主动地投入学习.我讲授“等差数列的求和公式”时，就以大数学家高斯小时候的一个故事入题：有一次，高斯的小学老师想考验一下学生，就让学生算“1＋2＋3＋…＋100”.不料，几分钟后，高斯就举手回答：“5050.”教师大吃一惊，详细问之.原来高斯以首尾两数相加为101，共有50对，结果自然是101×50＝5050.在学生觉得很有味道的时候，我接上去：“这种思想方法充分体现了等差数列求和的思想方法.今天，我们就来推导公式，用理论来说明问题，比高斯进一步，怎么样？”学生马上进入思维的积极状态，跃跃欲试，在轻松愉快的气氛中大大提高了求知欲.还可给学生安排如下课堂练习：思考题：①前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=；②前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=.这两道题必须寻找解题的技巧与规律，使学生对“等差数列前n项和”的知识有了强烈的认知欲望，此时开始学习恰到好处.二、目标设计，追求个性实用在一份导学案中曾看到这样的目标：“要求学生掌握二次函数图像的性质，并熟悉地运用图像解决实际问题.”这样的目标，要求高、跨度大，缺乏个性，不便于教者操作，也是大多数学生在一节课内难以达到的，变成了大而空的教学目标.所以，要制定出具有个性的课堂教学目标，作为教师必须认真钻研教材，吃透概念的内涵与外延，关注不同类别的学生.只有这样，才能制定出符合实际的个性化教学目标，达到人人学有价值的数学.目标制定至少有两类：一类是基础性目标，是国家规定的教学课程学习目标，是人人必须达到的；二类是发展性目标，是根据学生的知识储备、学习能力、心理需要等，促进学生向更高层次发展的目标.高效数学课堂应该在学生实现基础性目标的前提下，通过努力实现发展性目标.三、优化模式，具体课型具体分析有效的教学模式有利于教师的实践能动性和创造性的发挥.教学过程理论具有高度的概括性和抽象性，教学实践具有丰富的活动性和可操作性.不同的课型应该有不同的教学模式，这样才能达成课堂的高效性，特总结如下：第一，情景——体验式.这种教学方式是作用于学生心理过程，以促使学生个性生动活泼、积极发展.创造良好的学习情境，激发和改善学生学习心态与学习行为，为每名学生提供并创造获得成功的条件和机会是这种教学方式的基本要求，“情境——活动——体验”是教学活动的基本模式.第二，过程——活动式.这种教学方式是指教学中以构建具有教育性、创造性、实践性的学生活动为主要形式，以激励学生主体参与、主动实践、主动思考、主动探究为基本特征的教学.第三，发现——探究式.探索学习和有意义的接受学习是高中数学的两种重要的学习方式，它们各有其不同的内涵和功能，各有利弊，不可偏废，而发现——探究式的教学方式，以培养学生探究的能力、重组知识的综合能力和运用知识解决问题的能力为着力点，重在培养学生创新精神和实践能力.这种教学方式常在概念、定理、规律的教学复习过程中使用，通过再现知识的发生、发展过程，通过学生的再创造和内心体验来获得数学知识，有利于学生数学能力的培养和提高.第四，自主——交往式.以合作学习为基础，以激励学生个体自主学习，调整学习群体交往，引起学生心理共鸣的交往为重点，自主参与、合作学习、共同提高是自主——交往式复习教学的基本特征.教师在教学中要使自主探索与合作交流相互渗透，相辅相成，让学生在探索过程中形成自己对数学的理解，在与他人交流过程中逐渐完善自己的想法、达成共识，从而使学生在学习活动中既发挥个体作用，又发挥群体效应，从而提高复习的有效性.四、恰当利用现代信息技术，提高教学质量把握现代教学技术与其他影响教学发展因素的关系，认清现代教学技术在整个教学过程中的地位和作用，使之与传统媒体有机结合，形成培养学生自主学习与创新意识的合力，力求突破传统教学一张嘴巴、一支粉笔、一本课本、一块黑板的教学方式.整个教学过程，根据教学内容和教学目标的需要以及高中学生的认知心理，把握使用电教媒体的契机，恰当、适时、适量、合理地运用先进的电教媒体和传统教学媒体，进行科学导学，实现高效低耗.五、关注细节，形成习惯“细节决定成败”，学习习惯是我们在学习过程中强调得最多的东西，其实质就是对学生学习细节的要求.学生在一个数学证明完成之后，是否能有自己的思考，一个数学题目做完之后，是否能有所收获，是否能有自己的创意，等等，这些学习细节的培养有时候比学习知识更重要.要让学生知道细心观察，知道求实验证，知道创新思考比学习知识更重要.从这个意义上说，关注学生的学习细节，使这些学习细节成为学生学习数学的一种习惯，是高效数学课堂的特点之一.总之，高效数学课堂的构建，一方面要思考学科特点，要根据数学学科对课堂的要求进行设计；另一方面要思考教与学双边的特点，根据数学教学的规律和高中学生学习数学的特点有针对性地设计.此外，还要思考学生的发展需求，不管哪一种教学模式的构建，我们思考的主要的一点就是人的发展，要以学生的终身发展为主要依据而思考设计.【参考文献】［1］郑毓信.简论数学课程改革的活动化、个性化、生活化取向［J］.教育研究，2003.［2］李新芳.高中数学教学中常见问题探讨［J］.数学学习与研究，2011.［3］杨英杰.浅谈如何提高学生学习数学的兴趣［J］.现代交际，2010.［4］刘志辉.浅谈如何学好高中数学［J］.中学教学参考，2011（2）.浅谈新课程下的教学评价浅谈新课程下的教学评价◎魏利华（广东河源市河源中学517000）【摘要】本文对教学评价的重要性及传统的评价体系进行了分析，并对新课程的教学评价体系进行了实践，提出了自己的感受.【关键词】教学评价；新课程“构建现代国民教育体系和终身教育体系，建设学习型社会，全面推进素质教育，增强国民的就业能力、创新能力、创业能力，努力把人口压力转变为人力资源优势”，是当代中国加快现代化发展进程赋予教育的历史使命.当前高中阶段的教育，应主动适应时代发展的需要，立足我国实际借鉴国际教育改革的有益经验，大力推进教育创新，努力构建具有中国特色、充满活力的普通高中课程体系，为造就数以亿计的高素质劳动者、数以千万计的专门人才和一大批拔尖创新人才奠定基础.为此，教育部于2003年正式颁布了《普通高中新课程方案（实验）》.广东、山东、海南、宁夏四个省（区）于2004年9月率先进行高中新课程的实验.这次课程改革的成效如何？如何来评定？一、教学评价的重要地位被人们称为教育评价之父的泰勒认为，教学目标、教学活动和教学评价是教学过程的三个重要因素.这三者之间既互相促进也互相制约，就如同下面的这个图：教学评价过程既可以了解教学活动各环节的信息以及判断目标的正确性、可行性、达到程度，也可以通过反馈，对教学活动进行控制，对教学目标进行调整.因此泰勒认为评价不是教学过程的附属物，而是教学过程的中心.可以毫不夸张地说，如果离开了评价，教学活动是无法有效地进行的.二、原有教学评价体系的不足之处既然教学评价有这么重要的作用，那么，我们原有的课程评价体系是怎么样的呢？原有的教学评价主要有两个部分：一是对学生学业成就的评价，虽然也包括了知识、技能、兴趣、态度、习惯等诸方面，但一般主要指知识和技能方面的成就.二是对教师课堂教学质量的评价.对知识和技能的评价主要采用测试的方法，这样一来，就不可避免地形成了以考试为核心的教育教学方式.对教师的评价也是如此，每个学期，每个学年，教育部门都会组织统考，以两率一分去评价一个教师的好与差.结果，就有了题海战术，就有了“分分分，学生的命根；考考考，老师的法宝”.这种评价体系曾经有它的适用时期，在经济和教育欠发达的时期，在学校教育不能面对大多数人的时候，只能用这种比较公平的方式去筛选.它为社会主义的建设事业选拔了许多优秀的人才，这是不可否认的.但这种方式也扼杀或者说压抑很多各式各样的人才，所培养的高分低能的人才也不适应当今社会的飞速发展.在知识爆炸的当今社会，只有学会学习才能不被淘汰，只有全面发展的人才能立足于不败之地.在今天，用这种评价方式去评价学生和老师，无异于让他们戴着枷锁起舞，用这种评价体系去评价新课程教学，只能说是换汤不换药.教学评价是课程改革的出发点和归宿，它直接影响着改革的成功与失败.在课程改革的同时，所有的教师和学生更迫切需要评价体系的改革，它才是教法与学法的指挥棒.三、新课程教学评价体系的指挥思想和主要内容教育的目的是什么？要培养怎么样的学生？这就是新教学评价的指挥思想.江泽民同志《关于教育问题的谈话》中曾一针见血地指出：为了提高全民族的素质.新课程改革的宗旨就是：全面推进素质教育.对课程教学评价有如下主要方面：（1）是否坚持以学生发展为本，培养全面发展的四有人才.（2）是否有利于培养学生对自然、对科学的兴趣和热爱.（3）是否加强实践活动和探究活动，发展学生的实践能力和创新意识.（4）是否贯穿了联系生活、联系社会，突出科学技术社会的观点.在评价过程中，要突出评价的发展性功能而不是过分地强调甄别与选拔，要体现评价的过程性而不是只重视结果，要注重个体的差异而不是单调、同一的内容、过程和方式，要注重教育评价结果的反馈.《中国青年报》曾经以《分数能否成为孩子的隐私》为题进行过激烈的讨论，国家教育部和社会对于大学排名褒贬不一，学校内部教师和学生的评价结果是否张榜公布的争论都反映出教育评价结果反馈的重要性.新世纪中国教育评价反馈方式将以注重教育评价的发展性功能为主，采用更加体现人文关怀的个性化、多样化方式，全面发挥教育评价的整体功能.传统的评价是为了筛选出少数学习优秀的学生，使他们能继续接受更好的教育.因此，接受评价的大部分学生都成为学业上的失败者.而新的评价却被作为教学过程中的一环，作为促进学生发展的有效手段.因此，新的评价又被称为发展性课程评价，其目的不是对学生进行优劣排位，而是通过发现学生的差异性和发展可能性，改进教学策略，从而更有效地促进学生的发展.其具体的功能表现为：反馈调节的功能、展示激励的功能、反思总结的功能、记录成长的功能、积极导向的功能.伴随评价功能的这种转变，评价的方式和评价指标趋向多元化和开放性，即在发展性评价模式中，学生能够充分表现个性和不同的问题解决方式，甚至不同的解题答案.四、运用新课程教学评价体系去评价新课程教学为了体现新课程评价体系的优越性，笔者在所担任教学的班级中进行了实验，从中抽出10名同学用新的评价体系，其余同学仍用旧的评价体系.具体操作如下：这10名同学都有一个表格：这堂课你的参与所学知识有趣吗所学知识有用吗有什么感受有什么教学建议积极有有，如：有，如：有，可以…不积极没有没有没有没有一般没感觉正在想想想再说想想再说你的得分：自评（）小组评（）老师评（）平均得分（）。（下转57页）浅议新课标下的数学课堂教学的三大转变浅议新课标下的数学课堂教学的三大转变◎吴彪（广西河池市南丹县高级中学547200）【摘要】本文用新旧对比法，明确指出新课标下的课堂教学的三大转变：由“教”转为“导”，由“责”转为“激”，由“知本”转为“人本”.【关键词】新课程；课堂教学；教与导；责与激；知本与人本新课标的核心理念“一切为了学生的发展”，重申了教育的根本目的是为了每一名学生的发展.传统的数学教学更多的是单纯注重传授知识，关心学生对基础知识与基本技能的掌握.新课改对课堂教学赋予了新的使命，即从单纯注重传授知识转变为引导学生学会学习，学会合作，学会生存，学会做人，打破传统的基于精英主义思想和升学取向的过于狭窄的定位，而关注学生“全人”的发展.这就要求我们教师必须革新传统的课堂教学方法，研究学法.以下笔者就此谈谈自己的认识.一、课堂教学应由“教”转为“导”传统教育跟新课程模式有较大的区别，主要表现为：“教”的主体在教师，而“导”的主体则是学生；“教”重在传授，学生被动地接受，而“导”重在方法的研究，要求教师“不当教书匠，要做教育家”；“教”侧重继承，而“导”侧重探索；“教”突出教师的“权威”，而“导”要求尊重、关注学生；“教”的方式为“传话”，而“导”的方式则是“对话”.通过比较，新课程下的教师主导作用应该体现富有启发性，能够激发兴趣，做到因材施教和培养学生的能力，合理发挥教师的主导作用.1薄暗肌庇τ心勘目标具有导学、导教、导评的功能，因此“导”的目标应该是：（1）根据导学内容制定.如讲到椭圆的定义时，因为其定义是推导标准方程的依据，也是解决有关椭圆问题的重要依据，要求学生理解，同时椭圆又是日常生活中较常见的图形，学生对它已经有了一定的认识，故可以制定导学目标如下：知识目标：①通过对实物和模型的感知、操作及探索，理解椭圆的定义.②了解椭圆在现实生活中的应用及画法，感受椭圆的美.能力目标：通过学生的操作和协作探讨，培养学生的观察、分析和归纳能力，培养学生运动变化的观点.情感目标：激发学生动手操作、自主探索的兴趣.通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，使之学会与他人相处和交流.在探索过程中能够采取互评、自评的方式调动学生的积极性；教师对学生在探索过程中的提出的问题采取表扬鼓励为主的评价方式，让学生能体会到学习的成就感，争取最佳的教学效果.（2）根据课后“思考、练习”制定.（3）根据需要解决的问题制定.需指出的是，有些目标是可以明确给出的，有些目标是不能用语言明确表达的.2薄暗肌庇讲方法“教学有法，教无定法”，但是教应该得法.教师作为指导者，应注意引导的方式、方法.如讲到双曲线的第二定义时，教师可以引导学生用类比、联系椭圆的第二定义等方法进行推导论证，让学生自己得出结论.又如在讲完习题“已知椭圆的焦点在x轴上，并且经过点A（3，-2）和点B（3，22），求椭圆的标准方程”时，可以引导学生进行发散思维：当条件“椭圆的焦点在x轴上”变为“椭圆的焦点在坐标轴上”时，利用待定系数法应如何求解？有几种解法？哪一种解法比较简单？其实本题可以分类假设，也可以直接假设为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，后一种方法比较简单，易于掌握.3薄暗肌庇教学法“授人以鱼，只供一餐；授人以渔，终身受益.”我们只有授人以“渔”，才能让学生学会掌握终身学习的要领.这就要求：（1）教法服从学法.从学生学习角度来设计教学方法，是向学生教授学法的最好策略.从学生学会一类题目的解法思路来设计教路，每个程序中既有要达到的目标，又有达到这个目标的方法.学生按这样的顺序由浅入深地进行学习，就能逐步达到目标.经过多次训练，这种教法会逐渐转化成学生的学法.（2）练习扣住学法.学生有了好的学习方法，还应该学会灵活运用来解题和自学.（3）教给学生解题策略.如数学应用题教学中分析数量关系，可让学生按以下方法进行：①抓住关键词.②简化多余条件.③重视转换思路.④挖掘隐含条件.⑤巧妙借助图形.⑥注重附加条件.⑦联系生活实际.因此，教师在传授学法时，要尽可能提供更多的有效方法，鼓励学生形成自己有效的学习方法，努力培养能够适应复杂时代发展变化需要的高素质人才.二、课堂教学应由“责”转为“激”作为教师，应当把热情和爱奉献给每一名学生.因为爱是一种信任，爱是一种尊重，爱是一种鞭策，爱是一种激情，爱更是一种能触及灵魂、动人心魄的潜移默化的感染教育过程.可以说，师爱的最高境界是友情，师爱的基础条件是平等.师生应该是思想上互相交流、心灵相通的同志和朋友.“因为有了您，我才学习，学不好我觉得对不起您.”这是每一位教师追求的最高境界.在这个境界里，我们看到的师生关系是一种平等、理解、和谐的关系.师生之间心灵相通，前提是教师要得到学生的爱戴.爱戴的必要条件是教师必须有人格魅力、宽阔的知识视野、高超的教育艺术，教学活动有吸引力，能激发学生的学习兴趣，一个不易察觉的微笑、一句平凡通俗的话语，甚至帮学生倒一杯水、捡一片散落的纸屑，都会对学生的品德形成有着不可预期的感动作用.师爱的具体表现是：教师要真情对待学生，关心爱护学生，公平地尊重和对待每一名学生；教师对待学生不应有高低贵贱之分，应该尊重学生的个性和独立性，尊重人的尊严和价值，尤其要尊重智力发展迟缓、成绩不良、被同伴孤立和拒绝、有严重缺点和缺陷、与自己意见不一致的学生；不伤害学生的自尊心，不体罚和变相体罚学生，不当众批评学生；对待学生应该由“批评与责备”转到“激励与赏识”，学会赞赏每一名学生，让学生每天都能找到做人的感觉，找到受尊重的感觉.在教师眼里，“人人都能成才”.教师看一名学生应采取少看缺点多看闪光点的原则，教师对一名学生应采取多表彰、多表扬、多鼓励的方法.在教育学生时应采取“宜放不宜束，宜爱不宜怨，宜导不宜屈，宜鼓不宜贵”的方式.这样让我们教师走进学生的情感世界，从而达到教与学的和谐.三、课堂教学应由“知本”转为“人本”从社会对高素质人才的需求来看，那种满堂灌的传统教学模式已经不能适应当今人才发展的需要了.因此，新课改努力实现由“知本”向“人本”的转换，正好体现了新课程的理念.那么，新课程下的课堂教学模式应当重点探索：1笔ι互动双向如讲到“平面直角坐标系和点的坐标”时，笔者与学生是这样互动的，并达到了良好的教学效果：互动一：对学生的座位编号，横排第一排到第七排，竖列第一列到第六列，然后让学生说出自己的位置，例如某学生说自己的位置是第三排第五列.教师说出第四排第二列的位置，要求坐在这个位置上的学生站起来.重复进行上面的活动，让学生得出：要确定自己在教室内的位置，必须要有两个数，前面一个是排数，后面一个是列数.互动二：在教室的左边和后边分别拉两条长绳（表示x轴和y轴），将两根长绳和学生的位置分别用直线和点来表示.（1）让学生用点的坐标说出自己的位置.（2）教师说出点的坐标，要求对应这个位置的学生站起来.将一根长绳横放在第四排，另一根长绳竖放在第三列.重复进行上面的活动，让学生知道怎样根据某一点的坐标寻找他在平面内的位置.互动三：将一根长绳横放在第四排，另一根长绳竖放在第三列后，（1）要求在不同的象限内的学生站起来，然后观察自己是否在坐标轴上；（2）请位置在坐标轴上的学生站起来，然后观察自己是否在某个象限内.通过互动，让学生分清象限内的点和坐标轴上的点.这样的互动既体现了教师与学生的合作关系，让更多的学生参与到教学活动中来，使学生真正成为学习的主体，又能轻松达到本节课的教学目标.2毖生自主学习，乐于探究，勤于动手，富有个性的学习方式3笔ι关系的和谐发展等方面的内容根据今年各地的实践成果来看，新课改的这些重点探索已经得到社会标志性的认可，而且已经得到较大的推广.目前，重视课堂上学生这个主体，一切为学生这个教育主体转变就是还课堂给学生，突出了教育的人才观，适应社会和时代对人才的需求，是时代潮流的大势所趋啊！总而言之，课堂教学的三大转变，体现了教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，体现了师生交往、共同发展的互动过程，彻底改变了传统的教师权威地教与学生被动地学的师生关系，建立了一种新型的良好的和谐的师生关系.这种转变不仅能发挥教师的主导作用，更能充分发挥学生的主观能动性，使学生真正成为课堂的主人、学习的主人，也体现了新课程的教学理念.通过三个转变的教学活动，不但使学生学到有价值的知识，使学生达到知识的融会贯通、举一反三和触类旁通，而且使学生在这个发展过程中能形成正确的世界观、人生观和价值观，为其以后的发展奠定了良好的基础.【参考文献】［1］《少年智力开发报》数学专刊之课改论坛.2004年8月9日第34期和2004年9月19日第40期.［2］走进高中新课程.武汉：华中师范大学出版社，2004.［3］广西壮族自治区基础教育课程改革领导小组办公室编.广西普通高中课程改革学习手册，2011.让每名学生在数学课堂中动起来——新课程背景下小班化教学探究◎李军矫洁（杭州市余杭区五杭中学311103）小班化教育体现了以人为本，以人的发展为目标的先进教育思想.2010年我校经过区教育局批准为区小班化试点学校.笔者深感跟以前所任教的大班截然不同，如今小班人数少了，每名学生都处于同样突出的地位，都有机会参与到课堂的活动中来，都能够真正地动起来，走进丰富多彩的数学课堂，成为课堂的主人.欣喜地发现在小班化的课堂上，新课程理念得以较好体现.我们的数学课，也因小班化教学而更加精彩！一、把握核心，引导每名学生积极参与新课程理念认为：课程不仅是知识，是文本课程，同时也是一种经验的活动，一种体验的课程.课程不再只是知识的载体，而是教师和学生共同探求新知识的过程.课程是教材、教师、学生、环境四因素的整合.每名学生都带着自己的经验背景，带着自己独特的感受来到课堂，教师和学生都是课程资源的开发者，他们共创共生，形成学习的共同体.学生获取知识的过程，不是被动接受的过程，而是自我建构的过程.课程是一个动态的过程.教材承载的知识，需要每名学生参与到学习活动中去，才易于理解教学的内容，因此，让每名学生参与是课程实施的核心.教学活动的基本形态是交往与探究.交往是一种互动，表现为课堂教学中教师与学生、学生与学生之间的对话.探究是教师不把现成的结论告诉学生，而是学生在教师的引导下自主地发现问题，探究问题，获得结论的过程.课例1三角形三边之间的关系师：我们知道三角形是由三条线段首尾顺次连接而成的封闭图形.请同学们用准备好的几组硬纸条和图钉，试一试看能构成几个三角形，对出现的情况互相讨论.几组硬纸条的长度：（1）20，10，15；（2）10，10，20；（3）8，10，21.（单位：厘米）生：第（1）组可以，第（2）（3）组不可以.师：同学们再比一比，能构成三角形三边的线段和不能构成三角形三边的线段长度之间有什么关系？生：能构成三角形三边的线段，其中较短两条线段长度的和大于第三条线段的长度；不能构成三角形三边的线段，其中较小的两条线段的和小于较长的线段的长度，无法首尾相接构成三角形.师：从同学们尝试的过程中，能发现三角形三边之间有什么关系吗？生：三角形任意两边之和大于第三边.师：对！同学们用尝试的方法得出了正确的结论.请同学们思考一下，谁能用数学知识来说明其中的道理呢？生：可以用两点之间线段最短的公理来说明.在此课例中，教师设计了三个环节：第一个环节是感知操作，教师让学生动手用硬纸条、图钉建构三角形.动手是学生感兴趣的事情，并且每个人都准备了硬纸条，学生进行了全面地参与.学生在实践中感受到了任意三条线段不一定能构成三角形，由此，学生的脑海里产生了问题和求知的欲望.第二个环节是观察总结，从实验中发现三角形三边之间具有的关系.第三个环节是抽象证明，就是教师引导学生用抽象的数学知识来证明这个结论.整个教学过程，学生的知识不是从老师那里直接复制或灌输到头脑中，而是经过亲自体验、主动探究、合作交流得到的.体现了问题让学生自己去发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结的新课程理念.二、链接生活，激活每名学生的主体经验课程由科学世界回归到学生的生活世界，是新课程理念的一大飞跃.学生首先接触的是生活世界而不是科学世界，学生每时每刻都与自然界、社会、他人发生联系，积累了一定的经验和知识.学生原有的知识和经验是学习的基础.学生对知识或信息的获得，是通过新旧知识、经验间反复相互作用的过程而建构的，不是简单由外部信息决定和外部信息输入的.如果没有主体已有的知识和经验作为基础，这种信息对于主体来讲，是毫无意义的.小班化的教学为教师了解每名学生已有的知识和经验提供了更有利的条件，这样就可以让学生通过自己的经验来学习，让学生从自己的经验中学会认识并建构自己的认识，是教学成功的有效策略.课例2平面直角坐标系师：同学们喜欢看电影，你怎样在电影院里找到自己的位置？生：根据电影票上的排数和号数找到位置.师：班上要开家长会，希望家长坐在你的位置上，你怎么样向爸爸妈妈说明你的位置呢？生：要说明第几行和第几排.师：有补充说明的吗？生：行和排要说明是从什么地方开始数.师：对！这名同学补充得好，要说明从什么地方开始数排数和行数.如果把排和列看成直线，请同学们把自己在班级中的座位用图形表示出来.（学生开始画图，教师在黑板上画出班级座位图，请几名同学到黑板上准确地圈点出自己的位置.）师：在这个图中确定一个点需要几个数？生：两个.师：由此，你能得出什么结论呢？生：两个数可以确定一个点.师：有谁能说出为什么吗？生：当我们在画图时，把排和行都看成是直线，并且垂直相交.根据两条直线相交只有一个交点，那么这个点就确定了.师：很好！但是我还有一个问题：这里的两个数都是正整数，如果换成小数或负数，你怎样来确定这个点？请同学们交流各自解决的办法.生：如果是正小数，可以把两个整数之间分割成若干点；但如果是负数，不知道怎么办，只想起，如果是负数，可以在数轴上找到一个点.师：这名同学想得非常好！若是一个负数，我们可以借助于数轴找到一个点，那么两个数我们为什么不借助于两条数轴呢？观察我们教室的座位图，排和行是垂直的，那么画两条互相垂直的数轴，垂足为原点，这种图形就称作平面直角坐标系.此课例教师首先联系每名学生经历过的看电影找座位和向家长描述自己的位置等生活问题，让学生在原来生活经验的基础上，引导学生形象地画图、圈点，把生活问题数学化，明确两个数可以确定一个点.接着又在学生已有数轴知识的基础上，引导学生建构直角坐标系的概念.体现了教师把课程面向学生所熟悉的生活经验和问题，引起学生的求知欲望，使学生在自己经验的基础上自己建构新的知识.三、巧设问题，启迪每名学生智慧的大门诱发创新的需要，产生创新的动机，问题是创新的源头.问题的出现可以使学生产生一种求知的需要，产生一种解决问题的渴求.一方面通过问题来进行学习，把问题看成是学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线；另一方面通过学习生成问题，把学习过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.在小班化的教学中，教师可以充分考虑每名学生已有的基础和学习能力，根据每名学生的情况对不同层次的学生提出不同层次的要求，更有利于让不同的人在数学上有不同的发展，让有能力的人在数学上得到更好的发展，在更大程度上开启每名学生智慧的大门.课例3证明三角形内角平分线性质定理师：三角形一个内角的平分线分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例.请同学们根据题意画出图形，并经过充分的独立思考过程，然后四人小组相互讨论、交流，尽量找出不同的证法.（经过独立地思考，有的同学添出了一种辅助线，便开始了证明；有的同学同时还想到了两种、三种，分别开始证明；也有部分同学没有思路.在小组讨论、交流后，不会的同学也有了一些办法.）有三名同学添加了如图的前三种辅助线，并说明了他们的思路.师：三名同学做得都很好，他们构造了不同的平行线，利用相似三角形得比例，使问题获证.谁还能想出不同于利用比例的方法来证明呢？同学们要善于联想，善于另辟蹊径.（思考了许久.）生：用面积的方法证明.师：对！用面积的方法很简单，请说说你是怎么想到的？生：由角平分线想到角平分线上的点到这个角两边的距离相等，作出表示距离的线段，发现它们也是两个三角形的高线.再由高线想到三角形面积，问题就证明了.课例中教师提出要证明的问题，引起同学们的思考，然后进行小组讨论、交流，当学生们说出三种思路较雷同的方法后，又鼓励同学另辟蹊径，寻求更简单的方法，来引发学生创新.在寻求解决问题策略的过程中有常规的思考，也会有超常的想法.教师要及时引导和发现学生独特新颖的方法，让学生敢于在独特和新颖中创新.学生在思考用多种方法解决问题的过程中提高了逻辑思维能力和求异思维品质.知识、能力和创新是相互依存、相互制约的，没有离开知识的能力与创新，也没有离开能力的知识学习.在创新教育中，知识由目的因素变成过程因素或手段因素.知识再也不是教育追求的目的，而是实现创新教育的手段.因此，课堂教学中，教师要善于利用知识、利用问题，给学生一定的时间和空间，培养学生的创新素质.四、活用教材，适合每名学生的主观需求新课程倡导“用教材”，而不是简单地“教教材”，尤其是在小班化课堂中，课程不只是“文本课程”而更是“体验课程”.课程不再只是知识的载体，而是教师和学生共同探求新知的过程.教材只是课程的一部分.新课程强调教师要引导学生学会观察，学会思考，学会如何学习，要培养学生终身学习的能力.教师和学生在教学中的地位也发生了变化，从以教师为中心转向了以学生为中心，从独立学习转向了合作学习，学生的学习方式也从接受式学习转向了探究式学习.因此，教师要创造性地用教材，要融入自己的科学精神和智慧，对教材知识进行重组和整合，选取更适合的内容，进行深加工，充分将教材的知识激活，设计出活生生的、丰富多彩的课堂，形成有教师教学个性的适合小班化教学的教材知识.五、策划活动，点燃每名学生的“思维导火线”苏霍姆林斯基说，“‘思维导火线也就是在所讲的学科中应当使学生有某些已知的东西”.无独有偶，几乎在同时，美国的著名教学论专家奥苏伯尔提出了“先行组织者”的概念.所谓“先行组织者”，是先于课堂学习之前呈现的一个引导性材料或活动，它在概念和包容水平上都高于课堂学习材料，从而构筑了与课堂学习内容之间的桥梁.对于用“思维导火线”或“先行组织者”促进学生注意力集中、提高教学效率的重要性，苏霍姆林斯基和奥苏伯尔都不约而同地作出基本相似的分析，即：就提高学生的思维活跃程度，达到最终的教学合一而言，在从事新的学习之前，使学生认知结构中具有与新的学习任务相关联的认知内容，更有利于激发学生的内部思维，提高其注意力和学习兴趣，从而能更好地发挥学生在教学中的主体作用.小班化的课堂中，由于学生人数相对较少，教师有条件在课堂学习之前安排5~10分钟与课堂学习内容有关的活动，以点燃学生的“思维导火线”，促进学生注意力集中、提高教学效率.新课程理念是课程设计者蕴涵于课程之中，需要课程实施者付诸于实践的教育教学信念，是课程的灵魂和支点.新课程理念具有深刻的内涵和丰富的内容，小班化课堂在很多方面有利于新课程理念的实施，但从理论到实践之间有一段艰难的路要走.教师不仅要认同新课程理念，更要在实践中进一步理解和感悟这种理念，把这种理念转化为教师的行动和素质，创设出更多美好的课程，促进现代小班化教育的发展.面对数学问题，让学生成为出色的翻译◎苗庆硕（江苏省新沂市第一中学221400）新一轮的数学教材改革的主导思想是对学生的能力提出了更高的要求.不仅要求学生有一定的分析问题、解决问题的能力，还需要学生在面对多个问题时，有高效化归重整信息等综合处理问题的能力.这就要求老师在授课时注重基础知识教学的同时还要有意识地对教材的各个知识点之间的关系、知识体系内部的联系等都要关注，并加强对教材的综合利用，提高教学效果.面对数学问题，如果能够教会学生灵活地将不同的数学语言相互转译，将大大增强学生分析、解决数学问题的能力.本文从实践出发，阐述自己在培养学生对数学语言的灵活转译能力方面的几点有效尝试.一、培养学生使用数学语言的意识1苯使用数学语言的意识贯彻在平时的教学中狄尔曼说过：“数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言……通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界在讲演……”通常我们所遇到的数学问题大多数是由文字、图形、数学符号等语言来表述的，而且它们有着各自固有的特点.虽然中华几千年的文化传承，造就了大家非凡的文字语言使用能力，但是对于抽象的数学符号、图形语言的理解与使用则显得比较困难.而大部分的学生之所以不能解决数学问题关键是有的直接对数学语言不理解，有的对题意理解了但是表达又受阻.这就需要老师在教学活动中注重对学生数学语言意识的培养.使学生能够熟练地将自己遇到的数学问题进行三种语言的相互转译，以达到快速解题的目的.另外，同样一个问题，表述的方式可能有若干种，我们如果能从多角度去理解认知它，那么得到的处理方法也就会变得丰富多彩起来.所以在对学生理解题意时的多方位引导与培养，老师应该加以关注，这将有益于学生分析问题能力的培养.记得我第一次向学生们说起“综合多方面，数学就像中文、外语一样，也是一种语言”时，有许多同学表示质疑：“数学怎么可能是一种语言呢？”可是经过一段时间的针对性的教学，他们深刻体会到数学语言的精美、严密、灵活等特点，并在老师的引导下熟练地进行三种语言的相互转译，处理问题的能力也大大提高了.2蓖ü对学生作业、试卷的讲评，引起学生对数学语言的足够重视一个解题过程一般都是由分析过程和表达过程两部分构成，分析问题可以运用数学语言中的任何一种，而表达过程更多地使用符号语言.学生进行解题时，都是通过“无声”的数学语言的表述来与老师对话的.有的学生口头表述很有条理，也能让人听懂，甚至遇到问题能直接说出答案，但是一旦书面表述时又好像束手无策，不知从何下手，或表述缺乏逻辑.试题解答往往出现会而不全，出现“隐性失分”的现象.表述的是否清晰明了快捷，关键在于平时大量规范针对性练习.二、在分析问题的过程中，培养学生的数学语言转译能力1迸嘌学生数学符号的转译能力数学符号给我们表述带来了简洁、明了、快捷、美观等优点，它们是表达解题过程的基石，但是数学符号的抽象特点又使得学生难以理解.如对基本算法语句及伪代码的翻译，对∈，，∪，∩，迹痰仁学符号的转译对分析问题都有很大的帮助.在分析问题时，要养成口述命题同时手头翻译（即边转译边表述）的习惯.例1已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α，β，集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C＝A，A∩B＝粒求p，q的值.解析由A∩C=A知A糃，即A是C的子集，即A中的所有元素都是B中的元素.又A={α，β}，则α∈C，β∈C，而A∩B＝粒即A交B等于空集，即B中的所有元素都不是A中的元素，故α麭，β麭.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.不妨设α=1，β=3.对于方程x2+px+q=0的两根α，β应用韦达定理可得p=-4，q=3.2迸嘌学生将文字语言转译成符号语言及图形语言的习惯从学生解题的普遍现象来看，他们很习惯直接正用公式解题，却不习惯逆用、变用、凑用公式.与运用公式解题相比较而言，运用定义解题则显得更难.针对这种情况在教学过程中运用灵活、多角度、多方位的概念教学，可以更有效地培养学生的数学语言互译能力.例如，奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，满足f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.老师在解析定义时有目的地用以下办法和学生共同探究：可将题目中出现的“函数f(x)是奇函数”（文字语言）转译成下列六个词条：（1）图像关于原点对称.（图形语言）（2）定义域内有等式f(-x)=-f(x)成立.（3）定义域内有等式f(-x)+f(x)=0成立.（4）若奇函数在x=0处有定义，由于有f(-x)=-f(x)成立，则必有f(0)=0成立.（5）由于f(-x)及f(x)都有意义，故奇函数的定义域关于原点对称.（6）由于图像关于原点对称，故奇函数在其定义域内单调性保持一致.这样，学生在题目中遇到诸如“若定义在区间［a，b］上的奇函数f(x)”这样的文字语言时马上就可以转译出若干词条，再加上适量的针对性练习，这样学生就可以快速检索到有价值的词条进行问题的处理.这样，经过长期有意识地培养、引导，学生们就不难养成归纳、总结词条的习惯.3迸嘌学生将图形语言转译成文字语言及符号语言的能力我们遇到的图形语言是由一些几何图形（包括平几、立几图形、曲线等）、图表、流程图、结构框图、函数图像等构成的.我们在分析问题时不仅要培养学生能将题意转译成图形的能力，还要更多地培养学生识图、读图的能力，以求从图形中获得更多的有用信息.在实践中，“数形结合”就是我们培养图形语言转译能力的有力工具之一.（下转62页）ANLI POUXI案 例 剖 析案 例 剖 析ANLI POUXI递归算法案例——数列到函数◎朱冰桂改花（广东科学技术职业学院519090）【摘要】递归算法是一种直接或者间接地调用自身的算法.在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解.递归过程一般通过函数或子过程来实现.递归算法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法.本文通过具体的数学例子来体现这一基本思想，对第二个例子进行拓展，揭示了递推关系数列的函数实质.【关键词】递归；递归算法；函数；数列递归函数（recursive function）是一个自己调用自己的函数.递归函数包括两种：直接递归（direct recursion）和间接递归（indirect recursion）.直接递归是指函数F的代码中直接包含了调用F的语句，而间接递归是指函数F调用了函数G，G又调用了H，如此进行下去，直到F又被调用.还有些数据结构如二叉树，结构本身固有递归特性；此外，有一类问题，其本身没有明显的递归结构，但用递归程序求解比其他方法更容易编写程序，如八皇后问题、汉诺塔问题等.递归时常用的编程技术，其基本思想就是“自己调用自己”，一个使用递归技术的方法即是直接或间接地调用自身的方法.递归方法实际上体现了“以此类推”“用同样的步骤重复”这样的思想，它可以用简单的程序来解决某些复杂的计算问题，但是运算量较大.正因为递归程序的普遍性，我们应该学会使用递归来求解问题.在直接递归程序与间接递归中都要实现当前层调用下一层时的参数传递，取得下一层所返回的结果，并向上一层调用返回当前层的结果.至于各层调用中现场的保存与恢复，均由程序自动实现，不需要人工干预.因此，在递归程序的设计中关键是找出调用所需要的参数、返回的结果及递归调用结束的条件.如在阶乘函数Fact(n)中，各层要求传递一个自然数n，返回n*Fact(n-1)，递归调用结束的条件是n=0，据此，可以方便地写出它的对应程序一、递归的基本思想在中学学习数列知道，数列有用通项公式定义也有用递推式定义.如an=2n；a0=a1=1，a2=2，n>2时，an=an-1+an-2.同样的，表示函数可以用显式表达式、隐式方程、参数方程形式和递归式.所谓递归就是自己调用自己，递归包含两种：直接递归和间接递归.递归函数：用函数自身给出定义的函数，称为递归函数.一般的递归函数可以用如下形式表达：a1=A，an+1=f(n，an).递归函数有两个要素：初始项、递推式.与递归函数类似的说法，还有：递归调用：在函数内部发出调用自身的操作.递归方法：通过函数或过程调用自身将问题转换为本质相同但规模较小的子问题的方法.递归算法：直接或者间接地调用自身的算法.二、递归算法的基本思想递归方法实际上体现了“以此类推”、“用同样的步骤重复”这样的思想，是算法和程序设计中的一种重要技术.三、递归算法举例例1已知s(n)=1+2+3+…+n=s(n-1)+n，当我们去求s(n)时，我们是先求出s(n-1)，然后再算出s(n)，具体语句为：s(n)=s(n-1)+n.在这个语句中，我们调用s(n)求其值的时候，必须先调用s(n-1)得到其值，而要得到s(n-1)，又必须调用s(n-2)得到其值，同样，要求s(n-2)又要调用s(n-3)，依次类推，一直要递推到s(2)=s(1)+2，由于s（1）已知为1，所以可以得到s（2），从而得到s（3），这样一直可以得到s（n）.这个递归算法中，自身调用的语句是：s（n）=s（n-1）+n，结束递归的边界条件是：s（1）=1.例2数列f(n)满足f(n+1)=2+f(n)及f(1)=2，求这个数列的前五项.解在递推公式f(n+1)=2+f(n)中，令n=1，可得f(2)=2+f(1)=2+2=2.再令n=2，3，4，5，可得f(5)=f(4)=f(3)=2+f(2)=2+2=2.因此这个数列的前五项都是2.注容易看出这个数列的各项都是2，即2，2，2，2，2，2，…如果我们令f(1)=1，则可以求出该数列的前五项分别为：f(2)=2+f(1)=3，f(3)=2+f(2)=2+3，f(4)=2+f(3)=2+2+3，f(5)=2+f(4)=2+2+2+3.可见，递归函数除了和相应的递推式有关外，不同的开始项，也会使结果有很大不同.在上例中，如果我们修改递推式，改为f(n+1)=y+f(n)，且令f(1)=3，则当y=6时，我们可以得到f(5)=f(4)=f(3)=f(2)=6+f(1)=3，即数列的每一项都是3.如果令f(1)=4，则当y=12时，我们可以得到f(5)=f(4)=f(3)=f(2)=6+f(1)=4，即数列的每一项都是4.如果令f(1)=5，则当y=20时，我们可以得到f(5)=f(4)=f(3)=f(2)=6+f(1)=5，即数列的每一项都是5.对以上各种情况我们列个表格，并设f(1)=x.xyf(1)f(2)f(3)f(4)f(5)22222223633333412444445205555563066666可以发现当x，y满足一定的关系时，所得数列是常数列，即当y=x(x-1)时，数列为常数列.数列是自变量为自然数的函数这一思想得到体现.如果我们把递推式改为f(n+1)=3y+f(n)且令f(1)=x2，我们可以得到当y=x2(x-1)时，数列是值为x的常数列.综上所述，我们可以得到递归思想最终还是一种函数的思想，只不过在中学阶段接触到的是一些具体的数列例子，让同学们感到很是新鲜好奇.而在高等数学阶段，特别是对于计算机专业的学生，掌握递归思想意义重大，可以帮助他们创新，建立新模型，如果把数学中的函数思想很好地融入进去，可以拓展同学们的思路，降低问题的难度.【参考文献】王信峰.计算机数学基础.北京：高等教育出版社，2009.从太极拳到九阳护体从太极拳到九阳护体◎陈开泰（浙江省宁波外事学校315000）记得2011年下半学期，当时给高职班学生上过这样一堂课，课名叫“充分必要条件”.如下是简略的上课内容：如图：有一名学生进入p，q中的某一个地方.这时候另一个人打电话问这名学生：“你在不在学校？”这名学生回答道：“我已经到高职班里了.”通过对话我们可以清楚地知道这名学生已经充分地说明自己在学校.如果这个时候另一个人是这样问的：“你怎么还没有到班级？”这名学生回答道：“我刚进校门，马上就到.”第二种对话又能让我们明白要进入班级必须先到学校.总结如下：1苯入班级是进入学校的充分理由.2苯入学校是进入班级的必备条件.进一步总结：1眕是q的充分条件.2眖是p的必要条件.再次升华：1眕的范围小，q的范围大.2眖包含p.3毙》段И荽蠓段.4眕輖.因为p推出q，所以对p来说“荨笔撬撤较颍则对q来说就是逆方向.最终形态：顺的充分，逆的必要.当时我对学生说道：“请你们忘记之前所讲的理论与推理，因为你们已经体验到这个原理的内在关系，所以记住最后一句忘了其他所有.”例1x>1是x>3的条件.例2x2+y2=0是x=0或y=0的条件.时间之轮继续向前.暑假结束前，学校全体教师去华师大参加为期三天的学习，在第三天上午王建军教授讲到新课改教学模式时，插入了一段短片来说明我们所要寻找的教学形态.短片是电影《倚天屠龙记》中的一段.张三丰教了张无忌一套太极拳，并问张无忌还记得多少，张无忌回答什么都不记得了，这时候张三丰接着说道：“无忌你有九阳神功护体学什么都很快.”通过此短片向我们传达了一个道理，那就是“只重其义，不重其招”.新课改的意义也在于其中，这也是我们所要寻找的教学模式.教学原本就是一个循序渐进的过程，只有日积月累地磨炼才会有突飞猛进的一天，转变是突然的不是渐进的，但是没有一点一滴地积累就不会有转变.因为张无忌有九阳神功护体，才能领会太极拳中的要义并且能把拳法发挥到淋漓尽致.那么我们回过头来再来看看前面的两道例题，例1，因为x>3比x>1的范围小，所以x>3輝>1，因此x>1是x>3的必要条件.例2，首先要知道两个非负数相加为零，那就必须两个数都是零，即x=0且y=0，而后者是x=0或y=0，“且”与“或”又涉及联结词这一概念上，如果学生没有相关知识“护体”，即使他们已经领会了“顺的充分，逆的必要”的要义，也不能施展出像张无忌那样威力的太极拳.教学是平淡的，教学不是张扬，不是一堂课、一个新的措施所能完成的，而是许多堂课、许多的改进才能收获成果.在这个过程中需要的是耐心，我们都要有耐心.生活就是体验，教学更是体验，只有体验了，我们才能习得.文字和语言是一种载体，通过文字和语言，我们可以传达自己的思想，但是还有很多的意念是无法用这些载体来传达与承载的，更多的是通过行动去体会、去感受，用心去感知.现如今新课改中各种换汤不换药的做法已令人生厌，各种教育新方法层出不穷，但若问有几种方法奏效，有几种方法坚持，恐怕都是过眼云烟，这是因为更多的人把眼光放在了“形”上，重视外表的“修饰”，而忽视了“神”，也就是内在的修养.提高学生的学习兴趣，并非一两次物质奖励可以达到目的.再好的东西吃多了都会厌烦，更何况一些微不足道的小奖励呢？要想长时间地维持较好的学习状态和课堂气氛，只有把工夫下到实处，从学生心中下手，让学生通过教学过程的无形言语与神情来获得更多他想获得的东西，而且能长久地坚持下来，而非短暂的.绝不能过分地依赖于形式上的改变，而忽略内在的修为，不要陶醉于太极拳的要义，而忘记了张无忌是有九阳神功护体的.发掘高中数学新教材中的“探究与思考”的作用◎肖庆国（浙江省临安市教师进修学校311300）【摘要】在“有用的数学”“身边的数学”的思想指导下，改进了过于强调知识结构的严谨性、深刻性的不足，更强调知识的发生发展过程，关注知识的内在规律；突出数学知识与时代发展的联系；尊重学生个体对数学知识不同层次的需求与选择.如何充分挖掘教材中的“探究与思考”的作用？通过本人近几年的教学实践，教材中的“探究与思考”起着创设问题情境作用，能利用“探究与思考”开展研究性学习，能利用“探究与思考”培养学生的解题能力，利用“探究与思考”在课堂教学中具有铺垫衔接的作用.【关键词】教材；探究与思考；作用新课程实施以来，高中数学新教材与老教材相比增设了许多“探究与思考”的内容，发现新教材能关注学生数学发展的不同需求，内容设计上注意弹性，在保证基础的前提下为不同的学生提供不同的发展空间，为此，教材开发“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与思考”等栏目的内容，为学生提供了一些具有探索性、拓展性的内容，通过“观察”“思考”“探究”、边空设问、留白填空等方式，引导学生的探索活动，为他们提供自主学习的空间.