旋转法在几何解题中的妙用

李德桥

旋转变换是几何图形三大变换之一,旋转法是通过旋转变换,使旋转后的图形与原来图形建立起某些联系,即通过图形变换,把条件不明的量之间的关系转化为明显的量的关系,由此沟通已知与未知,以利于探索出解题途径的思想方法.在中考中,可以利用这种变换,打破常规解题的思维局限,大胆构想,大手笔运用图形,使问题得以转化.在几何问题中,巧妙地运用旋转法解题,有时可以起到四两拨千斤的作用.以下几例就是巧用旋转法来求解的题型.

一、运用旋转变换化归求面积

求不规则图形面积往往需要转化思想,根据图形的结构,利用旋转变换把分散的、不规则的阴影部分的面积转化为集中的、规则图形的面积,从而使问题得以解决.

例1:如图1,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是.

图1图2

分析:由PE∥BC,PF∥CD可知四边形AEPF是平行四边形,则△POF和△AOE关于点O成中心对称,

∴△POF绕点O旋转180°之后与△AOE重合.

这样阴影部分的面积就转化为△ABC的面积了(如图2),

S■=S■=■S■=■×■×AC·BD=■×■×2×5=■.

例2:如图3,在Rt△ABC中,E为斜边AB上一点,AE=2,EB=1,四边形DEFC为正方形,则阴影部分的面积为.

图3 图4

分析:∵四边形CDEF是正方形,∴点D可以看成是点F绕点E按逆时针方向旋转90°所得,若点B也绕着点E按逆时针方向旋转90°得对应点B′(如图4),则Rt△EDB′≌Rt△EFB,故所求阴影部分的面积即为Rt△AEB′的面积.

∴S■=S■=■AE·B′E=■AE·BE=■×2×1=1.

本题抓住EF与ED共点等长的特征,把三角形EBF旋转到三角形EB′D的位置,从而把分散的阴影部分的面积转化为一个直角三角形的面积,非常巧妙地简化了计算.

二、利用旋转变换求角度

例3:如图5,P是等边三角形ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.

图5

分析:考虑到以3,4,5为边的三角形是直角三角形,故设法构造以3,4,5为三边的三角形.由于3,4,5比较分散,因此把它们集中成为某个三角形的边是问题解决的关键.

∵△ABC是等边三角形,利用旋转变换是最好的手段之一,∴可将△ABP绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△ACQ,连接PQ.

∵△ABP≌△ACQ,

∴AQ=AP=3,CQ=BP=4,∠CAQ=∠BAP,∠AQC=∠APB,

∴∠PAQ=∠BAC=60°,∴△APQ是等边三角形,∴∠AQP=60°,PQ=AP=3.

在△PQC中,PQ■+QC■=3■+4■=25=5■=PC■,

∴∠PQC=90°,

∴∠APB=∠AQC=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°.

例4:如图6,正方形ABCD的边长为1,点M、N分别在BC、CD上,使得△CMN的周长是2,求∠MAN的大小.

图6

分析:∵四边形ABCD是正方形,

∴将Rt△AND绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABL,

则Rt△ABL≌Rt△ADN,

∴DN=BL,AN=AL,∠1=∠2,

∴∠NAL=∠DAB=90°.

又MN=2-CN-CM=(1-CN)+(1-CM)=DN+BM=BL+BM=ML,且AM=AM,

∴△MAN≌△MAL.

∴∠NAM=∠MAL=90°÷2=45°.

三、运用旋转变换求线段的长度

例5:如图7,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,AE⊥BC于点E,四边形ABCD的面积为16,求CE的长.

图7

分析:由于图中四边形是任意四边形,利用面积无法直接求出CE的长.但是,题中有条件AB=AD,且∠BAD=90°,所以如果把△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°,则可以得到四边形AECE′,

根据四边形内角和定理:∠ADC+∠B=360°-90°-90°=180°,

∴∠ADC+∠ADE′=∠ADC+∠B=180°,∴C、D、E′三点共线.

由∠C=∠CEA=∠E′=90°,AE′=AE,易证四边形AECE′是正方形.∴S■=S■=16,∴CE=4.

注:本题是将一个不规则的四边形通过旋转转化为正方形,由于面积没有改变,从而使问题得以解决.

例6:如图8,四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=30°,AB=AD,BC=12,CD=9,求AC的长.

图8

分析:∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴可将△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°,

得到△ADE,连接CE.

则∠4=∠5,∠CAE=∠BAD=60°,AE=AC,DE=BC=12,

∴△ACE是等边三角形,

∴AC=CE.

∵∠CDE=∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠3+∠5=∠CAE+∠BCD=60°+30°=90°,

∴△CDE是直角三角形.

又DE=12,CD=9,

∴AC=CE=■=■=15.

注:本题是抓住AB和AD共点等长的特征,通过旋转三角形ABC构造出正三角形ACE解决问题.

四、比较线段的大小关系

例7:如图9,AD为△ABC中BC边上的中线,试比较AB+AC与2AD的大小关系.

图9

分析:构造2AD是解决本题的关键.

∵AD为BC边上的中线,

∴DC=BD,

∴可将△ADC绕点D旋转180°得到△EDB,

则DE=AD,BE=AC,

∴AE=2AD.

∵在△ABE中,AB+BE>AE,

∴AB+AC>2AD.

例8:如图10,点D是等腰直角△ABC斜边上任意一点,比较AD■+BD■与2CD■的大小关系.

图10

分析:由线段的平方我们虽然想到了勾股定理,而运用勾股定理却需要直角三角形作为条件,因此构造直角三角形是解决本题的关键.

∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴可将△ACD绕点C按逆时针方向旋转90°,

得到△CBE.

则BE=AD,CE=CD,∠DCE=∠ACB=90°,

∠CBE=∠A=∠CBA=45°,∴∠DBE=90°,

连接DE,则由勾股定理,得BE■+BD■=DE■,又CE=CD,∠DCE=90°,∴DE■=CD■+CE■=2CD■,

∴BE■+BD■=2CD■,

∴AD■+BD■=2CD■.

旋转变换在几何中的妙用实例不胜枚举,尤其是当图形中出现“共点等长”的线段时,一般可采用旋转变换把已知条件中较为分散的条件集中到一个图形中去,从而使问题得以解决.旋转法解题是解几何题常用重要解题方法之一,等边三角形、正方形、等腰直角三角形的特殊性质,为运用旋转法解题提供了广阔的天地.