论高等数学与初等数学的联系

刘亚婷

摘 要 近年来，随着高中数学课程的改革，初等数学与高等数学的衔接内容越来越多。因此，要想学好高等数学，必须要有牢固的初等数学基础。高等数学没有想象中的那么神秘，恰恰它有固定模式可循，只要我们有扎实的初等数学基础，高等数学的学习就游刃有余了。在此，我谈谈高等数学与初等数学的联系。

关键词 高等数学 初等数学 联系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

On the Contact of Higher Mathematics and Elementary Mathematics

LIU Yating

(Mathematics Department, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi, Guizhou 562400)

Abstract In recent years, with the reform of high school mathematics curriculum, elementary mathematics and mathematical convergence of more and more. Therefore, in order to learn higher mathematics, must have a solid elementary mathematical basis. Higher mathematics is not as mysterious as imagined, precisely, it has a fixed pattern to follow as long as we have a solid elementary mathematical foundation, advanced mathematics to learn to be getting. At this point, I talk about the links of higher mathematics and elementary mathematics.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; contact

1 初等数学中一阶导数在高等数学中的应用

1.1 用一阶导数讨论函数的单调性

在初等数学中要讨论某一函数的单调性，一般根据函数单调性的定义来做，但在高等数学中，我们只需要根据一阶导数与0的大小关系来判断，即：

定理1 设函数在[]上连续，在（）内可导，则

（1） 若在（）内＞0，则函数 = 在[]上单调减少；

（2） 若在（）内＜0，则函数 = 在[]上单调增加；

例1 讨论函数 = 的单调性。

解：函数 = 的定义域为（-∞,+∞），令 = 0，则 = 0将（-∞,+∞）分为（-∞,0]，[0,+∞）两个部分区间。

当时∈（-∞,0）， ＜0，则函数 = 在（-∞,0]上单调减少；当时∈（0,+∞）， ＞0，则函数 = 在[0,+∞）上单调增加。

此题若用初等数学中定义来讨论，从思维上讲并不难，但其解答过程要比用此方法复杂，由此可见，有时我们用高等方法去处理初等数学问题会比较便捷。

1.2 用一阶导数计算极限

当我们在求商式的极限时，经常会遇到未定式（即型或型），对于这种极限，我们常常使用洛必达法则：设当→（或→∞）时，函数和都趋于零，在点的某去心邻域内（或当||＞时），及都存在且≠0， 存在（或为无穷大），则 = （或 = ）。

例2 求

解：此极限是未定式型，由洛必达法则得== =

例3 求

解：此极限是未定式型，由洛必达法则得== = = = 3在使用洛必达法则时，若经过分子、分母分别求导后还是型或型，应继续使用洛必达法则，直到极限不是未定式即可。

2 待定系数法在高等数学中的应用

在初等数学中，待定系数法是一种比较常见的、重要的解题方法，它常常起到化难为易、化繁为简的作用，在高等数学中，我们也要用到待定系数法。

2.1 待定系数法在不定积分中的应用

对于不定积分中的某些被积函数，我们无法直接找到被积函数的原函数，就可以采用待定系数法把被积函数拆成几项，然后再对每一项积分即可。

例4 求

解： = 可分解成 =+ （*）其中、为待定系数。将（*）式两端去分母得： =+ ，在此式中，令 = 2得 = -5，令 = 3得 = 6，从而 =+ ，故 = （ + ） = -5 + 6 = -5|| + 6 || +

2.2 待定系数法在微分方程中的应用

例5 求方程 += 的一个特解。

解：因方程 += 的自由项 = 中的 = 0恰是特征方程 += 0的一个根，故可设原方程的一个特解为 = （） =+ 直接将代入所给方程得： + （2）= ，即 ++= 比较系数得：亦即：因此 = 为所求特解。

3 用高等数学方法去求初等数学中的最值

例6 求函数 = 的最大值

解：此题若用初等方法，先计算一阶差分= == ，易知0≤≤4时，有＞0，从而＞，即＜＜＜＜＜，而当≥5时又有＞0，从而＜，即：＞＞……由上可见，当 = 5时，取最大值= = ，但这种方法一般不容易想到，若用高等数学的方法去处理，就很容易找到最值点。

另解：对原函数求导得 == 令 = 0，得 = 0，用求根公式得 = -1+或 = -1，，因函数的定义域为（-∞,+∞），故 = -1+和 = -1将其分为三个区间（-∞,-1]，[-1,-1+]，[-1+,+∞）。

当∈（-∞,-1）时，＜0函数在（-∞,-1]上单调减少；当∈（-1,-1+）时，＞0函数在 [-∞, -1]上单调增加；当∈（-1+,+∞）时，＜0函数在[-1+,+∞）上单调减少。

由此可知：在（-∞,+∞）内存在最大值，而又只有一个极大值点 = -1+ ，所以当 = -1+时也为最大值点，又因∈而4＜-1+＜5，所以 = 5为最大值点即：= = 。

当然，初等数学与高等数学之间的联系不仅仅只是这些，它们还有许多密切的联系，总之初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸，只有掌握好初等数学的知识，才能学好高等数学。

参考文献

[1] 高等数学.同济大学第六版.高等教育出版社.

[2] 郭运瑞,彭跃飞.高等数学.人民出版社.

[3] 李长明,周焕山.初等数学.高等教育出版社.