通过本人近几年的教学实践，就如何发掘新教材中的“探究与思考”的作用及其教学价值，谈谈自己的看法.一、利用教材中的“探究与思考”创设问题情境从数学学习的认知本质来看，数学学习离不开情境，从数学课程及数学学习的特点看，情境化设计愈来愈显示出重要性和必要性，然而，我们不能为情境而情境，更不能虚拟“游离于教学之外”的情境，因此，我们要充分挖掘教材中的“探究与思考”的作用，利用“探究与思考”创设问题情境.案例1人教版《数学》必修1中的“3.1.2用二分法求方程的近似解”一课中的“思考”：一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx+2x-6=0的根，联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？从而设置：问题1方程lnx+2x-6=0有解吗？问题2能求出它的近似解吗？（教师给予学生思考的时间，特别注意课堂的变化.预设两种情况：第一，让学生谈谈思考的方向；第二，如果学生思路仍然受阻，进一步启发，出示问题3.）问题3能否以上堂课为出发点找到一个求解的方案？学生：可以转化为求y=lnx+2x-6的零点问题，用“试值法”可以发现f(2)<0，f(3)>0，因此在区间（2，3）有零点.从而引出新课.案例2人教版《数学》必修4“221向量加法运算及其几何意义”中可以利用书本中的探究问题，出示位移的合成、力的合成背景.放投影片，出示位移的合成、力的合成背景.（1）如图1，某对象从A点经B点到C点，两次位移AB，BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同.（2）如图2，表示橡皮条在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同.位移AB与BC合成为AC，力F1与F2的合成为F，那么它们的合成方法一致吗？合成的含义是什么？通过位移合成的三角形法则，力的合成的平行四边形法则，理解矢量合成的含义，归纳抽象出向量加法的意义.数能进行运算，因为有了运算而数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算，观察投影片中位移合成、力的合成问题，启发学生思考向量如何合成，从而引出新课.创设情境从已有的知识背景出发，以激发学生的好奇心和学习兴趣，引起学生的求知欲望为目标，这样才不会使学生对数学感到枯燥、乏味、缺少趣味，才能使学生学习数学的兴趣和自信心大增，才能使学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力得到提高，才能使学生对数学产生良好的情感与态度.二、利用教材中的“探究与思考”开展研究性学习有位数学家说过:“数学知识不是教出来的，而是研究出来的.”新课标下每节课的引言前都有探索问题，案例3新课标《数学》必修1第80页探究题：在指数函数y=2x中，x是自变量，y为因变量.如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.随着y=2x和x=log2y的研究，可以发现x是y的函数，同时也发现了两者图像间的关系(关于y=x对称)，进而得到了指数函数与对数函数是一组互为反函数:互为反函数的两图像是关于y=x对称.再探索，比如说知道了y=x3-1，作关于y=x的对称图像，那么它的解析式是什么?进而去研究：关于y轴对称呢?x轴对称呢?原点呢?然后学生一一作答.这样既搞清了反函数的概念，又弄清了图像间的一些关系.案例4在高一新课标《数学》必修1第71页中，探究与发现内容“购房中的数学”，这是数列的应用内容，教师可以好好应用这一内容开展研究性学习.要上好这一内容，老师可以在课前布置一些作业，让学生去查阅资料，搞清几个概念，如“什么是教育储蓄？”“什么是助学贷款？”“等额本金与等额本息两种贷款方式的区别？”等.学生的准备工作做充分了，那么老师在课堂上就容易展开讨论，让学生们能同时享受到自己和别人的调查结果.当老师在课堂内用例子让学生用两种不同的贷款方式计算后，学生就能更好地了解和掌握等额本金和等额本息的贷款方式，当然最重要的是让学生体会到了等差数列和等比数列的实际应用.课后，老师可以布置类似的练习题用来巩固知识，同时可以布置一些特殊的作业，如让学生反思总结：这节课——使我感触最深的是……我感到最困难的是……我学会了……我发现了生活中……等.学生通过这些作业能更好地理解数学知识的实际应用价值，也能更好地在生活中去发掘与数学有关的内容.经常开展这些有意义的数学研究性学习，能真真切切地提高学生对数学的学习兴趣，提高对数学知识的应用能力.研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类.作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥.实践证明，利用新课等形式开展研究性学习，能培养学生的研究能力.这种“螺旋上升”的教学设计，在学生尝到了胜利果实的同时，更能体现出新课标下学生主动性的原则，也锻炼和培养了学生的三大能力(运算能力、空间想象能力、分析和解决实际问题的能力).素质化的数学课堂教学，就是要在学生头脑中建立起发展数学认知结构的过程，构造一种主动“再创造”的情境，使每名学生在自己的可“同化区域”内改变认知结构，实现知识重组，形成解决问题的能力素质，其指导思想是“重过程，重情境，重创造能力的发展”.三、利用教材中的“探究与思考”培养学生的解题能力新课标指出：“学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探讨、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为‘再创造过程.”而“探究与思考”有良好的亲和力、启发性、前瞻性，激发兴趣，启发学生进行深层次的探究和“再创造”，能有效地培养学生的解题能力.案例5新课标《数学》必修4第44页“思考”：你能求y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的单调递增区间吗？通过此思考题能使学生对复合函数单调区间的问题有一个完整的认识，实际上，无论x的系数是正是负，其求解思路是一致的.解法一令z=π3-12x，由于z是x的减函数，即x增加时z减小，要使x增加时y也增加，则z减小时y要增加.于是函数y=sinz的减区间就是原函数的增区间.函数y=sinz的单调递减区间是π2+2kπ，3π2+2kπ，由π2+2kπ≤π3-12x≤3π2+2kπ，得-7π3-4kπ≤x≤-π3-4kπ，k∈Z.因此，函数y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的单调递增区间是-2π，-π3和5π3，2π.解法二先把函数y=sinπ3-12x化为y=-sin12x-π3，然后求函数y=sin12x-π3的单调递减区间即可.充分利用“探究与思考”的潜在作用，发掘学生学习的主动性，使学生学习过程成为“再创造”过程，培养学生的解题能力.四、利用教材中的“探究与思考”在课堂教学中起铺垫衔接的作用对于初中教材删除的，而高中又必需的知识应在需要的地方及时补充，否则造成知识的断路“空投”，知识生成会太突然，让学生难于接受.利用“探究与思考”做好铺垫，使知识衔接过渡自然和谐.另外，“探究与思考”可条分缕析地将前后知识巧妙地糅合链接起来，达到温故知新的效果.案例6新课标《数学》必修1第96页探究题：如图3，观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2，1］上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间［2，4］上是否有这个特点呢？让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.从而引出新的教学内容.案例7新课标《数学》必修4第7页“探究”：如图4，半径为R的圆，圆心与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，请在下面的表格中填空，并思考：如果一个半径为R的圆的圆心角α所对的弧长是l，则α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算？AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数π·r逆时针方向2π·r逆时针方向r〖3〗12r〖3〗-2〖3〗-π〖3〗0〖4〗180°〖4〗360°教科书设置“探究”的意图是先根据所给图像对一些特殊角填表，然后概括一般情况.通过教师引导学生填空，思考问题，交流，讨论，得出角度制与弧度制的换算关系.五、需注意的几个地方（1）发掘教材中的“探究与思考”的作用，应该根据教学内容而适当安排，不能盲目的不合实际展开，因此，要细研教材，精确定位，深刻领会教材对教学的作用.（2）倡导自主学习，培养学生的自学能力，新教材强调“以人为本”的教育理念，倡导“自主、合作、探究”的学习方式.教师理应做学生学习的引导者、组织者、促进者，使学生以探索者、研究者的身份，动脑思、动眼看、动笔写、动耳听，全身心地参与到学习中去，从而培养学生的自学能力，使学生成为一个发现者、研究者、探索者.让课堂焕发出生命的活力，为学生的终身学习打下良好的基础.总之，“探究与思考”不仅承载体验知识发现与创造的历程，而且又能让正文内容更加鲜活、生动，主体更加突出、彰显.创设有利于引导学生主动学习的课程实施环境，提高学生自主学习、合作交流以及分析和解决问题的能力，教材是课程目标和教育内容的具体体现.正确使用教材，充分发掘教材在培养学生能力方面的功能是高中数学教师值得研究的课题.教材为提高学生能力提供了丰富的素材，不可多得，不能须臾离开.教材通过设置“观察与猜想”“阅读与思考”“探究与发现”等栏目，一方面为学生提供一些具有探索性、拓展性、思想性、时代性和应用性的选学材料，拓展学生的数学活动空间和扩大学生的数学知识面，另一方面也体现了数学的科学价值，反映了数学在推动其他科学和整个文化进步中的巨大作用.【参考文献】［1］谢增生.对新课标下高中教材的几点思考［J］.中学数学教研，2007(11).［2］董入兴.对高中数学教材中的“旁白”的几点认识［J］.中学数学教学参考，2008(4)［3］曹毓.使用A版教材教学的体会［J］.试教通讯员，2006(4).有效问题设置提高主体参与有效问题设置提高主体参与◎吴蕾（江苏省吴江市高级中学215200）著名的心理学家布鲁纳说过：“学习者不应是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者.”作为学生数学情境与学习活动的创设者、组织者和促进者的教师，如何才能使教师对学生数学学习的指导与学生的主体参与之间达到最优化，从而发展学生的学习策略，转变学生的数学学习方式，是现代数学课堂教育改革中面临的关键问题.本文就笔者在教学实践中，如何运用新课程理念进行问题设置，从而促使学生主体参与到数学课堂中来，谈一点粗浅见解，以期抛砖引玉.一、设置问题，促使学生参与独立思考波利亚在《怎样解题》中讲道：“教师能为学生所做的最好的事情是通过不显眼的帮助，引导学生自己获得一个好的思路.”在数学课堂教学中，在概念及公式、定理的发现及问题解决的教学过程中，适时的“问题”，可以引导学生的思维方向，提高学生思考问题的积极性.案例1《椭圆的几何性质》教学中，为了突破重点，教学片段如下(创设问题情境，诱发思考)：师生共同复习椭圆的标准方程：x2a2+y2b2=1(a>b>0).师（问题1）：请尝试把x216+y29=1画出来，请大家在草稿纸上画画看.(巡视学生画)师（问题2）：你是怎么画的？在画图的过程中，你考虑了哪些因素？是否碰到什么困惑呢？生1：我觉得先要画出与x轴、y轴的交点坐标.生2：我发现需要考虑椭圆方程中x，y的范围.生3：我在想椭圆的图像会不会有对称性呢？问题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始.适时的问题设置能抓住学生的注意力，引发学生进一步学习的好奇心与探究意识，激发学生独立思考问题的意识.在画图的过程中的问题设置，使学生的思维从“形”的角度出发，促使其发现问题与困惑，激发学生寻求椭圆的几何性质的兴趣，并积极参与问题的思考，从而构建自己的椭圆的知识体系.二、设置问题，促进参与自主探究新课程特别关注学生探索新知的经历和获得新知的经历，即重视过程.只有亲身参与到知识的发现和探索中，所获得的知识才是学生自己主动建构起来的，是真正属于学生自己的知识，如此才能使知识掌握得更牢固.所以，在教学过程中，老师要为学生创造自主探究的机会，注重为学生的探究而设问，使学生经常处在独立思考、自主探索的平台上.案例2《双曲线的几何性质》教学片段(突破难点(渐近线))师（问题1）：能否利用由双曲线的顶点构成的矩形能更加快捷并且精确地画出双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的图形呢？生：我正在寻找确定开口的大小的办法.师（问题2）：请大家类比函数y=1x的图像的特征，分析双曲线是否也有类似的特征.（学生相互讨论）生1：我发现y=1x的图像是以x轴与y轴为渐近线的.生2：通过取点，我发现我在双曲线x216-y29=1上所取的点都在直线x=±4，y=±3所围成的矩形的对角线为边界的左右两个区域内.生3：该双曲线向这矩形的对角线y=±34x逐步接近.师（问题3）：非常好.既然大家都有这种猜想，我们如何严格证明一下呢？（学生自己探究并讨论）生：双曲线在以矩形对角线即y=±bax为边界的平面区域内.（师生共同完成证明）师（问题4）：请看课件并思考——渐近线方程的形式有何特点？如何求出渐近线方程？层层设问，激活学生的已知；层层释疑，启迪学生的思维.通过设问，调动学生自身探索的内驱力，促使学生主动参与探究，让每一名学生有“用武之地”，并使其深刻体会双曲线特殊的性质（渐近线）的发现与证明，掌握其中的思想方法.教师的有效问题设置，使学生正确地解决问题，体验学习数学的乐趣，增强学习数学的愿望与信心.三、设置问题，促使主动感悟、参与认知现代认知心理学认为，数学学习是个体认知结构从建立到扩展，再到精致的过程；学生在课堂上所学的知识若没有同化到已有的认知结构中，新习得的知识就会较难“消化”.有效的问题设置能够促进学生深层次认知参与，使学生参与数学概念的形成过程、参与性质的发现过程、参与解题的思维分析过程、参与错误问题的剖析过程，从而深入理解和运用知识，促使学生主动感悟知识，不断深化对知识本质的认识，完善认知结构的同时逐步形成良好的学习习惯.总之，学生的主动学习，需要我们教师转变自身的教学方式，精心设计教学中的每一个问题，尽可能地创设一种民主、开放和自由的学习环境，激发学生的学习积极性，使学生最大限度地参与到数学课堂中来，从而能够在数学课堂上独立思考得更多、自主探索得更多、感悟认知得更多.高中数学教学的研究与建议高中数学教学的研究与建议◎韩彦（河北省石家庄市藁城市第九中学050000）【摘要】数学的重要性随着时代的发展被体现出来.虽然我们多次对高中数学教育进行了改革，但仍然还有许多问题存在，笔者通过对所在地区中学进行的调查，对学习困难的原因进行了总结，并提出一些建议.【关键词】课程观念；教学质量；个别化教育一、现状随着社会的信息化与经济的全球化，高中数学的重要性愈发凸显.数学教育的基础性被数学基础教育课程所强调，课程管理、课程观念、课程实施、课程结构、课程评价和课程内容等方方面面都被数学课程体系所涉及.课程实施过于强调死记硬背、机械训练、接受学习的现状要被改变，学生乐于探究、勤于动手、主动参与被倡导，获取新知识的能力、交流与合作的能力、分析和解决问题的能力以及学生搜集和处理信息的能力需要被培养.传授知识到提高能力再到转变为创新精神的发展和培养最终被实现.虽然高中数学教育做了许多突破性的改革，但高中数学的学习仍然还有许多问题需要我们共同努力去改善、改进和解决.二、案例研究1钡鞑榈哪康通过问卷调查的形式找出高中数学学习的主要困难，通过思考和查阅参考文献找出解决问题的方法和建议.2钡鞑榈姆绞问卷调查.3钡鞑榈亩韵笔者对笔者所在地区中学的高一、高二、高三三个年级的学生和部分老师发放了问卷进行调查.高一1376人，占321%；高二1274人，占29.8%；高三1473人，占344%.教师157人，占3.7%.男学生2346人，占54.8%；女学生1777人，占学生41.5%.4毖芯糠椒ㄉ杓以已有的文献资料作为基础，本研究利用问卷对高中学生与老师进行调查，对数学学习兴趣、学习习惯、数学的认识、学习遇到的困难等进行调查，从而找出直接和间接影响学生学习的因素，从而力争找到解决的对策.5蔽示砘厥涨榭问卷共发放4280份，一共回收3965份，其中有效问卷3834份，我们对这些问卷进行了仔细的阅读和研究，找出高中数学学习困难的原因，并通过资料的查阅找出了解决这些问题的方法和建议.6钡鞑榈牟糠纸峁通过调查发现高中数学教学质量差受多方面原因的影响，根据笔者的总结和研究主要有以下几个方面的影响：（1）大班教育使得学生素质参差不齐，好学生和差学生差距比较大；（2）老师对学生学习能力的生成并不关心，无法完成教学任务；（3）老师对课堂的不重视导致，老师讲老师的，学生听不听是学生的事；（4）老师的专业文化素养不高，不能对学生能力进行提高，反而不利于学生的发展.7苯饩鑫侍獾姆椒ê徒ㄒ（1）个别化教育与大班传统教学模式不同的是，个别化教学是根据学生的不同学习情况而实施的.教师在学生学习动机能够被激发的环境下，指导教学的学习任务的限度由学生接受的限度来决定，一对一教学并不一定是它的教学模式，而是给需要的学生具体的帮助.它的实际情况应该包括沟通功能，明确责任义务功能和管理功能.学生受教育的现状、应达到的短期目标和学期目标都是个别化教育计划的内容所应该包括的.当然，个别化教育计划是在普通教育的基础上，而不是要脱离普通教育，对学生的教学进行干预，学生在接受普通教育的同时，也在一定程度上接受个别化教育，二者互不干扰，相辅相成，互相补充，相得益彰.（2）关注影响学生学习的各项因素研究表明，除了教师因素还有其他的因素对学生学习有影响.提高学生获得学习的机会和学生的学习时间，创设适应学校学习的学习环境，提高数困生数学概括能力和努力激发学生的学习动机.关注影响学生学习的各项因素要做到以下几点：①在概念的形成阶段提高学生的概括能力.概念同化和概念形成的教学就是数学概念教学.创设适合学生认识概念的问题情境，积极地评价学生的各种观点，在教学中采用恰当的提问方式是在概念的形成阶段提高学生的概括能力的主要手段.②在解题练习中提高学生的概括能力.③在复习的时候提高学生的概括能力.（3）合理地利用课堂教学的各个环节学生直接接触的重要环节和教师的主要工作地点就是课堂教学，学生学习的效果直接受课堂教学质量的好坏的影响.每个教师都有他们由师徒传授的或者在实际教学中摸索的自己的教学特点.清楚地掌握课堂教学的每个环节应该做的事情是一个教师能否成为优秀的教师的关键所在.导课、课中、结课这三个部分是我们对课堂教学环节的划分.合理地利用课堂教学的这三个环节，对高中数学教学的帮助十分大.（4）“学习——思考——实践”过程的引导课本上的知识都是前人总结出来的经验，我们必须把这些间接经验变成属于自己的直接经验才有用，而直接经验是无法取代的，如何把间接经验转变成直接经验，就要经历一个“学习——思考——实践”循环反复的过程，思考的过程是将他人的知识吸收内化的过程，是“反刍”的过程.对学生来说，最有效的学习方法就是做题，通过做题来检测知识与能力的掌握程度和理解程度，做题后，将已会的知识和能力储存起来，不会的或还没有完全掌握的知识再通过教材重新学习和思考.那么，思考就要实践，为什么有的同学“一看就会，一做就错”呢？其主要原因是缺乏实践这一环节.三、结论笔者对高中教学中的一些问题进行了分析，并给了一些相关的建议和方法.但仍然还有一些问题有待我们解决，来使高中数学符合时代和人们的需要.【参考文献】［1］付国华.高一数学学困生的非智力因素分析及其对策［D］.长春:东北师范大学数学系，2006.［2］张奠宙.数学研究导引［M］.南京：江苏教育出版社，1994.［3］钱在森.学习苦难学生的教育理论与实践［M］.上海:上海教育出版社，1995.［4］杜玉祥，马小燕，魏立平，赵继超.数学学困生问题研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2003.浅谈中学条件概率教学浅谈中学条件概率教学◎邵秀芹（山东省聊城一中252003）【摘要】条件概率问题，一直是高中数学教学中的难点和热点问题，如何合理把握难度，搞好条件概率的教学一直是教育工作者探讨的问题.本文通过自身教学体会，介绍了高中数学教学中条件概率的教学心得.【关键词】条件概率；概念；安全；小结在中学学习过程中，条件概率是公认的一个难点问题，如何让学生明白条件概率，学会计算条件概率，是中学数学教学中一直在探讨的问题，很多优秀教育工作者都已经对此提出了自己的看法，本文通过具体案例详细地介绍了高中数学教学中条件概率的学习.一、课堂引入例1一个班级中有男生30人，女生20人，其中15人是团员，在这个班级中任选一名学生.（1）这名学生是团员的概率是多少？（2）若已知这名学生是男生，这名学生是团员的概率是多少？分析问题（1）是一个典型的古典概型问题，学生很容易就能回答出来，进一步，在（2）中，样本空间改变了，样本空间不再是全体学生组成的集合，因为知道选的这名学生是男生，那么样本空间应该是男生组成的集合，基本事件的个数变成了30个，但这仍然是一个古典概型问题，只不过样本空间缩小了而已.解设Ω表示“全体学生”，A表示“学生是团员”，B表示“已知学生是男生，这名学生是团员”，则（1）P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数=1550=310.（2）P(B)=1530=12.上述（2）中遇到的情况，现实生活中经常遇到，这就是下面我们要学习的条件概率问题.二、条件概率的概念在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件A发生的条件下，求事件B发生的条件概率，记作P（B|A）.定义设A，B是两个事件，且P（A）>0，则称P(B|A)=P(AB)P(A).(1)为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率.相应地，把P（B）称为无条件概率.一般地，P(B|A)≠P(B).注用维恩图表达(1)式.若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB.因已知A已发生，故A成为计算条件概率P（B|A）的新的样本空间.例2某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号.（1）他接通电话的概率？（2）求他已知最后一个数字是奇数时接通电话的概率.分析（1）中基本事件总数是10，而（2）中基本事件总数应该是5，样本空间缩小了，但仍然可以使用古典概型思想，也就是在缩小的样本空间中计算古典概率，所以应该是15.解设Ω表示“接通电话”，A表示“随意地拨号，接通电话”，B表示“已知最后一个数字是奇数时接通电话”，则（1）P(A)=A包含的基本事件数基本事件总数=110.（2）P(B)=B包含的基本事件数基本事件总数=15.例3盒子中有10个球，6白4红，无放回地每次抽取一球，记A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”，求P（B|A）.解由条件概率的计算公式，得P(B|A)=P(AB)P(A)=6×510×9610=59.三、课堂小结通过上述例题，我们可以发现计算条件概率有以下两种方法：（1）在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|A).（2）在样本空间Ω中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定义计算P(B|A).通过上面的讨论，我们可以看出，条件概率只是一种特殊的概率，是在缩小的样本空间中计算的概率，只要我们找准样本空间，找准具体事件，计算条件概率其实并不是一件很困难的事情.【参考文献】［1］盛骤，谢式千.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，2008.［2］孟晗.概率论与数理统计.济南：同济大学出版社，2011.浅析中学数学教学中情境的创设浅析中学数学教学中情境的创设◎仇小静（江苏省江阴市云亭中学214422）【摘要】教育的目标就是“培养人”，而数学则是一门既培养学生的哲学思考能力，又学习基础知识的学科，对培养人的分析能力、思维能力、应用能力，提高人的思维品质都有极高的教育价值.教师在课堂教学中，应善于把握学生的心理特点、思维特点，创设良好的问题情境，拓展学生的数学思想方法.数学情境的创设一般可以通过生活实际问题创设，通过营造“失误”来创设，通过类比、变化来创设等.数学教学过程就是数学问题的不断提出和不断解决的过程，因此，在数学教学过程当中，教师要精心设计好一个个恰当的问题情境，才有利于新课程理念的实施.【关键词】问题情境；学习兴趣；情境创设新课程纲要中指出：给每名学生提供最适合的教育，是尊重教育规律和学生身心发展规律的要求.为使学生在学习过程中动手实践、自主探索与合作交流能够顺利开展，作为数学学习组织者、引导者与合作者的教师，就应创设一个个学生感兴趣的、与他们学习数学有联系的数学情境.这也就是说需要教师对教学过程精心设计，创设各种教学情境.数学教学设计的中心任务就是要设计一个个问题，把数学教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程.但枯燥、平淡的问题味同嚼蜡，不但无法引起学生的兴趣和注意，而且会使学生厌烦.因此，教师应努力将问题设置到某个情境当中，使学生在特定的情境当中感受问题、探索问题、解决问题.在我们的日常教学中，教师要精心选择学生学习中有价值的问题，创设出良好的问题情境来激活学生的求知欲，促使学生为解决这一问题而形成一个合适的思维意向，从而达到最佳的学习效果.一、数学情境教学的意义心理学研究表明：成功与兴趣是相辅相成、相互促进的，有兴趣才有可能成功，能成功则会激发兴趣.因此教师在组织教学的过程中，应努力创造条件，采取适当的方式，提供恰当的感知材料，设置合适的问题情境，激发学生的学习兴趣，调动学生的思维功能，挖掘学生的认知潜力，调动学生的学习积极性，使枯燥、抽象的数学课堂变得富有情趣，使学生真正好学、乐学.新课程理念告诉我们：教育应以教师为主导，学生为主体.教学活动是学生学与老师教的统一.情境教学就是把学生的主动参与在优化的情境中进行，从而产生动机、充分感受、主动探究.创设问题情境的关键是选准新知识的切入点，设计问题一定要有梯度、有连贯，能引起学生的注意和良好的情感体验.因此，在设计教学情境时，要特别注意使学生在数学情境中，掌握学习的主动权，处于一种自主探索知识的状态，让学生转被动为主动、转不知为求知，从而增强学习的信心，提高学习兴趣，产生自我激励、自我要求上进的心理，使其成为进一步学习的动力.二、数学情境创设的种类适当的课堂情境是课堂教学的重要而又关键的环节，如何设计有效情境让新知识油然而生？当学生的新旧知识发生冲突时，适宜的问题情境能激发学生的思维，调动学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，而不切实际、抽象空洞的问题情境只会使学生产生高深莫测甚至是混乱的心理困惑.创设适宜的问题情境，可以从以下方面考虑：1蓖ü适合实际生活的问题创设问题情境在教学的过程中，可以将书本的知识跟实际生活联系起来，使提出的问题贴近学生的生活.要让学生积极参与到学习过程中，则必须最大可能地创设让学生参与到自主学习中来的情景与氛围，案例1在“勾股定理”教学时，有这样一个例题：一块长约120步，宽约50步的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，类似的现象也时有发生.请问同学们：（1）走斜“路”的客观原因是什么？为什么？（2）斜“路”比正路近多少？这么几步近路，值得用我们的声誉作为代价来换取吗？由于此类问题就在学生的身边发生，由于与所学习的内容有联系，学生的兴趣一下子就会被激发出来，无论是课堂的参与率还是学生的思考能力迅速就会提升到一个高度.创设此类问题情境，能够让学生深刻地理解在生活中数学是无处不在的，只要我们勇于发现、善于捕捉，不仅能加深他们对所学内容的印象，更能激发他们的学习兴趣.2蓖ü营造“失误”来创设问题情境教师在新的课堂教学中不应该是高高在上的个体，而应是一个起主导作用的导演者，教师要敢于突破自己的传统形象，给自己“抹黑”，颠覆传统教学中老师永远是正确的传统.假如教师能有意识地在课堂教学中制造一些细节“失误”，当学生发现了老师的这种“失误”之后，纠错的心理就会油然而生，他们展示自己的欲望尤其强烈，进入课堂去探索学习更是水到渠成了.案例2在“平面直角坐标系”教学中，有这样一个例题：在直角坐标系中，点A(0，-3)，点B(0，-4)，点C在x轴上，如果△ABC的面积为15，求点C的坐标.由于该题没有参考图的局限，教师在讲解的过程中可以有意只讲其中的一种情况，漏掉另外一种情况，最后留有时间让学生继续分析，让学生思考出有无其他的可能性结果.这种教学毫无疑问比老师直接揭示结果的效果要好得多，学生对通过自己探索所得的结果更加是熟记于心.利用教学细节中的“失误”，目的是激发学生的学习动机，教师有意识地将“疑”“错”设在学习新旧知识的矛盾冲突之中，使学生在“疑中生趣”“错中生奇”，这是学生学习新知识的最有效状态.3蓖ü题型类比、变化来创设问题情境很多数学知识在内容和形式上都有类似之处.创设类比的问题情境，就是对这些类似的知识加以对比，加以分析，从而发现问题的本质，提出新的问题.并且我们还可以对问题原型进行衍生，让学生在不同的情况之下对新老问题作比较，从而触类旁通，一呼百应.案例3在学习了“轴对称图形”之后，出现了这样的一个题目：几何模型条件如图，A，B是直线l同旁的两个定点.问题在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小.（下转71页）一叶知秋话解题——也谈细节与数学学习◎杨丹阳（浙江省宁海中学315600）【摘要】一叶飘零而知秋，一枝勃发而见春.数学学习也一样，重视每一个细节，分析问题的本质，学生才能真正学好数学，用好数学，本文主要从四个方面阐述.【关键词】细节能培养学生优良的学习习惯；细节能培养学生的探索能力；细节能积累成一种能力；细节决定成败1967年8月23日，苏联的宇航员科马洛夫殉难，原因是地面检查时忽略了一个小数点而导致联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，减速降落伞无法打开.这个事故告诉我们这样一个道理：对待人生不能有丝毫的马虎，否则，即使是一个细枝末节，也会让你付出沉重的甚至是永远无法弥补的代价.数学学习也是一样，在每一个细节上做足工夫，把握好数学中的每一个“细节”，找出问题的本质，学生才能真正学好用好数学.下面谈谈笔者的一些体会.1毕附谀芘嘌学生优良的学习习惯惠普创始人戴维·帕卡德曾说过“小事成就大事，细节成就完美”.细节，往往被人忽略，但恰恰最能反映一个人的真实水平.让学生重视数学学习的每一个细节，有利于学生培养优良的学习品质及严谨的数学逻辑思维能力，深化分类讨论的数学思想.病例1已知集合A={x|x2+(p+2)x+1=0}，B={x|x>0}，若A∩B=粒求实数p的取值范围.症状∵A∩B=粒∴x2+(p+2)x+1=0有两个负根.∴Δ≥0，-(p+2)<0，解得p≥0.（1）处方由痢葿=粒∴当A=潦保符合题意，有Δ<0，得-4-4.病例2已知Sn是数列{an}的前n项的和，且a1=2，an+1=Sn+n，求数列{an}的通项公式.症状由an+1=Sn+n，①得an=Sn-1+n-1.②①-②，得an+1=2an+1，即an+1+1=2(an+1).∴{an+1}是首项为3，公比为2的等比数列.∴an+1=3·2n-1，即an=3·2n-1-1.处方由an+1=Sn+n，得an=Sn-1+n-1，此时n≥2.∴当n≥2时，an+1+1=2(an+1).∴{an+1}是从第二项起以2为公比的等比数列.又a2=S1+1=a1+1=3，∴当n≥2时，an+1=4·2n-2=2n.∴an=2，n=1，2n-1，n≥2.作为教师，纠正学生解题错误固然非常重要，但更重要的是通过教学中的一些细节，找出错误的原因，使学生遇事能认真分析，养成能认真思考每一个环节的习惯，提高学生的数学逻辑思维能力，培养学生良好的学习品质.2毕附谀芘嘌学生的探索能力海尔集团总裁曾说过“探索存在于每一个细节之中”.数学学习也一样，可以抓住数学问题的某些细节，发挥学生学习的主动性，让学生去思考、去探索、去发现有价值的东西，有助于提高学生的自主探索创新能力.病例3已知抛物线C：y2=4x与一条过点A(0，1)的直线l，当直线l与抛物线C有且只有一个公共点时，求直线l的方程.症状由题意设直线l的方程为y=kx+1.由方程组y2=4x，y=kx+1，可得ky2-4y+4=0.（*）∴Δ=16-16k=0，∴k=1，∴直线l的方程为y=x+1.分析如图可直观看出y轴与抛物线相切只有一个公共点，此时斜率不存在，故要讨论直线l的斜率是否存在.考虑Δ时，（*）是二次方程，故对二次项的系数也要进行讨论.处方（1）当斜率不存在时，直线l：x=0符合题意.（2）当斜率不存在时，①当k=0时，直线l：y=1与抛物线C只有一个公共点14，1；②当k≠0时，Δ=0，∴k=1，∴直线l：y=x+1.综上所述，直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1.探索①A(0，1)改为A(1，2)，问：此时与抛物线C只有一个公共点的直线l有几条？②A(0，1)改为A(1，0)，问：此时与抛物线C只有一个公共点的直线l有几条？分析过定点A与抛物线C只有一个公共点的直线l的条数跟定点A与抛物线的位置有关.结论①若定点A在抛物线开口方向外，则这样的直线l有3条（两条切线和一条割线）；②若定点A在抛物线开口方向内，则这样的直线l有1条（一条割线）；③若定点A在抛物线上，则这样的直线l有2条（一条切线和一条割线）.3毕附谀芑累成一种能力海不择细流，故能成其大，山不拒细壤，方能就其高.数学学习也是一样，只要平时注意并能认真解决好数学中的每个细节，解题能力就会逐步增强，这就是细节的魅力.病例4求函数y=1x-ln(x+1)的单调减区间.症状由y′=-1x2-1x+1=-x2+x+1x2(x+1)<0.又∵x2+x+1>0，x2>0，∴x+1>0，∴单调减区间为(-1，+∞).处方函数的单调性首先应在函数的定义域内研究，故x≠0，x+1>0，y′<0.∴单调减区间为(-1，0)，(0，+∞).病例5求函数f(x)=x2+5x2+4的最小值.症状f(x)=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2.（*）∴f(x)的最小值为2.分析利用基本不等式a+b2≥ab(a>0，b>0)求最值需满足“一正二定三等”，缺一不可，而（*）中当x2+4=1x2+4时取“=”，此时x∈.处方令t=x2+4，则t≥2.而f(x)=t+1t在t∈［2，+∞)上为增函数，∴当t=2即x=0时，f(x)的最小值为52.这两个症状中的细节都是围绕函数的性质应考虑函数定义域的影响，我们把这些细节认真加以研究、总结、开发和利用，不但可以提高学生的数学成绩，也能提高学生的学习能力.病例6已知双曲线方程2x2-y2=2，过点B(1，1)能否作直线l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.症状设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则2x21-y21=2，2x22-y2=2.两式相减，得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，2·x1+x22-y1+y22·y1-y2x1-x2=0，即2×12-12×y1-y2x1-x2=0.∴y1-y2x1-x2=2，∴直线Q1Q2的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.分析要使B点是弦Q1Q2的中点，首先直线l与双曲线有两个不同的交点Q1，Q2，故方程组2x-y-1=0，2x2-y2=2应有两组解，而消去y，得2x2-4x+3=0.此时Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，无实根.因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在.4毕附诰龆ǔ砂1%的错误会带来100%的失败.原因很简单，数学填空题的结果只有对与不对，一个细节没有考虑周到，就是全错，所以只有一丝不苟、仔细审题的学生可以做出正确答案，注重“细节”是学生取得好成绩的一个关键.病例7若向量a=(λ，2)，b=(-3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围为.症状∵a·b=|a||b|cos〈a，b〉，〈a，b〉是锐角，∴a·b>0，∴a·b=-3λ+10>0，∴λ<103.处方∵〈a，b〉是锐角，∴cos〈a，b〉＞0且cos(a，b)≠1.当cos〈a，b〉=1时，a与b同向，此时5a+6=0，则λ≠-65.∴λ的取值范围是λ<103且λ≠-65.往往学生的水平在知识能力等方面差距不是很大，要想在高考或其他考试中获胜，实际上还是那百分之几的细节，所以说“细节决定成败”，可能一两天觉察不到细节的“魅力”，但经过一个月、一个季度、一年，细节的重要性就会充分显现.所以，作为一名数学教师，必须重视每一节课的细节，每一次作业的细节，让学生掌握好数学中的每一个细节，长此以往，既能培养学生优良的学习习惯，又能培养学生的探索能力，学生不但能够很好地掌握知识，提高数学成绩，而且综合能力与素质都能进一步提高.JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA例析极限的几种求法◎傅文德(凯里学院理学院，贵州凯里556011)【摘要】本文讨论了几种极限形式的求法.【关键词】数列；极限【基金项目】凯里学院2011年度规划课题资助项目（Z1110）极限理论是高等数学的重要组成部分，极限所表述的问题是高等数学的重要问题之一，当然也是许多科学领域的重要思想之一.极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一.极限的基本思想对解决许多数学问题起关键的作用，有关一元微积分学、多元微积分学与曲线积分和级数理论等概念及一些基本思想均是利用极限的思想提出来的.同时涉及极限的问题有很多，包括极限的求法、给定极限的证明、极限的存在等.极限包括两部分：数列极限与函数极限，数列极限是基础.因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要.对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果.为了解决求极限的问题，有不少学者利用极限性质、定积分、微分中值定理、泰勒展开式、初等变形法以及利用变量替换法、导数、多元函数性质等求极限，从不同角度探讨了计算极限的方法，取得了一定的成果.但求极限往往与所给定的问题本身有关，不同的问题可能会有具体的求法.下面从另外角度以实例来阐述求极限的几种可行方法.1.根据已知极限结果求极限在极限的计算中，有许多用定义等方法证明了的极限结果，若熟知将在所求极限计算中起比较重要的作用.如：（1）limn→∞nk=limx→+∞xk=+∞(k∈N).(2)limn→∞n-k=limx→+∞x-k=limn→∞nkan=limx→+∞xkax=limn→∞ann!=0(k∈N，a>1).(3)limn→∞qn=limx→+∞qx=0|q|<1，+∞q>1.(4)limn→∞na(a>1)=limn→∞nn=limx→0sinxx=limx→02(1-cosx）x2=limx→0ln(1+x)x=1.(5)limn→∞1+1nn=limx→∞1+1xx=limx→0(1+x)1x=e.例1求极限limn→∞(2·222·242·…·2n2).解因为2·222·242·…·2n2=212·2122·2124·…·212n=21-12n=2212n，∵1<212<21n=n2→1(n→∞)，∴limn→∞(2·222·242·…·2n2)=limn→∞2212n=2.例2求极限limx→01+xsinx-cosxx2.解原式=limx→01+xsinx-cosxx2(1+xsinx+cosx)=limx→01-cosxx2+sinxx1+xsinx+cosx=12+12=34.2.有理分式函数(数列)极限的求法极限limαQ（α)P(α)称为有理分式极限.其中Q(α)与P(α)表示α的函数，根据α的变化趋式可分为两类：一是x→x0，x→∞的类型，常用方法是分子、分母同除以x的低次幂(x→x0)或x的高次幂(x→∞)；二是n→∞的类型，可采用分子、分母同除以n的高次幂，化为由极限四则运算法则等求解.例3求极限limx→13x-1x-1.解利用分子、分母有理化可得原式=limx→1x-1(x23+x13+1)(x+1)(x+1)(x-1)(x23+x13+1)=limx→1(x-1)(x+1)(x-1)(x23+x13+1)=23.例4求极限limn→∞nαnβ-(n-1)β.解分子、分母同除以nβ得原式=limn→∞nα-β1-1-1nβ=limn→∞nα-β1-1-βn+o1n=limn→∞nα-β+1β.当α-∞+1>0时，原式=∞；当α-β+1<0时，原式=0；当α-β+1=0时，原式=1β.3.利用对数法求极限若需求极限为幂指函数limαQ(α)P(α)的形式，一般利用取对数法的方法求极限.例5求极限limx→0ax1+ax2+…+axnn1x.解设y=ax1+ax2+…+axnn1x，取对数得（下转74页）数学建模思想在中学数学教学中的运用数学建模思想在中学数学教学中的运用◎张裕波（贵州省兴义民族师范学院562400）【摘要】实践证明，数学建模思想融入到数学教学中能够培养学生整体处理和创造性处理问题的能力以及能够对学生进行一个正确的评价，最终有助于素质教育的开展.将数学建模思想运用到中学数学教学中是必要的，同时也是以后数学教学的重点.本文主要对数学建模思想的相关理论知识以及运用一个实例来分析数学建模思想在中学数学教学中的运用.【关键词】数学建模思想；中学数学；教学一、数学建模思想及其在中学数学教学中的运用1笔学建模思想数学建模就是对实际问题的一种抽象，用数学语言描述实际现象的过程.其中实际现象既包括客观存在的现象，又包括抽象的现象.数学建模还可以很直观地理解为：数学建模就是让一个纯粹的数学家往多元化学家方向发展.数学建模现在被广泛应用，例如工业、农业、经济、社会、政治、军事、医学、信息技术等领域.数学模型其实质就是对实际问题的一种数学简化，它的存在形式一般都是某种意义上接近实际事物的抽象，它并不是与实际的问题相同，二者在本质上还存在一些差异.在实际生活中，对一种实际事物的描述可以通过很多方法来进行，例如语言、录像等.而数学语言以其科学性、逻辑性、客观性及可重复性的特点，在描述各种现象时体现出其别具一格的严密与贴合实际.如图1为现实对象与数学模型的关系.正因如此，越来越多的人愿意用严格而又严密的数学语言来对实际事物进行描述.有时是需要做一些实验，而这些实验就是用数学模型来替代实际物体.运用数学来解决各类实际问题时，数学模型是非常重要的，数学模型也是一个难点，数学建模过程是一个复杂的系统工程，使抽象事物变得直观化.数学建模的过程如图2所示.图1现实对象与数学模型的关系图2数学建模过程模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征.模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要的合理的简化.假设不同模型也就不同.过于简单的假设很有可能导致模型的失败，因此，必须进行补充假设；过于详细的假设，想要把实际现象中所有的因素都要考虑进去，这样会使得问题更加复杂化，无法进行下一步工作.总而言之，在进行模型假设时，要把主次分清楚，尽可能使问题均匀化.模型建立：在把变量类型分清的基础上，还要恰当地使用数学工具.只要把问题的本质抓好，就能够使得变量之间的关系更加简单化，一定要保证模型本身的准确性.模型求解：运用数学方法和计算机技术来进行运算.模型分析：对变量之间的依赖关系进行分析，得出最优的决策控制.模型检验：模型分析结果与实际对象相结合，对结果进行评价.模型应用：模型在实际应用中可能会有新的问题出现，对其进行进一步的完善.数据的收集是建立模型的首要工作，这些数据是要通过实际调查得到的；然后对实际对象的固有特征和内在规律进行观察和研究，抓住问题的本质；最后把反映实际问题的数量关系建立起来，运用数学的方法对问题进行分析和解决.其实数学建模就是理论联系实际的桥梁.数学建模在科学技术发展中的重要作用已被各类学科重视起来.数学建模已经在各大高校的教育中广泛地应用起来，为培养高层次科技人才提供了良好的保证.2笔学建模思想在中学数学教学中的运用现实生活中的一切问题都来源于相应的数学模型，如果遇到问题只是单纯地考虑问题，而不用具体的数学工具来解决，虽然能够解决这问题，但是可能会花费很多时间和精力，而运用数学工具来解决实际问题会达到事半功倍的效果.我国中学数学教材中的内容也都是来源于实际问题，如果教师在讲述数学知识时首先从实际问题出发，利用相关的数学知识点来解决引入的实际问题，那么这个知识点就是数据模型.从中学数学教材中我们可以看出教材中的应用实例越来越多，这样不仅提高了学生学习数学的兴趣，同时也让学生明白学习数学的作用.在中学数学教材中，基本上每章都有数学应用，虽然这些都是些简单的问题，但是它确实将实际问题转化为数学模型，通过解决这些实际问题，让学生真正感受到数学所用之处，让学生能够将数学知识、方法和思想融合在一起，能够存储一些基本的数学模式，这是向学生渗透数学建模思想的基础.二、实例分析现实世界中，最优化问题普遍存在，我们知道解决最优问题有很多方法，针对高校学生而言，可以通过运筹学来解决，但是针对中学生而言，是不能用运筹学的，只能用函数的最值来解决，通过目标函数，确定变量的限制条件，运用函数的方法来解决.例某工程队共有400人，要建造一段3000米长的高速公路，需要将这些人分成两组，分别完成一段1000米的软土地带以及一段2000米的硬土地带，据测算软、硬土地每米的工程量分别为50工和20工，那么要想使全队筑路的时间最省应如何安排两组人数呢？建模分析两组人员分配完之后，由完成工程较慢的一组决定全队的筑路时间.解设在软土地带工作的一组人数为x，则软土地带筑路时间为f(x)=50×1000x，硬土地带筑路时间为g(x)=20×2000400-x，其中，x∈N，且0＜x＜400.当f(x)≥g(x)时，全队筑路时间为h(x)=f(x)；当f(x)＜g(x)时，全队筑路时间h(x)=g(x).设f(x)=g(x)的解为x0，易知h(x)在（0，x0）上为减函数，在［x0，400］上为增函数，因此当x=x0时，即x=222时，h(x)有最小值.又h(222)=f(222)=225.2，h(223)=g(223)=225.9，∴当x=222，软硬地带分别安排222人和178人时，全队筑路时间最省.三、结语现代的教学要求教师不要死教，学生不要死学，因此，在中学数学教学中将数学建模思想融入其中正是现代教学所要求的，由此可见，数学建模思想在中学数学教学中的运用是非常必要的.中学数学教学中引入数学建模思想不仅让学生学到数学建模的思想和方法，而且能够让学生明白数学的伟大作用，以及让学生能够灵活运用所学的知识去解决实际问题，这样也在一定程度上培养了学生的创新能力、分析能力以及解决问题的能力.【参考文献】［1］梁世日.新课程背景下中学数学建模教学的几点思考［J］.考试周刊，2007(31).［2］马鹏翼.中学数学建模中的常见模型举例［J］.成才之路，2008(6).［3］龚雪.中学数学教学中数学建模思想的融入［D］.长春师范学院，2011.［4］刘长华.数学建模与中学数学教学结合两例［J］.大连教育学院学报，2003(3).浅谈高考数学选择题的选择技术和技巧浅谈高考数学选择题的选择技术和技巧◎邹恩众（辽宁省大连市轻工业学校116023）【摘要】高考数学选择题所占比重较大，恰当地掌握一些选择技术和技巧，进行科学的选择，对于做好高考数学选择题从而取得整个考试的好成绩，是一件积极而有意义的事情.【关键词】选择题；技巧；科学选择高考数学选择题的比重较大，约占百分之四十.高考数学选择题的任务主要是考查学生基础知识的理解和掌握，基本解题技能的熟练和运用，基本计算的准确和速度，思维是否严谨和全面等内容.选择题可以快速解答，争取时间做大题，也可以浪费大量的时间，来不及做大题，可以说，选择题做得好与坏关系到整个考试的成败.做高考数学选择题的基本原则是：小题不大做.“多一点想的，少一点算的”，能采用定性的思维去考虑，就不采用定量的方法去计算.高考数学，速度是生命线，准确是关键.下面浅谈一下高考数学选择题的选择技术和技巧.1敝苯臃所谓直接法就是利用数学公式、法则或者定理直接进行计算来获得答案的方法.通常是在做计算题时用此方法.从另一个角度讲，考生在做选择题时，先观察一下四个选项，认为哪一个选项可能性最大就先做哪一个，而不是按照顺序逐个做，这也体现了一种直接选择的思想.例1若点(a，b)在函数y=lgx的图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是（）.A1a，bB(10a，1-b）C10a，b+1D(a2，2b)解析(a，b)点在图像上，将满足关系式b=lga，我们先观察一下四个选项，发现D的答案代入后正确的可能性较大，因此就先代入验证，得到正确的答案是D，此时其余的三个选项就没有再看的必要了.2迸懦法所谓排除法就是对各个选项通过分析、推理、计算、判断，排除掉错误的选项，留下正确选项的一种选择方法.直接法和排除法是高考做选择题时最常用的两种基本选择方法.3碧刂捣所谓特值法就是利用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊图形等对各个选项进行验证或推理，利用问题在这一特殊条件下不真，则它在一般情况下也不真的原理，去伪存真作出选择的一种方法.例2设π4<α<π2，则下式成立的是（）.A眘inα0)D眣=1-x(x≥1)解析本题A，C，D属于同类，所以将重点考虑，B不是同类，很可能不正确.该题本着“小题不大做”的原则，不是直接求出直接函数的反函数，而是利用“反函数的定义域是直接函数的值域”的结论，因为直接函数y=(x-1)2的值域是y>0，所以反函数的定义域为x>0，故选C.5蹦嫱蒲橹し所谓逆推验证法就是将选项中的答案或者特殊值代入题干中，逐一验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选项的一种选择方法.例5若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）.A保-1，1）B保-2，2）C保-∞，-2）∪（2，+∞）D保-∞，-1）∪（1，+∞）解析该题可以在选项中取m的一些特殊值去验证.例如取m=0，则该方程无实根，否定了A与B；取m=2，则该方程只有一个实数根，否定了D.所以选择C.6蓖冀夥所谓图解法就是利用曲线的图形或者函数的图像、数学中的几何意义等采用数形结合来确定正确答案的方法.例6椭圆x225+y216=1与圆x2+y2-2x+3y-3=0的交点个数为（）.A0B1C2D4解析该题可以采用画图的方法来求交点的个数，避免去解繁琐的二元二次方程组，快捷又方便.7惫菇ㄊ学模型法所谓构建数学模型法就是将问题建立在某一个数学模型中，利用该数学模型所具有的意义、几何性质等去解题的一种方法.例7设(x，y)满足方程(x-2)2+y2=3，则yx的最大值是（）.A12B33C32D3解析构建数学模型k=y-0x-0，它是过原点和(x，y)点的直线的斜率，将问题转化为求过原点和圆上一点的直线斜率最大的问题.而此题直线向上与圆相切时斜率最大.过(0，0)，(2，3)点的直线斜率为k=32，应小于k的最大值，所以kmax=3.故选择D.此外还有估值法、极限法等.最后说及一点，选择方法固然重要，但根本上还是要学会通式通法，扎扎实实打好基础，才能最后成功.Sn和an之间的关系的应用◎蒋庆松（江苏省南通市通州区农业综合技术学校226363）【摘要】我们说数列主要是应用归纳推理，但事实上，在Sn和an之间的关系上是演绎推理.数列不仅是考查归纳推理，更重要的是考查演绎推理.Sn就是前n项和，an就是通项公式.本文从典型例题让学生体会Sn和an之间的联系.【关键词】通项an；前n项和Sn；Sn和an的关系一、等差数列和等比数列前n项和及通项公式的推导方法等差数列通项公式的推导:递归、叠加.等比数列通项公式的推导:递归、连乘.等差数列前n项和公式的推导:倒序相加.等比数列前n项和公式的推导:错位相减.等比定理：ab=cd=ef=a+c+eb+d+f.由等比数列的定义a2a1=a3a2=…=anan-1=q，则有a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1=q，Sn-a1Sn-an=q.当Sn-an≠0时，有Sn-a1=q(Sn-an)，解得Sn=anq-a1q-1.注当q=-1，n-1是偶数时Sn-an=0.前n项的和：若Sn=a1+a2+…+an，则an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.前n项的积：若Tn=a1·a2·…·an，且Tn≠0，n=1，2，3，…，则an=T1，n=1，TnTn-1，n≥2.二、例题已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+2(n∈N*).(1)设bn=an+1-2an，求证：{bn}是等比数列;(2)设cn=an2n，求证：{cn}是等差数列;(3)求an和Sn.解(1)由题意，得Sn+1=4an+2.①Sn+2=4an+1+2.②②-①，得an+2=4an+1-4an，即an+2-2an+1=2an+1-4an.由bn=an+1-2an，得bn+1=2bn.又b1=3≠0，∴{bn}是等比数列.(2)由(1)可知an+2-2an+1=2an+1-4an，等式两边同除以2n+2，得an+22n+2-an+12n+1=2an+12n+1-an2n.由cn=an2n，得cn+2-cn+1=cn+1-cn=…=c2-c1.由等差数列的定义，数列{cn}是等差数列.(3)由(2)得{cn}是等差数列，则有cn+2-cn+1=cn+1-cn=…=c2-c1.∵a1=1，a2=5，由cn=an2n，可得c1=12，c2=54，故d=34.由于{cn}是等差数列，因此得cn=12+(n-1)34=3n-14.又由cn=an2n，得an=(3n-1)2n-2，Sn=(3n-4)2n-1+2.三、探讨设{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，{xn}，{yn}分别是公比为q1，q2的等比数列，考虑求以下数列的通项公式和前n项和公式:(1){an+bn}.(2){an·bn}.用到12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.(3){xn+yn}.{xn+yn}成等比数列的充要条件是q1=q2.(4){xn·yn}.(5){an+xn}.(6){an·xn}.求和错位相减.注未给出参考答案，有兴趣的同学可以自己推导一下！Hamilton算子的复合项运算方法◎冯英龙1许俊如2（1鄙挛骱教旎电环境工程设计院7101002蔽靼埠教於力机械厂710025）【摘要】由于Hamilton算子是矢量符号与微分符号的组合，它不能完全满足矢量运算规律，难以建立统一的运算方法.本文通过对含有Hamilton算子的复合函数项进行微分式分解与调整，并根据矢量运算规则，对调整后的微分式进行矢量化运算与调整；同时，对于含有多个Hamilton算子的复合项直接进行矢量运算，运算后将各项末尾的Hamilton算子进行矢量前移.由此建立了一种简单而统一的符号运算方法，典型的复合项符号运算表明，这种运算方法可以获得正确的运算结果.【关键词】Hamilton算子；复合算子；符号运算Hamilton算子（Δ）应用于工程计算与理论研究中，可使运算过程简化并使算式书写简便.但由于Hamilton算子是矢量符号与微分符号的组合，它不能完全满足矢量运算规律.研究表明，在符号运算中，单纯使用矢量代数公式对含有Hamilton算子的复合函数项进行变换时，不可能始终获得正确的结果.并且，尽管一些典型的符号运算结果已在一些文献中加以证明，然而并没有给出通用的符号运算步骤或运算方法，因而仍然难以熟练掌握其运算规则.本文针对复合项的符号运算，总结出简单的运算方法与步骤，掌握这些方法，有助于学生在算子运算中灵活应用，快速获得准确的运算结果.一、符号运算基础Hamilton算子具有矢量与微分性质，但并不完全等同于矢量与微分，其在直角坐标系中被定义为：Δ=i功箈+j功箉+k功箊.式中，i，j，k分别为x，y，z轴正向单位矢量.符号运算方法应满足下述基本规律：(1)分配律：Δ·(a±b)=Δ·a±Δ·b；(2)微分积规则：d(uv)=udv+vdu；(3)矢量积规则：a·b=b·a，a·b=-b·a，a·(b·c)=b·(c·a)=c·(a·b)，a·(b·c)=(a·c)b-(a·b)c.二、复合函数项的符号运算步骤1蔽⒎质椒纸庥氲髡由于Hamilton算子具有微分性质，首先将含有Hamilton算子的复合函数项根据微分积规则分解成多个微分项，然后将视为常数/矢项的函数（以下标c表示）调整至紧邻Hamilton算子之后的位置.例1Δ·(a×b)=Δ·(ac×b)+Δ·(a×bc)微分式分解=Δ·(ac×b)-Δ·(bc×a)微分式调整.式中，含下标c的量在运算时均视为常量.2笔噶炕运算与调整经过微分式调整的各项根据矢量积运算规则进行矢量化运算，同时，视为常量的量Xc应在矢量积运算后调整至Hamilton算子之前，调整的方式为：(1)Xc为标量时，作简单的常标量前移.例2Δ·(fca)=fcΔ·a.(2)Xc为矢量时，进行带运算符号的常矢量前移，且需满足矢量交换规律.例3Δ·(ac f)=ac·Δ f.例4(Δ·ac)b=(ac·Δ)b.(3)运算后若Hamilton算子位于复合项末端，则应与算子前一位矢量进行矢量交换.例5ac·(b×Δ)=-ac·(Δ×b).3闭理后去下标c4敝だ例6Δ·(fa)=Δ·(fca)+Δ·(fac)=Δ·(fca)+Δ·(ac f)=fcΔ·a+ac·Δ f=f Δ·a+a·Δ f.例7Δ×(fa)=Δ×(fca)+Δ×(fac)=Δ×(fca)+Δ×(ac f)=fcΔ×a-ac×Δ f=f Δ×a-a×Δ f.例8 Δ(a·b)=Δ(ac·b)+Δ(a·bc)=Δ(ac·b)+Δ(bc·a)=ac×(Δ×b)+(ac·Δ)b+bc×(Δ×a)+(bc·Δ)a=a×(Δ×b)+(a·Δ)b+b×(Δ×a)+(b·Δ)a.（下转79页）化整为零，重点突破——分析法在数列不等式证明中的运用◎竺国伟（浙江省诸暨市牌头中学311825）不等式的证明是高中学习的重点与难点，也是高考考查的重要内容之一，通常结合函数、数列、解析几何、导数等知识，考查学生对不等式证明方法的掌握程度，许多学生难以逾越沟壑，只能望题兴叹，或无功而返.分析法是解决此类问题的重要方法之一，它是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，是从未知看需知，逐步靠拢已知的证明方法.本文通过具体的例题，谈谈函数题中的数列不等式的证明.例1已知函数f(x)=lnx+x2-ax.（1）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）设an=1+1n（n∈N*），求证：3(a1+a2+…+an)-a21-a22-…-a2n0.又f(x)在其定义域上为增函数，∴只需当x>0时，f′(x)=1x+2x-a≥0恒成立即可，即a≤1x+2x（x>0）恒成立.又∵当x>0时，1x+2x≥22，∴a≤22，a的取值范围为(-∞，22］.分析（2）要证明3(a1+a2+…+an)-a21-a22-…-a2n0，∴F(x)=lnx+x2-3x+2在(1，2］上单调递增，∴F(x)=lnx+x2-3x+2>0，x∈(1，2］时恒成立，即3x-x20).（1）求函数f(x)的极值点，并判断其为极大值点还是极小值点；（2）若对任意的x＞0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围；（3）证明：ln2222+ln3232+…+lnn2n2<2n2-n-12(n+1)(n∈N，n≥2).解（1）∵f(x)=lnx-px+1，∴f(x)的定义域为(0，+∞).f′(x)=1x-p=1-pxx，令f′(x)=0，则x=1p∈(0，+∞).当x∈0，1p时，f′(x)>0；当x∈1p，+∞时，f′(x)<0.∴p>0时，f(x)有唯一的极大值点x=1p.（2）∵x=1p处取得极大值，f1p=ln1p，此极大值也是最大值，∴要使f(x)≤0恒成立，只需ln1p≤0，即p≥1.∴p的取值范围为［1，+∞).（3）分析：左边是由n-1个类似的分式相加而成，右边可以变形为：2n2-n-12(n+1)=n+1-12(n+1-2)n+1=n+1-52+1n+1=n-1-12-1n+1，则可以拆分12-1n+1=12-13+13-14+…+1n-1n+1，∴要使原不等式成立只需证明：ln2222≤1-12-13，ln3232≤1-13-14，…，lnn2n2≤1-1n-1n+1，这一组不等式成立.要证这组不等式成立，只需证明：lnn2n2≤1-1n-1n+1（n∈N，n≥2）成立即可.要证lnn2≤n21-1n-1n+1成立，即证lnn2≤n2-n2n(n+1)成立.又∵n2n(n+1)=nn+1<1，∴只需证明：lnn2≤n2-1（n2≥4）成立即可.又∵由（2）可知lnx-x+1≤0（x>0）成立，则lnx≤x-1（x≥4）恒成立，∴ln2222+ln3232+…+lnn2n2<2n2-n-12(n+1)(n∈N，n≥2)成立.点评（1）（2）两题的求解比较常规，（3）题进行直接证明不易完成，但从结论出发，仔细观察与分析不等式的特点，将一串长不等式的证明转化为求证一个简短的不等式成立，再进而化归为证明某个函数的单调性.应用分析法，一方面要注意寻求使结论成立的充分条件，另一方面也要有目的性，逐步逼近已知条件或必然结论.分析法证明数列不等式容易找到问题的突破口，从待证结论出发，步步变形寻求结论成立的充分条件，最后到达题设的已知或被证明的事实，执果索因是证明数列不等式的重要方法.（上接77页）例9 Δ·(a×b)=Δ·(ac×b)+Δ·(a×bc)=Δ·(ac×b)-Δ·(bc×a)=ac·(b×Δ)-bc·(a×Δ)=-ac·(Δ×b)+bc·(Δ×a)=b·(Δ×a)-a·(Δ×b).例10 Δ×(a×b)=Δ×(ac×b)+Δ×(a×bc)=Δ×(ac×b )-Δ×(bc×a)=(Δ·b)ac-(Δ·ac)b-((Δ·a)bc-(Δ·bc)a)=a(Δ·b)-(a·Δ)b+(b·Δ)a-b(Δ·a).三、复合算子的符号运算对于含有多个Hamilton算子的复合项，在符号运算过程中，可直接进行矢量化运算，即将各个Hamilton算子视为矢量参与运算.运算后，若Hamilton算子位于复合项末端，则应与算子前的矢量进行矢量交换.例11Δ·(Δ×a)=Δ1·(Δ2×a)=Δ2·(a×Δ1)=-Δ2·(Δ1×a)=-Δ·(Δ×a).由此可得Δ·(Δ×a)=0.例12Δ×(Δ×a)=Δ1×(Δ2×a)=(Δ1·a)Δ2-(Δ1·Δ2)a=Δ2(Δ1·a)-(Δ1·Δ2)a=Δ(Δ·a)-Δ2a.四、结论本文建立了一种简单而统一的复合项符号运算方法，即：(1)微分式分解与调整.根据微分运算规则，对含有Hamilton算子的复合函数项分解为多个微分表达式，并将视为常数/矢项的函数调整至紧邻Hamilton算子之后的位置.(2)矢量化运算与调整.根据矢量运算规则，对调整后的复合函数项进行矢量化运算，运算后将视为常数/矢项的函数调整至紧邻Hamilton算子之前的位置；含有多个Hamilton算子的复合项则直接进行矢量化运算，运算后将表达式末尾的Hamilton算子进行矢量前移.【参考文献】［1］方能航.矢量、并矢分析与符号运算法［M］.北京:科学出版社，1996.［2］全达人.Hamilton算子的运算规则［J］.宁夏农学院学报，1982（2）:30-48.例说三角函数几种常用的解题技巧例说三角函数几种常用的解题技巧◎王晚英（湖北省咸宁市生物机电工程学校437038）【摘要】“三角函数”是中专数学的重要组成部分，同时它又是学习高等数学的基础知识.而掌握三角函数的解题技巧能增强学习三角函数知识的信心，本文通过举例说明三角函数的一些解题技巧.【关键词】三角函数；解题；技巧“三角函数”是中专数学的重要组成部分，它应用于很多理工专业如模具设计、机电、数控等专业的教学中，同时它又是学习高等数学的基础知识.因此学好“三角函数”是中专数学最重要的一环，而提高三角函数题型的解题能力能增强学好三角函数知识的信心，本文根据多年的教学实践就三角函数几种常用的解题技巧例说如下：一、切割化弦是将题中出现的正切、余切函数，正割、余割函数均化为正弦、余弦函数.例1化简sin50°(1+3tan10°).分析题目中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角式，然后采用引入辅助角的方法，利用两角和公式、倍角公式等变化手段将问题化简到底.解∵1+3tan10°=cos10°+3sin10°cos10°=212cos10°+32sin10°cos10°=2(sin30°cos10°+cos30°sin10°)cos10°=2sin40°cos10°，∴原式=sin50°·2sin40°cos10°=2sin40°cos40°cos10°=sin80°cos10°=1.例2化简(1+tan2θ)cos2θ.分析该题是典型的“切割化弦”题，连续两次运用公式即可得到答案.解法1原式=sec2θcos2θ（化切为割）=1cos2θ·cos2θ=1.（化割为弦）解法2原式=1+sin2θcos2θcos2θ（化切为弦）=cos2θ+sin2θ=1.二、化弦为切应用万能公式或将题目进行适当变形把题中所给的正弦、余弦函数化为正切、余切函数，这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，实现三角问题向代数问题转化.例3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.分析由已知条件可知cosα不可能为0，所以分子分母可同时除以cosα，把弦转化成切，进而把tanα的值代入式中，即可求得答案.解原式4sinα0-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.例4已知2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5，求3cos2θ+4sin2θ的值.分析将已知条件中正弦、余弦三角函数化为正切函数，从而解出tanθ，然后运用三角函数万能公式将所求的三角函数式用tan表示，即可解题.解∵2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5，∴cosθ≠0（否则2=-5）.∴2tanθ+1tanθ-3=-5，解得tanθ=2.∴原式=3(1-tan1θ)1+tan2θ+4×2tanθ1+tan2θ=75.三、角的转化将题中的倍角、半角和（差）角化为单角，或者确定某一种角作为基本量，将其它形式的角转化为这种形式的角，这有利于解题.例5求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.分析根据三角函数结构及角度特点，可利用积化和差公式，这样会出现特殊角的函数值，还可以出现正负相消的项，从而达到求值目的.解原式=12［sin(70°+20°)-sin(70°-20°)］-12［cos(50°+10°)-cos(50°-10°)］=12(sin90°-sin50°)-12(cos60°-cos40°)=12-12sin50°-14+12cos40°=14-12sin50°+12sin50°=14.四、升幂降幂公式2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α，sin2α+cos2α=1等逆顺运用可使三角函数式进行升降次，从而达到化简、证明、求值的目的.例6化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.分析化简就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能简单，项数尽可能少，次数尽可能低，分母中尽可能不含三角函数符号，能求值一定求值.解法1（升幂，公式sin2α+cos2α=1的逆用）原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α=2cos2αsin2α3cos2αsin2α(cos2α+sinα)=23.（下转82页）适当训练“一题多解”，提高高三数学复习实效◎陈家国（江苏省扬中市新坝中学212211）怎样通过解题活动来培养学生良好的思维能力，是数学教学的中心问题.在高三数学复习过程中，教师思想认识上存在着一种错误认识，好像让学生见的题型多，练的题目多，学生数学就掌握得好.所以常常以精讲多练来训练学生，存在着过多过密的盲目解题.其结果是学生思维的灵活性逐渐降低，对外在事物的敏感度逐渐淡化，捕捉问题的能力逐渐下降，对于一些新题、变式题感觉到无从下手.只有“闻一以知十”解题，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维品质的发展.而正确引导学生进行一题多解则是激发学生学习兴趣，开拓思路，培养学生思维品质和应变能力的一种有效方法.一、“一题多解”能巩固知识，提高实效对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出不同的解法.在复习过程中，教师要充分发挥例题的教学功能，不失时机地通过引导学生进行“一题多解”的训练，尽量从多方面多角度去思考问题，达到以少胜多的目的.笔者在复习三角函数时，选取了如下问题，给学生讨论.例1已知等腰三角形ABC一腰上的中线长为3，求△ABC面积的最大值.学生经过分析，得到了如下几种情况的解答：分析一如图，由条件可知AB=AC，BD=3，设腰长为2a，则AD=DC=a，在△ABD中，由余弦定理得：3=4a2+a2-4a2cosA(*)，∴a2=35-4cosA.消去a，得S△ABC=12×2a×2a×sinA=6sinA5-4cosA.接下来通过导数判断函数的单调性，从而得到三角形面积的最大值.分析二在分析一当中，部分学生是将(*)式变成cosA=5a2-34a2.再由平方关系，得sinA=-9a4+30a2-94a2，∴S△ABC=12·2a·2a·sinA=12-9a4+30a2-9.这样，根式里面可以认为是以a2为变量的二次函数，利用二次函数的特点求解面积的最大值.分析三作三角形的高AD，设腰长为2a，则AD=2asinC，BC=2×2acosC=4acosC.在△BCD中，由余弦定理，得3=a2+16a2cos2C-2·a·4acosC·cosC，即a2=38cos2C+1.∴S△ABC=12·4acosC·2asinC=12sinCcosC8cos2C+1.∴S△ABC=12sinCcosCsin2C+9cos2C=12tanCtan2C+9=12tanC+9tanC≤2，当且仅当tanC=3时面积取得最大值2.分析四如图，建立直角坐标系，设点A(0，h)，B(-a，0)，C(a，0)，则Da2，h2.由BD=3得：94a2+h24=3，∴9a2+h2=12，由基本不等式得：ah≤2.∴S△ABC=12·h·2a≤2，当且仅当h=3a时面积取得最大值.通过本例的探究，既促使学生巩固了所学基础知识（如基本不等式、二次函数、正余弦定理等）的应用，又沟通了知识点间的联系，使得学生头脑中的知识网络更加丰满；通过对解题过程的反思，学生学会多视角、多方法去思考问题和发现问题，进一步感受了“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想在解题过程中的作用，既培养了学生的思维能力，又提高了复习实效.二、“一题多解”能提高兴趣，突破难点高三数学复习解题量很大，每天复习的知识点必须通过适当的题目来巩固.在复习过程中，教师要善于把枯燥的解题活动组织得生动活泼，就必须坚持“学生为主体，教师为主导”的教学原则，切不可让复习课成为展示自己解题“绝活”的表演秀.每一模块复习结束时，教师不妨展示一两道有价值的数学题，师生共同探究，让学生在积极主动的探索活动中提高能力，展示才华.如在向量复习结束时，笔者给学生展示了如下问题：例2给定两个长度为1的向量OA，OB，它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，求x+y的最大值.学生甲经过思考，认为由于题目条件中知道了OA，OB，OC的模，并且OA，OB的夹角也是已知，因此两边平方就可以将向量问题转化为代数问题，从而得到了下面的第一种解法：解法1（不等式法）∵OC=xOA+yOB，由已知得x≥0，y≥0，从而OC2=x2OA+2xyOA·OB+y2OB2.又|OA|=|OB|=|OC|=1，∠AOB=120°，故OA·OB=-12，∴1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2.∴x+y≤2，当且仅当x=y=1时取等号.学生乙认为本例图形比较特殊，联想到向量的坐标运算，从而得到了如下解法：解法2（坐标法）以OA所在直线为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标系.则OA=(1，0)，OB=-12，32，设OC=(cosα，sinα)，(0°≤α≤120°)，∴OC=(cosα，sinα)=x(1，0)+y-12，32，∴x-12y=cosα，32y=sinα，则x=cosα+13sinα，y=23sinα.故x+y=2cos(α-60°)≤2，(0°≤α≤120°).学生参与解题的积极性被调动以后，不断提出一些新的设想，通过尝试，又得到了如下解法：解法3（三角法）作CD∥OB交OA于D，设∠AOC=α，(0°≤α≤120°，∠ODC=60°，∠OCD=120°-α.在△ABC中，CDsinα=ODsin(120°-α)=23，故y=CD=23sinα，x=OD=23sin(120°-α)，∴x+y=cosα+33sinα=cosα+3sinα=2sinα+π6≤2.解法4（向量的数量积）设∠AOC=α.由OA·OC=xOA2+yOA·OB，OB·OC=xOA·OB+yOB2得cosα=x-12y，cos(120°-α)=-12x+y.∴x+y=2［(cosα+cos(120°-α)］=2sinα+π6≤2.解法5（几何法）连接AB交OC于D，设OC=mOD，则mOD=xOA+yOB，∴OD=xmOA+ymOB.∵A，B，D共线，则xm+ym=1，∴x+y=m.而|OC|=1，∴|OD|=1m.要使x+y最大，则|OD|最短，即OD⊥AB，此时|OD|=12，m=2.∴x+y取最大值2.通过教师的启发引导、学生之间的相互补充，本题得到了多种解法.在探究过程中，整个课堂充满灵感，充满激情.学生根据题设中的具体情况，及时提出新的设想和解题方案，不固执己见，不拘泥于陈旧的方案.既能让学生充分挖掘自身的潜能，感受成功的喜悦和增强自信心，激发了学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，也养成了良好的思维习惯，达到了优化解题的效果.三、“一题多解”能提炼通法，拓展思维高三复习过程中，要想提高复习效果，做到“轻负担、高质量”，教师就该研究复习方法，注意题型的一般解题方法的指导，即“通法”的指导.学生学会问题的“通法”，就能用一种方法解决一类问题.而“通法”提炼，往往可以通过一题多解来归纳.比如说，反思例题1的求解过程，我们发现，尽管四种解法在求最值时，使用的工具不一，但是学生在入手时，都是抓住三角形中的边角关系来构建模型.这主要是因为三角形中的基本量就是三角形中的边和角.因此，我们总结出解决这一类问题的通法是：选定三角形中的某个角或边长为变量，通过三角形中的边角关系，把其他未知的量用所设变量来表示，从而进一步构建合适的函数模型，最后再选用恰当的方法来求解.如果是特殊的图形，有时候可以建立坐标系，用解析法来求解.同样，例题2的几种解法给我们的启示是，向量问题实数化是解决向量问题的基本思路，处理方式主要有利用向量数量积的运算或者通过坐标运算，转化为代数问题求解，当然在涉及两个变量的问题的时候，通常要进行消元转化为一个变量来处理.高三数学复习不是在同一个水平上的简单重复，需要创造性地将知识、能力和思想方法在更多的新情境、更高的层次中不断地反复渗透，才能达到螺旋式的再认识、再深化乃至升华的结果.因此，在复习过程中教师适当地选择一些例题，通过一题多解，既让学生巩固了所学知识，又增加了学生解题的灵活性，培养和提高了学生的思维能力.（上接80页）解法2（降幂，公式sin2α+cos2α=1的顺用）原式=1-(cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α)=1-［(cos2α+sin2α)2-2cos2αsin2α］1-(cos2α+sin2α)(cos4α-cos2αsin2α+sin4α)=1-1+2cos2αsin2α1-［(cos2α+sin2α)2-3cos2αsin2α］=2cos2αsin2α3cos2αsin2α=23.五、“1”的演变解答三角函数问题，对“1”进行巧妙的演变，会使问题得以简化.“1”的演变公式常用的有sin2α，cos2α=1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α，tanαcotα=1，sinαcosα=1，tan45°=cot45°=1，cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α等.例7已知α是第一象限角，化简1+2sinαcosα.分析对于根式的化简，主要是去掉根号，因此要考虑根式下1+2sinαcosα.是否能够配成完全平方式，自然而然我们就想到了公式sin2α+cos2α=1.解原式=sin2α+cos2α+2sinαcosα=(sin2α+cos2α)2=|sinα+cosα|.∵α是第一象限，∴sinα>0，cosα>0.∴1+2sinαcosα=sinα+cosα.例8求值1+tan15°1-tan15°.分析题目是以分式的形式出现，它与两角和的正切公式有形式上的区别，若能想到将1用一个角的正切值表示，则就会联想到tan45°=1，想到这一点，此题求值就迎刃而解了.解原式=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan60°=3.三角函数中的解题技巧较多，上面仅仅列举了几例说明了一些常用的方法.此外解三角函数题时，有时还需用辅助角、复数化、几何代换等方法，同时还要注意三角函数的定义域、值域的变化情况.总之以上是三角函数解题中最常用的一些方法技巧，供大家参考.《因式分解法》解题例析◎林道光（湖南省洞口县高沙镇中心学校422312）【摘要】因式分解是一种重要的恒等变形，作为一种数学思想方法，它有着十分广泛的运用.本文作者就从实际的解题中讨论因式分解法的运用.【关键词】因式分解；数学思想方法因式分解是一种重要的恒等变形，作为一种数学思想方法，它有着十分广泛的运用.下面从几个方面例析因式分解法在解题中的运用，以供参考.一、用于计算例1计算20113-2×20112-200920113+20112-2012.解原式=20112(2011-2)-(2011-2)20112(2011+1)-(2011+1)=(2011-2)(20112-1)(2011+1)(20112-1)=2011-22011+2=20092013.二、用于化简求值例2（1）已知(a+b)2-2a-2b+1=0，求2a2+5ab+3b2-2a-3b的值.（2）已知14(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0，求b+ca的值.解（1）∵(a+b)2-2a-2b+1=(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)=0，∴a+b-1=0，即a+b=1.又2a2+5ab+3b2-2a-3b=(2a+3b)(a+b)-(2a+3b)=(2a+3b)(a+b-1)=(2a+3b)×0=0.（2）∵14(b-c)2=(a-b)(c-a)，∴(b-c)2=4(a-b)(c-a).即［(c-a)+(a-b)］2=4(a-b)(c-a)，(c-a)2+2(c-a)(a-b)+(a-b)2=4(a-b)(c-a)，(c-a)2-2(c-a)(a-b)+(a-b)2=0.即［(c-a)-(a-b)］2=0.∴(c-2a+b)2=0，∴c+b=2a，∴b+ca=2aa=2.三、用于解方程例3解方程(3x-1)2-(2x+5)2=x2-5x-6.解(3x-1)2-(2x+5)2=x2-5x-6［(3x-1)+(2x+5)］［(3x-1)-(2x+5)］=(x-6)·(x+1)(5x+4)(x-6)=(x-6)(x+1)(5x+4)(x-6)-(x-6)(x+1)=0(x-6)(5x+4-x-1)=0(x-6)(4x+3)=0，∴x1=6，x2=-34.四、用于比较大小例4设实数ay.∴x0，b>0，c>0，∴a+b+c>0.又a+b-c>0，a-b+c>0，a-b-c<0，∴(a2+b2-c2)2-4a2b2<0.∴(a2+b2-c2)2<4a2b2.七、用于求最值例7已知x-y=a，z-y=10，求代数式x2+y2+z2-xy-yz-xz的最小值为().A75B80C100D105解∵x-y=a，z-y=10，∴y-z=-10，z-x=10-a.多变并举科学增效——例谈高中数学变式教学的方法◎王莹（江苏省棠张高级中学221111）高考数学复习中，题目千变万化，如果能在一轮复习数学课堂教学中运用好“变式教学”，不仅可以使学生理解数学知识、掌握教学方法、感悟数学思想，又可以让学生走出题海，提高学习效率.本文以“求y=x+4x的值域”为例，从变范围、变形式、变参数三个方面探讨如何变式.一、变范围将变量的范围改变后，函数的定义域发生改变，函数的性质也随之改变，解题的方法也随之发生改变.变1求y=x+4x(x≥4)的值域.分析x≥4不包含基本不等式等号成立的条件，故应使用对勾函数的单调性.当x=4时，ymin=4+44=5.有些题目虽然没有明确给定范围，但要注意隐含条件的挖掘.变2求y=x2+4x2的值域.分析令t=x2，此时t>0，y=t+4t≥4，当且仅当t=2时取“=”.又例如，y=x2+5+4x2+5，y=sin2x+4sin2x等都要注意变量隐含的范围，再决定是利用基本不等式还是对勾函数求值域.二、变形式变形式可以是改变次数、改变分子分母，也可以是添加绝对值，等等，当形式发生改变后，函数的性质可能也随之改变，要紧紧抓住题目的结构特征.变3求y=x+4x+2，x∈(-2，-∞)的值域.分析当题目结构发生改变后，要注意“抓结构，凑定值”，将此函数变为y=x+2+4x+2-2，凑成“积定”后，再利用基本不等式.y=x+2+4x+2-2≥2，当且仅当x=0时取“=”.变4求下列函数的值域：（1）y=x2+4x；（2）y=xx2+4.分析（1）此函数可化为y=x+4x，值域为(-∞，-4］∪［4，+∞).（2）此函数分母次数大于分子次数.当x≠0时对该函数取倒数，先求出1y的范围，1y∈(-∞，-4］∪［4，+∞)，再求出y的范围；当x=0时，y=0.故函数值域为-14，14.三、变参数将其中的一些数变成字母参数后，随着字母取值的变化，由定到动，常常要对参数的取值范围进行分类讨论.变5求y=x+ax(x≥1)的值域.分析（1）当a=0时，y=x(x≥1)的值域为［1，+∞).（2）当a<0时，y=x+ax在［1，+∞)递增，故值域为［1+a，+∞).（3）当a>0时，①当0x+1(x≠0).（1）用导数工具易证此不等式如下：证明令h(x)=ex-x-1(x≠0)，求导得h′(x)=ex-1，令h′(x)=0，得x=0.易知当x>0时，h′(x)>0，∴在区间(0，+∞)上，h(x)是单调增函数，∴h(x)>h(0)=0，也就是ex-x-1>0，即ex>x+1.同理可证：当x<0时，ex>x+1.综上所述，对x≠0，ex>x+1成立.总结这类超越不等式证明的程序是：构造函数——求导——定号定区间——判定单调性——下结论（①③稷冢.说明其中“下结论”要依据函数单调性的定义，我们知道增减函数的定义是：①设任意x1，x2∈D罥且x1f(x2)）.③则f(x)在区间D上为增函数(减函数).据此可以得出三个命题是：命题一：①②稷.命题二：①③稷.命题三：②③稷.还可得到如下变式：e-x>1-x(x≠0).（2）对（1）式两边取自然对数，得x>ln(x+1)(x>0).（3）对（3）式用x-1换x，得x-1＞lnx(x＞0且x≠1).（4）我们不难得出以上不等式中等号成立的条件.显然熟练掌握应用这些不等式对我们顺利解决有关导数大题（常为压轴题）会起到事半功倍的效果.如：例1（2010年新课标全国卷理数22题）设函数f(x)=ex-1-x-ax2.（1）若a=0，求f(x)的单调区间；（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.解（1）当a=0时，f(x)=ex-1-x，f′(x)=ex-1，令f′(x)=0，得x=0.列表如下：x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)递增极小值递减故f(x)在(-∞，0)单调减少，在(0，+∞)单调增加.（2）f′(x)=ex-1-2ax，且知x≥0.由（1）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，故f′(x)=ex-1-2ax≥x-2ax=(1-2a)x.从而当1-2a≥0，即a≤12时，f′(x)≥0(x≥0)，故f(x)在［0，＋∞）上为增函数.而f(0)=0，于是当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，∴a≤12.若a>12时，由（2）得-x0，且x≠1时，f(x)>lnxx-1.解（1）f′(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2.由于直线x+2y-3=0的斜率为-12，且过点(1，1)，故f(1)=1，f′(1)=-12.即b=1，a2-b=-12，解得a=1，b=1.（2）由（1）知f(x)=lnxx+1+1x.设g(x)＝lnxx+1+1x-lnxx-1=x2-1-2xlnxx(x2-1).又设h(x)=x2-1-2xlnx，则h′(x)=2(x-1-lnx)，由（4）式得，当x>0，且x≠1时h′(x)>0，即h(x)为递增函数.∴当x＞1时，h(x)＞h(1)=0，而x(x2-1)＞0，∴g(x)＞0，即f(x)>lnxx-1.同理当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)=0，而x(x2-1)＜0，∴仍有g(x)＞0，即f(x)>lnx-1.综上所述，当x>0，且x≠1时，f(x)>lnxx-1.【参考文献】［1］2010普通高等学校招生全国统一考试·理科数学［J］.学子，2010，7/8.［2］2011普通高等学校招生全国统一考试·理科数学［J］.学子，2011，7/8.二次函数习题的改造二次函数习题的改造◎吴允浦（浙江省象山县职业高级中学315700）函数的概念比较抽象，思想方法难于理解，习题错综复杂，学生学习起来感到比较困难，在教学实践中，笔者发现，如果能够对部分传统的函数例题、习题进行改造，则往往可以极大地调动学生解决数学问题的兴趣以及学习数学的积极性，进而培养学生的数学解题能力.现对二次函数的部分习题做适当的改造，并加以简单介绍.一、封闭性问题的开放性改造以问题状态（条件、过程和结论）的明确程度为依据，可将数学问题分为封闭性和开放性两个问题.平时所见的大部分问题属于封闭性问题，而开放性问题对于发展学生的个性、优化学生的思维品质，特别是训练学生的发散性思维、创造性思维有着重要意义.对于封闭性问题，如果我们在认清题目的实质下对于问题的条件、结论或者过程予以适当修改，则可以使其具有一定的开放性.题1求函数f(x)=(x-1)2对称轴、最值、单调性.单纯求二次函数的最值、单调性，难于培养学生发散性思维和创造性思维，如果将此题的结论作为条件，可以改编成开放性问题，不仅调动了学生的学习兴趣，而且使每名学生的思维能力都得到较大的发展.题2老师给出一个函数y=f（x），四名学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质.甲：对x∈R，都有f(1-x)=f(1+x).乙：在（-∞，0］上是减函数.丙：在［2，+∞)上是增函数.丁：f（0）不是函数的最值.如果其中恰好有三名学生说得正确，请写出这样一个函数.适当放宽限制条件，使得问题存在多种答案，具有一定的开放性，从而调动了学生的思维积极性.题3已知函数f（x）=asin2x+bsinx+c（a，b，c均为实数）.（1）当b=1时，对任意实数x，使f(x)≠0，求a，c满足的条件；（2）当a+c=0时，求证：存在一个实数x，使f(x)=0.此题是比较典型的二次函数零点问题，如果能放宽数学背景，增加适当的实际情景，可将此题改编为一道开放性较强的问题.不仅增加了数学的趣味性，而且培养了学生的探索能力.题4已知函数f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c为非零实数.甲、乙两人做一游戏，他们轮流确定系数a，b，c（如：甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果对任意实数x，使f(x)≠0，那么甲获胜；如果存在一个实数x，使f(x)=0，那么乙获胜.(1)甲先选数，他是否有必胜策略？为什么？(2)如果a，b，c是任意实数，结果如何？为什么？二、常规型问题的探索性改造以问题解决者的知识经验为依据，可以将数学分为常规性问题与探索性问题.平时所见到的例、习题大部分是常规性问题，而探索性问题对于培养学生的探究能力，激发学生的学习兴趣与主动性有着常规性问题不可比拟的作用，改变常规问题的条件、结论或者设问方式就可以引导常规性问题改编为探索性问题.题5已知函数f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，当a=-130时，求f(x)的单调区间.考虑到a的任意性，我们可以用逆向思维，运用设问方式，将此题改变为探索性问题.题6已知函数f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，问是否存在a(a<0)，使得f(x)在区间(-∞，-4］上是减函数，且在区间(-4，0)上是增函数？若存在，求出a；若不存在，请说明理由.题7已知二次函数f(x)=-12x2+x，x∈［m，n］(m0）的最值.此题可看做特殊二次函数y=x-3x2+6(x>0)为载体给予一定的实际背景，将此题改编为方案优化型的应用问题.题10制作一个容积为18 m3，深为2 m的长方体无盖水池.若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求水池最低造价？题11已知函数y=kx1-xm(k>0)，定义域为（0，m）.(1)求函数的最值；(2)当00）.(1)求y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围.总之，适当改造传统例、习题确实能调动学生的学习兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力，但不恰当的改造不仅没有带来益处，反而给学生带来新的负担.因此，哪些传统数学问题可以改造，如何改造，改造后如何应用于数学教学，这些问题需要我们不断地探索.【参考文献】顾泠沅.改造我们的学习.数学通报，2000（7）.排列应用题常用解题思想及解题方法例析排列应用题常用解题思想及解题方法例析◎杨锋峰（浙江省湖州市菱湖中学313018）排列应用题是数学教学中的难点，本文就其解题思想及解题方法举例做些分析，以期能对数学学习者有所启示.一、常用解题思想1被归思想解题意味着什么——就是把所要解决的问题转化为已经解决的问题.例1同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺卡，求不同的分配方式.分析我们建立数学模型转化为数学问题——用1，2，3，4这4个数字组成无重复数字的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？2倍猿扑枷挖掘题目中隐含的对称性，运用对称思维解题，能得到简捷的解法.例2A，B，C，D，E五人并排站成一排，B必须在A的右边（A与B可以不相邻），有多少种不同的排法？分析考虑对称性，B在A的右边与B在A的左边的机会均等，所以排列为A552=60(种).3蹦娣此枷对有些数学问题，如果从正面去探求常常一筹莫展，但是若改变一下思维的角度，从问题的反面进行逆向思考，常能找到解题的方法.例3一个小组共有10名同学，其中4名女同学，6名男同学，要从小组内选出3名代表进行排列，要求至少有一名女同学，一共有多少种排法？分析至少一名女同学包括三类.第一类：1名女生，2名男生；第二类：2名女生，1名男生；第三类：3名都是女生.所以正面考虑的话，就是C14×C26×A33+C24×C16×A33+A34=600(种)排法.现在我们考虑反面：3名都是男生的排法有A36=120(种)，所以有A310-120=600(种).二、几种方法1碧卣鞣治龇例4由1，2，3，4，5，6这6个数字可以组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？分析一个数是6的倍数，与一个数是2的倍数且是3的倍数是等价的，而其中为3的倍数的数必须满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”，因此，满足题意要求的五位数应有以下几类可能：第一类：1，2，4，5，6做数码，有72种；第二类：1，2，3，4，5做数码，有48种.那么根据分类加法计数原理，符合题意的五位数就有72+48=120(种).注所谓“特征分析法”，就是以事物的特征（本质属性）为突破口，寻找解题思路的方法，当问题比较复杂的时候，还要注意分类和分步.2痹素、位置分析法元素及其所占的位置，这是排列问题中的两个基本要素，以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”.例53封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投递方法？解法一元素分析法（以信为主）.第一步：投第一封信，有4种.第二步：投第二封信，有4种.第三步：投第三封信，有4种.所以共有64种.解法二位置分析法（以信箱为主）.第一类：四个信箱中某一个信箱有3封信的有4种.第二类：四个信箱中某一个信箱有1封信，一个信箱有2封信，有C13×C22×A24=36(种).第三类：四个信箱中某三个信箱各有1封信的收信方法有24种.因此收信方法共有4+36+24=64(种).注不少排列组合的问题中，某个元素或某个位置有特殊的作用，这个特殊元素或特殊位置是解题的关键，抓住关键进行展开，问题往往就会迎刃而解，如此例中的“数学课”或“体育课”便是特殊元素.3倍分法例6从0，1，2，3，4，5这6个数字中取出5个组成多少个无重复数字的五位数？分析该题我们可以按照取出的5个数字来分为有0和无0两类.“取与不取”“含与不含”“在与不在”等等，在解排列组合的应用题中，常可化难为易，将一个事件划分为几个互相对立的事件，这便是形式逻辑中的“二分法”.三、几种技巧1被格子，坐位置这是排列组合问题中一个最基本、最重要的模型，大量的问题都可以用这个模型取套解.例7从A，B，C，D，E五名同学中选三名，到甲、乙、丙三个位置中的一处，有多少种方法？分析我们把甲、乙、丙看做三个位置，于是问题就转化为五名同学选三个位子坐下的问题.2毕茸楹笈有不少问题需要分为“先组合，再排列”两步完成，如例3第二类.3毕群虾蠓帧—捆绑法有一类问题要求某些元素必须排在一起，在解题时，我们可将这些元素先合一，即视为一个单元，与其他元素进行排列，然后再对一个这样的排列考虑单元内各元素的不同排列.4毕扰藕蟛濉—插空法某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”.浅议中学数学中的数形结合思想浅议中学数学中的数形结合思想◎马春彦（河北省平山县古月中学050403）数形结合是中学数学重要的基本思想方法之一，是数学的本质特征.在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化.新教材打破了原来的代数、几何分家的现象，不仅从形式上把代数、几何统一编排，而且在内容的处理上也提出明确的要求，在很大程度上也体现了数形结合的思想.教师要充分利用教材，着力培养学生形成数形结合的思维.一、应用数形结合思想应注意的几个问题数与形是中学数学研究的两类基本对象，相互独立，又互相渗透.尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密，而且在数学应用中若就数而论，缺乏直观性，若就形而论缺乏严密性，当二者结合往往可优势互补，收到事半功倍的效果.（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）要正确确定参数取值范围的作用.二、数形结合在中学数学中的主要应用数形结合思想贯穿于高中数学的始终，它是数学思想方法的核心，中学数学中的多项内容都用到数形结合，教师要引导学生对此加以灵活应用.1笔形结合在集合中的应用在新课标必修1的《集合》中，对于集合的各种运算和关系，如果能借助韦恩图，便能使问题直观、具体，从而更好的解决问题.例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆A，B，C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素，则有n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)=48，即28+25+15-8-6-7+n(A∩B∩C)=48，∴n(A∩B∩C)=1，即同时参加数理化小组的有1人.2笔形结合在函数中的应用函数是高中数学的主要内容，它在高中数学中的地位和作用毋庸言表，在这章，数形结合思想的应用尤为广泛.利用二次函数图像解二次方程、二次不等式，有关指数函数、对数函数单调性应用，方程和不等式问题等都需结合两类函数的图像；近几年加大对三角函数图像的考查，顺利解决这类问题最主要就是看识图画图能力.如一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们的图像的直观性进行比较.例2试判断032，log203，203三个数之间的大小顺序.分析这三个数我们可以看成三个函数：y1=x2，y2=log2x，y3=2x，在x=03时，所对应的函数值.在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当x=03时，所对应的三个点P1，P2，P3的位置，从而可得出结论：203>032>log203.3笔形结合在向量部分的应用向量的加法、减法可以通过平行四边形法则解决，由此很多向量问题可以转化为几何问题，借助几何图形快速解决.4笔形结合在数列中的应用等差数列、等比数列都可以看做关于n的函数，特别是等差数列.通项公式an是关于n的一次函数，前n项和Sn是关于n缺常数项的二次函数，在解决等差数列中的最值问题时尤为好用.5笔形结合在解析几何中的应用更无须多言解决这类问题首先要画图定位.华罗庚曾指出：“三角与解析几何有极多的数形结合处.”可见数形结合思想在这章的重要性.三、如何在课堂教学中渗透数形结合思想1鄙透数形结合思想要有层次地进行数学思想方法的内容相当丰富，任何一种数学知识的讲解及数学思想的渗透都要注意学生的接受能力，认真钻研课标和教材，结合学生实际，配备不同的例题，调动全体学生的学习积极性，由易到难，由浅入深，渗透数形结合这一数学思想.2钡鞫学生的积极性，提高渗透的自觉性数学概念、公式等知识都明显地写在教材中，是有形的，而数学思想却隐含在数学知识体系里，是无形的，并且不成系统地分散于教材各章节中.因此，作为教师首先要更新观念，从认识和思想上不断提高在数学课堂教学中渗透数学思想方法的重要性，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目标，把数学思想方法的渗透要求融入教学设计中.其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素，对于可以应用数形结合的每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行这一思想的渗透.同时要让学生明白数形结合这一数学思想的重要性，在学习过程中提高自我学习的意识.3狈锤囱盗罚不断总结反思，确保学生掌握数形结合这一数学思想使学生形成数形结合的数学思想，必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟和掌握.教师的提炼和概括是十分重要的，教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩、概括数学思想方法的能力，还应在适当的时候进行“画龙点睛”式地总结，这样才能把数学思想方法的渗透落在实处.一道错题的错解分析一道错题的错解分析◎彭海雄（广东省惠州市仲恺中学516229）原题已知偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)=-f(x+1)，当x∈［-3,-2］时，f(x)=4x+12，则f(125)等于（）.A2B3C4D5解法回顾解法1由f(x)=-f(x+1)，可知f(x)=-f(x+1)=-［-f(x+2)］=f(x+2)，即f(x)的周期T=2.又由f(x)是偶函数，且当x∈［-3,-2］时，f(x)=4x+12，∴f(125)=f(25)=f(-25)=4×(-25)+12=2.故选A.解法2画函数f(x)的图像：由图像可知f(125)=2.故选A.错解发现1庇蒮(x)=-f(x+1)，得f(x)+f(x+1)=0，即f(x)与f(x+1)相反，所以f(x)的图像一定出现在x轴的上方和下方，解法2的图像没有出现在x轴的下方，不符题意，因此解法2是错解.2比绻解法2是错解，那么解法1呢？从结果看，解法1与解法2的结果相同；从解题过程看，都是利用了函数的奇偶性与周期性；因此解法1也是错解.错解原因解法1与解法2都错了，错在哪里？有没有正解呢？解法1与解法2都是利用了函数的奇偶性与周期性，而“f(x)=-f(x+1)”是“f(x)的周期T=2”的充分不必要条件.因此，将条件“f(x)=-f(x+1)”换成“f(x)的周期T=2”，于是有：原题变式1已知偶函数f(x)的周期T=2，当x∈［-3,-2］时，f(x)=4x+12，则f(125)等于（）.A2B3C4D5正解1由题设，可知f(125)=f(25)=f(-25)=4×(-25)+12=2.故选A.正解2画函数f(x)的图像：由图像可知f(125)=2.故选A.错题发现将条件“f(x)=-f(x+1)”换成“f(x)的周期T=2”，原题的解法1与解法2却变成了原题变式1的正解1和正解2.原题可能有错！在原题中，求f(-3)的值.解由题设，可知f(-3)=4×(-3)+12=0.另解由题设，可知f(-3)=-f(-3+1)=-f(-2)=-［4×(-2)+12］=-4.f(-3)的值不唯一，故原题条件有错误！错题更正在原题的基础上，最小范围变动条件或结论，更正如下：原题变式2已知奇函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)=-f(x+1)，当x∈［-3,-2］时，f(x)=4x+12，则f(125)等于（）.A2B3C4D-2原题变式3已知偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)=-f(x+1)，当x∈［-3,-2］时，f(x)=4x+10，则f(125)等于（）.A2B3C4D0解选择题时，重结果，更要重过程；在选择题的教学过程中，教师在选择题的选题、命题方面要把好题源关，只有在题目正确性得到保障的前提下，重方法、重过程、重结果才变得更有意义、更有价值.对一类无理函数值域求法的选取策略对一类无理函数值域求法的选取策略◎黄欣(广东省珠海市夏湾中学519020)【摘要】本文以一题四变的形式对形如y=ax+b±cx+d求值域的方法进行分析.求值域方法多种多样，对上述类型也不例外，但对于同一题目而言难易程度很不一样，比如用导数法求函数值域理论上是可以的，但有时带来不必要的繁琐.本文基于既容易且思路又比较好的观点出发给出相应的方法策略.【关键词】无理函数；观察法；换元法；构造几何法；导数法一、一题四变求下列函数值域：（1）y=x-4-15-3x；（2）y=x-4+3x+15；（3）y=x-4+15-3x；（4）y=x-4-3x+15.二、分类解法（一）观察法（单调性）如（1）y=x-4-15-3x.解显然f(x)=x-4和g(x)=-15-3x在各自定义域上是单调增的，∴y在4≤x≤5上是增的，∴y∈［-3，1］.同理，对于（2）y=x-4+3x+15，易得y∈［0，+∞).因此，对于求y=ax+b±cx+d值域，首先就是观察是否有单调性，若然就按（1）或(2)解之，快捷有效.小结（1）和（2）类型是一次项（x）的系数同号两根式相加或系数异号两根式相减型.需要注意的是有些稍作变形就可看出单调性，如：y=x+2-x+1分子有理化，得y=1x+2+x+1.函数在［-1，+∞)是递减的，∴x=-1时，ymax=1.又y>0，∴y∈(0，1］.上例属于（4）代表的类型，但这不是通法对于（4）式代表的类型而言.对于（4）式y=x-4-3x+15我们用如下方法：（二）导数法解y′=12x-4-323x+15=3x+15-3x-42x-4·3x+15(x≥4).令y′>0，得x<516.令y′<0，得x>516.∴当x∈4，516递增，x∈516，+∞递减.∴当x=516，ymax=-32，∴y∈［-∞，-32］.小结（4）式类型是一次项（x）的系数同号两根式相减型.正如题头所说，不是每个题目都适合导数法或者说导数法用得很轻松，但就（4）式类型而言是相对较好的方法，理论及依据可靠，解法严密，计算起来也不繁琐.如果用换元法，一般是设x-4=a，x+5=b，则b2-a2=9，于是设b=3secθ，a=3tanθθ∈0，π2.但超过了新课标（三角函数由6个减为3个）的要求，而且即使运算也是难度非常大的.对于（3）y=x-4+15-3x我们用三角换元是方便的.对于求函数（3）y=x-4+15-3x的值域，我们用如下方法：（三）换元法解法一（三角换元）设a=x-4，b=15-3x，则a2+b23=1，∴可设x-4=cosθ，15-3x=3sinθ，θ∈0，π2，则y=cosθ+3sinθ=2sinθ+π6.∵θ∈π6，2π3，∴y∈［1，2］.解法二（换元及构造几何图形）令x-4=a≥0，5-x=b≥0，则a2+b2=1，∴直线a+3b=y与圆弧a2+b2=1(a≥0，b≥0)有公共点，结合右图可知此直线与圆弧相切时y取得最大值，易计算得最大值为2；当直线a+3b=y过点(0，1)时y取得最小值，易得最小值为1.∴y∈［1，2］.对于（3）式这样x的系数异号两根式相加（用“＋”连接的）型，我们采用三角换元或构造几何图形法是比较好的.三、结语对于求y=ax+b±cx+d值域方法的考虑顺序，首先观察是否有单调性，再考虑是否用换元法，最后考虑用导数法，按这种方法求解函数y=ax+b±cx+d值域是行之有效快捷准确的.浅谈数学教学中的模型构建浅谈数学教学中的模型构建◎王清德（福建泉州安溪县凤城中学362400）随着科学技术的飞速发展和计算机的广泛应用，数学日益成为一种技术，其手段就是计算机和数学模型的构建.在教学过程中如何适当引导学生进行数学建模，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感受到利用数学模型构建的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣.下面结合本人教学实践，谈几种常见数学模型的构建方法，与同行们共切磋.一、方程与不等式模型这类型的数学模型的构建，常以市场经济为背景，或以环保、当前时事为载体，综合各种代数知识考查分析、综合与分类讨论的能力.例1国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度，某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可到定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者垫付医疗费用，年终到医保中心报销、医疗费的报销办法：费用范围500元以下（含500元）超过500元且不超过10000元的部分超过10000元的部分报销比例标准不予报销70%80%（1）设某农民一年的实际医疗费为x元（50010000.∴500+（10000-500）×0.3+（x-10000）×02≥4100，解得x≥13750.答：该农民当年实际医疗费至少为13750元.二、方程与函数模型函数与方程是中学代数的重点，它主要以函数为主线，建立函数图像及性质，相关知识的综合，提炼并构建方程模型或函数模型.例2通过实际研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（min）变化的函数图像如图（y越大表示注意力越集中），当0≤x≤10时，图像是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤40时，图像是线段.（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式.（2）一道数学综合题，需要讲解24 min，则老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36？评析此问题是发生在学生身边的实际问题，先建立两个函数关系式的数学模型，然后利用数形结合，运用待定系数构造几个方程，使问题得到解决.解（1）设0≤x≤10时的抛物线为y=ax2+bx+c，由图像知抛物线过（0，20），（5，39），（10，48）三点，∴c=20，25a+5b+c=29，100a+10b+c=48，解得a=-15，b=245，c=20.∴y=-15x2+245x+20(0≤x≤10).（2）设20≤x≤40时，直线解析式为y=kx+m，由图像知直线过（20，48），（40，20）两点，∴20k+m=48，40k+m=20，解得k=-75，m=76.∴y=-75x+76.当0≤x≤10时，令y=36，得36=-15x2+245x+20，解得x1=4，x2=20（舍去）；当20≤x≤40时，令y=36，得36=-75x+76，解得x=2007=2847.因为2847-4=2447>24，所以老师可以通过适当安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题.三、几何模型《新课程标准》理论指导下的基础课程，在几何内容的设置上，着重加强“几何模型构建及其探究过程，培养应用能力”等方面的内容.因此，考查学生建立几何模型解决问题能力的试题已日益受到中考命题专家的青睐和使用，此处不再举例说明.总之，数学模型的构建是解决问题的过程，也是一个实际问题转化为数学问题的过程.在这一过程中，数学模型构建是关键，也是难点.解题时应注意：（1）仔细审题，理解实际背景材料和所掌握的信息，对问题作出简化，并且提出假设.（2）数学模型的构建，将实际问题利用数学工具寻求有关事物之间的联系转化成为数学问题来解决.（3）求解数学模型与检验，从而得到实际问题的解答.【参考文献】张帮球.浅谈初中数学模式的建立［J］.教师（理论研究版），2009(2).由数列递推公式求通项公式的几种方法及在高考中的应用◎刘丽（安徽省淮北市第十二中学235000）【摘要】数列在高中数学学习中占有相当重要的一部分，不仅在高考中占有很大的比例，而且有些涉及数列的高考题难度也很大.其中根据数列的递推关系求数列的通项公式是很多同学学习的一个难点，也是高考中的一个考点.为了帮助大家突破这一难点，在这里对常见的由递推数列求通项的类型及方法作一归纳，并就近几年高考中涉及由数列递推公式求通项公式的题目做一介绍.【关键词】数列；通项公式；求法；应用数列的通项在数列中处于关键地位，知道了数列的通项，才能很好地研究数列的性质.在高考数列题中，求数列的通项有着承上启下的作用，因此求出数列的通项是决定数列这道题能否解出的关键点.下面我们来介绍由数列递推公式求数列的通项公式的常见类型.类型1an+1=an+f(n).解析把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.通常f(n)是一次函数、指数函数，或者说是易掌握的能够求和的类型.例1(2011年高考四川卷理科8)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于（）.A0B3C8D11解析选B.由已知得bn=2n-8，an+1-an=2n-8，由累加法得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=-6+（-4）+（-2）+0+2+4+6=0輆8=a1=3.例2（2010年辽宁理数16）已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则ann的最小值为.答案：212.解析an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2［1+2+…+(n-1)］+33=33+n2-n，∴ann=33n+n-1.设f(n)=33n+n-1，令f′(n)=-33n2+1>0，则f(n)在(33，+∞)上是单调递增，在(0，33)上是递减的.∵n∈N+，∴当n=5或6时f(n)有最小值.又∵a55=535，a66=636=212，∴ann的最小值为a66=212.类型2an+1=f(n)an.解法把原递推公式转化为an+1an=f(n)，利用累乘法求解，其中f(n)多为分式结构.例3（2000年全国卷）设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+anan+1=0（n=1，2，3，…)，则它的通项公式是.解析对上式因式分解，得［(n+1)an+1-nan］(an+1+an)=0.∴an+1an=nn+1，则a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12·23·34·…·n-1n=1n，∴an=1n(n∈N+).类型3an+1=pan+q（其中p，q均为常数，pq(p-1)≠0）.此类数列解决的常用办法是用待定系数法将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解.设an+1+m=p(an+m)，展开整理an+1=pan+pm-m，比较系数有pm-m=b，所以m=bp-1，所以an+bp-1是等比数列，公比为p，首项为a1+bp-1.例4（2010年上海文数21）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*.证明：{an-1}是等比数列.解析由已知Sn+1=(n+1)-5an+1-85，①Sn=n-5an-85，②①-②，得an+1=56an+16.由类型3，得an+1-1=56(an-1).又∵a1-1=-15≠0，∴数列{an-1}是等比数列.类型4an+1=pan+qn（其中p，q均为常数，pq(p-1)·(q-1)≠0）.（或an+1=pan+rqn，其中p，q，r均为常数）解法一般地，对于an+1=pan+qn可以采取两种思路，等式两边除以pn+1或者qn+1，分别得到an+1pn+1=anpn+1pqpn或者an+1qn+1=pq·anqn+1q.前者用累加法，后者回到了类型3.对于an+1=pan+rqn推荐用第二种思路.《中学数学研究》数学问题360的简证◎韦兴洲（广西恭城县恭城中学542500）【摘要】《中学数学研究》2011年第12期孙文彩老师给出了一个值得探究的问题，笔者通过构造函数提供了证明.【关键词】等式;证明;函数问题360对于给定的常数ρ∈R，ρ≠2，ρ≠0，等式sinρθ+cosρθ=222ρ0<θ<π2成立.求证:sinθcosθ=12.证明记f(θ)=sinρθ+cosρθ0<θ<π2.由fπ2-θ=f(θ)，得曲线y=f(θ)关于直线x=π4对称，故只需研究θ∈0，π4时的情形.而f′(θ)=ρsinρ-1θcosθ-ρcosρ-1θsinθ=ρsinθcosρ-1θ(tanρ-2θ-1).（1）易得当ρ∈(-∞，0)时，f′(θ)<0θ∈0，π4，故y=f(θ)在0，π4上单调递减，从而f(θ)≥fπ4，即f(θ)≥222ρ0<θ<π2.所以，当0<θ<π2时，f(θ)=222ρ荭=π4輘inθcosθ=12.（2）同（1）可得，当ρ∈(0，2)时，f(θ)≤222ρ0<θ<π2（当且仅当θ=π4时等号成立），所以，当0<θ<π2时，f(θ)=222ρ荭=π4輘niθcosθ=12.（3）同（1）可得，当ρ∈(2，+∞)时，f(θ)≥222ρ0<θ<π2（当且仅当θ=π4时等号成立），所以，当0<θ<π2时，f(θ)=222ρ荭=π4輘inθcosθ=12.综合（1）（2）（3），原命题得证.评注从图像上看，关于直线x=π4对称的曲线C：f(x)=sinρx+cosρx00，数列{an}满足a1=b，an=nban-1an-1+2n-2(n≥2).求数列{an}的通项公式.解析由a1=b>0，知an=nban-1an-1+2n-2>0，根据类型5，两边取倒数，得nan=1b+2b·n-1an-1，记为（*）式.若b=2，则12变为nan=12+n-1an-1，∴nan构成首项为12，公差为12的等差数列，∴an=2n.若b≠2，则由类型3，设（*）式为nan+p=2bn-1an-1+p，用待定系数法，求得p=12-b，∴nan+12-b构成首项为2b(2-b)，公比为2b的等比数列，化简，得an=nbn(b-2)bn-2n.∴an=nbn(b-2)bn-2n，b≠2，2，b=2.【参考文献】［1］汤润梅.浅析递推数列的通项公式的求法.学习方法报（语数教研周刊），2011（12）.［2］高继峰.由递推公式求数列通项公式的几种方法.数学学习与研究，2009（8）.含参一元二次不等式的解法含参一元二次不等式的解法◎朱远军（重庆市二十九中学400043）“分类讨论”是高中数学的重要思想之一，也是每年高考的必考内容.而含参一元二次不等式的解法是这一思想方法的具体体现，但同学们学起来难度很大，往往会出现解题思路乱，分类标准不清，写不出准确结果等现象.笔者愿以教学过程中对此类问题的思考与读者交流，以便同学们的学习和老师的教学.笔者认为，此类型解法的基本思路和步骤与“数字型”的一元二次不等式的解法的思路和步骤是一样的.第一步，将其化为ax2+bx+c>0（或<0)；第二步，求判别式（或因式分解）；第三步，求根和确定两根大小，并利用相应的二次函数的图像写出解集.下面举例说明.例1解关于x的不等式：x2-3x+2≤3ax-6a.分析按“数字型”的解法的思路和步骤依次进行.解原不等式等价于x3-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，Δ=9(a+1)2-8(3a+1)=(3a-1)2≥0，相应的一元二次方程的根为x=3(a+1)±(3a-1)2，即x1=3a+1，x2=2，x1-x2=3a-1.（1）若3a-1<0，即a<13时，x10，即a>13时，x1>x2，此时2≤x≤3a+1.综上所述，当a<13时，解集为{x|3a+1≤x≤2}；当a=13时，解集为{2}；当a>13时，解集为{x|2≤x≤3a+1}.点评1鄙鲜鼋夥ǖ谝弧⒍步与“数字型”的思路完全一样，只是第三步在求出根时，由于两根大小与a的取值有关，故用x1-x2的值大于（等于或小于）0来确定两根大小并求出相应的a的范围，最后根据相应的二次函数的图像写出解集.2鄙鲜銮蟾时，也可用“十字相乘法”因式分解求得.例2解关于x的不等式axx-1<1.分析把“分式”型向“整式”型转化.解原不等式等价于axx-1-1<0(a-1)x+1x-1<0(x-1)［(a-1)x+1］<0(*).（1）当a-1=0，即a=1时，原式化为x-1<0，即x<1；（2）当a-1≠0，即a≠1时，相应的两根为x1=1，x2=11-a，x2-x1=11-a-1=a1-a.①若a1-a<0，即a<0或a>1时，x21；a>1时，a-1>0，∴11-a0，∴x≠1.③若a1-a>0，即0x1，此时a-1<0，∴x<1或x>11-a.综上所述，当a<0时，解集为x|x<11-a或x>1；当a=0时，解集为{x|x∈R且x≠1}；当011-a；当a=1时，解集为{x|x<1}；当a>1时，解集为x|11-a1时，虽然都有x23).分析题目经变形后4a-3+(a-3)+3可以直接运用公式.证明由算术平均数和几何平均数定理，得4a-3+a=4a-3+(a-3)+3≥2×4a-3×(a-3)+3=2×4+3=7，当且仅当4a-3=a-3，即a=5时取等号.2弊魃谭作商法通常适用于含指数形式的不等式.例2已知a>b>c>0，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.分析本题的左右两端均为指数式，可应用作商法.证明∵a2ab2bc2cab+cbc+aca+b=a2aab+c·b2bbc+a·c2cca+b=a(a-b)+(a-c)·b(b-c)+(b-a)·c(c-a)+(c-b)=aa-bbb-aaa-ccc-abb-ccc-b=aba-b·bcb-c·aca-c，∵a>b>c>0，∴ab>1，a-b>0，∴aba-b>1.同理bcb-c>1，aca-c>1，aba-b·bcb-c·aca-c>1，即a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.3比角代换法把代数式转化为三角形式，应用三角函数的性质解决.若a2+b2=1，可设a=cosθ，b=sinθ.若a2+b2≤1，a=rcosθ，b=rsinθ(|r|≤1).例3已知：a，b∈R且a2+b2≤1，求证：|a2+b2-2ab|≤2.证明设a=rcosθ，b=rsinθ(|r|≤1)，那么|a2+b2-2ab|=|r2cos2θ+r2sin2θ-2r2sinθcosθ|=r2(sinθ-cosθ)2=2r2sin2θ-π4≤2.4迸斜鹗椒二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，Δ=b2-4ac≤0，则f(x)≥0.若a<0，Δ=b2-4ac≤0，则f(x)≤0.二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根，则Δ=b2-4ac≥0.以上两条性质，可以用来证明不等式.例4已知a，b是实数，b>0，求证：a2+b2>3a-2ab-4.证明将所给的求证式变形为a2+(2b-3)a+(b2+4)>0.左边是关于a的二次三项式，a为实数.∵b>0，∴Δ=(2b-3)2-4(b2+3)=-12b-3<0，∴a2+(2b-3)a+(b2+4)>0.即a2+b2>3a-2ab-4.点评若题目含有两个或两个以上字母的不等式，在应用公式法或比较法无效时，若能整理成一边为零，另一边是某个字母的二项式，则可用判别式法.5惫乖旌数法函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题只要将其中有些变化的量建立联系，构造出函数，再利用函数的性质解决问题.例5求证：sin2x+9sin2x≥10.分析本题可构造函数f(t)=t+9t试解本题.证明易得00，∴t∈(0，1］，f(t)=t+9t在（0，1］上是减函数，∴f(1)=10，是函数f(t)=t+9t在(0，1］上的最小值，∴t+9t≥10，即sin2x+9sin2x≥10.关于球与多面体的组合体解题方法探讨关于球与多面体的组合体解题方法探讨◎冯国明（浙江省义乌市义亭中学322005）【摘要】尽管高考对球与多面体的考查是基础性的，但这并不意味着可以忽视这部分的教学，毕竟，从当前情况看，此部分的考查仍是较为频繁的.笔者将就这方面的解题方法进行多方面的探讨.【关键词】高中数学；立体几何；球与多面体；解题方法从这几年的高考试卷上看，对空间想象能力的考查，一般是集中体现在立体几何试题上的，对球与多面体的考题，一般以基础题为主.解决这类题目，需要掌握相关的截面图和结论.事实上，球与多面体之间的接切问题，在课本中没有明确的定义，球的主要元素在它的大圆中；而多面体的主要元素关系在各个侧面及对角面上.本文主要是介绍常见的与球有关的组合问题中的内切、外接等题型的解法.一、关于解题思想数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍的应用意义，是历年高考的重点.数学思想方法比数学基础知识有更高的层次，如果说数学基础知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决.中学数学中的主要数学思想有函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.高中数学教师在教学中，应该尽可能地加深学生对数学思想方法的理解并学会在解题中自觉运用数学思想方法.因此，笔者以球与多面体的组合体解题方法为例，精心设计了几个案例，从不同侧面体现了数学思想方法对寻求解题思路的作用，对于拓宽思路、发展智力、培养能力有一定的意义.二、关于球与多面体的组合体解题思路1毕嘟游侍球外接于多面体是指多面体的各个顶点都在球面上.棱柱与球的组合体.例1一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为.分析正四棱柱的外接球的圆心O在它的体对角线AC与AC的交点上，如图1.图1在Rt△ACC1中，∵AC21=AC2+CC21，∴CC1=2，∴S=2×1×1+4×1×2=2+42.2毕嗲形侍球内切于多面体，即球与多面体的各个面都相切.(1)正方体的内切球中，切点为正方体各个面的中心，对面距离为内切球的直径，若正方体的棱长为a，内切球的半径为12a.(2)正四面体、正三棱锥的内切球切点在棱锥的底面和斜高上，因此截面图是斜高及斜高在底面的射影、高组成的直角三角形，若正四面体的棱长为a，则内接球的球半径为612a.反思任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.拓展如果一个多面体的各棱都与一个球相切(把多面体想象成一个框架)，中间有一个充气的球，“切”点恰在各棱的中点，如：正方体的棱切球，球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，经过四个切点的球的截面(大圆)是正方形的外接圆，对棱中点间的距离为该球的直径.若正方体的棱长为a，则棱切球的半径为22a，如图3.图3三、结语总之，在实际的教学中，高中数学教师应该从多个方面进行思考和总结，尽可能的为学生创造出更多的理解空间，让学生能够在理解数学原理的基础之上，完成数学问题的解答.一般而言，在教学中常将空间问题转化为平面问题，用截面图时，关键明确切点、接点、球心，将相关的数量关系呈现在三角形内解决，其实只要掌握相关的结论，分析截面图，让学生看清截面的作法，就可解决两个几何体基本元素之间的关系.【参考文献】［1］李吉海.高中学生的数学思维障碍的成因及突破［J］.学苑教育，2010(1).［2］何竹峰.高中数学“有效教学”模式的构建研究［J］.数学学习与研究，2010(1).［3］汤传诚.高中数学探究式教学策略研究［J］.中学教学参考，2010(5).及时调整视角，寻找解题思路◎李富权（重庆市开县临江中学405408）观察客观事物，必须从不同角度、不同的方位审视它才能认识事物的本质，解数学题也是如此.所谓一题多解、多题一解，其实质都是一个视角的问题.同一道题目，有时看起来困难重重，无从下手，变换一个角度审视它却一目了然，易如反掌.因此，在解题过程中，如果能灵活自如、不失时机地调整视角，不但可以曲径通幽，“难”题不难，而且能独辟蹊径，达奇思妙解之效果.一、对同一数学表达用不同的“眼光”去观察，用不同的观点去分析在解题过程中，如果能用不同的眼光审视同一个表达式，从不同的角度理解它，联想它在不同学科中的含义，就能迅速找到解题“入口”，得到各种解法.例1已知函数f(x)＝1+x2（x∈R），试证明：|f(a)-f(b)|≤|a-b|.证法1用三角代换思想去观察表达式1+x2，可联想到关系式1+tan2θ=sec2θ，问题变为证明|secθ1-secθ2|≤|tanθ1-tanθ2|，这比直接证原题容易多了.证法2用解析几何的观点去观察f(x)=1+x2表示的是双曲线y2=x2+1的上半支，而|f(a)-f(b)||a-b|是曲线上两点(a，f(a))和(b，f(b))连线斜率的绝对值，而双曲线的渐近线的斜率正好为±1，这个问题极易解决.证法3在平面直角坐标系中，1+x2可看做点(x，1)到原点的距离，则|f(a)-f(b)|≤|a-b|的含义就是平面内三角形两边之差不大于第三边，这是明显的事实.证法4从复数的角度去看待1+x2，联想到复数z=x+i(或z=1+xi)的模，因而证明不等式|f(a)-f(b)|≤|a-b|就是证明复数模不等式||z1|-|z2||≤|z1-z2|.二、注意“背景”和“对象”的转换在解数学题的过程中，由于思维定式的影响，人们在解决多个变量问题时，往往先入为主地把某一类“变元”确定为对象，而把其他变元置于“背景”地位，这样做在通常情况下可行，但在某些情况下则很困难，这时，若能及时交换“对象”和“背景”的位置则很可能轻易得解.例2解关于x的方程：x4-2ax2+x+a2-a=0.习惯上，我们总是以x为方程的未知量，这个四次方程是不好求解的，若视为关于a的二次方程，a2-a(2ax2+1)+(x4+x)=0，显然可分解为(a-x2-x)(a-x2+x-1)=0，从而有x2+x-a=0或x2-x+(1-a)=0.对a讨论，这两个二次方程不难解出.例3若a2+b2=1，a，b均不为0，求证：a+1a2+b+1b2≥9.此题人们常用不等式性质、换元法等去解，但事实上可以把点A(a，b)看做在直线ax+by=1上，点P-1a，-1b到点A的距离不小于它到直线ax+by=1的距离，即a+1a2+b+1b2≥a-1a+b-1b-1a2+b2=3，所以a+1a2+b+1b2≥9.三、排除干扰因素，摄取“特写镜头”解某些数学题时，常采取集中条件，排除干扰，摄取“特写镜头”，如多项多乘除的竖式运算的分离系数法、解线性方程组的行列式法或矩阵法.在立体几何中，这种方法更有用武之地，因为在空间图形中，往往存在一些特殊的平面，它们能把题目中分散关系集中于其上，能把已知条件和结论挂上钩，能把条件中隐含的有关图形性质显示出来，只要找到了这样的平面，就可以把它们从原立体图中隔离出来，画成真实直观的平面图形成为“特写镜头”，从而用平面几何方法解决原题.例4如图，已知三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC上分别有一点A1，B1，C1且满足PA1PA=mn，PB1PB=pq，PC1PC=rs.又知三棱锥P-ABC的体积等于V，求三棱锥P-A1B1C1的体积.解考虑三棱锥C1-PA1B1和三棱锥C-PAB，则PC1∶PC=r∶s，可知C1到底面PA1B1的距离与C到底面PAB的距离之比为r∶s.又S△PA1B1=12PA1·PB1sin∠A1PB1，S△PAB=12PA·PBsin∠APB，∴S△PA1B1S△PAB=mpnq，VC1-PA1B1VC1-PAB=mprnqs，∴VC1-PA1B1=mprnqs×V，即VP-A1B1C1=mprnqsV.总之，调整视角对于寻求解题契机，培养思维的灵活性，提高数学能力具有十分积极的作用，我们应该进行这方面的学习和训练.巧用韦达定理简化解题过程巧用韦达定理简化解题过程◎杨燕（浙江省诸暨市牌头中学311825）高中的平面解析几何，是用代数方法来研究平面几何图形的问题，它所提出的问题以及问题的结论都是几何形式，而中间的论证和推导基本上是用代数方法.有许多题型中都会涉及二次函数韦达定理的综合应用.韦达定理反映了方程根与系数的关系，在平面解析几何中凡是与方程的根有关的问题，大多数可用韦达定理来求解，如解决交点坐标关系、定值、轨迹方程等.本文通过近几年高考及模拟试题的一些具体的例子，浅析韦达定理在解析几何中的综合应用.一、构造二次方程运用韦达定理例1（2011年浙江高考）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+(y-4)2=1的圆心为点M.（1）求点M到抛物线C1的准线的距离.（2）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.解（1）解略.M到抛物线C1的准线的距离为174.（2）设P(x0,x20)，A（x1,x21），B（x2,x22），由题意，得x0≠±1，x1≠x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-y0=k(x-x0)，即y-x20=k(x-x0).①则|kx0+4-x20|1+k2=1，即(x20-1)k2+2x0(4-x20)k+(x20-4)2-1=0.设PA，PB的斜率为k1,k2(k1≠k2)，则k1,k2是上述方程的两根.∴k1+k2=2x0(x20-4)x20-1，k1·k2=(x20-4)2-1x20-1.将①代入y=x2，得x2-kx+kx0-x20=0.由于x0是此方程的根，故x1=k1-x0，x2=k2-x0.∴kAB=x21-x22x1-x2=x1+x2=k1+k2-2x0=2x0(x20-4)x20-1-2x0.又kMP=x20-4x0，MP⊥AB,∴kAB·kMP=2x0(x20-4)x20-1-2x0· x20-4x0=-1，解得x20=235.即点P的坐标为±235，235，所以直线l的方程为y=±3115115x+4.点评过圆外一点引圆的切线有两条，此题就用两直线的斜率构造了二次方程，再利用韦达定理得到两斜率的和与积与动点P的横坐标的关系，再次利用两切线与抛物线相交的交点横坐标为变量，构造关于这两交点横坐标为根的二次方程，虽然设了两个斜率，但没有真正求出，正体现了韦达定理的妙用之处——设而不求，此题很好地利用了韦达定理.例2如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC的面积的最小值.解设点P（x0，y0），B（0，b），C（0，c）.又S△PBC=|b-c|2x0，直线PB：y-b=y0-bx0x与圆相切，∴1=|y0-b+bx0|(y0-b)2+x20，整理得(x0-2)b2+2y0b-x0=0.同理，(x0-2)c2+2y0c-x0=0，∴b,c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两个根.因此(b-c)2=(b+c)2-4bc=2y0x0-22-4·-x0x0-2=4y20+4x20-8x0(x0-2)2=2x0x0-22，∴S△PBC=|b-c|2x0=x20x0-2=t2+4t+4t=t+4t+4≥8，其中t=x0-2>0，当x0=4时取得最小值.点评此题同样是解决直线与圆的切线问题，与上一题不同之处是，此题构造了关于两直线与y轴的交点的纵坐标为变量的二次方程，同样是设而不求使解答过程得到了简化.二、利用韦达定理求轨迹方程例3（2010年河南省调研）由动点P向椭圆x24+y2=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB=90°，则动点P的轨迹方程.解设P（x0,y0），kPA=k1，kPB=k2，则k1k2=-1.将直线y-y0=k1(x-x0)代入x24+y2=1，整理，得(1+4k1)x2+8k1(b-k1a)x+4(b-k1a)2-4=0.∵AP与椭圆相切，∴Δ=0.整理，得1+4k21=(b-k1a)2.①同理，得1+4k22=(b-k2a)2.②由①②可知：k1,k2为方程(x20-4)k2-2x0y0k+y20-1=0的两根，由韦达定理可知：k1k2=y20-1x20-4=-1，（下转100页）探讨外积法在求解平面法向量中的应用探讨外积法在求解平面法向量中的应用◎林自强（广西来宾市民族中学546138）【摘要】立体几何中的平面法向量的求解方法多样，外积法就是其中的一种.利用外积法求解法向量比内积法更具优越性，此方法的引入，将对高考立体几何中求二面角大小、证明垂直、求空间距离等变得更为轻松，特别是求二面角的平面角方面.本文通过求解有关二面角的例子重点探讨外积法求平面法向量的应用，为一线教师对学生的辅导和考生备考提供一定的参考价值.【关键词】外积；平面法向量；二面角；应用一、引言本文缘于笔者一学生的习作.在批改学生的习作时发现学生采用了外积法在求解平面法向量，新的方法打破了常规解题的思维，为求平面法向量另辟蹊径.纵观近几年的高考数学真题，立体几何以其独具的“姿色”占有12分值，若是方法过于拘泥，该题得分将会大打折扣！应用外积法求解法向量避免内积法的三元一次方程的求解过程中的风险，达到避繁就简的功效.二、有关定义与定理为了进一步认识外积法，下面引入两个有关的定义以及一个定理.定义1如果向量a⊥α（如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α），那么向量a叫做平面α的法向量.图1定义2两个非零向量a与b的外积指的是一个向量，记为a×b，它的模（长度）是|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向与a，b均垂直，且按a，b，a×b的顺序构成右手系［O；a，b，a×b］（图1）.如果a，b中有一个是零向量，规定a×b＝0.向量的外积也称为向量积或矢量积.定理设［O；i,j,k］是一个右手直角坐标系，在这个坐标系下向量a，b的坐标分别是(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，那么，向量a×b的坐标是(y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1)，或y1z1y2z2,z1x1z2x2，x1y1x2y2 .为了便于记忆，我们可以把这个结果形式写成：a×b=ijkx1y1z1x2y2z2 .证明略.（注：对外积坐标更好地理解，引入补充知识做准备:二阶行列式acbd=ad-bc.）例1在空间直角坐标系中，已知a=(1,2,3)，b=(-1,0,1)，计算外积a×b.解a×b=2301,311-1，12-10=(2,-4,2).由本例结合定义2（图1）可知，向量a，b所在平面的一个法向量可取为a×b=(2,-4,2).三、外积法在求解平面法向量中的具体应用下面笔者给出两道立体几何的题目作为例题，应用外积法来求解平面的法向量.例2在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.设Q为侧棱PC上一点，PQ=λPC，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°.图2解以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图2的空间直角坐标系D-xyz.则B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，P(0,0,1).由于Q为侧棱PC上一点，不妨假设Q点的坐标为(0,y0,z0)，则PQ=(0,y0,z0-1).∵PC=(0,2,-1)，PQ=λPC，∴(0,y0,z0-1)=λ(0,2,1)=(0,2,λ,-λ)，从而y0=2λ,z0=1-λ.∴Q点的坐标为(0,2λ,1-λ)，∴QB=(1,1-2λ,λ-1)，BD=(-1,-1,0).设平面BDQ的一个法向量为n，则可取n=QB×BD=1-2λλ-1-10,λ-110-1，11-2λ-1-1=(λ-1,1-λ,-2λ).又∵二面角Q-BD-P为45°，∴cos45°=|n1·n2||n1|·|n2|=|2-2λ|2·(λ-1)2+(1-λ)2+(-2λ)2=|2-2λ|2·6λ2-4λ+2=22.即|2-2λ||6λ2-4λ+2|=1，解得λ=-1±2.又PQ=λPC，∴0<λ<1，即λ=2-1.例3已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，点M，N分别在侧棱PC，PD上，且PM=MD.若PN=12NC，求平面AMN与平面PAB的所成锐二面角的大小.图3解以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图3的空间直角坐标系A-xyz.则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，B(2,0,0).设N(x,y,z)，则PN=(x,y,z-2)，NC=(2-x,2-y,-z).又PN=12NC，即x=12(2-x)，y=12(2-y)，z-2=12(-z)，解得x=23，y=23，z=43.故N23，23，43.在平面AMN中，AM=(0,1,1)，AN=23，23，43.∴AM×AN=112343,104323，012323=23，23，-23.根据数量的外积定义，不妨取平面AMN的一个法向量为m=(1,1,-1).∵AD⊥平面PAB，∴可取AD=(0,2,0)作为平面PAB的一个法向量.设平面AMN与平面PAB所成的锐二面角为θ，从而就有：cosθ=m·AD|m|·|AD|=33.故平面AMN与平面PAB所成的锐二面角的大小为arccos33.四、结语外积法在求解中学数学立体几何有关二面角大小方面的问题时，它不是孤立的，解题中并非是“单打独斗”.外积是在求平面法向量时能避开内积引出的三元一次方程的繁杂，做到数学上的简洁美.时下正直新课改，外积相关知识将会在新课标中作为一个模块的知识供高中师生学习，有关学习势在必行.正因如此，笔者在教学中，巧妙地引进此法，大胆尝试，并且收效良好.值得一提的是，在解决整个立几的问题中，还是需要内积一起出击，方能将整个问题顺理成章地解决.由上述的例题中，不难看出，当外积求出法向量后还需内积（数量积）求角，可谓内积、外积相得益彰.【参考文献】［1］人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）［M］.北京：人民教育出版社，2011.［2］易忠.高等代数与解析几何［M］.北京：清华大学出版社，2007.（上接98页）化简，得x20+y20=5.∴动点P的轨迹方程为x2+y2=5.点评此解法很好地利用了韦达定理中两根之积与二次方程系数的关系，再结合“两直线互相垂直，斜率之积是-1”的性质，巧妙地将两者结合起来，成功消掉两斜率得到关于动点P的轨迹方程，使得求解过程简洁明了，正是韦达定理简化解题过程的范例.三、利用韦达定理求定值例4过双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点F(c,0)的直线交双曲线于M，N两点，交y轴于点P，M，N分PF所成的比为λ1，λ2，则λ1+λ2=2a2b2，类比双曲线这一结论在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，λ1+λ2=.解PM=λ1MF，PN=λ2NF，即(x1,y1-yP)=λ1(c-x1,0-y1)，x1=λ1c1+λ1，y1=y2P1+λ1,由M在x2a2+y2b2=1上，得(λ1c)2a2(1+λ1)2+yPy2Pb2(1+λ1)2=1.整理，得b2(c2-a2)λ21-2a2b2λ1+a2y2P-a2b2=0.同理，可得b2(c2-a2)λ22-2a2b2λ2+a2y2P-a2b2=0.∴λ1，λ2是b2(c2-a2)λ2-2a2b2λ+a2y2P-a2b2=0的两根，λ1+λ2=2a2b2(c2-a2)b2=-2a2b2.点评此题的解法充分地利用韦达定理的特点，构造关于λ1,λ2为根的二次方程，利用两根之和与系数的关系成功地证明了λ1+λ2为一定值，体现了直线与圆锥曲线中动中有静的规律特点.这几例虽然仅为韦达定理应用中的冰山一角，但从中我们还是能够体会到，若碰到两个变量之和与之积的问题时，如果能够将两变量构造为一个二次方程的两个根，那么求解或证明两变量之和或之积的关系类问题将会被迎刃而解，事半功倍.通过类比相似知识点，用置换方法解决问题◎沈国平（浙江省杭州市余杭区临平第五中学311100）在数学课堂教学中，很多同学对于计算线段条数、握手次数等问题颇感困难，由于数字过多，所以在计算过程中或者重复或者遗漏，本文试通过类比进行置换的方法，解决这一类问题.首先，从课本中的练习题谈起.例1如图，在平面内有A1，A2，A3，A4，…，An-1，An共n个点（任意三点不在同一条直线上），经过这n个点画直线能画几条？分析固定点A1，它与其他的点组成的直线可以表示为：直线A1A2，A1A3，A1A4，…，A1An-1，A1An共有直线（n-1）条.固定点A2，它与其他的点组成的直线可以表示为：直线A2A1，A2A3，A2A4，…，A2An-1，A2An共有直线（n-1）条.依次类推，固定点An，它与其他的点组成的直线可以表示为：直线AnA1，AnA2，AnA3，AnA4，…，AnAn-1，共有直线（n-1）条.由上可知，“每个点与其他（n-1）个点各组成一条直线”，同时还可知直线总数为n(n-1)条.但是A1A2与A2A1两条直线是同一条，所以上面的直线总数除去一半才是实际直线总数，即12n(n-1)条.下面再看课本中另一类似题目：例2如图，在∠AOB内，以顶点O为端点的射线画n条，一共可以组成多少个角？此题可以通过类比，本题中从端点O发出的射线共有(n+2)条，每条射线类似于例1中的点，所以可以用点来置换此题中的射线，由例1结论类似可得图形中共有角12(n+2)(n+1)个.例3一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？分析这里设这个多边形为n边形，则顶点分别记为A1，A2，A3，A4，…，An-1，An.固定点A1与它顶点连接的对角线有（n-3）条，每一条对角线也可以置换成一个点，所以类似例1的结论可得对角线共有12n(n-3)条.其实，类似计算比赛场数、确定线段条数、聚会时握手总次数等问题，也可以通过类比置换方法加以解决.事实上，不光在解题时可以通过类比置换来解决问题，在很多数学概念教学中也可以如此进行.例如，在学习“线段的中点”和“角平分线”这两个知识点上就有相似之处，对比如下：知识点定义计算方面的应用线段的中点把一条线段分成相等的两条线段的点两条小线段长度相等，分割前的线段是分割后两条小线段长度的两倍（或分割后的小线段长度是分割前线段长度的一半）角的平分线把一个角分成相等的两个角的射线两个小角的度数相等，分割前的角是分割后两个小角度数的两倍（或分割后的小角度数是分割前大角度数的一半）例4如图（1），①若∠AOC=∠BOD=x，2∠COB=∠DOA，则∠COB=(用含x的代数式表示)；②若∠AOC=∠BOD=x，∠AOD=y，分别作∠AOB与∠COD的角平分线OE和OF，则∠EOF=度（用含x和y的代数式表示）.如图（2），①若AC=BD=x，2CB=DA，则CB=(用含x的代数式表示)；②若AC=BD=x，AD=y，分别作AB与CD的中点E和F，则EF=（用含x和y的代数式表示）.此例中，射线OA，OB，OC，OD类似于点A，B，C，D，∠AOB，∠BOC，∠COD类似AB，BC，CD；可以互相置换，因此图形（1）和图形（2）的填空解答是一样的.通过上面的分析我们不难看出，在数学的学习过程中，要充分利用数学知识点之间的类似之处，通过相互置换的方法来帮助我们解决数学问题，可以达到举一反三、事半功倍的效果.高考中参数应对策略高考中参数应对策略◎钟裕权（广东省大亚湾第一中学516081）高考中经常会遇到求参数取值的试题，许多学生方法不当，繁而无效，甚至无从下手，根据多年的教学经验，我认为非常有必要研究一下这类试题的解法，以提高解题能力.一、特值法利用取特殊值方法解题，可出奇制胜，省去变形，减少运算，达到简而快的效果.例1（2010年江苏卷）设函数f(x)=ex+ae-x(x∈R)是奇函数，则实数a=.解析∵f(x)=ex+ae-x为奇函数，∴f(0)=0，得a=-1.例2（2007年宁夏）设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数，则实数a=.解析∵f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数，∴f(1)+f(-1)=0，得a=-1.二、数形结合法有些题目直接用代数方法去解，难度大，运算繁杂，效果差，而利用函数图像，以图助算，则效果突显.例3(2007年天津)设a,b,c均为正数，且2a=log12a，12b=log12b，12c=log2c，则（）.A盿0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析设y=ax，y=x+a.当a>1时，画图可知它们有两个交点，即函数f(x)有两个零点；当01.例5（2007年全国卷）在△ABC中，点D是AB边上的一点，若AD=3DB，CD=13CA+λCB，则λ=.解析根据平行四边形法则画图可知λ=23.三、转化法有些求参数的题目，不易直接求解，最好利用转化法，但务必问题等价，否则就犯错.例6（2010年全国卷）直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是.解析问题转化为关于|x|的一元二次方程|x|2-|x|+a-1=0有四个不等实根.令t=|x|，转化为方程t2-t+a-1=0有两正根，故一元二次函数f(t)=t2-t+a-1与t轴正半轴有两个交点.∴f(0)=a-1>0f12=a-54<010)恒有交点，则实数b的取值范围是.解析∵直线y=kx＋1过定点（0，1），∴问题转化为点（0，1）在椭圆上或内部，∴b≥1.∵椭圆焦点在x轴上，∴b<4，∴1≤b＜4.四、分离变量法有些题目，若不把参数与变量彻底分开，就不易求出参数的取值.例8（2009年福建卷理）若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.解析由题意可知f′(x)=2ax2+1x.又∵存在垂直于y轴的切线，∴2ax2+1x=0輆=-12x3(x>0)輆∈(-∞,0).例9（2010年天津）设函数f(x)=x2-1，对任意x∈32，+∞，fxm-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是.解析由题得x2m2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈32，+∞上恒成立.即1m2-4m2≤-3x2-2x+1在x∈32，+∞上恒成立.当x=32时，函数y=-3x2-2x+1取得最小值-53，∴1m2-4m2≤-53，即(3m2+1)(4m2-3)≥0，解得m≤-32或m≥32.本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解.总之，审题要仔细，解题要根据题目特点，选用自己比较熟悉的解法去做题，不要刻意求新.我经常跟学生说：“笨”法可靠，“妙”招可贺，只要能在较短的时间内正确解答出来就成功了.对2011年广东高考文科数学试卷第18题的解法研究与思考◎焦晓东（广东省惠州市惠阳区惠阳中山中学516211）【摘要】文章提供了对第18题的不同解法，通过对解法的比较，论述了几何与代数解法的优劣，肯定了该题对高中立体几何教学的导向，提出了对教材的编写思考以及对该题的改编思考.【关键词】广东高考；文科数学；解法；思考一、问题的提出图12011年广东高考文科数学试卷第18题原题：如图1所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A，A′，B，B′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点，O1，O′1，O2，O′2分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点.（1）证明：O′1，A′，O2，B四点共面;（2）设G为AA′中点，延长A′O′1到H′，使得O′1H′1=A′O′1，证明：BO′2⊥平面H′B′G.二、解法分析解决几何问题，一般有几何解法与代数解法两种方法.要证O′1，A′，O2，B四点共面，利用几何解法应证：①O′1A′∥O2B或②A′BO′1O2相交；利用代数解法应证：O′1A′∥O2B.要证BO′2⊥平面H′B′G，几何解法应证明直线BO2与平面H′B′G内的两条相交直线垂直；利用代数解法应证：BO2·H′B=0，BO2·H′B′=0.具体解答如下：图21奔负谓夥Ⅰ倍晕侍猓1）的解法解法一如图2，连接BO2，AO1.∵A，A′分别为CD，C′D′中点，∴O′1A′∥O1A.∵直线BO2是由直线AO1平移得到，∴AO1∥BO2，∴O′1A′∥BO2.∴O′1，A′，O2，B四点共面.解法二∵A′为C′D′中点，O′1是C′D′的中点，∴A′O′1⊥平面C′CEE′.∵B是DE的中点，O2是DE的中点，∴BO2⊥平面C′CEE′，∴A′O′1∥BO2.∴O′1，A′，O2，B四点共面.图3解法三如图3，连接D′A′，D′B′，DA，DB，A′B，O′1O2.由题意知：∠A′O′1D′=90°，D′1A′=O′1D′，∴∠O′1D′A′=45°.同理∠BD′O′2=45°，∴∠O′1D′A′=∠BD′O′2.又∵O′1，D′，O′2三点共线，∴A′，D′，B′三点共线.同理A、B、D三点共线.又∵AA′∥DD′∥BB′，∴AA，DD，BB共面，∴A′B过DD′中点.在四边形O′1O1O2O′2中，O′1O′2∥O1O2，且O′1O′2=O1O2，∴四边形O′1O1O2O′2为平行四边形，∴O′1O2过DD′中点.故A′B与O′1O2交于DD′中点.∴O′1，A′，B，O2四点共面.图4Ⅱ倍晕侍猓2）的解法如图4，将AO1延长到H，使AO1=O1H，连HO′1，HB，HH′由题知，平移前B，H两点重合，O′1与′2重合，O1与O2重合，故平移后，O′1O′2∥H′B′，BO′2∥HO′1，故只需证明HO′1⊥平面H′B′G′即可.∴O′1O′2⊥平面HAA′H′.∴O′1O′2⊥HO′1，即B′H′⊥HO′1.下证H′G⊥HO′1.图5证法1如图5，由题知，四边形H′HAA′是边长为2的正方形，O′1，G分别为A′H′，AA′中点.∴H′O′1=1=A′G，tan∠1=12=tan∠2且∠1，∠2为锐角.∴∠1=∠2.又∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，即H′G⊥HO′1.证法2由证法1知，H′O′1=A′G，HH′=H′A，∠HH′A′=∠H′A′G.∴△HH′O1≌△H′A′G.∴∠1=∠2，∠2+∠3=90°，∠1+∠3=90°，即H′G⊥HO′1.图6证法3如图6，找O1A中点P，连接HO′1，A′O1，GP，H′P，则HO′∥O1A′∥PG.∵H′G2=22+12=5，又H′P2=22+322=254，PG2=122+12=54，又∵5+54=254，即H′G2+GP2=H′P2，∴H′G⊥PG，即H′G⊥HO′1.图7证法4如图7，考察四边形HHO′1G的面积，有S四边形HH′O′1G=S四边形H′HAA′-S△AHG-S△A′O′1G=4-1-12=52.又∵H′G=22+12=5，HO′1=22+12=5，∴H′G·HO′1=5，即S四边形HH′O′1G=12H′G·HO′1.又∵H′G与HO′为四边形HH′O′1G的对角线，由引理知H′G⊥HO′1.引理在凸四边形中，如果这个四边形的面积等于两条对角线积的一半，则对角线相互垂直.图8已知：S四边形ABCD=12·AC·BD，求证：AC⊥BD.证明如图8，假设AB与CD不垂直，则过点A作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E，F，则S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12·BD·AE+12·BD·CF=12·BD·（AE+CF）.∴AE+CF=AC.又∵AO>AE，CO>CF，∴AO+CO>AE+CF.即AC>AE+CF与AE+CF=AC矛盾，故AC⊥BD.图9证法5如图9，找O1A的中点P，连接PG,PH′,PB′,PB,HO′1,O1A′，则HO′1∥O1A′∥PG.PH′2=PH2+HH′2=322+22=254，PG2=122+12=54，H′G2=H′A′2+A′G2=22+12=5，∴H′G2+GA2=PH′2，∴∠H′GP=90°，即PG⊥H′G.又∵PB′2=B′B2+PB2=B′B2+PH2+BH2=22+322+22=414，B′G2=A′G2+A′B′2=12+(22)2=9，又∵414=9+54，∴PB′2=B′G2+PG2，即∠PGB′=90°.∴PG⊥B′G.∴PG⊥平面H′GB′，从而得证.上述证法只用勾股定理便解决了该问题.2贝数解法显然建系的方法可以不同，但只不过是点的坐标会变，其难度不会改变，故选择其中一种加以说明即可.图10解如图10，以点D为原点，DE,DD′所在的直线分别为y轴、z轴建立如图的空间直角坐标系，则点O2，B，O′1，A′，O′2，B′，H′，G的坐标分别为O2(0,1,0)，B(1,1,0)，O′1(0,-1,2)，A′(-1,-1,2)，O′2(0,1,2)，B′(1,1,2)，H′(1,-1,2)，G(-1,-1,1).（1）∵A′O′1=(1,0,0)，BO2=(-1,0,0)，∴BO2=-A′O′1，∴BO2∥A′O′1.∴O′1，A′，O2，B四点共面.（2）∵BO′2=(-1,0,2)，H′B′=(0,2,0)，H′G=(-2,0,-1)，∴BO′2·H′B′=(-1,0,2)·(0,2,0)=0，BO′2·H′G′=(-1,0,2)·(-2,0,-1)=0，∴BO′2⊥H′B′，BO′2⊥H′G.∵H′B′∩H′G=H′，∴BO′2⊥平面H′B′G.三、相关的思考1倍愿锰饨夥ǖ乃伎代数解法思维容量少，运算量也不大.几何解法要添加一定的辅助线，还要比较多的推理论证.因此，代数解法显然优于几何解法.那么我们的思考是：是否可以互相取代呢？如果可以互相取代，从减轻学生负担这一点说就完全可是二选一了.大家知道，代数研究的对象，要远远超过几何研究的对象，故是否就可以只学代数而不学几何呢？答案显然是否定的，几何在培养学生的空间想象能力方面有其不可替代的作用，所以去掉几何显然不可取.但随着科技的进步，特别是三维动画技术的运用，对立体几何的要求有所降低，故在新课标中降低几何的要求显然是符合实际的，该题的导向功能也是良好的.2倍越滩谋嘈吹乃伎新课程教材中文科教材为什么没有编写代数解法？而实际上对文科学生的空间想象能力的要求要低于理科学生.怎么样去体现这个差异呢？笔者认为运用代数方法解决立体几何问题是最好的解决方案.遗憾的是文科教材没有涉及代数解法，反而理科教材有更多的要求，这是为什么？以后再编写时是否可以适当增加代数解法呢？3倍愿锰獾母谋嗨伎该题涉及字母多，阅读量大，学生笔误很多，是否可以向较易与较难两个方面改进呢？（1）减小难度的改编若改为：将圆柱体改为长方体进行切割平移，而其他条件与结论不变，显然难度降低不少.（2）增加难度的改编图11若改为：如图11，P1为O1H′1中点，过点P1作垂直于O′1A′的平面切割圆柱后平移得到.①证明：O′1，A′，B，P2四点共面；②G在O1O′1上，且O′1G=14O1O′1，求证：BP′2⊥平面H′B′G.若再改为：P1为线段O1H′1上的点，且H′P1=mnH′A′，过点P1作垂直于O′1A′的平面切割圆柱后平移得到.①证明：O′1，A′，B，P2四点共面；②若O′1G=mnO′1O1（m,n∈N+，且m0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.反之亦成立.把Δ=b2-4ac称为根的判别式，本文将对运用“Δ”解题进行探讨.一、不解方程，判断方程根的情况例1（2010年上海）已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是().A备梅匠逃辛礁鱿嗟鹊氖凳根B备梅匠逃辛礁霾幌嗟鹊氖凳根C备梅匠涛奘凳根D备梅匠谈的情况不确定分析计算Δ=b2-4ac的值，判断方程根的情况.解∵Δ=b2-4ac=12-4×1×（-1）=5＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.故选B.拓展延伸观察题中a，c的符号有什么特点及符合这一特点的方程根的情况.归纳总结判断数字系数的一元二次方程根的情况先计算Δ=b2-4ac的值，再判断方程根的情况，其中a，c异号时，一元二次方程一定有两个不相等的实数根.例2（2008年山东威海）关于x的一元二次方程x2-mx+(m-2)=0的根的情况是（）.A庇辛礁霾幌嗟鹊氖凳根B庇辛礁鱿嗟鹊氖凳根C泵挥惺凳根D蔽薹ㄈ范分析计算“Δ”的值，判断出方程根的情况；在解题时要能对根的判别式进行配方是本题的关键.解∵关于x的方程x2-2mx+(m-2)=0中，Δ=m2-4×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，∴无论m为任何实数，方程都有两个不相等的实数根.故选A.拓展延伸已知：关于x的方程mx2-(3m-2)x+2m+2=0，求证：方程总有实数根.归纳总结判断字母系数方程的根的情况的关键：(1)对二次项系数要分类讨论，先确定方程的类型；(2)再对根的判别式配方，确定Δ的符号，判断方程根的情况.二、已知方程根的情况，求未知的字母系数的取值范围例3（2011年重庆江津区）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）.A盿＜2B盿＞2C盿＜2且a≠1D盿＜-2分析根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＞0，注意二次项系数a-1≠0.解Δ＝4-4（a-1）＝8-4a＞0，得a＜2.又a-1≠0，∴a＜2且a≠1.故选C.拓展延伸如题目改为：若方程（a-1）x2-2x+1＝0有实数根，求a的取值范围？归纳总结根据方程根的情况，确定待定系数的范围：（1）对二次项系数要分类讨论，先确定方程的类型；（2）再根据方程根的情况，列出不等式或方程；（3）解不等式或方程.三、抛物线与x轴的交点问题抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),令y=0，得ax2+bx+c=0，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此当Δ=b2-4ac＞0时,抛物线与x轴有两个交点，抛物线与x轴相交；当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，抛物线与x轴相切；当Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，抛物线与x轴相离.反之亦成立.例4（2011年江苏南京）已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值.分析（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图像都经过y轴上一个定点（0，1）.（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根的判别式解答.解（1）（0，1）.（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图像与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以Δ=（-6）2-4m=0，m=9.综上所述，若函数y=mx2-6x+1的图像与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.拓展延伸题中抛物线与x轴只有一个交点，这个交点会是抛物线的什么点？抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点之间的距离如何求呢？说说自己的想法.归纳总结抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点取决于Δ=b2-4ac的值，并且与x轴只有一个交点时，这个交点一定是抛物线的顶点，有两个交点时，两交点距离=Δ|a|.四、抛物线与直线的交点问题直线y=kx+m(k，m是常数，k≠0)与抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)交点的坐标即是方程组y=kx+m，y=ax2+bx+c的解，消去y得一元二次方程ax2+bx+c=kx+m，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的根，因此一元二（下转107页）ZHUANTI YANJIU专 题 研 究专 题 研 究ZHUANTI YANJIU如何提高《矩阵与变换》复习的有效性如何提高《矩阵与变换》复习的有效性◎蒋晓勇（江苏省吴江市汾湖经济开发区高级中学215211）矩阵在高中只学二阶矩阵，主要是研究它与平面向量的乘法以及二阶矩阵自己的乘积.我们应从二阶矩阵的几何背景来了解矩阵，把矩阵看成一种运算.如何复习这一运算成了关键.复习是为了巩固并能够熟练运用已学的知识.但是要让复习更加有效单凭掌握和运用还远远不够，还需要对知识加以研究、加以总结，对已有的复习经验加以继承、加以拓展.如何更有效地复习好矩阵，我们可以从两个模块“一个中心，两个基本点”着手：“一个中心”指的是学习的重心线性变换，“两个基本点”是矩阵运算的基础，也就是矩阵的乘法运算和二阶行列式计算.下面就这两个方面内容进行初步探讨：一、矩阵的公式运算矩阵的公式运算由乘法运算即矩阵与列矩阵乘法运算、二阶矩阵与二阶矩阵乘法运算和二阶行列式计算组成.如何简单、快捷、有效地记住运算公式并能够熟练运用成了复习的重中之重.矩阵的运算特点即行列运算，乘号左边出一行，右边出一列，相同位置的数（式）相乘后求和，得到一个数（式）放置在所取的行列所确定的位置；矩阵相等不仅要矩阵形式一致，更重要的是相同位置的数（式）相同.二阶行列式运算就是“11”位的数乘以“22”位的数减去另外两个数的乘积.公式运用分两类：1.乘法公式直接使用，即直接使用矩阵乘法运算公式及等量关系解决问题例1（2010年福建高考）已知矩阵M=1ab1，N=c20d，设MN=20-20，求a，b，c，d的值.解∵M=1ab1，N=c20d，∴MN=c2+adbc2b+d，又MN=20-20，则有c=2，2+ad=0，bc=-2，2b+d=0，解得a=-1，b=-1，c=2，d=2.2.乘法公式的间接使用，即求逆矩阵矩阵作为一种运算也存在可逆运用，但并不是所有的矩阵都有逆矩阵，需用二阶行列式验证.二阶行列式不为零才有逆矩阵.逆矩阵求解方法是矩阵与逆矩阵的乘积为恒等变换矩阵，即使用矩阵乘法运算可得.当然借助二阶行列式我们也可以将逆矩阵求解公式化.例2（2010年江苏高考）求矩阵A=3221的逆矩阵.解法（一）设矩阵的逆矩阵为abcd，则3221abcd=1001，即3a+2c3b+2d2a+c2b+d=1001，故3a+2c=1，2a+c=0，3b+2d=0，2b+d=1，解得a=-1，b=2，c=2，d=-3.从而A的逆矩阵为A-1=-122-3.解法（二）由A=3221得3221=-1，故A-1=-122-3.二、矩阵的线性变换研究矩阵运算主要为变换服务，按矩阵变换是近几年高考的重点.矩阵的基本线性变换主要有：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、切变变换、投影变换等.线性变换主要有两种：一般线性变换和特殊线性变换.1.一般线性变换主要解决按矩阵变换问题即通过变换将曲线（或点）变换为曲线（或点）.这种变换有三要素：像、原像、变换矩阵.如何掌握基本变换，使得线性变换运算更直接更有效成了复习研究的重点.通过研究发现按矩阵变换运算具有不变性.情况一求点的问题.例（2010年江苏高考）平面直角坐标系xOy，已知点A(0，0)，B(-2，0)，C(-2，1)，设k为非零实数，矩阵M=k001，N=0110，A，B，C在矩阵MN的变换作用下得到的点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1面积是△ABC面积的2倍，求k的值.解由题意，MN=k0010110=0k10，由0k1000=00，0k10-20=0-20k10-21=k-2，可知A1（0，0），B1（0，-2），C1（k，-2).计算可得S△ABC=1，S△A1B1C1=|k|.由题意|k|=2.所以k的值为2或-2.情况二求曲线的问题.例（2011年福建高考）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M=a00b（其中a>0，b>0）对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24+y2=1，求a，b的值.解设任意点P(x，y)∈C，在矩阵M=a00b的变换作用下得到点P′(x′，y′)一定在曲线C′上，可得xy→x′y′=a00bxy，则有ax=x′，by=y′.又因为P′∈C′，所以x′24+y′2=1，则有a2x24+b2y2=1，该方程就是曲线C的方程，则a24=1，b2=1，可得a=±2，b=±1.又a>0，b>0，所以a=2，b=1.情况三求二元一次方程组的问题.例（2011年江苏高考）已知矩阵A=1121，向量β=12，求向量α，使A2α=β.解A2=11211121=3243，设α=xy，A2α=β，得3243xy=12.解法13x+2y=1，4x+3y=2，解得x=-1，y=2.所以α=-12.解法2A2-1=3-2-43，得xy=3-2-4312=-12，所以α=-12.2.特殊线性变换除了一般线性变换以外矩阵还有一种特殊的变换.例已知M=1-2-21，α=31，求M20α的值.解矩阵M的特征多项式为f(λ)=λ-122λ-1=λ2-2λ-3，令f(λ)=0，解得λ1=3，λ2=-1，从而求得对应的特征向量分别为α1=1-1，α2=11.令α=mα1+nα2，求得m=1，n=2，所以M20α=M20（α1+2α2）=M20α1+2（M20α2）=λ201α1+2（λ202α2）=3201-1+2·（-1）2011=2+3202-320.总之，新课改中新增模块的学习和复习的方法、策略需要我们不断去探索、去适应、去尝试、去转变、甚至去改变.为了提高矩阵复习的有效性，加深学生对矩阵的认知，我们应以新课改的教学理论为指导，通过自己的实践，不断完善创新，不断归纳总结，寻求更有效的复习方法和策略.有效复习作为一种理念，是一种价值追求，一种教学实践模式，必将引起我们更多的思考、更多的关注！莫比乌斯圈不是三维物体莫比乌斯圈不是三维物体◎王宪（湖南三一工业职业技术学院410129）【摘要】本文通过对莫比乌斯圈和普通环圈的制作过程与生成机理的比较后发现：莫比乌斯圈不是三维物体；再通过对生成莫比乌斯圈的不同方式的叙述，最终得出莫比乌斯圈不是三维物体的结论；如果能够确定莫比乌斯圈不是三维物体，对正确认识莫比乌斯圈有现实意义.（因为我国正在小学教育阶段推进介绍和认识莫比乌斯圈）【关键词】莫比乌斯圈；主体坐标系；从属坐标系；双重三维坐标；非三维物体；合成运动一、关于莫比乌斯圈1蹦比乌斯圈的形成莫比乌斯圈是由［德国］数学家莫比乌斯先生在150年前公布于世的.随后，科学家就把莫比乌斯圈定位在数学领域的拓扑学分支里，其数学定义：单侧的、闭路的、反转定向的曲面.这样的莫比乌斯圈最终只剩下一个“表面”和一条“边缘”了.（见图1下部和图2）2蹦比乌斯圈与普通环圈不同经过观察不难发现：普通环圈和莫比乌斯圈除了在制作方法和制作过程上完全不同以外，还表现在——如果在普通环圈和莫比乌斯圈的表面划线并沿线进行裁剪，其裁剪结果竟会完全不同.当对普通环圈的表面划线并沿线裁剪时，能得到也只能得到——若干个与原圈等周长的“窄”普通环圈，而不会得到其他种类的环圈.当对莫比乌斯圈的表面划线并沿线裁剪时，其裁剪结果却有两种：（1）在莫比乌斯圈表面划一条中线并沿线将该圈剪开，会得到一个比原圈周长长一倍、比原圈宽度窄一半的普通环圈（见图3）.（2）在莫比乌斯圈表面划2条平均分布的等距离线条并沿线条将该圈剪开，则不仅能得到一个比原圈周长长一倍、比原圈宽度窄23的普通环圈，同时还能在其中心部位再得到一个单独的、比原圈宽度窄23，且周长与原圈等长的“窄”莫比乌斯圈（见图4）.（以上关于莫比乌斯圈的裁剪结果已经成为所有中外数学书籍里，对莫比乌斯圈进行介绍的一部分）唯此，从莫比乌斯圈和普通环圈的制作方法与裁剪结果的不同可以说明，它们并不是同类物体！二、莫比乌斯圈不是三维物体为了证明普通环圈与莫比乌斯圈不是同类物体，下面通过两种不同的制作和生成该两种环圈的方法来比较并进一步证明.1钡谝恢种谱骱蜕成方法制作普通环圈的方法如前文（1以及图1）中描述的步骤进行.而制作和生成莫比乌斯圈则需要通过两个相互关联的三维坐标系统（下文称双重三维坐标体系）来共同完成的.首先，看第一个三维坐标系（xOy）（下文称主导三维坐标系）（见图5）.其原点位置为O，该主导三维坐标系x-y平面上有一个以O为圆心的“正圆”.该“正圆”就是莫比乌斯圈表面中心位置的基本轨迹线.其次，看第二个三维坐标系（x′O′y′）（下称从属三维坐标系）（见图6）.该从属三维坐标系的原点位置为O′，处在主导三维坐标系内的“正圆”与x轴的交点上，从属三维坐标系内x′—y′平面上的设定目标可以绕O′进行有规则运动.但该设定目标的有规则运动必须按照主导、从属两个三维坐标系之间相互依存，对应旋转、位移、扭转的特殊函数关系进行.必须明确的是：主导和从属三维坐标系在立体空间具体的相对位置关系上是相互平行或垂直的（见图5，6），其中（xOy）的三个参数（xn，yn，zn）为自变量，（x′O′y′）的三个参数（x′n，y′n，z′n）为因变量，且主体和从属三维坐标系之间应服从（x′，y′）=F（x，y）的对应关系.这就建立了具有相互依存关系的双重三维坐标系统.在该系统里，整个从属三维坐标系是主导三维坐标系里的一个整体运动单元，随主体三维坐标系做有规律的运动——公转；而从属三维坐标系里运动单元自身的运动，则与主导运动有着严格的对应受控运动关系——自转.因此，处在该系统内设定目标的最终运动形式为合成运动.（既有公转，又有自转）图7是从属三维坐标系整体在（xOy）x—y平面上，沿“正圆”轨迹移动的示意图.（图中未画出0°~45°等处对应图形）在图8里有一个左边带小圆圈的“⊥”形符号，该符号中的竖直线是一条起始于O′点，且垂直于x′轴，同时，它又是一条既平行于（xOy）z轴，也平行于（x′O′y′）y′轴的直线.另外，该符号中左边带小圆圈的横线是一条既平行于（xOy）x轴，也平行于（x′O′y′）x′轴，且属于该x′轴的一条直线，并且该直线的中点过（x′O′y′）原点坐标O′，且垂直y′轴的直线.下面就以图8中“⊥”形符号作为基本单元来描述生成莫比乌斯圈的过程：当从属三维坐标系整体在（xOy）x—y平面内绕O旋转2°（或1°）的同时，（x′O′y′）内x′—y′平面上过O′的直线也对应旋转1°（或0.5°）.当从属三维坐标系整体沿（xOy）x—y平面上的基圆旋转、位移一周（360°）回到起始点O时，左边带小圆圈的“⊥”形符号也在x′—y′平面上绕O′旋转半周（180°）回到起始位置O′，此时该符号却正好被颠倒过来（见图8）.如果将双重三维坐标体系中被逐渐位移、旋转的“⊥”形符号的空间中各点依次顺序连接起来，就可以生成标准的莫比乌斯圈.（用“⊥”形符号的目的是使读者易于观察）由此看出：生成莫比乌斯圈必须由相互依存的双重三维坐标体系共同完成，单独的三维坐标系无法生成莫比乌斯圈.（理由一）2钡诙种制作和生成方法制作和生成普通环圈可以用下面的方式：先在主导三维坐标系的x—y平面内生成以原点O为圆心的“正圆”，然后在z轴的“正、负”方向上对“正圆”进行拉伸，就可以制作和生成普通环圈（见图9）.制作和生成莫比乌斯圈可以这样完成：以x轴和“正圆”的交点为（x′O′y′）的原点O′，将已生成的外表面是蓝颜色的、内表面是红颜色的普通环圈剪开.在（x′O′y′）的x′—y′平面内，以原点O′为扭转中心，对普通环圈的一个端头进行有规律的对应扭转，其对应扭转规律为：（x′O′y′）沿（xOy）在X—Y平面内连续旋转的同时，将（x′O′y′）内x′—y′平面上的普通环圈肌体的对应段进行对应扭转；当（x′O′y′）整体沿（xOy）基圆在x—y平面上旋转、位移一周（360°）回到起始点O时，普通环圈的肌体也在x′—y′平面上绕O′扭转半周（180°）回到起始位置O′，该环圈的肌体表面正好被翻转过来，也就生成了莫比乌斯圈.（图10是电脑用此法生成的莫比乌斯圈）从图10中可以看到：设定目标的运动结果是由双重三维坐标体系中各坐标轴参数之间相互影响、连续变化的结果.正是这个相互影响和连续变化，才使得莫比乌斯圈的肌体上根本无法找到二维、三维线段或曲线.唯此足可以证明：莫比乌斯圈不是三维物体！（理由二）三、莫比乌斯圈是“非三维”产物下面用图5，6，7，8，9，10来进一步证明莫比乌斯圈不是三维产物.（1）在图5的双重三维坐标体系中（xOy）的三个平面与（x′O′y′）的三个平面之间有着一一对应的关系.（2）当图6里（x′O′y′）的x′—y′平面上y′轴的数值发生变化时，必然会影响并导致（xOy）的x—z平面上z轴的数值产生变化（其余轴类推），最终导致整个双重三维坐标体系内所有数轴上的数值发生变化.（3）当图7中（xOy）的x—y平面上，以原点O为圆心旋转，则（x′O′y′）里z′轴上的数值就会发生变化，这就必然导致（xOy）里各个数轴上的各数值直接或间接参与了、或发生了变化！（4）当图8中的“⊥”形符号整体沿x—y平面上绕O旋转360°的同时，还在x′—y′平面内绕O′对应扭转180°，如果连接该符号在空间相互对应的各个点，就会产生一种空间弧线.（该空间弧线不能产生于单独的三维坐标体系.因为在单独的三维坐标体系产生的空间弧线一定是某种对称旋转体表面的对称母线，而该空间弧线则需经受六个维度上的扭曲变形.）（理由三）（5）这里假设图9所生成的普通环圈外表面是蓝颜色的，内表面是红颜色的.按照图10的方式对其进行剪断（假设剪断处位于从属三维坐标系的原点O′），将该环圈的各对应部分在双重三维坐标系统内进行有规律的绕O旋转360°和绕O′扭转180°，并最终回到O′.此时，该普通环圈已经被变化成莫比乌斯圈.唯此可以证明：“非三维”物体可以由三维物体演变而来，条件是双重三维坐标系统内各个维度上的具体参数必须全部相互影响并参与变化.这是任何一个三维物体所无法具备的.（理由四）由于莫比乌斯圈是在双重坐标体系内生成的，当在三维环境里对莫比乌斯圈进行裁剪时，其被裁剪下来的部分就解除了该坐标体系对它的“非三维”约束，其表现为被裁剪下来的是“窄”普通环圈；而剩余部分仍保留原“非三维”物体的基本形态，其表现为“窄”莫比乌斯圈.或者说：在莫比乌斯圈的肌体内将同时存在两种状态——普通环圈（三维状态）和莫比乌斯圈（“非三维”状态），这种状态会永久存在，且无法用人为干预的方式将其改变！（相关内容请查阅论文《莫比乌斯圈的反常现象》）（理由五）最后引述数学泰斗谈祥柏先生的判断来证明莫比乌斯圈不是三维物体.谈老曾在《数学广角镜》P118中明确指出：在现实世界中克莱因瓶是无法被制造出来的！（其实该论点的本质是：克莱因瓶不是三维物体）数学家已证明：每个克莱因瓶是由两个莫比乌斯圈组合而成的.而莫比乌斯圈通体圆润，浑身都是空间曲线，没有一条二维直线、曲线以及三维直线、曲线.因此，莫比乌斯圈不是三维物体，而是“非三维”物体！（理由六）四、结论莫比乌斯圈不是三维物体，而是人类没有完全认知的“非三维”物体！五、莫比乌斯圈里仍有未解之谜是的，莫比乌斯圈里仍然存有许多鲜为人知的奥秘，莫比乌斯圈、莫比乌斯现象及其莫比乌斯原理也没有得到学术界的认可，但并不影响我发表一孔之见，我将在专题论文《莫比乌斯圈的反常现象》和《重新认识莫比乌斯圈》里进一步阐述和探讨莫比乌斯圈的相关问题.当然，提交本文的真实目的是渴望能得到您对莫比乌斯圈、现象和原理作出更权威的准确诠释和更睿智的思想升华！【参考文献】［1］［德］莫比乌斯（1790—1868），数学家、天文学家，1858年公布莫比乌斯圈.［2］［苏联］伏·巴尔佳斯基.拓扑学奇趣.长沙：湖南教育出版社，1999：43.［3］华应龙.神奇的莫比乌斯带.北京第二实验小学精品课程，2005（1）：11-15.［4］周康玲.上帝的骰子.发明与革新，2001年连载.［5］谈祥柏.数学广角镜.南京:江苏教育出版社，1998：118.概率教我们理性地认识世界概率教我们理性地认识世界◎谢忠才（江苏师范大学数学科学学院221116）【摘要】随机现象就在我们的身边，概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学.本文通过一组常见实例阐述了概率知识教我们更为理性地认识世界.【关键词】随机现象；概率；彩票；统计规律在自然界和现实生活中，有两类现象，一类是确定性现象，指在一定条件下，必定会出现某种确定的结果.如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度就必然会沸腾；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.另一类是不确定性现象，这类现象在一定条件下的结果是不确定的.如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异；在同样条件下，科研人员进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况有强弱和早晚之别等.为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的.这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案.事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象.概率论就是研究随机现象的一个数学分支.概率，简单地说，就是随机现象中，一件事发生的可能性大小.比如，太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生.但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如未来的某一天会不会下雨，商场进某一种商品是赔还是赚，明天某市是否有交通事故等，这类事件的概率就介于0和1之间.在日常生活中，但凡不能确定发生与否的事件，可考虑用概率模型进行定量分析；这种不确定性给人们的大小决策带来风险，而概率论的思想和方法，则是尽最大可能降低决策风险的有效手段.以概率为工具，解决事关国计民生的重大问题，那是概率论研究学者的事，但对普通人来讲，知道了概率论的研究对象，明白一些粗浅的概率原理，却能教我们理性地认识世界.当前，彩票成了城乡居民经济生活中的一个热点.据统计，全国100个人中就有3个彩民.有资料表明，通过对北京、上海与广州三城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”彩民.“以小搏大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态，媒体几乎天天报道中大奖的消息，更能触动彩民的发财神经，好像只要买彩票，就能中大奖.对全体彩民来讲，一定有人中大奖，这几乎是必然事件，而对一个彩民个体来讲，这却是一个小概率事件，买有限次的彩票，就想中大奖，无异于大海捞针.这里以中奖率较高的双色球为例，让我们看一下投一注的理论中奖概率.“双色球”彩票以投注者所选单注投注号码（复式投注按所覆盖的单注计）与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级，红色球号码从1~33中选择，蓝色球号码从1~16中选择.一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限，下同）；二等奖：6个红色球号码相符；三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；四等奖：5个红色球号码或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符；五等奖：4个红色球号码或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符；六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）.双色球中头奖的概率：1C633C116＝133×32×31×30×29×286×5×4×3×2×16＝117721088.双色球二等奖的概率为：1C633＝133×32×31×30×29×286×5×4×3×2＝11107568.双色球三等奖的概率为：1C533×16＝133×32×31×30×295×4×3×2×1×16＝13797376.顺便指出，双色球是一个不科学的彩票，三等奖的中奖概率比二等奖低了很多，建议双色球的二等奖项和三等奖项交换一下.双色球四等奖的概率为：1C533＝133×32×31×30×295×4×3×2×1＝1237336.1C433×16＝133×32×31×304×3×2×1×16＝1654720.1C533+1C433×16＝1237336+1654720.双色球五等奖的概率为：1C433＝133×32×31×304×3×2×1＝140920.1C333×16＝133×32×313×2×16＝187296.1C433+1C333×16=140920+187296.双色球六等奖概率：116＝0.0625＝6.25%.由此看出，所谓“双色球”中奖率高，就是因为蓝球的关系，因为蓝球有16个，而只要中了蓝球就会中六等奖，即5元，中奖率为6.25%，要想中六等奖以上的奖项，真是难上加难，在庞大的彩民中，中大奖者只有极少数人.因此，购买彩票者应怀有平常心，彩票，玩玩可以，权当为福利事业添砖加瓦，万不可倾其所有把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路.中国俗语“三个臭皮匠，抵个诸葛亮”表明，在许多情况下，普通人的群体智慧是具有超凡个人智慧无法比拟的优势的，这一点可以通过揭示隐藏在随机现象背后的统计规律性来加以说明.请看下面的实验，科学家让56人分别独自猜测一个罐子里果冻软糖的数量，结果56名参与者中，有55人的估计值与真实数目相差很远，可是每个人的估计数加起来除以56得到的平均值，却出乎意料地非常接近真实值.这群人的平均值为871，仅与真实数目850相差25%.大量的证据和实验结果表明群体效应的神奇，认真分析后这些现象背后有它的数学统计规律.每个臭皮匠在对事物进行估计时，一般都考虑不够全面，且他们的考虑角度和侧重点是不同的，于是给出的估计值就会比真实值偏高或偏低，甚至偏差很大.但是当把每个人的估计值相加再取平均值就会把每个人考虑的角度都计算进去，相当于事物的各个因素都全面考虑到了，而且与真实数据相偏离的个人误差基本上相互抵消，这样群体就对事物作出了全面均衡的估计，也就更接近真实值.可见，这种群体效应，一个诸葛亮是比不上的.我们所熟悉的四年一度的世界杯足球赛，共有32支球队参加，采用的比赛规则是：分8个小组进行小组循环赛，根据成绩取每小组的前两名进入16强，然后逐对厮杀，决出前8名，半决赛，决出参加决赛的球队，最后决出3，4名和冠、亚军.这样得到的冠军是水平最高的球队吗?人们有理由这样质疑，因为参加小组赛的球队水平参差不齐，最终获冠军的球队有可能还没有另一组中没出线的球队水平高.公平的做法是：32支球队每两队都进行一次比赛，胜者记3分，负者记0分，平局双方各记1分，最后根据积分多少排出名次.事实上各大洲的足球联赛正是采用的这种比赛办法，为什么世界杯组委会不采用这种比赛办法呢?我们知道，按世界杯目前的赛制，共64场比赛，加上休息时间，前后大约要一个月多一点的时间，若采用大循环赛制，则需要比赛C232=32×312=496（场），这是人力物力所不能承受的，由此，人们不难明白，为什么在大型体育比赛中，要先进行分组比赛.至于各大洲的足球联赛，还有NBA，CBA篮球联赛采用大循环赛制，甚至还有重复主客场，那是一种职业赛制，人为地延长比赛时间，增加比赛场次，则另当别论.日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者.那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题.大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等.除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A，B，C，D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?我们来计算一下仅凭运气能通过的概率.假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，这可以看成85重贝努利试验，通过的概率为∑85i=51Ci85025i07585-i≈0874×10-11(用泊松分布近似替代查表计算).概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过.所以靠运气通过考试是不可能的.概率已渗透到我们生活的各个领域，和我们日常生活密切相关并指导我们行动的有西瓜成熟度、火车正点率、天气预报准确度、商品广告可靠概率，等等；邮电系统发行有奖明信片的利润计算，保险业的宣传口号“平时注入一滴水，难时拥有太平洋”，招工考试录取分数线的预测等无不包含着内容丰富的概率知识.因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性地分析对待.比如，随着孩子的长大，家长都在设计孩子的未来，当你看到张怡宁、王皓、王楠、马琳风光无限，名利双收，想让孩子学习乒乓球时，更要想到，在他们身后，有一个多么庞大的乒乓球大军，虽长期在乒乓球台前贡献青春和汗水，却不能在乒坛扬名立身.有了概率意识，将使人们能通过事物的表象看到事物的本质，在人生旅途上少走弯路.作为数学教师，讲概率论这门课时，根据所讲内容，我总是适时地穿插讲一些发生在我们身边的具有概率思想的小例子，每当这时，学生都是直直地望着你，希望你讲得多些，再多些.如果说，数学教育也是文化素质教育的组成部分，那么讲授概率论课程，融入利用概率知识力所能及地认识和解释我们的周边世界就是对这一问题的最好注解.【参考文献】［1］胡细宝，王丽霞.概率论与数理统计.北京：北京邮电大学出版社，2004.［2］几个臭皮匠等于诸葛亮.资料卡片杂志，2008（11）：60.［3］双色球福利彩票游戏规则.复合函数定义探析复合函数定义探析◎冯所伟（海南经贸职业技术学院571100）本文讨论复合函数定义中容易引起误解之处，并从数学运算的角度给出复合函数的一个更易于理解的定义.关于复合函数，很多教科书给的都是类似如下定义：设函数y=f(u)的定义域是Df，函数u=g(x)的值域是Zg，若Zg∩Df不为空集，则将y=f(g(x))称为由函数y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.对于上面这个定义，不少人通过学习之后，都认为y=f(u)与y=f(g(x))是相同的函数，因为它们都用y来表示.那么，这两个函数到底是不是相同的呢？首先，要判断两个函数是否相同，主要是考虑两个函数的定义域和对应法则是否都相同.看下面的例子，设f(u)=u2，g(x)=x+lnx，则得复合函数为f(g(x))=(x+lnx)2.第一，很显然f(u)=u2的定义域是R，而f(g(x))=(x+lnx)2的定义域是R+，所以这两个函数的定义域并不相同.第二，f(u)=u2的对应法则是对自变量进行平方，而f(g(x))=(x+lnx)2的对应法则是对自变量求自然对数后再加上自变量本身，最后才平方，所以这两个函数的对应法则也是不相同的.其次，不妨假设f(u)与f(g(x))相同，现有以下三个函数f(u)=u2，g1(x)=x+lnx与g2(x)=lnx，那么f(u)=u2与g1(x)=x+lnx复合可得f(g1(x))=(x+lnx)2，f(u)=u2与g2(x)=lnx复合可得f(g2(x))=(lnx)2.按照相同的假设，这里得到的两个复合函数都等于f(u)，即f(g1(x))=(x+lnx)2=f(u)=f(g2(x))=(lnx)2，这显然是错误的.最后，函数的复合是一种数学运算，而数学运算指的是“依照数学法则求出算式结果的过程”(《现代汉语实用词典》南方出版社).可以这么理解，数学运算是对已知量实施了某些动作，产生新的量的过程.复合函数就是几个已知函数进行运算后得到的新函数，这个新函数怎么会在任何情况下都等于前面的其中一个已知函数呢？如果都等的话，这种运算便形同虚设了.所以，如果认为函数f(u)与f(g(x))是相等的，就如同是“当2+3=5时”，认为2和5是相等的一样.由上述几点可知，函数f(u)与f(g(x))是不相同的函数，既然是不相同的，在一个命题里面，就不应该用相同的符号来表示，要不就会造成误解，这正是不少人认为它们是相同的最直接的原因.另外，对于复合函数的定义，再从数学运算这一数学基本概念方面进一步强调其含义，就会更加清晰一些.因此，下面给出一个更易于理解的定义：定义（复合函数）已知函数f(u)和g(x)，把g(x)代入f(u)得到f(g(x))的过程（代入指把u都换成g(x)），称为函数的复合运算.若f(g(x))存在，则称f(g(x))是由f(u)和g(x)复合而成的复合函数，此时称f(u)为外层函数，g(x)为内层函数，称u为中间变量，记作u=g(x).若f(g(x))不存在，则称f(u)和g(x)进行复合运算时没有意义.几点说明（1）f(g(x))不存在是指自变量x的取值范围是空集，即定义域为空；（2）求函数时除了要写出函数的对应法则（常表现为表达式），还要写出函数的定义域，求复合函数也应如此；（3）函数的复合运算可以由多个函数按一定的先后顺序进行，如由f(u)，g(v)，h(x)按顺序进行复合运算可得f(g(h(x))).几个求复合函数的例子：例1已知函数f(u)=log2u，g(x)=x2+1，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(x2+1)，其定义域为R=(-∞，+∞)非空，所以复合函数f(g(x))=log2(x2+1)存在.例2已知函数f(u)=log2u，g(x)=x2-x，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(x2-x)，其定义域D=(-∞，0)∪(1，+∞)非空，所以复合函数f(g(x))=log2(x2-x)存在.例3已知函数f(u)=log2u，g(x)=-x2-1，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(-x2-1)，但此函数定义域D=粒所以f(g(x))不存在，即f(u)和g(x)进行复合运算时没有意义.【参考文献】［1］华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社.［2］周誓达.微积分.北京：中国人民大学出版社.［3］肖林元.函数的定义域会空吗.数学教学，1996（1）.集论集论◎邓建国（陕西国际商贸学院高等数学教研室712046）组成集的对象称为集的元素.我们用大写字母表示集，用小写字母表示集的元素.命题“元素α属于集A”记作：α∈A.如果元素α不属于集A，则记作α麬.如果集A的所有元素都含在集B中，则记作A糂，在这种情况下A称为B的子集（有可能A与B重合，亦即A与B由相同的元素组成：A＝B）.如果A≠B，子集A糂称为真子集.不含有任何集的称为空集，并用符号帘硎.具有性质N的元素的总体（集）记作：｛x:N｝.1奔上的运算由全部至少属于集A和B之一的那些元素组成C称为两个集A和B的和：C＝A∪B.(更一般地，C=∪αAα，足标α属于某个集).由全部既属于集A又属于集B的那些元素组成的集C称为集A与B的交：C＝A∩B(更一般地，C=∩αAα).属于集A但不属于B的元素的总体C称为集A与B的差：C＝A＼B.集C＝(A∪B)＼(A∩B)＝A△B称为集A和B的对称差.我们常常要研究不同的事，这些集全是某个基础集S的子集.在这种情况下，如果A糂，那么差S＼A称为集A的补A′:A′=S＼A，集S称为单位.集论中的对偶性原理乃是上面所引进的定义的直接而显然的推论：（1）和的补等于补的交；（2）交的补等于补的和.2庇成设A和B是两个集.假定集A的每个元素α对应于含于集B的一个确定的元素b=g(a).在这种情况下我们确定了集A到集B中的一个映射（函数）g.元素b称为元素a在映射g下的象，而元素a称为元素b的逆象或逆象之一.如果集B的每个元素在映射g下至少有一个逆象，那么映射g是A到B上的映射，g:A→B.设M糀，那么g(M)表示B中是元素α∈M的象的那些元素的集.集g(M)称为集M在映射g下的象.如果N糂，那么用g-1(N)表示A中那些元素的集，它们的映射g下的象在N中，集g-1(N)称为集N在映射下的完全逆象.映射g有时方便地称作定义域为集A而值域在集B中的函数.在某些数学分支中，根据集A和B的特性和g的性质，映射g称为算子、泛函、等等.如果集B的每个元素在映射g下有一个而且只有一个逆象，集A到集B上的映射g被称作一对一的（这样的映射还称作可逆单值的）.显然，如果g是集A到集B上的一对一的映射或是这两个集的元素间的一对一的对应，那么我们可以定义g的逆映射g-1，亦即由方程b=g(a)，若已知元素b，则可单值地确定a，同时a=g-1(b).任何一个这样的映射F(a1，a2，…)，若它对全部a1，a2，…∈A有F(g(a1)，g(a2)，…)=F(a1，a2，…)，以及任何一个这样的关系P(a1，a2，…)=T，若它对全部a1，a2，…∈A有P(g(a1)，g(a2)，…)=T，则这个映射以及这个关系称为关于映射b=g(a)是不变的.3奔的直积设Ω＝｛1，2，…，n｝，并且A1，A2，…，An是某个集A的子集，集Ak的直积∏nk=1Ak乃是所有的这种把Ω映射到A中的函数f的总体，它使得f(k)∈Ak(k=1，2，…，n)成立.显然，∏nk=1Ak可以看成是所有可能的组(a1，a2，…，an)，ak∈Ak.4钡仁萍集A与B称作等势的，如果它们的元素之间可以建立一对一的对应.一个集是有限的，如果它与自然数组｛1，2，…，n＜∞｝等势.一个集称为可数的，如果它与自然数列｛1，2，…，n，…｝等势.一个集称作具有连续统的势的集，如果它与线段［0，1］的点的集等势.集A的势记作|A|.度量空间.开集和闭集.在数学分析中极限的概念起着极重要的作用，对象间的这种或那种的距离概念是各种极限定义的基础.所以很自然地试图将抽象性质的元素——任意集的元素引进距离的定义，然后引进极限过程的概念.定义1我们在集X上定义了一个度量空间结构，如果给定了一对自变量的函数ρ:X×X→R1(R1是数轴)，它具有下列性质：（1)当且仅当x=y时，ρ(x，y)=0;（2)ρ(x，y)=ρ(y，x)(对称性)；（3)ρ（x，y）≤ρ(x，z)+ρ(z，y)(三角形不等式).函数ρ(x，y)，x，y∈X称为度量或距离函数，数ρ（x，y）称为点x和y的距离.因此，集X和函数ρ两者组成度量空间，我们把它记作R=(X，ρ).如果在（3）中令x=y，考虑到（1）和（2），那么我们得0≤ρ（y，z），亦即距离函数是其自变量的非负函数.我们来举几个度量空间的例子.例1n维算术空间X，它的点是矢量，即n个数的有序组，x=(x1，x2，…，xn)，显然，如果令ρ(x，y)=∑ni=1|xi-yi|212，那么它们组成一个度量空间.我们把它记作Rn:Rn=(X，ρ).例2设Y是定义在区间［a，b］上的连续函数的集.我们引进度量，令ρ(x，y)=maxa≤i≤b|x(t)-y(t)|.我们得到一个度量空间，把它记作C［a，b］＝（Y，ρ），同样，［a，b］上n(n≥1)次连续可微函数的集Z，如果按ρ(x，y)=max0≤i≤n max0≤i≤b|x(i)(t)-y(i)(t)|，(x(0)(t)=x(t)，y(0)(t)=y(t))，引进度量，也形成度量空间.这个空间通常记作Cn［a，b］=(Z，ρ)，n≥1.所有适合ρ（x，a）＜r(ρ(x，a)≤r)的点x∈X的集称作空间R中中心在点a、半径是r的球Ｏ（a，r）（闭球K（a，r））.定义2集∑糥称作在R=(X，ρ)中的开集，如果它含有点x的同时也含有某个球O（x，r）.定义3含有x的点的任何开集称为点x∈X的邻域.任何含有某个子集X的开集称作该子集的邻域（它也可能就是X本身）.点x的邻域记为∑x.定义4设Y糥，如果点x∈X的每个邻域中至少含有一个点y且x≠y∈Y，那么点x称为集Y的极限点.点y∈Y称为集Y的孤立点，如果存在y的一个邻域，在其中没有异于y的Y中的点.定义5点y∈Y（Y是X的子集）称为内点，如果它有某个邻域含在Y中，把集Y在X中的补的内点称为Y的外点.如果一个点既不是Y的内点，也不是Y的外点，则它称作Y的边界点.Y的边界点的集记作筜.定义6度量空间的集称为闭集，如果它的补是开集.下列论断正确：任意多个开集的和，任意有限个开集的交是开集，梁蚗是开集.任意多个闭集的交是闭集，任意有限个闭集的和是闭集，梁蚗是闭集.闭集包含它的全部极限点.定义7所有包含集Y的闭集的交称为集Y的闭包，记作Y.如果集C糄，那么C糄.设R＝（X，ρ）是度量空间，Y是X的子集，度量ρ可以看作是仅仅定义在Y糥的点上.所以Y本身成为度量空间，并且R0＝（Y，ρ）称为空间R的子空间.定义8空间R=(X，ρ)称为连通的，如果它不能表示成两个非空、不相交的闭（或开）子集之和.如果度量空间R中的集Y作为R的子空间：（Y，ρ）迹╔，ρ），是连通的，则称Y是在R中连通的.定义9度量空间中的点列an称为收敛于这个空间的点a，如果点a的任何邻域都含有该点列的除去有限多个点外的一切点.如果序列an收敛于a，则写作an→a(当n→∞)或limn→∞an=a.从这个直接推知，如果an→a，那么ρ（an，a）→0（当n→∞）.下列论断正确：点a∈R属于某个集A的闭包A，当且仅当存在集A的点到{an}收敛于a.所以，点a∈，当且仅当点a的每个邻域∑a与A相交.度量空间中的任何开集族，如果它们的和包含这空间中的集A，则称为集A的一个覆盖.定义10度量空间R＝(X，ρ)称为列紧的，如果它的任何覆盖含有有限子覆盖.把区间［0，1］看作具有通常欧几里得距离的度量空间，它就是列紧度量空间的一例.定义11度量空间R＝（X，ρ）的元素的列{xn}称为基本列，如果当n，m→∞时（m，n是自然数），ρ(xn，xm)→0.定义12度量空间R＝（X，ρ）称为完备的，如果在R中任何基本列都收敛于空间的某个点.定理（球套原理）要使度量空间是完备的，必须在空间中一切半径趋于零的、且互相一个包含一个的闭球序列有非空的交.拓扑空间.开集和闭集.定义1我们在集X上定义了一个拓扑空间结构，如果给定了X的子集系{∑}，它具有下列性质：（1）集X自身及空集潦粲趝∑}；（2）系{∑}的任意多个集的和及任意有限多个集之交属于{∑}.满足条件（1）（2）的系{∑}称为集X上的拓扑.因此，集X和拓扑{∑}两者组成拓扑空间，把它记作T＝(X，∑).我们来举几个拓扑空间的例子.例1我们研究任意的度量空间R＝（X，ρ），开集满足拓扑空间的定义1中性质（1）和（2），因此，所有的度量空间R＝（X，ρ）也是拓扑空间T＝(X，∑)，这里{∑}是R中的开集系.例2设X＝R1是实数集，取所有可能的开区间的并及空集磷魑系{∑}，那么T＝(X，∑)是拓扑空间，R1∈{∑}.定义2集∑a糥称为T中的开集，如果∑a納∑}.定义3任何含有x∈X的开集称x的邻域.任何含有X的某个子集（特别地，这个子集可以是X本身）的开集称为该子集（或X）的邻域.定义4拓扑空间中的一个集称作闭集，如果它的补是开集.我们要强调指出，度量空间理论中所有利用开集和闭集的概念而得到的事实，在拓扑空间中都正确.【参考文献】江泽坚.数学分析.北京：人民教育出版社，1965.Black睸choles公式及其在欧式期权定价中的应用◎周会会（广东海洋大学寸金学院524094）【摘要】70年代初，Fisher Black和Myron Scholes取得了一个重大突破，推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格f必须满足的方程：筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.他们运用该方程推导出股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值.本文我们利用风险中性估值工具来证明Black睸choles公式及其在欧式期权定价中的应用.【关键词】Black睸choles公式；风险中性；期权定价一、Black睸choles微分方程的性质筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.1蓖频dS=μSdt+σSdBt，df=筬筍μS+筬箃+12·2f筍2σ2S2dt+筬筍σSdBt.因为股票价格和衍生证券价格都受同一种不确定性的影响，即股价变动，所以可以建立无风险证券组合.在无套利机会条件下，该证券组合的收益必定为无风险利率r.（因为如果建立了一种恰当的股票和衍生证券的投资组合，股票头寸的盈利（损失）总是会与衍生证券的损失（盈利）相抵消，因而在短时期内，证券组合的总价值就确定了.）2毙灾该方程不包含任何受投资者风险偏好影响的变量，只出现：股票价格S，时间t，股票价格方差σ，无风险利率r等变量，它们都独立于风险偏好.如果方程中不存在风险偏好，那么风险偏好将不会对其解产生影响，因此，在对f进行定价时，我们可以使用任何一种风险偏好.特别地，我们可以提出一个非常简单的假设，即所有投资者都是风险中性的.在一个所有投资者都是风险中性的世界里，所有证券的预期收益率皆为无风险利率r，因而将其期望值用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值.二、欧式看涨期权的Black睸choles公式推导dSt=μStdt+σStdBt.风险溢价过程θ=μ-rσ，它对应的风险中性概率为Q，其中，dQdP=exp(θBt)=exp-θBt-12θ2t.Bt=Bt+θt在测度Q下是一个布朗运动，则dSt=rStdt+σStdBt.从而，ST=StexpσBT-t+r-σ22(T-t)，St=S0expσBt+r-σ22t，Ct=EFtQS0(t)ξS0(T)=e-r(T-t)EQ［(ST-K)+］.下面我们来计算Ct：令I(t)=1，ST>K，0，ST≤K，即I(t)=1，Z>σT-t-d，0，else，Z∈N(0，1).其中，d=lnStK+r+σ22(T-t)σT-t，则EQ［I］=N(d-σT-t)，EQ［IST］=∫∞σT-t-dStexpσT-tx+12πr-σ22(T-t)e-x22dx=Stexp(r(T-t))2π∫∞σT-t-dexp-12(x-σT-t)2dx=Stexp(r(T-t))2π∫∞-dexp-12Z2dZ=Stexp(r(T-t))N(d).从而，C(t，ξ)=e-r(T-t)EQ［(ST-K)I(t)］=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2).其中，d1=d，d2=d1-σT-t.对欧式看涨期权，Ct=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)，由平价关系Ct-Pt=S-Ke-r(T-t)，对欧式看跌期权，得Pt=Ke-r(T-t)N(-d2)-StN(-d1).其中，d1=lnStK+r+σ22(T-t)σT-t，d2=lnStK+r-σ22(T-t)σT-t.三、结论本文在风险中性的假设下对Black睸choles公式进行了简单的证明，并给出了欧式看涨和看跌期权的定价公式.另外，利用风险中性估值工具，还可以对其他期权进行定价，如美式期权定价.【参考文献】［1］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2004.［2］约翰·赫尔.期权、期货及其他衍生证券［M］.张陶伟，译.北京:华夏出版社，1999.［3］严士健，刘秀芳.测度与概率［M］.北京:北京师范大学出版社，2003.三 分 角 新 论三 分 角 新 论◎邢克国（河北唐山丞起汽车零部件有限公司063600）一、概述静求无门死，动寻死转生，跳出此山去，坐图真道来.三分角真滑头，缘木求鱼偏偏有，直来不通曲中求，顺溜溜.二、辩论《访中学后》三分角是外国人提出，另一外国人结论，并得众多人的认可，但还是有人怀疑，此问题与国际、人种、身份无关，假如说有人作出，那是要事实作证的，假如是真，云亦不可久遮太阳，世界人多，世界后人更多，这是全人类向无知领域的一种探求.三、思路初不知难，误入，知时，已有看法，二分数易，三分数永不尽，二分角易，三分角同三分数，然根号2、根号3不易算，但作图不难，这就是计算与作图不同.同一角它对应的弧半径相差3倍，则弧也相差3倍，找到小弧与三倍弧的等长点，3倍弧就被三分，进而对应角被三分.小圆弧以弧段中点为轴对称向上伸展成大圆弧两端点的走线不但能找到三分点，也能找到任何分点，这是一定的，也是绝对的，但需是圆弧走线才能用尺规作出.证明方法是计算或作图法.（以无数半径不等的圆弧弧段中点为公共点，同向开口成对称轴，所得的等长弧段端点的聚合线能分任角任份.）这也是奔三分角而定制的专一点的集合线.四、作法1弊靼刖段1的圆，让圆在坐标点与横轴相切，与纵轴成轴对称，纵轴与圆的另一交点A.2弊靼刖侗任65，43，32，2，3，4，6为半径的各圆弧以A点为公用点，同向开口成轴对称.365为例，在横轴上以坐标点向两边截半径的一半长，再以此截点作垂线与该圆下一个交点所得之长，与半径1圆周长相等.注7个弧的等长点都是通过30度和45度直角三角形找出，与坐标点8点共圆，这一规律可找任意角的任意份，但并不与外国人所说不能分相矛盾，我是受不知庐山真面目的启示，换作不同的角度，逆向思维，同高作比，以静待动，动中求静，假定等法而作.人们通常把计算作理论，把作图为实际，理论作精华实际是糟粕似的，一味的追求理性的知识，我不知郑人买履是什么意思，只知道很多试验不是以计算完成的.其实人这个动物从实际中发现一些现象规律，归纳记录，这便是理论.世界是复杂多变的，有几万、几亿年出现一次的现象，就不在人们记录之列，不就与你的理论不符了吗？我非是反对理论，而是双项兼顾、理论指导、客观事实说话，而非人的意识定事，权威定事，权威很大程度是对的，难道不会万一亿一的错吗？这便是相对和绝对论，一个乞丐无意拾到一块金子，你怎么就能说：不可能，乞丐怎么会有金子呢？看事物要理性，而非绝对的理论化，这不该是没身份的人说的，但有别于猿的一个特点，身上没长长的毛，西游记中佛祖辨真伪是认定有别，六耳毛猴那假悟空被点中要害，纵身逃走，若指不出它的真实来它能服气吗？其实简单就是复杂，复杂就是简单，简单是一粒麦子，复杂是一堆麦子.一条直线用另一条交叉任一处就形成角，否则无角、周角、平角，说什么都成什么的世界了，说肉是肉，把猪也说成是肉，心中有点别扭，有一种看法，角应有收夹之义.此两种方法是奔三分角而定制的专一点的集合线，只是证它非圆弧即不能尺规作图，但且莫曲线近似的含混，再者，数一类几何别类，以数理论图理合适吗？以公用下底的无数个，上底两腰三者相等的梯形，上顶角（点）的集合线，定能分三分角.注一个弧由三条相等的弦充满该弧，就能把它分为三等份，再连接弧两端，就形成梯形，把大小不一的所有弧弦长统一，即梯形的下底统一，那么上顶角点连线即是三分点线.作法以梯形下底中点为坐标，以两端点为心适当同长各作一弧，再以同长的一半为半径，以坐标点为心，在横轴上交二点，以二点作二垂线与上二弧交二点，此二点与下底两端点构成，上底两腰三者相等的等腰梯形.洛必达法则在使用中常见的错误与注意事项◎党婷彭乃驰（云南大学旅游文化学院信科系674100）笔者在独立学院从事微积分、高等数学以及大学文科数学教学多年，每每讲到求极限的最重要方法之一——洛必达法则时，常发现学生——特别是独立学院的学生，在使用这个法则时常会犯一些错误，在求解较难的极限题时往往感觉无从下手.针对这种现象，笔者在多年从事教学的经验基础上，总结了在洛必达法则使用过程中独立学院的学生常见的错误与注意事项.本文对独立学院的学生以及在独立学院从事微积分、高等数学与大学文科数学教学的教育工作者都有很高的参考价值，对二本、一本的学生与教育工作者也有一定的参考价值.一、洛必达法则在使用过程中常见的错误1辈还诵问剿姹懵矣洛必达法则使用的形式应当是：f(x)g(x)→f′(x)g′(x)，即这个公式应当是对商才好用的一个公式，而且是把商的分子与分母分别求导.但是，有些学生在使用这个公式时往往不注意这一点，比较常见的不顾形式，随便乱用的情形如下：（1）误用成f(x)g(x)→f′(x)g′(x).例如：求limx→+∞xπ2-arctanx.有些学生误解成：原式=limx→+∞x′π2-arctanx′=limx→+∞-11+x2=0.（2）误用成f(x)→f′(x).例如：求limx→0+xlnx.有些学生误解成：原式=limx→0+(xlnx)′=limx→0+(lnx+1)=-∞.（3）误用成f(x)g(x)→f(x)g(x)′.针对以上种种现象，教师在讲解该知识点时，一定要对学生强调洛必达法则是对商才好用的一个公式，而且这个公式与商的导数公式完全不同.把这一点讲清楚后，后面在讲到用洛必达法则求0·∞，∞-∞，1∞，00，∞0等型的未定式的极限问题时，就可以很自然的让学生想想：求以上这些形式的未定式极限问题的关键是什么？当然是先化成商的形式，再去使用洛必达法则.2辈还颂跫随手使用洛必达法则使用的条件有三条，其中在使用过程中需注意的有两条：①f(x)g(x)为00型或∞∞型；②f′(x)g′(x)的极限存在或为∞.但是，有些学生在使用这个公式时不注意以上条件随手使用，又导致了错误.（1）不注意f(x)g(x)为00型或∞∞型的条件.例如：求limx→0ex-1x2-x.有些学生误解成：原式=limx→0ex2x-1=limx→0ex2=12.错误的原因在于第一次使用完洛必达法则后，所得到的极限limx→0ex2x-1已经不再为00型或∞∞型，继续使用这个法则，当然就导致了错误.（2）不注意f′(x)g′(x)的极限存在或为∞的条件.例如：求limx→0x2cos1xln(1+x).有些学生误解成：原式=limx→02xcos1x+sin1x11+x，故原极限不存在.错误的原因在于使用一次洛必达法则后所得到的极限limx→02xcos1x+sin1x11+x是振荡不存在的，所以本题根本就不能使用洛必达法则来求.二、洛必达法则在使用过程中应当注意的事项把使用洛必达法则的两种常见错误——不顾形式与不顾条件讲清楚后，一般就能保证学生能够作出相对较简单的洛必达法则求极限的题目，但是要想让学生对这种法则掌握得更加深入，还能作出相对较难的洛必达法则求极限的题目，则还需要对学生强调以下两点注意事项：1比鬴′(x)g′(x)仍满足法则条件，可连用本法则例1求limx→+∞ln(x+ex)x.解原式=limx→+∞1+exx+ex=limx→+∞ex1+ex=limx→+∞exex=1.本题连续使用了三次洛必达法则，最后才得出了正确的答案.2备梅ㄔ虺Ｓ氲燃郾湫巍⒅匾极限及等价无穷小代换等其他求极限的重要方法一起使用例2（2012年数三，三（15））求limx→0ex2-e2-2cosxx4.解原式(1)limx→0e2-2cosx(ex2-2+2cosx-1)x4(2)limx→0ex2-2+2cosx-1x4(3)limx→0x2-2+2cosxx4(4)limx→02x-2sinx4x3(5)limx→0x-sinx2x3(6)limx→01-cosx6x2(7)limx→0x226x2(8)112.本题是2012年数学三第三大题第（15）小题，在解答过程中，只有“(4)”与“(6)”两步是用到了洛必达法则，“(3)”与“(7)”两步用的是等价无穷小代换，其他几步用的是等价变形.像这种较复杂的题目，只用洛必达法则往往很难得出正确答案.三、结束语本文到此已经结束，但是并不意味着洛必达法则的使用我们已经研究透彻了，比如，能否用洛必达法则证明重要极限limx→0sinxx=1？若能，我们的教材是否应当改写？若不能，这个极限limx→0sinxx确实满足洛必达法则所有的三个条件，这是否意味着一般教材所列的洛必达法则的三个条件还不够，还存在第四个条件？这些问题都是我们以后需要进一步研究的问题.完全二部图K6，n当n较小时的点可区别IE踩染色◎丁晓红（甘肃政法学院计算机科学学院730070）【摘要】设G是简单图，图G的一个k驳憧汕别IE踩染色（简记为k睼DIET染色），f是指一个从V(G)∪E(G)到{1，2，…，k}的映射，且满足:衭v∈E(G)，有f(u)≠f(v)；衭，v∈V(G)，u≠v，有C(u)≠C(v)，其中C(u)={f(u)}∪{f(uv)|uv∈E(G)}.数min{k|G有一个k睼DIET染色}称为图G的点可区别IE踩色数，记为χievt(G).本文给出了完全二部图K6,n(7≤n≤243)的点可区别IE踩色数.【关键词】图；点可区别IE踩染色；点可区别IE踩色数；完全二部图在文献［1，2］中，点可区别正常全染色已被研究过，本文将讨论一种非正常的点可区别全染色.图G的一个全染色叫做图G的正常全染色，如果以下三个条件被满足，条件(v):相邻的两个顶点不能染相同的颜色;条件(e):相邻的两条边不能染相同的颜色;条件(i):任意的点和与之关联的边不能染相同的颜色.如果图G的全染色只满足条件(v)，这样的全染色称为图G的IE踩染色.如果f是图G的使用了k中颜色的IE踩染色，且对任意u,v∈V(G)，u≠v，有C(u)≠C(v)，那么f称为图G的k驳憧汕别IE踩染色，或k睼DIET染色.数min{k|G有一个k睼DIET染色}称为图G的点可区别IE踩色数，记为χievt(G).对图G，令ni表示度为i的顶点个数，δ≤i≤Δ.设ξ(G)=minkk1+k2+k3+…+ki+s+ki+s+1≥ni+ni+1+…+ni+s，δ≤i≤i+s≤Δ,s≥0.显然有χievt(G)≥ξ(G).关于完全二部图K1,n，K2,n，K3,n，K4,n，K5,n和Kn,n(5≤n≤21)的点可区别IE踩色数有另文讨论.本文将讨论完全二部图K6,n(7≤n≤243)的VDIET染色.本文用2A表示A.定理1若7≤n≤19，则K6,n有5睼DIET染色.证明先给出2{1,2,3,4,5}-{,{1},{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{1,2,3,4,5},{1,3,4,5},{1,2,4,5},{1,4,5},{1,3,5},{1,2,3,5}}中所有子集的一个排序，使得前4项分别{5}，{1,2}，{1,3}，{1,4}.记所得序列为S1.显然S1有19项（每一项都是一个子集）.下面给出一个K6,n的使用了1，2，3，4，5的5睼DIET染色.让u1,u2,u3,u4,u5,u6染色1.让C(vj)是S1的第j项，j=1，2，…，n;让色5染v1以及与之关联的边;让2，1，2，1，1，2和2分别染u1v2，u2v2，u3v2，u4v2，u5v2，u6v2和v2;让3，3，1，1，3，3和3分别染u1v3，u2v3，u3v3，u4v3，u5v3，u6v3和v3;让4，4，4，4，1，1和4分别染u1v4，u2v4，u3v4，u4v4，u5v4，u6v4和v4;当j≥5，若C(vj)={1,5}，则5染vj，1染u1vj，…，u6vj;若C(vj)={2,5}，则2染vj，5染u1vj，…，u6vj;若C(vj)={3,b}，30的解为-33g(x0)成立，求p的取值范围.分析（1）略.对于（2），即可利用类型2的思想方法求出p的取值范围.对于（3），考虑其反面，即对任意x∈［1，e］，恒有f(x)≤g(x)成立，转化为不等式恒成立问题.解（1）（2）略.对于（3），不等式f(x)≤g(x)，即px-1x-2lnx≤2ex.当x=1时，不等式成立；当x∈(1，e］时，px-1x-2lnx≤2ex可化为p≤2e+2xlnxx2-1.设h(x)=2e+2xlnxx2-1，则h′(x)=-2x2lnx-2lnx+2x2-4ex-2(x2-1)2.又x∈(1，e］，故-2x2lnx-2lnx+2x2-4ex-2<0.∴h(x)=2e+2xlnxx2-1在x∈(1，e］上是减函数，故h(x)≥h(e)=4ee2-1，∴p≤4ee2-1，∴原问题中p的取值范围为p>4ee2-1.总之，以上两个方面在高考和各种模拟考中出现频率比较高，比如2009年浙江省高考调测卷（理）第22题就是关于不等式恒成立问题的，笔者在平时教学中，发现学生对此类问题掌握不够，在此抛砖引玉，希望能引起注意.高中数学应用题的常见类型及模型高中数学应用题的常见类型及模型◎钟晶（北京师范大学大兴附属中学102600）一、应用型试题的特点1蔽侍饽谌莘岣问题背景包含构成生活事实和科技实例必不可少的背景信息，也包含构成新情景问题的条件和关系等信息，问题内容充实丰富.2笔蕴饩哂信ê竦纳活气息和人文精神应用题的性质决定了学生的解题具有实用性、实践性，可以有效地缩短课本知识和实际生活的距离，使学生感到所学的知识与实际生活是紧密相关的，体现了人与社会、人与自然的关系，熏陶了学生的科学精神和人文精神.3笔蕴獾哪谌莼毓檠生的生活世界学生生活在现实的生活世界之中，教育要对学生的生活产生影响，就需要关注现实生活，应用题使学生具有强烈的现实感和生活感.4庇τ锰庖圆牧闲隆⑶榫靶隆⑽侍庑碌奶氐阃瓜远允学能力的考查应用题的选材广泛，情境多样，对学生数学能力的考查超越了课本的知识架构，更突出其对应用意识的关注.5笔蕴獗尘吧柚锰逑止平性应用题背景的设置要求与学生的阅读理解水平相一致，注重学生理解问题层面的公平性.命题时充分考虑城乡差异、地区差异等.二、应用型试题常见类型及模型解决策略我们通常把来源于客观世界的实际且具有实际意义或实际背景的、要求通过数学建模方法将数学问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题称为数学应用题.数学应用题与纯数学题的区别在于其问题情境，数学应用题一般是通过语言文字（必要时附带图表信息）来向解题者呈现其问题情境的，而且这样的问题情境不仅可以包含数学概念、方法或结果，更直观的是包含了非数学领域中的各种对象、事件及其关系，即所谓应用背景，应用背景是应用题赖于存在的“土壤”，也是应用题特征的直接反映.应用背景一般来自于非数学领域，一般是实际背景或真实背景，也可以指非数学学科的问题背景.应用题建模的基本过程包括：(1)模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题.(2)模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.(3)模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构.（尽量用简单的数学工具）(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）.(5)模型分析：对所得的结果进行数学上的分析.(6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程.(7)模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异.简单地说，其步骤是：实际问题——抽象概括——数学模型——解模——还原说明——实际问题的解决——实际问题.近几年高考中应用题所占分值越来越多，考试比重也在不断增加.应用型试题以立意新、情景热、情景实、考查点丰富、设问巧的特点出现在高考试卷中，虽然整体难度不大，但考生得分率较低，究其原因，是对应用问题的实际背景数学化的能力不够，不会转化应用问题，建立相应的数学模型.这与新课改强化数学应用意识，突出数学建模能力的要求不符，随着新课改对高中生数学应用意识要求的提高，应用题将会在今后的高考中占有不可忽视的地位.应用型问题的求解关键要注意两个方面：其一，是学生对试题的阅读理解能力（这里就涉及数学阅读能力、数学抽象能力、转化能力）.其二，是从实际问题中通过抽象、概括和必要的逻辑推理建立模型的能力.三、小结高中数学应用题强调数学跟外界的联系.数学建模解应用题的关键是：正确阅读、理解题意，建立数学模型，解模并回答.而建模能力是解应用题的关键，因而必须让学生多接触社会，多了解一些与数学有关的社会现象.这就要求学生用数学的眼光去发现生活，不失时机地把课堂上的数学知识延伸到实际生活中.针对数学应用题，张景中先生指出，“数学家不喜欢含含糊糊的问题.先要把问题理清楚，把现实的问题化为纯数学的问题.这叫做数学建模.”这就是说要将问题进行“数学化”，或者说进行“量化”.对于遇到的应用题，要根据具体的背景知识，对实际问题进行转化，借助常见的数学模型，将问题转化为用数学可解的模型.另外，这种类型的试题使学生充分认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，让这种意识融入学生的头脑中，化为信念，成为学生学习数学和应用数学的动力.【参考文献】［1］庄美金.社会应用题——高考命题新视觉［J］.内蒙古师范大学学报，2007（8）.［2］郑志培.如何培养数学应用意识［J］.数学通报，2005（6）.例 题 的 重 要 性例 题 的 重 要 性◎汪清涛（安徽省芜湖县第二中学241100）【摘要】高三复习的时间短，内容多，难度大，只有不断地通过课堂讲解、单元过关检测、阶段考试及高考前的模拟测试来落实复习内容，达到复习效果.本文就从复习课上的例题入手，介绍平时在复习课上应该怎么选择例题、讲解例题、拓展例题等一系列手段来把高三的复习课上好，提高复习的效率.【关键词】例题；复习；经典；延伸；优解；效率课堂讲解例题在高三复习中占有举足轻重的地位，接下来简单谈谈高三复习中例题的选择和讲解的一些方法与技巧.1鼻裳≡瘛—做到有的放矢首先例题的选择要注意题目的典型性和目的性，老师要善于从不同的角度、不同的方位、不同的层次先编习题.训练的层次由浅入深，题型由客观到主观，由封闭到开放，始终紧扣基础知识，真正做到解一题明白一类题.让我印象很深刻的就是在复习立体几何中的利用向量来求二面角时，首先应选择一个很容易建立空间坐标系的题目，让学生来做，做的过程当然就是按部就班地来进行了，结果应该是大部分都能做出来，再选择一个不容易建立空间坐标系的题目，这样问题就深化了，最后可以得出结论：建立出正确的坐标系是把题目做对的关键所在.建立好正确的坐标系后，接下来的就是需要正确的计算，运算能力是高中学生所应掌握的，因此在解决这类问题时，也有必要和学生强调运算能力.2逼来泶稹—以防重蹈覆辙在例题的评讲过程中，学生错误较多的题目是评讲的重点.在平时的考试和测试中根据学生的“常见病”和“多发病”适当进行归类评析，重点找出错误之关键，对症下药.教师可以在黑板上抄几个题目，然后让学生板演，当堂练习，同时注意没有板演的学生的情况，要认真分析学生做对或错的原因，是知识缺陷，还是理解错误；是粗心大意，还是老师讲课的疏漏.只有找到了学生出现错误的症结所在，教师才能对症下药、切中要害，才能避免学生以后“故伎重演，重蹈覆辙”.3苯簿典——夯实基础知识经典题，简单地说就是指一类比较常见的，但能够考查学生对知识点的理解和运用，能训练学生解题技能的题目.教师在进行经典例评讲时，要充分发掘经典题的潜在功能，进行创造性的拓展、引申和变化，使学生逐渐掌握一题多解、一题多变、触类旁通的能力.比如在讲到函数类的问题时，就可以把下面的题目作为经典来讲解，能起到触类旁通的作用.例（安徽省2009年高考21）已知函数f(x)=x-2x+1-alnx，a>0.（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a=3，求f(x)在区间［1，e2］上的值域.解本题主要考查函数的定义域、值域、最值，利用导数研究函数的单调性、极值等知识，考查分类讨论的思想和运算求解的能力.（1）函数的定义域是(0，+∞)，导函数f′(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2.设g(x)=x2-ax+2，二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.①当Δ=a2-8≤0，即00，即a>22时，方程g(x)=0有两个不同的实根，x1=a-a2-82，x2=a+a2-82，00，∴函数f(x)在区间［1，e2］上的值域为：2-3ln2，e2-2e2-5.4苯灿沤狻—培养创新能力同一道数学题目，解法不尽相同.如果在解答过程中能够选择最优化的解法，往往能够节省宝贵的考试时间.因此，教师在讲解命题时，要善于将题型分类，总结解题方法与技巧，不仅要讲解常规的解题方法，对于一些能够启发学生思维，培养学生创新能力的特殊解法，更要予以重视.所以，教师在讲解过程中应重在解法的领会，而不应停留在具体知识的得失上，要有意识地培养学生一题多解的能力，让学生在一题多解的训练中体会最优解法的精妙之处.5苯残绿狻—增强应变能力高考试题很少有陈题出现，大多数题都是所谓的新题.每年高考中，总会出现一定数量的新题.这些题设计新颖独特，将所要考查的知识和能力融会于一个全新的情景中，而这些情景是我们平时在训练时很少见到的.所以教师在评讲例题时，要尽力搜集各种资料上最新出现的题目，特别要关注与生产生活、最新科技发展相关的题目，同时要自己编写一些新题.其实新题只是穿了一件华丽的外衣罢了，学生见识多了，自然能撇开现象，抓住本质.总之，数学例题的选择和讲解一定要依据学生的实际，以有利于学生创新能力的提高，有利于学生的全面发展，有利于学生将来发展的深度、广度和高度为目的.讲解过程中，要根据学生的知识状况和课堂的具体情况充分发挥教师的组织、指导、调控作用，让每一名学生真正参与课堂过程，加强例题的变式训练.只有在教会方法、深化思维、培养能力上狠下工夫，才能真正提高一节课的质量.对一道奥林匹克问题的四种简证及推广对一道奥林匹克问题的四种简证及推广◎王淼生（福建省厦门市第一中学361003）【摘要】通过对一道奥林匹克问题的四种简证及推广，阐述教材的重要性，尤其关注教材上的结论、范例、习题及其变式的应用与作用.【关键词】简证；推广；教材参考文献中的数学奥林匹克问题之163（高中），由宋庆先生提供并解答，看后深受启发，但其解答过程较复杂，笔者经研究，利用教材上基本的结论及变式得出四种简捷证法，供大家参考.原题已知α为锐角，求证：1sinα+33cosα≥8.证法1利用教材均值不等式，得到1sinα+33cosα=1sinα+3cosα+3cosα+3cosα≥44(3)3sinαcos3α.又(sinαcos3α)2=13［(3sin2α)cos2αcos2αcos2α］≤133sin2α+cos2α+cos2α+cos2α44=13344，于是得到1sinα+33cosα≥44(3)333342=4×2=8.证法2利用教材算术平均数不小于调和平均数，得到1sinα+33cosα=1sinα+3cosα+3cosα+3cosα≥16sinα+3cosα=8sinα+π3≥8.证法3利用教材柯西不等式的变式：a2c+b2d≥(a+b)2c+d，得到1sinα+33cosα=12sinα+323cosα≥(1+3)2sinα+3cosα=8sinα+π3≥8.证法4只要证明122sinα+3223cosα≥4.利用教材最基本的不等式a2+b2≥2ab（b∈R+）变式：a2b≥2a-b，可得122sinα+3223cosα≥(2-2sinα)+(6-23cosα)=8-4sinα+π3≥4.以上等号成立当且仅当α=π6.利用上述证法容易得到下列推广：推广1若α为锐角，n∈N+，则1sinα+nncosα≥(n+1)32，等号成立当且仅当α=arctannn.由题目的特征：sin2α+cos2α=1，还可以得到：推广2若a，b∈R+，且a2+b2=1，则1a+nnb≥(n+1)32，等号成立当且仅当ab=nn.评注笔者一直在高三一线从事常规教学，同时作为一名奥赛教练，感触挺深！事实上，像这样利用教材上的范例、习题、结论及变式来解决国内外竞赛试题的例子确实挺多，如第36届国际数学奥林匹克试题：设a，b，c∈R+，且满足abc=1.证明：1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.利用上述最基本的不等式a2+b2≥2ab（b∈R+）变式：a2b≥2a-b，可以得到极其简捷的证法.再如第31届IMO预选试题、第5、11届IMO试题等.由此看出高中数学常规教学与奥赛紧密相连，相辅相成，特别是随着新课改的深入，新教材的普遍使用，要求教师深入钻研教材，领会新一轮课改精神，充分利用、用好、用足教材上的结论、范例、习题及其变式，对于这一点，尤其应该引起高中教师、教练员和参赛选手的重视.【参考文献】数学奥林匹克问题［J］.中等数学，2005（10、11）.指数、对数一点通◎蒋英杰（广西富川县民族中学542700）1敝甘式运算指数式运算的原则是“小数化分数，大数化方根”.例1求值：00001-14+2723-19-15+4964-12.解析原式=(10-4)-14+(32)23-(3-2)-32+87-2-12=10+32-33+87=-487.2惫式na=a1n(a>0，n∈N*，n>1)的妙用我们知道，根式内容学习中的主要公式是nam=amn(a>0，m,n∈N*，n>1)，其作用是将根式化为分数指数幂.但当m=1时，学生往往觉得为难，如将3ab2+a2b化为分数指数幂.要解决这个问题，只需用nam=amn(a>0，m,n∈N*，n>1)，当m=1时的特殊情况，即na=a1n(a>0，n∈N*，n>1)，于是3ab2+a2b=(ab2+a2b)13.例2化简：a2b·b3a·ab3.解析原式=a2b·b3a12·ab31412=a1-14+18·b-12+34-38=a78b-18.3钡资对指数函数图像的影响指数函数在同一坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，其中00且a≠1)图像必过定点.解析函数y=ax-2-3(a>0且a≠1)图像是由指数函数y=ax图像平移得到的.指数函数y=ax图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位即得y=ax-2-3(a>0且a≠1)的图像，因指数函数y=ax图像必过定点(0，1)，所以函数y=ax-2-3(a>0且a≠1)图像必过定点(2，-2).6奔虻ブ甘、对数不等式问题原则“化同底，单调性”.当然，先要将不等式化成比较标准的形式.例6解不等式16-22x>0.解析不等式16-22x>0，即22x<16，即22x<24.由y=2x的单调性有2x<4，∴原不等式的解集是{x|x<2}.练习解不等式log22x<3.7倍允式运算原则“化已出现小对数”.例7求值：lg25+lg2lg50.解析lg25+lg2lg50=lg25+lg2lg25×2=lg25+lg2(lg52+lg2)=lg25+2lg2lg5+lg22=(lg5+lg2)2=1.练习求值：(log43+log83)·(log32+log92)=.8倍允函数求定义域原则“找限制条件”.例8求函数y=log05(4x-3)的定义域.解析要使函数y=log05(4x-3)有意义，则4x-3=0，log05(4x-3)≥0，即340.老师：比较大小，运用作差比较法，思路自然.学生2：2k＋1k+1＝2k·k+1+1k+1＜k+(k+1)+1k+1＝2k+1.老师：运用基本不等式，快速、简练.好！学生3：2k＋1k+1＝2k·k+1+1k+1＜2k(k+1)+14+1k+1＝2k+12+1k+1＝2k+1.老师：怎么想到要添加14呢？请说一说.学生3：我想去掉根号，加14后就把k2+k凑成了一个完全平方数，计算一下，恰好等于2k+1.学生4：我想用分析法做，要证：2k＋1k+1＜2k+1成立，即证：1k+1＜2k+1-2k.也就是证1k+1＜2k+k+1，显然成立.对比学生2、学生3的思维过程，他们的出发点相同，一个用基本不等式，一个凑平方展示了思维的变通性；学生4在常规思考方式(分析法)的基础上得出令人耳目一新的放缩法，发展了思维的独特性.从上可以看出教学过程中发散思维的三性(流畅性、变通性、独特性)的训练得到了真正的落实.四、鼓励学生质疑，提出创新问题我国自古便有“学贵有疑，有疑则有思，有思则有进”的说法.有自信心、敢于怀疑是创新的心理基础，质疑问难是培养学生创新性思维的有效途径.大家熟知伽利略敢于当众登上比萨斜塔，用铁一般的事实推翻了四百多年来被大家深信不疑的亚里士多德的定论，可见质疑的创造性.因此，在教学中应鼓励学生在知识范畴内发现新问题，大胆求新，鼓励学生无论何时都不唯师，不唯上，不唯书，敢于怀疑，最终解决新问题.例如，求ca+b＝ab+c＝bc+a时，大多数肯定回答为12，这符合通常的解题思路，这时有的同学提出a+b+c=0时，则值为-1，这里，即找出了特例.显然只有敢于求异才会创新.五、结束语中学阶段素质教育的一个重要标志是创新思维的培养，这也是我们要始终贯穿于教学环节中的指导思想.新时代的数学课堂中，学生的学习过程不再是一个被动吸取、反复记忆练习、被迫强化储存的过程，而是一种主动参与学习、积极解决问题、同化新知识、构建自己知识体系的过程.让学生在“新发现”中广泛交流，激活创造性思维，培养创新精神，产生创新行为，发展创新能力.【参考文献】［1］任樟辉.数学思维论［M］.南宁：广西教育出版社，1996.［2］唐松林.论创造性数学模式［M］.外国教育出版社，2001.［3］刘邦耀.浅谈数学教学中创新思维的培养［J］.数学教学通讯，2000.（上接129页）（1）如图(1)，设△ABC中∠A,∠B,∠C的对边的长依次为a，b，c.如图(2)，任取一点O，设AD与BE相交于点G.由三角形的内角平分线的性质可知，CDDB=bc，∴OD=bOB+cDCb+c.虽然我们不知道AGGD，但OG毕竟可以表示成OG=xOA+(1-x)OD，即OG=xOA+(1-x)bOB+cOCb+c.①重复上述方法，OG还可以表示成OG=yOB+(1-y)·aOA+cOCa+c.②由①和②可得，x=aa+b+c，y=ba+b+c.③把x代入①，可得（也可把y代入②），OG=aOA+bOB+cOCa+b+c.④由③④可知，G和G1重合.综上所述，AD，BE，CF相交于一点G.（2）由第(1)小题的结果可知，OG=aOA+bOB+cOCa+b+c，在这个式子中，OG，OA，OB，OC分别用x系列、y系列置换，得到△ABC的内心G的坐标是(x，y)=ax1+bx2+cx3a+b+c，ay1+by2+cy3a+b+c.三、重心例6P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB=PB·PC=PC·PA，则P是△ABC的（）.A蓖庑B蹦谛C敝匦D贝剐解由PA·PB=PB·PC，可得PB·（PA-PC)=0，即PB·CA=0，∴PB⊥CA.同理可证PC⊥AB，PA⊥BC.∴P是△ABC的垂心.答案为D.四、质心例7在平面上三点A(-1，0)，B(2，4)，C(4，5)处，分别放置质量为3 g，4 g，5 g的质点，求它们的质量中心，并推广到一般结论：在平面上n个点P1(x1，y1)，P(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)处，分别放置质量为m1g，m2g，m3g，…，mng的质点，它们的质量中心是什么？解由物理学知识，两个质量为m1，m2的质点分别放在P1(x1，y1)与P(x2，y2)处时，其合力的作用点P在连接P1和P2的线段上.由力矩相等的原理，得m1P1P=m2PP2，即P1P=m2m1PP2.设P点的坐标为(x，y)，则x=x1+m2m1x21+m2m1，y=y1+m2m1y21+m2m1，即x=m1x1+m2x2m1+m2，y=m1y1+m2y2m1+m2.①根据①式，求得A，B两处质心为57，167，D，C两处质心为2512，4112.所以，A，B，C三处的质量中心为2512，4112.推广为一般结论：这n个点的质量中心是m1x1+m2x2+…+mnxnm1+m2+…+mn，m1y1+m2y2+…+mnynm1+m2+…+mn.数学学习笔记初探数学学习笔记初探◎崔瑞苹（郑州市科技工业学校450000）【摘要】文章从什么是数学笔记、数学学习笔记的意义和数学学习笔记在教学中的应用方面进行了探讨，希望提高教学质量，发展学生思维，为教学和科研提供新方法.【关键词】数学笔记；理解；构建教授数学，其目的就是教人以聪明，授人以才智，就是要学会动脑.我们常说的思考比理解更重要，而理解比记住事实更重要，说的就是要善于思考.我们知道，在数学教学上背诵几个公式、几个概念让一般学生能够记下来而不求甚解，这是容易的.但要用一种有效的数学方法，把一个数学过程的原因讲清楚，并使学生把它作为明显而又合理的结果来加以接受并能灵活运用，那就不容易了.长期以来，数学教学普遍停留在“模仿加记忆”的状态，即教师的讲授不是为了使学生真正理解内容，树立数学观念，而只是让学生模仿教师的解题方法，记住其解题结论，并不了解学生真实的心理状态，这是导致数学教学质量低劣或效率低下的一个重要原因.本文将从数学学习笔记的角度致力于改变目前数学学习状况方面作以探讨.一、数学学习笔记的意义什么是“数学学习笔记”？“数学学习笔记”是让学生以笔记的方式记录下自己对数学学习内容的理解，数学学习的分析，数学工作的评价及由此产生的意见、观点和想法，包括自己在学习数学知识活动中的真实心理反映.数学学习笔记是由教师指导学生系统的、创造性的学习，以应用知识和总结学习结果为目标，借以检查教学效果，调整教学步伐，提高教学质量，培养学生数学素养的科学学习方法.数学学习笔记从控制论、信息论的观点出发，着眼于普遍改善教与学的关系及缩短师生之间情感上的距离，创造融洽的、合作的、协和的良好环境.从控制论观点看，教师在整个教学过程中起主导作用，教师对教学过程的控制，主要根据学生反馈的信息，教师根据学生的反馈信息，不断调节教学方法，控制教学速度，使教学产生更加接近于教学目标的教学效果.从信息论观点看，教学过程实际上是师生之间信息交流的过程，这一过程是以教学内容为媒介，把教师和学生联系在一起，师生双方都是信息的输出者和输入者.教师根据学生反馈的学习效果和教学大纲制订教学计划，输出的是知识信息，输入的是学生学习知识的状况；学生输入的是知识，输出的是学习数学知识的效果.教与学正是在师生信息的不断交换中进行的.二、数学学习笔记在教学中的应用数学学习笔记的写作伴随学习数学的全过程.主要是在数学课堂教学的过程中，或课前课后的课外学习，即便是不涉及数学知识，或对学习数学的感受，或教师的评价，或关于数学学习的经历等，只要是有关数学学习的各个方面，都可随时随地进行记录.数学学习笔记写作的内容，教师可以从以下几个方面对学生加以指导：1笔学知识的学习心理学家、教育家告诉我们，掌握数学知识之所以困难，其原因往往是学生没有形成认识活动基本形式的各种智力动作.教学实践表明，数学学习上的“差生”，其认识活动往往表现为没有形成分析、综合、抽象、概括等一般的智力动作，他们不能分辨出什么是学习材料中的主要内容，不能找出概念及其特征之间的本质联系.有些学生掌握数学概念之所以困难，首先是因为他们不能揭示事物的本质特征，并从非本质特征中把他们抽象出来，为了避免错误的发生，应该注意在尚未区分事物的本质特征和避开非本质特征之前，是不能对事物进行归纳的.另外，在任何概括的过程中，都要进行抽象，而抽象恰恰是概念形成过程中许多学生感到最棘手的.因为概念形成过程中，掌握的知识既包含事物的本质特征，又包含事物的非本质特征，因此，同学们必须学会二者的区分.由此可以看出，数学知识的学习不应该只是知识内容的记忆，而更重要的应该是对知识的理解，以及如何构建知识系统的过程.2笔学解题的学习解题应从分析题目的条件开始，如果没有掌握题目条件及实质就着手解题是毫无意义的.制订解题计划要通过分析和综合，对已知条件和要求之间进一步进行比较，揭示出它们内在的联系，确定了解题方法后再去解题.一个成功的解题过程，需要这样一些智力动作：分析，将要求和条件加以对比，对习题的成分进行再思考，将其纳入所有的新的联系中.而在实现这些联系的过程中，还要运用比较，避开非本质特征，即抽象.为了提高以后的解题能力，应将所求的结果进行检验、分析、讨论和总结.3苯淌Φ慕萄Щ疃中学课堂教学的过程，一般应包括：①教学的目的和任务.②教学内容.③恰当的教学方法.④课堂教学的组织形式.⑤教学结果.其中，教学方法是教学活动中最重要的组成部分.教学方法的选择应从具体的教学目的与任务、教材难度、教学能力要求及学生年龄特征和知识基础等方面考虑.因此，允许学生对课程内容、课堂讲授方式以及作业、考查学生方式等各类问题发表意见.4弊杂煞⒈硌月数学学习一向被认为是一种“苦”差事，是枯燥无味的.所以，数学教学要注重学习兴趣的培养，排除心理障碍，有良好的学习情境，使学生总处于精神饱满、心情愉快的情境中.因此，学生可以自由地表达自己关心的或渴望倾诉的问题，包括自己的成就、失望和学习中存在的问题等.简论数学教育人文价值的实现途径简论数学教育人文价值的实现途径◎韩红军（河北省邢台广播电视大学宁晋县分校055550）【摘要】数学贯穿于人们的学习，同时也贯穿于人们的生活，数学教育不但是对数学知识的传承，同时也应该在培养学生的人文素养中发挥应有的作用.本文从数学教育蕴涵的人文价值出发，浅谈数学教育人文价值的实现途径.【关键词】数学教育；人文价值；实现途径一、数学教育蕴涵的人文价值1笔学教育有助于培养严谨的做事习惯数学是一门严谨的学科，它讲求的是以数据说话，一切结论都要经得起推敲检验，整个过程经不起半点马虎，一个小错误就会导致结论的错误.因此，数学教育的这些特点可以培养学生的耐心、毅力和责任心，培养学生严谨的做事习惯.2笔学教育有助于培养理性的思维能力数学是一种精神，一种理性的精神.正是因为有了数学这种理性思维的介入，人们对于是非曲直的判定不再只是凭着感觉，而更多的是依靠理性来判断.数学本身所蕴涵的理性、确定性和规律性都有利于培养学生的理性思维能力.3笔学教育有助于培养坚强的意志品质数学是一门高度抽象的学科，学好数学的难度很大;数学同时也是一门系统性特别强的学科，环环相扣，无论哪一环出了问题，都难以继续学习下去;还有就是数学的计算，特别是复杂的计算，容不得半点疏忽，一点错误就会导致结果的错误.因此，学生学习数学的过程就是努力克服各种困难，坚持不懈的过程，这有助于培养学生坚强的意志品质.4笔学教育有助于提高美学修养数学中的美在于它的井然有序，在于它对自然规律的揭示，在于它数式的美妙与图形的和谐.“勾三股四弦五”六个字道出了三角形的奥秘，黄金分割充满神秘的魅力.因此，学生在数学的学习中，在老师的引导下，深入体会数学的美，提高数学素养的同时逐步提高学生的美学修养.二、数学教育人文价值的实现途径1苯淌σ以身作则教育包括教书、育人两层含义，这就要求教师的工作不仅是对学生进行知识的传授，同时也要对学生的综合素质进行培养.古语有云:“上行下效.”因此，在教育学生之前，教师必须先提高自己的师德修养，对于数学老师来说，要想在数学教育中培养学生的人文精神就必须从自己做起，做到规范书写、合理用语、端庄仪表、做事严谨、工作一丝不苟.同时，强化自己的业务素质，不断改良自己的教学方法，不断严实自己的数学逻辑思维，积极树立起能被学生认同的教学风格.2苯淌σ活用数学史料数学也是一种文化，是人类的精神财富，不是枯燥、机械的字符或公式.教师在教学中，可以适当地扩充一些课外的数学史料，以学生喜闻乐见的形式在数学教育中渗透人文精神.教师可以通过讲述数学家的故事在加深学生对书本知识记忆的同时，以数学家本身的成长和优秀思想品质来教育学生.数学家的事迹本就是一种传奇，学生愿意听;在这个传奇中，数学家就是英雄，学生愿意学;在这些故事中学生可以学会:坚强、勇敢、不畏艰辛、勇于挑战.3比谇⑹ι关系融洽的师生关系有利于数学教学的实施，也有利于数学教育人文价值的实现.因此，教师首先需要转变观念，在学习活动中担当起组织者、引导者、参与者的多重角色，营造轻松的课堂气氛.同时，教师要对学生表现出充分的尊重与信任，帮助学生树立起自信心.此外，教师要尊重学生的意见，包含学生的误解，支持学生的创意，评价学生要以表扬、鼓励等正面评价为主.如此，师生关系融洽，学生学习兴趣更浓郁，思维更开放，想象更大胆.4狈⒒邮学活动的人文价值数学源于生活，同样其也运用于生活，数学素养的优劣就在于运用数学知识解决实际问题的能力.因此，教师可以以生活中存在的数学问题为原型，组织开展各项数学活动.这样的数学活动最贴近生活，也最能培养学生的人文精神，在活动中，教师要教育学生以数学的思维去看问题，以数学的思维去解决问题.在活动中，精细的处理可以培养学生严谨的做事习惯;以发展的眼光看待、分析问题，可以培养学生的理性思维能力;环环相扣的活动内容，可以培养学生坚强的意志品质.数学教育不仅是知识的传授，更是对学生人文精神的培养，数学教育者应该把人文精神的传承作为数学教学的重要组成部分，自觉地、有意识地在自己的教学中展示数学教育的人文价值.【参考文献】［1］石亚军.人文素质论［C］.北京：中国人民大学出版社，2008.［2］程会仙.弘扬数学人文精神——《数学分析》教学的思考［J］.数学学习与研究(教研版)，2008（12）.初探培养学生在数学课堂中的质疑能力初探培养学生在数学课堂中的质疑能力◎王秀云（浙江省仙居县城峰中学317300）【摘要】质疑是一种寻究探源的表现，是知识积累的基础，没有质疑就没有进步.数学教学中，培养学生的质疑能力，引导学生正确解决所疑惑的问题是关键，能进一步提高学生学习数学的兴趣，增强学生逻辑思维能力具有重要意义.【关键词】初探；培养；学生；数学；质疑能力在教育教学工作中，数学以其严密性、逻辑性改变着学生的思维习惯，对学生的智力开发、创新能力，乃至一生的思维方式都具有重要意义.在数学教育中，学生没有问题就是最大的问题.质疑是思维的起点，是求进的开始，是学生解疑释惑的能力表现，是学生自主学习的重要前提.在培养学生学习数学兴趣的基础上，更应侧重对学生质疑问难能力的培养.如何加强学生质疑问难能力的培养？笔者根据多年的实践教学经验，认为在数学教学中应做好下面几点.一、营造和谐氛围，鼓励学生敢于质疑营造和谐教学氛围，增进教学民主，加强师生交往，有助于激发学生问题意识，鼓励学生质疑问难.在数学活动中，学生才是数学学习的真正主人.教师作为学习的组织者、引导者和合作者要努力营造民主和谐的教学氛围，使学生学习的积极性和主动性充分发挥，消除学生的紧张心理，使学生处于一种宽松的学习环境当中.在民主和谐的课堂氛围中学习，学生心情舒畅，才能敢想、敢说、敢问、敢做、敢于创新、敢于创造.师生之间保持着民主、平等、和谐的人际关系，才能消除学生在学习中、课堂上的紧张感、压抑感和焦虑感，从而在轻松、愉快的气氛中展现个性.有了这样的适宜环境，学生的质疑意识就可以获得充分发挥和显示.二、创设情境，促进学生质疑意识形成教师要创设适当的质疑情境，鼓励学生发现数学的规律和问题的解决途径.心理学研究表明：当学生置于一定教学情境时，有利于激发学习需要.因此，在数学教学中，老师就应根据学生的年龄和心理特征，为学生创设有趣的、可探索的、与学生生活密切联系的现实情境，引导他们饶有兴趣地走进情境中，去发现数学问题，并主动提出问题，培养学生解决问题的能力，然后教给学生思考的方向和线索，引导学生对问题做层层深入的思考，并掌握分析和处理问题的方法，从而培养良好的思维品质，有效地提高课堂教学的效果.1.教学问题设计要“趣”教师在课堂教学中针对高中的教学内容，适当地引入直观材料或轶闻趣事等来设计新颖有趣的问题，可充分调动学生思维的积极性，并进一步主动地去探索寻求答案.2.教学问题设计要“悬”好奇心是追求知识、探索真理的源泉.教师在设计教学问题时认真分析教材，寻找最佳处创设悬念情境，激起学生的好奇心和求知欲，从而使学生对所讲内容产生一种急于追下去的心理，因而注意力倍加集中，求知欲倍加旺盛.3.教学问题设计要“巧”现代教学的事实表明：教师通过培养学生的质疑能力，不仅可以激发学生学习兴趣，启发思维，而且好的提问还可以触发学生潜在的创造能力，学生在学习过程中产生新的问题，在对新问题的发掘和解决过程中，学生的创造能力得以不断加强.这样，问题教学就会达到一个新的高度，教师的教学也就会取得事半功倍的效果.4.教学问题设计要“精”教学问题设计的“精”，是指教师在设疑时围绕中心总体设计，在“关键”（即教学的重点和难点）处设疑.创设的问题要小而具体，具有可思性.只有这样，才能引导学生在积极的思考探索中理解知识，把握重点，体味思路，突破难点，激发学生思维的层次性.三、保护质疑精神，拓展学生问题思维空间“学而不思则罔，思而不学则殆.”在学习数学的过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动地去发现问题，进行独立思考，注重新旧知识的内在联系，把握概念的内涵和外延，做到一题多解、一题多变，不满足于现成的思路和结论，善于从多侧面、多方位思考问题，挖掘问题的实质，勇于发表自己的独特见解.因为只有思索才能生疑解疑，透彻明悟.学习中教师应鼓励学生坚持真理，不迷信权威，敢于批判质疑，优化思维品质.让学生在质疑、解疑过程中自主探索发现，拓展思维空间，培养学生的创新精神和科学精神.教师在进行教学时，要按照“由易到难、由简单到复杂、循序渐进”的认识过程，通过设置问题引导学生质疑，使学生能够积极主动探究问题，实现学习能力的有效提升.如在“点到直线的距离”知识传授时，根据教学内容和知识要点，设置了如下问题情境：“（1）求点P（2，6）到直线l：y=x+2之间的距离；（2）求点P（0，6）到直线l：y=x+2之间的距离；（3）求点P（1，6）到直线l：x+y+2=0之间的距离是多少？（4）如果点P的坐标为（x0，y0），那么点P到直线l：Ax+By+C=0的距离是多少？”在这一教学活动中，通过递进式的质疑活动，将问题内容合理排序，由易到难，层层递进，引导学生对不同情况进行问题分析，逐步将学生的思维活动引向深入.四、引导自主探索，提高学生解决问题能力培养质疑能力是手段，而不是目的，最重要的是让学生能创造性的解决问题.因此老师在教学中就要给学生提供自主探索的机会，引导学生去自主实践、自主探索、合作交流，在观察、实验、猜测、验证、交流等数学活动中解决问题，并初步发展学生解决问题的策略.教学中，老师要创设运用数学知识的条件，如组织学生开展调查、实习作业等活动，引导学生自觉运用数学的基础知识、基本方法去分析、解决生活中的实际问题，培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.总之，通过教学实践，我们认为，每一位数学老师都应以课程标准为指导，培养学生的质疑能力，让学生在职业和解决问题的过程中学习，实现善于发现和解决问题能力的同步发展.考数学复习方法之我见高考数学复习方法之我见◎黄汉林（广东省惠州市惠港中学516000）高考命题不是一味地追求“新”，而是重在考查扎实的基础知识和良好的能力，因而在题目的选取上，相对稳重、实在，又不乏灵活.如何提高高考数学第一轮复习的学习效率，高考题确实给我们提供了许多的启示.一、改进学习方法，培养良好的学习习惯改进学法是一个长期性的系统积累的过程，一个人只有不断接受新知识，不断遭遇挫折产生疑问，不断地总结，才能不断地提高.应通过与老师、同学平时的接触交流，逐步总结出一般性的学习规律.在课堂上应注意培养听课的习惯.听是主要的，把老师讲的关键部分听懂、听会，听的时候注意思考，分析问题，但是光听不记或光记不听，必然顾此失彼，因此适当的记笔记，领会课上老师的意图和精神，五官能协调活动是最好的习惯.在课堂、课外练习中应注意培养良好的做作业习惯，作业不但做得整体、清洁，培养一种美感，还要有条理，培养逻辑能力.同时作业必须独立完成，这可以培养一种独立思考和解题正确的责任感.二、提高课堂效益的“四抓”1弊ブ识形成数学的概念、定义、公式、定理等都是数学的基础，这些知识的形成过程容易被忽视.事实上，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程.一个定理的证明，往往是新知识的发现过程，在掌握知识的过程中培养了能力.2弊ノ侍獾谋┞在课堂上，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题的讨论，对于那些典型问题、带有普遍性的问题必须及时解决，不能把问题的症结遗留下来，甚至沉淀下来，发现问题及时解决，遗留问题要及时补救.3弊ソ馓庵傅要合理选择简捷运算途径，这不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的需要，运算的步骤越大，出错的可能性就越大.因而根据问题的条件和要求，合理地选择简捷的运算途径，不但是提高运算能力的关键，也是提高其他数学能力的有效地途径.4弊ナ学思维方法的训练数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的重任，它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的应用性，对能力的要求较高.数学能力只有在数学思想方法不断应用中才能得到提高和培养.三、学会归纳总结1比绾巫セ础（以高考学案为例）（1）结合“边看边记，温故知新系统”的填空提示，预习阅读课本中所涉及的基本知识、公式、定义和定理，着重自己认为的重点、难点、疑点的再学习和新认识，重视基本概念、基本理论，并强化记忆.（2）结合“落实双基，稳步提高”的练习，遇到概念解题时要对概念的内涵和外延再认识；理解定理的条件对结论的约束作用，并反问：如果没有该条件会使定理的结论发生什么变化？（3）结合“举一反三，触类旁通”的设计，对典型例题师生共同赏析，在教师的指导下，注重如何把握思维的切入点，掌握各种题型的思路走向，揣摩命题的意图，归纳全面的解题方法.只有积累一定的典型习题才能保证解题方法的准确性、简捷性和完备性.（4）认真做好滚动测练习题，采用循环交替、螺旋式推进的方法，避免出现对基本知识、基本方法的遗忘现象.2惫菇ㄖ识的网络结构认识课本知识间的横向联系，了解各部分内容在高考中所占的分值、地位和难易程度，有针对性地复习、梳理重点内容，突破自己的薄弱环节，力求从宏观上把握高中数学的知识体系，建立自己的解题方法体系和思维体系.3比面认识与掌握高中常用的数学思想方法高中数学学习过程中所接触到的数学思想方法一般分为三类：第一类是用来解题的具体操作性的方法，如配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法、错位相减法、迭代法、割补法、特值法等；第二类则是用于指导解题的逻辑方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、归纳法、解析法等；第三类则是在数学学习过程中形成的对于数学解题甚至于对于其他问题的解决都具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等.复习中要关注它们的应用，形成学以致用的习惯.4闭理活页型错题集，真正做到“吃一堑长一智”其整理步骤为（1）分类整理.将所有的错题分类整理，分清错误的原因：概念模糊类、粗心大意类、顾此失彼类、图型类、技巧类、新概念类、数学思想类等，并将各题注明属于某一章某一节，这样分类的优点在于既能按错因查找，又能按各章节易错知识点查找，给今后的复习带来简便，另外也简化了“错题集”，整理时同一类型问题可只记录典型的问题，不一定每个错题都记.（2）记录方法.老师进行试卷评讲时，要注意老师对错题的分析讲解，该题的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、规范步骤及小结等等.并在该错题的一边注释，写出自己解题时的思维过程，暴露出自己思维障碍产生的原因及根源的分析.这种记述方法开始时可能觉得较困难或写不出，不必强行要求自己，初始阶段可先用自己的语言写出小结即可，总结得多了，自然会有心得体会，渐渐认清思维的种种障碍（即错误原因）.四、体验成功，发展兴趣“兴趣是最好的老师”，而学习兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的.如听懂一节课，掌握好一种数学方法，解出一道数学难题，测验取得好成绩，平时老师对自己的鼓励与赞赏等，都能使自己从这些成功中体验到成功的喜悦，激发学习的兴趣.因此，在平时学习中，要多体会、多总结，不断从成功（哪怕是微不足道的成绩）中获得愉悦和享受，从而激发学习的热情，提高学习的兴趣.五、注意培养良好的考试心理素质充分利用每一次练习、测试、月考、模拟考的机会，培养自己的应试技巧，提高自己的得分能力.如对选择题、填空题，要注意寻求合理、简捷的解题途径，要力争“保准求快”；对解答题要规范做答，努力做到“会而对，对而全”，减少无谓失分；总结自己临场时的审题答题顺序、技巧，总结考前和考场上心理调节的做法与经验，力争找到适合自己的心理调节方式和临场审题、答题的具体方法，逐步提高自己的应试能力；树立信心，纠正不良的答题习惯，优化答题策略，强化一些注意事项.高中二年级数学学习障碍调查研究简析高中二年级数学学习障碍调查研究简析◎葛洪亮（西藏林芝地区第一中学860000）数学学习障碍的形成除了受数学学科本身特点的影响，还受学生家庭、社会和学校等诸多因素的影响.本研究采用数学教师筛选、小群体测试和个案访谈相结合的研究方法，从心理学、教育学和数学学科三方面进行研究，简略说明高中数学学习障碍形成的多因素间的联系和相关性.一、研究对象选取西藏林芝第一中学高中二年级学生10人.由笔者根据近3次数学考试成绩，在所教两个普通平行班各选５名数学学习落后的学生.二、研究方法本研究采用数学教师筛选、小群体测试和个案访谈相结合的研究方法.三、研究工具（1）调查问卷：包括学生基本情况、家庭环境、学校环境三个方面，共18个项目.（2）心理量表：利用《学习困难筛查量表》（简称PRS测验）进行了改编.（3）高二数学学习障碍测试题：共22题，全部为主观题，12道填空，10道解答应用题，分基本概念、基本性质、基本运算、基本技能和应用四个方面.测试时间为60分钟.（4）访谈提纲：由前面数据处理分析，抽出3名数学学习障碍可疑学生，根据每名学生的个人情况和测试情况列出访谈提纲.征得学生和教师同意后，利用录音笔记录访谈内容，同时纸笔记录，随后把录音转化成文本形式.四、问卷分析1毖生调查问卷分析在我们所抽取的数学学习落后的10名学生中，男女生各半，年龄16~18岁，身体发育和心理发展接近成熟.5名学生为城市户口，其余学生为农村户口.家庭条件大多为一般，2人属单亲家庭.父母对孩子的教育方式以讲道理不打不骂为主，父母对孩子期望很高，但因为父母自身学历不高，学习上对孩子的帮助很少.一半的学生学习由母亲负责，一半学生无人负责其学习.学生在家都有个人固定的学习空间.学校环境方面，每周六天住校，学校管理严格，由班主任负责学习.一半学生认为数学老师很严格.在数学学习难易程度上，3人认为数学很难，2人认为不难，其他学生认为一般.对于班级学习氛围，7人认为班里大部分同学爱学习.总的来看，学生的家庭条件一般，能给学生提供基本的家庭学习环境和支持，父母自身文化程度不高但是重视孩子教育，对孩子期望很高，给孩子动力的同时也给孩子太多的压力.学校和班级的学习环境很好，学校管理规范，老师要求严格，有一定的班级学习气氛.2毙睦砹勘硗臣品治在研究的10名学生中，PRS测验得分情况：60~65分的5人，低于60分的3人，70~75分的2人，最高分73分，最低分55分，平均分62.9分.高中学生身体发育接近成熟，心理发展也趋于完善，得分相对于小学生和初中生偏高.3笔学测题分析测题中设计了7个数学基本概念题目，分别是1，4，5，7，9，13，19题；基本性质题目，分别是6，8，16，18，21题；基本运算题目，分别是2，3，10，11，12，14，15题；基本技能题目，分别是17，20题.测试完成后，通过追述口语报告法让学生用语言描述其概念理解、应用时的心理活动过程.测题包含的概念有集合、充要条件、定义域、对数、反函数、直线的斜率、增函数.半数被试学生不能完整表述出陈述性概念.通过前面PRS研究发现被试学生记忆力弱，回忆不出或联想不到邻近定义性特征，学生在概念激活阶段不能激活概念网络.学生对陈述性概念的理解只是达到了能和自己的经验联系起来的水平，没有形成自己的概念系和概念域，没有完成数学概念的图式化.研究还发现学生语言表述能力与数学概念的表述和确认存在相关性.在概念学习过程中，学生注意力不能长时间集中保持，造成精致或检验的缺失，从而不能形成数学概念图式.研究发现学生能较好地完成运算性概念测题.这说明学生能较好地掌握概念中的程序化内容.但是也存在学生以自己的程式理解运算性的概念的问题.学生在测题中和访谈中会出现自己想当然的概念，这是学生在概念形成中产生的错误的或片面的概念理解.学生的社会环境、家庭背景、地域差异和个人生活经验具有具体性和特殊性，学生从具体经验化思维向抽象思维过渡时，会出现概念理解的偏差和片面性.另外有的学生会对概念作自己认为正确的推广，出现了“合理性”错误.从基本性质题目的测试结果发现，被试学生概括水平偏低，在观察一道题目或问题时联想不到已有的定理性质，在比较题目和已有定理性质时不能抽象出共同的原理方法.在基本运算题目上，被试学生完成较好.高二学生在心理上处于形式运算阶段，能够在更大范围内进行逻辑运算，能处理复杂的言语问题、假设问题或涉及未来的问题，能够理解因果关系，并根据辩证逻辑的规则，进行不依赖于内容的纯逻辑形式的运算.基本技能题目选自课本例题，为两道应用题，其中两人给出了完整解答，其余都不能从中抽象出数学语言.学生在认知结构和已给信息上缺乏分析能力，数学建模意识和能力不足.在应用题中，与数量关系无本质联系的数量和实物干扰着学生对题意的理解和对数量关系的分析.五、结论研究发现导致数学学习困难的是言语障碍、逻辑顺序障碍，从具体形象中抽象出数学模型困难.数学学习障碍学生普遍存在记忆力和注意水平低下，数学学习不仅需要充分发展的智力，而且需要较好的记忆能力和稳定的能长久保持的注意力.高二学生兴趣广泛、精力旺盛，但是专注力不够；学生在数学课堂上容易分心的主要原因是学生有厌学情绪，通过访谈得知这与教师教学方法陈旧而不能吸引学生，以及教材内容抽象程度高而使学生感觉枯燥等因素有关.数学学习障碍学生接受能力一般都差，对数学的概念、法则、定理、性质等方面的知识都会存在很多缺陷，这就给思维造成了困难.随着高中学习的深入和内容的扩大，数学更具严密性和抽象性，学生的抽象逻辑思维由经验型向理论化转化的过程趋于成熟，而被试学生在这一过程中，出现知识断层、认知结构简单、对数学概念表征单一化等问题，从而表现出思维能力差.从学生的层面看数学概念的学习从学生的层面看数学概念的学习◎刘金晓（浙江省绍兴市高级中学312000）【摘要】目前重解题轻概念、重结论轻过程的现象很普遍，这样数学概念的学习就长期处在一个被忽略的地位，不少同学也就忽视了数学概念的学习，而事实上数学概念是数学学科的精髓和灵魂，是学生进行计算、解题的依据，也是培养学生数学思维的良好素材.因此，在新课程改革教学中抓紧抓好概念的学习是非常重要的.本文从学生的层面谈谈数学概念的学习.【关键词】概念；学习一、建构主义的概念学习建构主义的最早提出者是瑞士心理学家皮亚杰，他对于建构主义的基本观念是：儿童在和四周的环境相互影响时，慢慢获得有关大千世界的知识，这样自己的知识结构得到了发展.其中相互作用涉及三个基本过程：同化、顺应和平衡、个体将外部刺激所提供的信息整理到自己已有的认知结构的过程叫做同化.顺应指个体原有的认知结构受到外部刺激而发生变化的过程.平衡指个体通过自我调节使认知发展从一个平衡点到另一个较高平衡点变化的过程.他认为，人类智慧的实质，就是同化和顺应间的平衡过程，个体受到新的刺激时，就会用原有图示去同化.若成功，就会出现短时间的平衡；若不成功，个体就会调动以前的图式或新建一个图式，直到最后认知上达到新平衡.儿童的认知结构就是在“平衡——不平衡——新的平衡”的循环中不断地丰富、提高和发展的.建构主义教学论的本质：建立一类认知结构就是学习.建构主义对概念学习的积极方面：(1)数学概念是一个主动建构的过程，并不是客观实在被主体简单的、被动的反映；(2)在建构的过程中主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用，并处于不断的发展之中.二、学生已有的经验学生已有的经验来自学校学习和日常生活，它对新概念的学习有积极作用和消极作用.1被极作用因为数学知识之间本身是有连续性的，又根据皮亚杰的认知发展的理论，学生在学习数学概念时往往是从原有的认知结构来出发去理解和区分事物的各种联系及性质，若成功，就获得短暂的平衡；若不成功，学生就会建立新的认知结构或调节已有的认知结构，去顺应新概念，最终获得成功.因此学生要想牢固掌握所学新概念，就必须依靠原有认知结构中的有关知识和经验.理解概念本质的前提是丰富的经验，一名学生的认知结构越完善，表明他的生活经验就越丰富，这样获得概念的效果更好.因此学生在数学学习中，一定要学好前面的知识，否则就会影响后续的学习，因为学习者如果不具备与新概念有关的知识就很难全面认识和理解新知识，此时新旧知识又出现了断链，形成了不连通的网络，如果再继续下去，就会出现更大面积的破网，所以学习的基础很重要.2毕极作用日常概念具有模糊性、广泛性和多义性，很容易导致学生错误理解数学概念，因为有些概念的日常用语的含义和数学的实质不一致，例如数学中的“或”“和”等概念，这样就会使得学生在掌握概念的过程中遇到困难，产生误解形成错误概念，而当学生建构了错误概念，就算学习了科学的概念，但是这种先入为主的观念依然存在于他们的潜意识里，美国著名的数学教育家戴维斯教授就曾说过这种错误观念的顽固性.另外，学生生活在客观世界中，在学校学习数学概念之前，就已经有一系列的概念和观念，但当时受到思维水平的限制，这些概念是片面的或是错误的，尽管如此，波利亚曾说明了过去的经验和知识才让我们产生好念头，因而这些前概念对学生概念的学习有很大的影响，有的概念已经在大脑里形成了一定的理论体系，即已经根深蒂固，这样它就会抵触与之相关的科学概念，就算接受了，也是一个错误概念和科学概念的混合体.例如，学生熟悉幂的运算律(ab)n=anbn，而出现了错误m2·n2=(m·n)2.又如，logaM+logaN=loga(M+N)，logaM·logaN=logaMN等.三、学生思维定式近年来，很多老师抱怨不少学生做概念的相关题目时“一望就会、一动就错”“眼高手低”等，这是因为学生在解题中出现了思维定式，即用原来的思维方式去学习新的概念，或者用原来的方法去理解新概念，这样就出现了一些惯性错误，这是因为已形成概念思维定式了.当概念的学习从一个层次转入另一个层次、从一个阶段转入另一个阶段时，通过表象网络等的作用，对应的思维表象、思维模式、知识网络便自觉地进行了加工，做了不恰当的推广，而很多同学则按照过去的思维，自认为是做了合理的推广，其实新的层次与原来的层次之间的差异被忽略了，因此学习的概念往往是错误的.通常概念的表象、定义及运用在各个阶段的转换过程中也会不自觉地进入思维定式而导致错误.同时随着认知层次的发展数学概念是不断改变的，这时就要求学生打破已形成的数学概念模式，去建立新概念，但是学生的思维还是陈旧的，当在新的领域里讨论问题时，思维还是不自觉地进入了限制的领域，而且同阶段的差异性之间也存在着矛盾，导致了学生学习概念的困难.例如函数概念的学习，在初中是描述的，是作为常量数学的函数，然而到了高中就可以用映射或者别的观点来描述，其核心是“对应关系”，因此，若初中过于强调这种描述性的定义，必然给高中函数的学习带来困难，因为学生的思维已经定式.1毖生概括的能力心理学研究表明，学生形成和掌握概念的直接前提是抽象和概括.事实上，数学概念的抽象性具有层次性的特点，因此在学习数学概念的过程中，只有按照数学概念的结构层次，让概念的学习成为一个螺旋上升的过程，让抽象程度低的概念成为高层次概括活动的具体素材，伴随着不断提高的概括活动层次，学生掌握的概念的抽象程度也被提高了，并逐渐形成了良好的结构功能的概念体系.这样学生才会准确地掌握概念的本质属性，然而很多学生有较低的抽象概括能力，他们不能掌握事物的本质属性，因而影响了数学概念的理解和掌握.因为只有概括了的概念才方便记忆，也有利于迁移，李秉德先生曾经强调在数学教学中与其说为教迁移而不如说为教概括.如果概括能力差，信息就很快被遗忘或储存很乱，这样就影响了概念的同化和顺应，因此，数学教师要注意不断提高学生的概括水平，比如可以实施启发式教学，在教学中创设问题的情境，并且精心设计数学概念的形成过程，让学生亲自体会由具体到抽象概括事物本质属性的过程.例如函数的定义，课本是比较局限的定义F(x)是函数，而F(F(x))就不明白了，逐渐地深入，这样有利于提高学生对数学抽象的概括能力，这样就有利于学生学习数学概念.2毖生语言表达的能力波利亚认为转化是最独特的一种智力活动.因此在数学概念的教学中必须重视确立和运用数学语言.教学实践表明，若一名学生能够把所学的数学概念的有关属性及它们之间的关系用自己的语言来表述，那么他就容易地把它们应用在新的情境，那样就能更好地学习数学概念.然而在实际的教学中，学生自我语言的形成被很多教师和学生都忽略了，他们往往认为数学概念追求的目标是形式化的语言，这样导致的结果是一方面学生学习的概念是通过不完善的自我语言来建构的，另一方面学生又要记老师教的形式化的语言，同时又隔离两者，片面理解了概念，这样就增加了解决问题的障碍与记忆的负担.著名科学家A.Einsetni曾指出一个人的智力及学习的方法很大程度上是取决于语言，这一精辟论述深刻地揭示了数学语言表达能力与概念学习的密切关系.因此，对概念的语言进行分解，能使学生掌握概念应用的操作程序，这样就能更深刻地理解和熟练地运用概念.四、学生不好的学习方法和习惯方法是成功的必要因素，科学的学习方法和良好的学习习惯可以在一定程度上弥补学生智力上的不足，而不少学生有不好的学习方法和习惯，少部分学生会去做笔记和整理错题，相当一部分学生的学习习惯不好，不会归纳总结方法，以及忽略不懂的概念.1毖习方法每名同学有不同的学习方法，学习方法不好的同学开始学习成绩差，若不及时总结经验，改变学习方法，成绩只会越来越差.当与别人的差距到一定程度时，就很难赶上去，这时就会对学习失去兴趣，造成恶性循环，慢慢就对自己完全失去了信心.所以学生会不会学，有没有好的学习方法，会直接影响到数学概念的学习.很多学生上课不认真做笔记，而人的记忆只能停留几天，这样就会导致遗忘，学了等于白学.还有的学生不重视订正错误，对做错的题也不善于从中分析原因，而一个人的大脑里错误的观念是非常顽固的，这样的后果是之前做错，以后还会做错.当然，还有其他的不好的学习方法，例如，盲目地解题，不注重理解知识、领会方法，只会死记硬背概念的定义、公式.我认为在数学的学习包括数学概念的学习中，准备笔记本和错题本是很重要的，因为笔记本可以防止学生的遗忘，并且让学生把握重点知识，错题本可以起到帮学生避免负迁移，订正头脑里的错误的观念的作用.因此，做笔记和订正错误是个很重要的学习方法.而学生的学习方法是需要靠教师和父母来指导的，但是主要是老师，所以老师要加强学法指导.让学生珍惜和重视自己的学习过程，多尝试和训练领悟到的学习方法，让它们内化成自己的能力，提高自己学会学习的本领.而概念方面的错误常常是学生数学成绩差的主要根源之一.因为概念是学习数学知识的奠基石，基础打好了才能越爬越高.概念的学习也需要方法，有好的学习方法就能不断地学习到新知识，逐步使自己有更加好的成绩.2毖习习惯我国著名教育家叶圣陶先生说过好的学习方法可以转化成好的学习习惯，所以我们要养成做笔记和改错题的好习惯.当然还有其他的很多的好的学习习惯，很多学生不善于总结知识，学习了很多知识，解完了很多题目，都不去总结、归类和推广，以后碰到类似的题目，还是不会做;还有的学生不重视学习，没有主动性和积极性，习惯放松，没有探索的精神.比如一些数学成绩差的同学，不能理解一些概念，与概念相关的题目也不会做，就自动放弃和忽略了，自己根本不愿意去花时间思考，也不去弄清楚搞明白.试想：若不经历一个思考的过程，不经过很多思维的碰撞与组合，怎么可能学好概念？很多学生在初中就养成了直接套用公式的学习模式，而进入高中就不同了，同样的问题，不同的思维角度，将直接影响解题的繁简程度.例如求二次函数的最值，看似它是一个纯代数的问题，但是用代数观点解非常麻烦，若对解析几何中的斜率和两点间的距离公式很熟悉就可以使问题变得非常简单.所以平时养成归类、总结和推广的好习惯，能轻松解题.另外，认真思考的学习习惯可以加深对概念的理解和记忆，从感性认识升华到理性认识，还可以防止死读书和读死书，在学习时都能批判地吸收以及激发灵感，解开困惑.而在实际的教学中，我们会注意到，很多同学急于求成和急功近利，学习概念时，没弄清概念的内涵和外延就被假象所蒙蔽，抽象、概括、判断和准确的逻辑推理未能采用多层次的分析，同时数学概念应用于问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括都用到哪些概念、数学概念的应用是否正确、对问题的解决有什么独特之处、是否可找出另外的方案、能否推广和迁移等，都被忽视了，从而导致他们的兴趣和注意指向偏差，忽视了数学过程而偏重数学的结论，而且学生之间的交流就是比较分数，这样就很少有同学去深层次地讨论数学概念建构过程和对解题方法的影响.这样学生就不能完全理解概念，不能从本质上认识数学问题，正确的概念就没办法形成，深刻的结论也难以领会.数学是玩概念的！数学思维的特点是用概念思维，是抽象思维；数学解题离不开概念，解题又有利于对数学概念的理解，相辅相成.让我们把数学概念的学习放在数学教学的首要位置.【参考文献】［1］章建跃.中学数学教学概论.北京：北京师范大学出版社，2006.［2］张跃红.让数学概念从空乏走向生动［J］.中小学数学，2008（1）.［3］陶维林.数学概念教学的实践与思考［J］.中小学数学，2011（3）.《我们与数学同行》揭开了中学生学习数学的模式◎白中宁（江苏省邳州市运河中学221300）【摘要】初中生新入学，他们对中学充满着憧憬和向往，数学课程又是中学生所学课程中一门重要的学科，本文通过对中学数学第一课的论述，揭示了数学与生活的联系，让学生学会理解、感知和探究.让老师更清楚自己的职责和任务是准确地指导学生、巧妙地点拨学生，激发学生学习的欲望和兴趣.【关键词】生活；数学；探究苏科版《数学》第一章是《我们与数学同行》，这是新生入学的第一课，学生也感到惊讶、猜想和莫名其妙.之所以这样说，是因为新生在小学阶段对于数学这门学科的认识，没有这样的章题：我们与数学同行.这就给我们在初中阶段第一课时的教学提出了挑战，如何保证上好第一课，让学生感到数学来源于生活而又应用于生活，掌握感悟、思考、探究这种学习数学的模式.第一章《我们与数学同行》如果引导不好，不仅会让学生感到乏味，也会丢掉很多能给人以智慧和启迪的东西.如何把握好第一章上好第一课，就我在实际教学中的做法谈一谈我的感受和想法，与各位中学数学教师共勉.课本的章头图中就给学生提出了让人深思的问题：“宇宙之大，粒子之微；火箭之速，化式之巧；地球之变，生物之谜；日用之繁，数学无处不在.”自行车轮为何是圆的？火箭将卫星送上天为什么能在固定的轨道上运行？一节节火箭与卫星之间又怎样完成自动脱离？如何解释这些现象？这个疑问给学生埋下了以后学习数学的伏笔.并不要求我们现在给学生一个答复，而是为激发学生的兴趣、引起学生的思考，这才是我们真正的目的.正像牛顿看到了苹果落地，他在思考为什么苹果会落地？经过猜想、论证得出牛顿运动定律.爱迪生看到了母鸡能孵化小鸡，他也拿了鸡蛋去孵化.大家都想一想，他为什么会这样做？那是因为在这个过程中，包括他看到了母鸡能孵化小鸡这一现象，产生了思考，那我也能孵出小鸡呀.虽然他不能完成这件事，我们要理解其中的过程.在实际教学中学生听到这一现象有的学生感到很可笑，正是感到可笑的学生才是最可悲的，拿鸡蛋孵小鸡、看到苹果落地有很多人，可谁又能做得更好呢？其原因是因为他们并没有认识到其中的内涵.这个问题不能让学生在可笑之中就结束了，要反问学生：他为什么会这样做——去引发学生的思考.也正是由于爱迪生善于思考，最后终于成为世界最伟大的发明家.中央电视台科教频道给我们报道了太多太多的发明，有人造出了能下水的潜艇，有人造出了能上天的飞机、各种自行车等，虽然不是特别的细致和精巧，可是这种启蒙的意识是用金子也换不来的，是可贵的，我们数学教师的教学目的之一就要培养学生的这种意识.而第一课时：生活数学的教学目标是通过对生活中常见的图形、数字的观察和思考，感受生活中处处有数学，乐于接触社会环境中的数字、图形信息，了解数学是我们表达和交流的工具.让学生感受到生活中处处有数学，数学的发展反过来又促进生活的提高和发展.课本的实例是：高速公路服务区的俯视图照片、证券公司某一天股市的交易结果、超市各种水果的价格.给我们提供了很多数字信息，不同的水果有不同的价格，同一种水果不同的日期也有不同的价格等.展示学生的活动时，让学生观察课本中提供的图形，思考：你所经历过的服务区、证券公司交易大厅中的详细情况.有心人就会在活动中发现课本中未存在的问题，比如在课堂上这一节的教学中，有的学生就发现了一些超市的水果已经发生变质，却还没有撤下.同样的水果在不同的超市或市场上价格差异很大.和学生一起回想当你自己或和你的家长在超市里以及市场上购买水果的情景，不难发现超市的水果是比较固定的，市场的水果价格是浮动的，甚至浮动很大.以学生的亲身经历去感受生活感受数学，他们的感触最深，得到的结论也最深，甚至发现了更深层的东西——部分商家总是以利润的最大化为目的.而在证券公司股票交易的实例中，一般同学也都说出了股票价格的变化、交易数量的变化.也有一名同学说出了让其他同学和我都感到惊讶的答复，他说：买卖股票的人有时很高兴，有时也表现出一脸的茫然、无奈和焦虑.我问他是怎么了解这些情况的，他告诉我他爸爸就买卖股票，有时连续抽烟，还有时和妈妈吵架.学生对身份证比较熟悉，但在课堂上能完全说明白身份证的含义的同学还是比较少的，只是了解部分信息.身份证可藏一个人很多很多的信息，比如只要告诉我你身份证的号码，就能知道你是哪个省（或是哪个自治区）、哪个市、哪个县的，还能知道你的出生年月日（这一点学生还比较熟悉），另外还能知道你的性别，当然身份证上还有顺序号及验证码.你知道这些信息吗？不熟悉身份证的学生还是感到很惊奇的，而我们的目的是激起学生问题的兴趣，增强探究的欲望，学生自然就会探个明白.你的身份证能提供哪些信息呢？回家看看吧.学生在经历探究身份证的过程中，先是好奇，后是理解，最后是能读出信息，也感受到一种成功的喜悦和快乐，促进学生对数学的兴趣和探究意识，促进师生之间、学生之间感情的进步和身心的健康成长.学生不会无缘无故地去探究，事情的发展总是有导火索，而我们就要做这根导火索，做学生的启蒙者，去不断地点拨和指导他们.在教学中，只要我们能建立起生活与数学的联系，指导准确、点拨到位，做一个领航的高手，学生便会有更好的提高和发展.中学数学作业结构改革问题研究中学数学作业结构改革问题研究◎何建海（浙江省上虞市东关中学312352）学生作业对于学校日常教学效果及教师教学任务的完成具有重要作用，学生作业系统安排得好坏，直接影响着学生自主学习能力和实践应用能力的培养，也直接影响着教师教学方法的改进.因此，探讨学生作业问题有重要而深远的意义.高中数学作为基础教育的重要学科之一，其作业问题同样值得我们进行深入的思考和解决.一、传统高中数学作业中存在的问题传统高中数学作业是以高考为目的参照教材编排的，通常是按照作业的难易程度由教师有序组织起来布置给学生的，可以分为基础型和提高型，已经形成了一个训练链条，通过机械式的重复达到强化学生的记忆、巩固高中数学课堂教学效果的目的.表12011年10~12月我校高二（3）班数学课作业情况统计表作业类型作业来源课内作业（次数）课外作业（次数）高中数学教材343配套练习册035自编练习题25从上表调查统计结果中，我们可以清晰地看到高中数学作业的布置大多数来自于高中数学教材、配套练习册，自编练习题较少.对于教材、练习册上习题或作业主要是巩固性的；而自编的练习题，通过对所调查教师的询问得知多是通过搜集拼接而成.上述作业结构可以说是适应当前存在的“片面追求升学率”等应试教育观念的，其弊端可谓不胜枚举.对于这种“大海捞针”、“题海”式战术的使用，不仅浪费了学生宝贵的学习时间，而且学习效率也值得怀疑.加之学生对所布置作业的意图并不是十分了解，也不能准确体会所布置作业的意图，形成了大多数学生的学习是上课机械式听讲、课后被动完成作业的实际情况，效果可想而知，对于学生主动学习与积极完成作业根本无从谈起.从成熟程度上，可以说传统高中数学作业已经形成了一个数量多、操作性强的实践模式，在培养学生知识的识记策略方面作用显著.但我们不能否认这种作业结构是传统知识型教育的产物，它已不能适应当前培养学生创造性思维能力和创新与实践能力的目的，特别是在当前我国开展创造性教育并已开始步入创造型教育的情况下.传统高中数学作业结构已不能完全适应时代发展的需要，亟须我们通过改革当前作业结构来解决.二、当前我国高中数学作业的特点高中数学学科有其自身独有的特点，这就决定了高中数学作业有其特殊性的表现，总结起来其主要表现为以下几个方面：1备叨鹊某橄笮杂敫爬ㄐ数学学科的知识与其他学科知识相比，其抽象性与概括性更高，以至于使数学学科脱离了具体的现实实际，仅仅是考虑形式上的数量关系与空间关系.从形式化的语言上就可以看出，高中数学作业是有高度概括性的，给出的同样是抽象化的数量或者空间关系.2敝识结构的严谨性对于数学学科结构有一个比较严谨的概括，即“如果给现有学科加上一个有力的演绎结构的话，只有数学学科可以，它不仅可以确定结果是否正确，并且可以确定这个结构是否已经正确地建立起来”.正是由于数学学科有这样的严谨性，高中数学作业的严谨性同样不容否定.3备咧惺学作业的频繁性当前教育体制下，高中课程的设置和安排数学课可谓是校校有、天天有，致使关于高中数学作业的布置也是极其的频繁.每堂数学课后都会有作业，学生在校期间几乎每天都要完成一定数量的数学作业.三、高中数学作业结构的改革1备咧惺学作业的重新分类针对上述当前高中数学作业的弊端和高中数学作业的特点，依据我国中学学生数学认知结构的变化和发展过程，我们建议将当前的高中数学作业分为巩固性作业和研究性作业两种.（1）巩固性数学作业.巩固性数学作业主要以促进学生掌握最基本的数学知识为目的，如：基本的数学概念、数学公式，常用的数学公理、数学定理和基本运算法则等.通过巩固性数学作业使学生掌握基本的数学活动技能，逐步实现高中学生数学学习与实践应用活动技能的“自动化”.（2）研究性数学作业.研究性数学作业相对于传统数学作业可以说是一种全新的、开放式的作业.其主要基于研究性课题，相关课题的提出主要是由教师引导、启发学生来确定，也可以由学生根据实际情况提出确定.研究性数学作业对于学生自主学习能力、创新与实践能力的培养具有重要的促进作用.2备咧惺学作业的批改反馈传统高中数学作业的批改，我们通常是以答题正误为判断标准的，所采用的批改方式也多是以“对”“错”来评价学生的作业，对于学生的解题思路、解题方法、解题能力和学习品质等方面的评价比较少.我们可以尝试进行如下的改革：（1）用提问或者写评语的方式来代替传统的“对”“错”判断.通过评语指出学生存在的不足，并提供可供参考的改进方式.（2）改变传统的数学作业由教师一个人评判的做法，可以采用学生互批、教师与学生面批等多种方式，提高学生对所做作业的认知能力.上述方式的应用，有利于更好地促进学生主动思考，激发学生的数学学习兴趣，启发学生主动探索的意识，养成良好的学习习惯.四、结束语通过新型高中数学作业结构在我校高二年级实践应用表明，其不仅仅可以起到巩固和运用知识的作用，也能反映出学生非智力结构的发展，非常适合在创新型教育中应用.而我们关于该问题的研究也仅仅是一个开始阶段，还需要在以后实践中不断地探索和完善.培养高中数学创新能力的意义与途径分析培养高中数学创新能力的意义与途径分析◎徐士军（江苏省徐州市侯集高级中学221000）【摘要】本文首先简述了高中数学创新能力的含义与意义，之后文章对高中数学创新能力的培养途径进行了分析，包括：训练学生反应速度，为创新能力形成打下基础；转变课堂教学思路，为创新能力形成构建平台；创造创新培养环境，为创新能力形成提供动力.【关键词】高中数学；创新能力；意义；途径一、高中数学创新能力的含义与意义简述数学创新能力是运用知识和理论，在科学、技术和各种数学实践活动领域中不断提供具有创新价值的新的数学思想、新理论、新方法和新发明的能力，能从数学的角度解释和看待问题.江泽民曾说：“迎接未来的科学技术挑战，最重要的就是坚持创新，勇于创新.”的确，创新是一个国家发展的动力，是一个社会进步的灵魂，是一个民族的核心竞争力所在.数学作为高中阶段最重要的基础课，学生除了学到部分理论知识外，还应该在综合素质方面有相应的提高，而其中很重要的一条就是创新能力，这既是素质教育的核心，也是新课改的重要精神.从未来社会发展的角度综合来看，创新教育既是人才培养的基础，又是人才使用的需要，更是时代发展的必然.二、高中数学创新能力的培养途径分析1毖盗费生反应速度，为创新能力形成打下基础学生平时课堂上听课的反应速度是思维敏捷度和深刻性等思维能力的外在体现，而思维能力又是创新能力的基础，因此，培养学生的创新能力，训练他们形成敏锐的反应速度是非常重要的.训练学生思维速度在高中数学教学实践中可以结合课堂提问艺术、兴趣教学法、课堂游戏等多种方式，通过调动学生学习积极性来训练他们的反应速度.比如背诵公式，通过击鼓传花的方式，传到谁谁必须在一分钟之内完整地背出两个公式，如果不能背出就要表演一个节目；又比如提问，教师可以在课堂上随机点名提问，但问题需要设计得循序渐进.这种快速提问、快速回答的方式对学生的思维敏捷度也是非常有效的锻炼；另外，学生对课堂产生兴趣，也是激发学生思维能力的有效措施，这正如托尔斯泰所说：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的学习兴趣.”比如讲解等比数列的通项公式时，可采取实例设疑导入.先提出一个通俗而有趣的问题：用一张厚度为0.1毫米的报纸对折100次有多厚？学生们虽然不能具体说出多厚，但都会说：“没多厚，几米吧.”教师告诉他们这比珠穆朗玛峰还要高，学生们都很诧异，感觉不可能，于是非常聚精会神地去听下面的知识.这也是对思维敏锐度的一种训练，其原因是调动了学生的兴趣，进而激发了他们思维的潜力.2弊变课堂教学思路，为创新能力形成构建平台以往我们的课堂都是教师的“一言堂”，尤其再加上应试教育思想的左右，课堂更是以提高成绩为唯一目的，学生只能被动地接受知识.新时期，我们需要有更多新的思路去激发学生的创新意识，比如运用小组合作教学，让小组内的同学之间相互协作，针对一个数学问题展开深刻的讨论，各抒己见.比如讲概率的时候，教师可以让学生分小组去搜集生活中与概率有关的例子，然后同学们整理出来以幻灯片、公式、实物模拟等各种方式演示出来.有的小组调查搜集来商场里“转盘领奖”的例子，并且亲自制作了一个转盘，不但说明了概率在这个例子中生动的应用，还揭穿了很多商家“转盘”里的秘密，即设有“吸铁石”，你怎么转都不会转到“大奖”上去.这样，在每一次的合作学习活动中，学生为了使自己的小组能够获得荣誉，都会千方百计地调动潜力去调查、分析和研究，学习的潜力、创新的能力、团结协作能力都在这个过程中得到体现和锻炼.3贝丛齑葱屡嘌环境，为创新能力形成提供动力我认为每名学生都有一定的创新能力，而这种能力的发展需要老师为其创造良好的氛围和环境.因此，我们可以充分利用学生的主体性，树立“学生是学习和发展的主体”的人本教学理念，利用各种丰富的创新活动、比赛来激发学生创新的潜力.这正如陶行知先生所说：“只有民主才能解放大多数人的创造力，而且使大多数人之创造发挥到最高峰.”所以，只要可以激发学生创造力的，一切可以为学生营造创新气氛的都可以被引入到高中数学教学中来，比如解题新思路、创意数学应用、几何模型发明等都可以应用到高中数学教学中来.通过这些活动，学生们的主体性得到了发挥，创新意识被彻底激发出来了.教师可以在每堂课的结尾留出5分钟，让学生们分小组分主题轮流展示自己的创新作品辅之以讲解.也可以让学生们举办“数学月报”，让学生们分职业比如组稿、排版、资料搜集员、撰稿、采编等，每小组办一期，为了让自己小组的那一期有所创新，学生们都会很努力地去办.这样整体的创新思维、创新能力就会潜移默化地形成.三、结语总之，提高高中学生的数学创新能力，关系着学生综合素质的提高，需要教师在教学实践的各个环节中给予重视.只有教师具备了这种创新教学的意识，那么数学课堂才不会呆板，才会在整体进程中融入更多的创新性教育.这对培养学生学习数学、运用数学、理解数学是很重要的，同时这种创新意识的融入也是对其他相关学科教学改革的一种有益参考.【参考文献】［1］王静萍.如何在高中数学教学中培养学生的创新能力［J］.教学与教学论坛，2011（16）.［2］戴红荣.高中数学教学中学生创新能力的培养［J］.中国校外教育，2010（8）.［3］易苏胜.浅谈高中数学教学与学生创新能力的培养［J］.品牌（理论月刊），2010（11）.［4］王建.新课程下创新能力培养之我见［J］.教学与教学论坛，2010（34）.谈高中数学教师的角色扮演谈高中数学教师的角色扮演◎余家意（贵州省遵义市汇川区高坪中学563000）以前的课堂教学一般是由教师在讲台上讲，而学生们则机械地听课，做笔记，一堂课下来，笔记做了满满的几页纸，但一下课问学生这节课讲什么，大多数学生还是懵懵懂懂，不知所云.如果学生们在课前没有预习，课后没有去复习巩固，那么这节课就相当于没有上一样，效率差.由于高中数学对学生的能力要求比较高，对于刚上高中的学生来说普遍认为比较难学，从而学生们对高中数学渐渐失去信心.学生怎样才能达到新课程的培养目标要求，怎样才能使学生主动积极参与，怎样才能使学生上课更有效率呢？要解决这些问题必须充分发挥教师的主导地位.一、教师“导演”角色——研究式备课“凡事预则立，不预则废.”事先要周密考虑，精心设计.教师好比导演，如果对剧本不了如指掌，对演员不彻底了解，也就不会导演出内容生动、剧情感人的好戏来.教师只有对教材内容、教学对象、教学方法经过深思熟虑，了然于胸，才能把课讲得妙趣横生、引人入胜.备好课不仅是讲好课的重要前提，而且是提高教学质量的基本保证.重视对学生的了解、分析和研究，这是教学取得成功必不可少的前提，也是备课的重要内容.一个班级的学生，其学习的水平和能力总是有差异的，要调动他们学习的积极性就需进行全面分析、正确对待.了解学生，就能防止因脱离实际、传授内容过深而使学生茫然不懂，或过浅而使学生索然无味；就能抓住学生心理，进行有针对性的讲解与训练，使教和学有机地结合起来；就能一把钥匙开一把锁，启发诱导，达到教书育人的目的；就能准确地把握难易与详略，恰当选用手段与方法.要言之，了解其知识水平、接受能力，以贯彻量力性、高难度；了解其思维方式、困惑疑点，以实施针对性、启发式；了解其心理特点、个性差异，以有的放矢、因材施教；了解其思想情况，精神状态，以陶冶情操、启迪觉悟.“知己知彼，百战不殆”，了解了学生的学习生活、心理特性、兴趣爱好后，教师再进行研究教材内容、教学任务、培养目标，再针对学生特性设计课后习题.二、教师的“主持人”角色——“节目主持”式上课“台下十年功，台上一分钟.”通过研究式备课，教师对教材内容、学生特性、培养目标已胸有成竹.如何“主持”好一节课呢？好的主持人对自己的衣着、语言、形态、精神状态要求特别讲究.高中数学内容多，结构复杂，逻辑推理强，上课短短45分钟时间，教师如何发挥自己的主导地位才能调动学生集中精力听讲及参与教学活动？首先要善于创设情境，引导学生探究问题，激发学生的学习兴趣，使课堂成为学生乐学的场所，加强环节之间的内在联系，围绕课题，让课堂组织教学更为严密；教师要春风满面，充满激情，使常态课的学生精神焕发，与学生产生心灵的碰撞；运用形象直观的教学手段，避免枯燥乏味、无波无澜的平静课堂；学习运用诗情画意的教学语言，为常态课注入灵气的语言魅力.三、教师“配角”角色——参与“表演”在引入什么是古典概型特点与概率计算公式时，用游戏片段指导如下：游戏1请学生分组玩抛硬币的游戏，比比看谁能扔到正面.在游戏中，我让学生仔细观察在游戏的过程中会出现哪几种可能，同时谈谈自己的体会或感触，并将他们反馈的信息记录在黑板上.游戏2将准备好的教具1（袋子里装着两个大小相同但分别标有1和2的乒乓球）拿出，请第一组的每名学生摸球，其他负责同学记录摸到“1”或“2”球的学生人数.将他们的结果记录在黑板上，并用来估计这一事件发生的概率，让学生从中学会和掌握求概率的方法.游戏3将准备好的教具2（转盘上均匀分成红、黄、蓝三等份）拿出，请出三男三女分别转转盘两次，随后将自己转出颜色的情况写在黑板上，其他学生负责把两次转出的结果分别为红色或黄色的同学找出，并说出哪些事件是基本事件及发生事件的概率.这些游戏不但其乐无穷，使学生个个开怀大笑，又提高了学生的学习兴趣，这样课堂气氛会更活跃些的.最后学生自己总结出计算公式：P等于包含的基本事件个数除以基本事件总数.四、教师“评审员”角色做练习题是一个提供给学生演出的很好的平台，做练习我要求学生分组，设置两道题，一道易一道难，设置简单的题目的目的是检查这节课学生掌握的效果，一道难题是看学生能否灵活应用所学知识和发现学生的创新精神.练可以在学生中交流解决，也可以独立完成.让学生时刻参与其中，乐在其中.最后派代表在黑板上写出自己的解决过程及答案.完成以后由学生小组互相检查，互相评比，并说出自己支持或反对的理由.这样学生们的思维更加活跃，因为每一个环节都涉及自己，都不敢马虎应付.学生评完由老师评讲，对于学生做错的，让全班学生思考为什么做错，查找原因，老师给予鼓励增加学生的信心让其虚心接受，对于做正确的老师给予及时的表扬.事事都往学生身上考虑，一节课下来全部由学生自主完成.还可利用作业平台，在设计作业的过程中老师还可以根据层次式教学安排作业，对于作业出现的问题及优秀解法给予记录.批改作业时可以在作业簿上写出自己的评价性、鼓励性语言，让自己的“演员”们切身体会到自己受到关注与重视而使“演员”在“排练”中不敢马虎应付.总之，充分发挥教师在课堂教学中的主导地位，改变旧有教法，势在必行，对教师的要求则更多，需要教师付出更多，教师担任的角色更丰富，例如教师既是导演，又是主持人，还是评论员，还是参加表演的配角.一场好的演出需要多方面的配合，而教师则是除了主角之外其他角色都涉及了.如何在数学教学中培养学生良好的学习习惯◎邓思勋（河南省光山县第三高级中学465450）数学教学大纲中明确指出：“根据数学的学科特点，对学生进行学习目的教育，培养学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯.”通过数学教学来培养学生良好的道德品质，应该灵活地运用多种形式与手段.一、引导学生有目的地学习，并明确课堂教学目标学生接受数学的目的教育，就是要正确认识学习数学的社会意义，把学习数学与经济建设联系起来，把学习数学和自己的理想、前途的实现联系起来.如可以把数学内容作为主题班会或课外小组活动的中心议题，这样做能够启发学生观察与联想.教师要把教学目的明确地交代给学生，即提出学习新课的目的和要求，打算解决什么问题，并让学生明白解决这些问题有什么作用；其次告诉学生打算用什么方法，沿着什么途径去解决问题，且能在教学进程的每一个环节以及采取的一切教学方法和手段上都明确地体现出教学目的.二、激发学生学习数学的兴趣提高数学教学水平，使学生能学到知识，是学生产生学习兴趣的关键.高超的教学艺术往往能吸引学生、感染学生.数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂.在数学教学中要尽可能地接近学生的现实生活，让学生认识到生活中处处有数学，数学中也处处有生活的道理.在数学教学中要注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性，给数学找到生活的原型.例如，“今天以后的第22011天是星期几？”的问题，必能激起学生对二项式定理应用的浓厚兴趣.三、营造自主学习的氛围，诱发创新欲望陶行知先生说：“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人.”只要有创造的意识、创造的行动，就会取得创造的结果.因此，在数学课堂教学中，教师要从“教导者”转变为“服务者”，作为班级“特殊”的一员参加学生的活动，真挚、坦率地与学生平等相处，互相交流思想，坚持每一名学生都产生一定的创新潜能，通过适当的教育取得创造性的成绩.坚信学生是创新的主体，教师通过自己艺术化的服务，用爱心为学生创造一种心灵放松、自主学习的氛围，诱发他们的创新欲望，使他们敢于质疑，敢于坚持自己的意见，从而创造一种能培养和鼓励创造性思维的氛围.四、适合学生探究学习的教法和学法教学方法包含教师的教和学生的学.如何把学生从被动的、苦学的束缚中解脱出来成为学习的主体是课堂教学改革中亟待解决的问题.要克服这一弊端，必须从教师的“教”和学生的“学”这两个方面着手进行课堂教学改革，实施愉快教育的探索，研究出适合学生探索学习的教法与学法.对教师来说，首先，确立学生是学习的主体.在整个教学中必须把学生当做一个完整的生命体，而不只是当做认知体来研究.教师必须明确“学”是教学的中心，教师的职责在于“引路”而不是“包办”，“施教之功，贵在引路，妙在开窍”.要坚决克服教师只管授教以及教学中大量使用填鸭的教学方式.只有确立了“心中有学生”的思想，才能在教学过程中吸引学生积极参与到教学过程中来.其次，要将传授知识的过程转变为学生探究知识的过程，使学习具有探索的性质.过去，由于错误地把传授知识的过程仅仅看成是记忆过程，将记忆力代替所有学习能力，结果使本应多姿多彩的学习生活变成了追求分数的精神依托，学生永远不会独立地获取知识，同时直接导致了厌学情绪的产生.因此，掌握知识必须经过学生的积极思考，把传授知识的过程变成教师引导下学生主动探索知识的过程，使学生能在兴趣的驱使下积极进取，主动地对学习内容进行“刨根问底”式的探究.由于这种探究学习需要学生积极思考，大胆推测，反复求证等一系列努力，虽然这种努力，有时候在旁人看来是很“苦”的，但是一旦探究学习取得成功后，学生就能从探究学习中获得积极的情感体验，最终认为学习是“乐事”而非“苦事”.通过学生自身的努力取得学习上的成功，是学生对自我价值的肯定，容易树立信心，以成为学生学习的源源不断的动力.最后，树立整体优化的思想.教学系统中，教师所使用的教学方法、教学手段和所选的教学内容等在动态的教学过程中都是相互联系的，也都深刻地影响着学生的学习.这就要求教师从整体出发，对教学内容、教学方法、教学手段加以通盘考虑、全盘安排，以使这些要素发挥出最大的功效.教法为学生成为学习的主人创造了有利的条件.与之配套的学法，使学生真正做了学习的主人，其主要表现在自学、讨论、练习之中.自学，是体现学生个体劳动的学习方式.自学时，由于每名学生的认知水平不同，每个人的探索活动要受到已有知识和经验的制约，表现出所采用的旧知识、智力活动方式、学习速度上的差异.因此，究竟用哪一项旧知识学习新的问题，应根据学生对已有知识掌握的熟练程度而决定.自学时，每名学生的认识水平和克服困难的毅力决定了各自的学习效果.课堂讨论一般分为小组讨论和全班讨论，它是学习过程中的群体活动.在这种群体活动中，仍然是每名学生做学习的主人.同一时间内虽然只有一人发言，但是其余同学要结合自己的认识对发言内容进行判断、评议、修正、求异、择优等一系列逐步深化的思维活动.五、注重研究性学习，培养创新意识研究性学习强调学生通过探究和发现进行书本知识的学习，它超越特定的学科知识体系和严格的课堂教学的局限，强调综合运用所学知识和技能，要求学生自主地从学习生活和社会生活中选择和确定关于自然、社会和学生自身等方面的问题，展开类似科学研究的过程，从而获得探究的体验，发展探索的能力和创新意识.在现行的高中数学教学中增设了研究性课题，这就为数学教学提供了非常好的培养学生创新意识的机会，因此在教材中一定要组织好研究性课题的教学.例如，在“研究性课题：多面体欧拉定理的发现”的教学中，让学生从最常见的正方体入手去研究欧拉公式，看看随着点数F、棱数E、面数V的增减，它们之间的关系是否随着变化，从而培养学生的探究精神，提高学生的学习兴趣.数学文化对高中学生素质教育的影响数学文化对高中学生素质教育的影响◎于德元（江苏省淮安市钦工中学223200）素质教育下的数学教学不仅要求学生掌握一定的数学定理、公式并学会运用，而且要引导学生深入了解数学的历史和文化.高中阶段是人发展的重要时期，学好数学知识不仅能锻炼人的理性思维，而且能培养人的思辨能力，对于提升人的创新能力具有举足轻重的影响.加强数学文化教育不仅有利于实现教学中的情感目标，而且有助于提高课堂教学的趣味性，全面提升学生的数学素养.一、解读数学文化的丰富内涵性毋庸置疑，数学作为一种文化的出现首先源于它的研究对象是人类抽象思维的产物，美国文化学家A.Kroeber认为，文化由外显和内隐的行为模式构成；这种形式模式由象征符号获得和传递.而数学的基本价值体现在工具性，它的出现解决了诸多当时生活和生产中遇到的难题，后来逐渐建立了较为完备的数学语言和逻辑系统，在后来的发展过程中经过无数先人的总结与实践，最终形成了数学思想和数学文化.数学文化博大精深，且历史悠久.从简单的数值计算，到欧几里得几何学和非欧几何学的形成，解析几何学体系的建立，再到微积分定理的出现，以至于后来极限概念的形成，四元数代数的发现……这些数学理论成果的取得，使人类对数学文化的认识更深入.王小波认为，“文化是人类的生活方式”，而数学就是这样的一种文化，它不仅在生活中有广泛应用，而且对其他领域的研究也起到重要影响.在化学领域，新的发现及重要成果都要借助数学方法进行分析和研究；在描述某些物理过程或阐述某些物理概念时，也经常需要借助数学表达式来呈现就会变得简洁直观，如速度的表达公式v=st.黄金分割是数学上的一种比例关系，是造型艺术的一种分割法，则具有广泛的美学价值……可以说数学的发展对其他科学的发展产生了深远的影响.二、数学文化对数学学习的影响1庇兄于提高课堂教学的趣味性数学具有抽象性与逻辑性特征，因而在大多数情况下，学习者认为数学知识是枯燥乏味的.在这种心理暗示的影响下，很多学生对数学学习失去了兴趣，甚至产生了畏难情绪.有鉴于此，教师可以通过数学故事“缓解”学生的紧张学习情绪，逐渐引领学生进入数学情境，提高学生的数学参与热情，从而被变动接受数学知识为主动学习数学知识.例如，笔者在讲有关集合的知识时，经常会涉及∞这个符号的使用.为了增强课堂教学的趣味性，给大家介绍了“∞”符号的起源.“∞”曾被罗马人用来表示1000，而后来用于表示任意的非常大的数，即无穷大.公元1665年，一位牛津大学的教授约翰·威廉第一次用这个符号表示无限.但该符号直至1713年贝努利使用它之后，才被广为采纳.在教学中穿插这样的小“插曲”，不但可以调节课堂紧张的气氛，而且能拓展学生的知识视野，调动学生探求数学知识的积极性与主动性，让学生能够在寓教于乐的情境中感受数学的乐趣.2庇兄于发展学生的数学思维能力学生对于数学知识与技能的获得不能光靠死记硬背，有时还要经历思维的构建过程，在数学文化中，有些数学故事在这方面就具有典型的启发性.例如，在讲解等比数列时，笔者给学生讲了国王奖“麦粒”的故事.据说，有位印度宗师希望国王在象棋棋盘上用麦粒进行赏赐.在棋盘的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止.国王认为这个请求十分简单，便爽快地答应了.那么，这位宗师会得到多少麦粒呢？我们一起来算一算：1+2+22+23+24+…+263=264-1，直接写出数字来就是18 446 744 073 709 551 615粒，这位宗师所要求的竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！对于这样的结果，国王真是叫苦不迭……在故事讲解的过程中，学生们通过计算和推导，事实上已经掌握了等比数列的方法，并深化了对数列有关概念的理解.3庇兄于培养学生积极的数学情感新课程理念下的数学教育不仅要求学生掌握知识与技能、过程与方法，还应着重激发学生积极的数学情感，逐步引导学生在学习中磨炼意志，增强自信，培养爱国之情.例如，教师可以向学生讲解瑞士失明的数学家欧拉的感人故事和取得的丰硕科研成果，欧拉是数学奠基人之一，以他的名字命名的欧拉公式、欧拉定理、欧拉积分等是数学学科中的重要基础知识.教师应号召学生学习欧拉的科学献身精神和锲而不舍的科研精神.为了激发学生的学习热情，教师也可把中国古代取得的数学成就介绍给大家.如西汉时期编纂的《九章算术》就最早使用了“分数”“小数”和“负数”，这些内容均在公元三世纪大数学家刘徽为《九章算术》作的注解中得到明证.不仅如此，在数学领域中以华人成就命名的科研成果也十分丰硕.如数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被命名为“华氏定理”、数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果被命名为“苏氏锥面”、数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”，等等.三、学生数学观念的渗透与改变要树立正确的数学观念，深入领悟博大精深的数学文化，不仅需要教师适时把一些数学方面的历史典故、名人轶事引入到课堂中来，而且要尽可能地让学生参与到社会实践活动中来.例如，在银行储蓄中，让学生学会用数学知识分析哪种方式的存款收益最多；在产品设计中借助数学模型可以完成很多试验，省时、经济、安全；而数学又是计算机科学的核心内容，让学生利用数学知识来设计一些小程序并运行，也是提高学生分析问题、解决问题的最佳途径等.因此，只有正确引导学生改变传统的数学观念，培养科学严谨的工作作风和勇于实践的科学精神，鼓励学生充分体会数学在人类生活和生产中的价值与作用，才能真正发展学生的数学思维.高中数学教师应在传授数学知识与技能的同时，要深入挖掘数学文化隐含的思想、精神、观念、价值观……让数学教育过程成为学习者文化素养的养成过程，提升数学教育的价值.总之，数学文化教育对学生的影响是润物无声、潜移默化的.在教学中教师要引导学生从数学文化中汲取更多营养，不断激励自我，树立科学的人生观和世界观，大胆质疑，亲身实践，全面提升自身的数学素质.
【摘要】本文分析了经济数学教学之现状，并提出了几点在教学中的想法.
【关键词】经济数学；改革；数学应用
通过近三年的经管类专业的数学教学，深深地感到经管类专业的《经济数学》教学任务之重，课改势在必行.以下是本人在教学中的一些想法，与大家商讨.
一、经管类《经济数学》教学现状
由于《经济数学》在高职教育的经管系中作为公共心修基础教育课,加上职业教育形成时间较短,教材仍处于完善阶段,经管类的《经济数学》常常是高职高专理工类《高等数学》的删繁就简，去掉了一些相对较难的内容，虽然也介绍了一些与经济有关的内容，如常见的经济函数、边际分析、弹性分析等仅仅也是简单介绍，真正能联系现实经济现象和时代背景、体现专业特色的内容并不多.概念的引入缺少专业背景的铺垫，应用问题脱离生产和生活实际，与学生的知识背景和生活体验之间存在较大的差距，缺乏真正联系实际的应用问题.学生在学习这些内容后，很难感受到数学对他们的专业和今后的工作有多大用处，更无法体会到数学在定量研究、分析、解决经济问题的重要性.从教学方法上来看,教师大都习惯从理工科学生角度来讲授《高等数学》，这种教学模式只会使学生感觉数学抽象,很难做到因材施教,无法使学生体会到《经济数学》在所学专业中的应用性,学生必然感到《经济数学》也是难学且又无用.
二、经管类专业学生的现状
首先，经管类学生是文、理兼有且数学基础较低，很多学生由于自身学习经历的原因,在学习中往往忽视各部分知识的联系,不能将各知识点融会贯通，更有些学生从中学就没有养成良好的数学学习习惯，甚至对学习数学有恐惧心理.其次，学生的数学思维能力低加上学习方法不当，不能准确领悟数学知识的获取和数学思维方法的形成过程,不会以数学为工具去解决专业所涉及的实际问题.
三、经管类专业数学教学改革方案
1贝友Э迫胧,优化教学内容
高职经济管理类专业开设《经济数学》的主要目的是培养学生的思维方式和能力,提高他们的数学素质,从而全面提高综合素质.然而,目前高职数学教学使用的教材是统一编写的且缺乏一定的实用性和针对性,在这种情况下,我根据所任教班级的专业,对教学内容进行优化，如一元微分学在往年的教学中占了80%的课时，而今采取只介绍知识产生的背景，至于如何计算，我安排学生在机房依靠MATLAB和LINGO软件中完成，这样一来，所占课时只有52%.对线性代数和概率论与数理统计的内容，也根据专业不同来取舍，如金融、会计专业要加强数理统计的内容;而旅游管理、电子商务专业、物流、营销等专业则加大线性代数、线性规划等应用数学内容的学习.课堂上常选择如：生产函数模型、期权定价模型、大型超市购物付款排队系统优化模型、风险投资模型等与专业紧密联系的实例,融专业知识于数学教学中,激发学生学习数学的兴趣.注重对学生的数学应用意识和应用能力的培养.让学生真正产生对所学知识的“想用、能用和会用”,这样才能真正实现数学的价值.
2贝咏谭ㄈ胧郑注重培养学生的数学分析思想
现行的经济数学课程是以学科逻辑作为教学主线，课程突出数学计算能力培养，这种知识与结构随着专业课程改革逐步失去存在的价值.在经管类专业课程中需要进行数学计算的内容越来越少了.由经管专业数学需求分析可知，经管类专业课程中对数学的主要需求是数学的分析方法，而不是数学工具本身.
如案例：假设A公司和B公司的产品需求曲线分别是QA=200-02pA，QB=400-025pB，这两家公司的销售量分别为100和250（1）求A，B两公司当前的价格弹性（2）若B降价后，销售量增加到300，同时，又导致A的销售量下降到75%，问A的交叉价格弹性是多少？（3）假定B公司目标是谋求销售收入最大，你认为它降价在经济上是否合理？
此问题的计算并不难，只要会用现成的弹性公式就能完成，但此题反映的经济含义是需要学生通过数据进行分析后作出决策，这正是在教学中要注重培养的数学分析思想的体现.
将专业应用与数学课程结合起来，在专业应用中开展数学教学，以经济现象的数量形式来构造数学模型，借助工具进行计算，分析经济现象的背景，体现了数学分析思想在专业课程中的应用，也可以提升经济分析的高度、精度和准确度.
3贝幼ㄒ敌匀胧郑数学教师必须转变观念
首先,教师要增强应用意识,提高教师应用数学的水平,这是数学应用教学成功的关键.其次,担任经管类专业的数学教师要适当阅读一些经济管理类有关书籍,了解经济管理类专业哪些方面的问题需要用数学知识解决,以及怎样运用这些知识,从专业应用的角度体现数学思想和数学工具的应用.再次,数学教师要善于将蕴含于实际生活中的数学题材与数学基础知识有机地结合起来,将培养学生应用数学意识和能力贯穿于教学过程的始终,要注重从实际引入概念,如“从连续复利引入极限”，“从边际成本引入导数”，“从现金流引入定积分”，从实际提出问题,从而使学生体验数学与日常生活的密切联系.让学生在社会生活中学习数学,在解决问题中巩固所学到的数学知识.最后，教师要善于将现代化的教学手段与传统教学手段相互结合，使教学活动更加形象直观,增加它的趣味性和直观性,充分调动学生的学习积极性,更好地培养学生数学思维能力和实际应用能力.
4贝臃务性入手，改变经济数学的考核方法
在教学过程中增加了培养学生运用数学解决实际问题能力的内容，就必须在考试、考核中体现出来，这样学生就会在平时的课程学习中格外注意提高自己的数学素质和能力.为此，要改变一考、一卷定成绩的局面，可以采用多方面考核，如在授完一元微分学后，我及时布置上网查询“微积分在经济学中的应用”案例及与此相关的数学模型资料，并借助大学城，鼓励学生自编练习题发到我空间以便交流；并能在学期结束时要完成一篇心得或感想.课后的作业也是不定期，形式不拘一格，如数学小论文、上网查询数学史等.形式多样，综合评定学生成绩，把考试与教学过程有机结合起来.
【参考文献】
［1］卢春燕.关于高职经济数学改革的几点思考［J］.中国科教创新导创，2008，(35):104－105.
［2］陈亚丽.高职数学教学改革中若干问题的思考［J］.兰州教育学院学报,2005（3）.
