课堂因生成而精彩

叶良铨

摘要：教师在课堂教学中不应机械地执行预设方案，而应根据师生、生生互动的情况，允许“节外生枝”，有意识地抓住这些“意外通道”，捕捉那些“美丽图景”，使课堂因“生成”而精彩。

关键词：课前预设；课堂生成；推证；教后反思

中图分类号：G633.6 文献标志码：A?摇 文章编号：1674-9324（2012）09-0230-02

著名教育家叶澜教授曾说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵守固定的线路而没有激情的行程。”因此，教师在课堂教学中不应机械地执行预设方案，而应在课堂特定的动态环境中，根据师生、生生互动的情况，允许“节外生枝”，有意识地抓住这些“意外通道”，捕捉那些“美丽图景”，并运用教学睿智因势利导地组织学生进行探究，在探讨过程中获取意外收获，使课堂因“生成”而精彩。以下是我在一堂高三复习课上的意外收获，现整理成文，与同行交流。

案例：以下是我在一堂高三解几复习课上的教学片段。

例题 已知椭圆■+y2=1内一点P（1，■），过点P的直线交椭圆于A，B两点，若点P恰好把弦AB平分，求弦AB所在的直线方程。

课前预设

因为如果设A（x1，y1），B（x2，y2）；则有x1+x2=2y1+y2=1这自然就与韦达定理联系上了，因此我备课时的预设解法是用通法——韦达定理来求解，快速收场再讲其他的题型，结果是……

课堂生成

在我写出题目之后，让学生思考了片刻，主动去探求解题的思路，我并没有直接抛出课前的预设。

师：好，下面让我们一起来探求一下这道题的解法，同学们有何思路？（这时就有很多同学纷纷举手）

【生成1】生1：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A，B两点均在椭圆上，将其代入椭圆方程x2+4y2=4得：

x12+4y12=4 ①x22+4y22=4 ②①-②得：

x12-x22=-4（y12-y22）?圯-■=■·■

∴-■=■·kAB，故kAB=-■，lAB又过点P（1，■）

所以由直线方程的点斜式可得lAB：x+2y-2=0

板演过后我很惊讶，也暗喜，因为课前我没想到学生能这么快就得到了此题的一个特法（点差法）解法，看来只要给学生思考的空间，就能绽放智慧的光芒。

【生成2】生2：老师，刚才前一位同学计算到：-■=■·■，这个表达式从图形上看，不就是-■=kAB·kOP吗？

师：哦？是吗？大家说是不是？果真如此。这位同学观察力真够敏锐的。

【生成3】生3：从这个式子看：-■=kAB·kOP，也就是说kAB·kOP是一个定值。那么更一般情况下也应该成立的。（这时我有点忐忑不安，课前根本没考虑到，不知能否解答这个问题）

师：那我们不妨一起来探索一下！

【生成4】师生共同协作：原问题的一般情况是：已知椭圆■+■=1（a＞b＞0）内一点P（x0，y0），过点P的直线交椭圆于A，B两点，若点P恰好把弦AB平分，求弦AB所在的直线方程。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A，B两点均在椭圆上，将其代入椭圆方程得b2x2+a2y2=a2b2：

b2x12+a2y12=a2b2①b2x22+a2y22=a2b2② ①-②得：

-■=■·■

∴-■=■·kAB

kOP·kAB=-■（定值）

可见同学们的猜想是完全正确的。

【生成5】生4：因为双曲线方程■-■=1（a＞0，b＞0）的结构与椭圆方程■+■=1（a＞b＞0）的结构类似，我猜想在双曲线方程中也应该有类似的结论。（我简直不敢相信，居然在这个地方同学们用上了类比推理，太不可思议了！）

师：果真如此吗？那我们一起来推证一下：

设双曲线?祝：■-■=1（a＞0，b＞0）内一点P（x0，y0），过点P的直线交椭圆于A，B两点，若点P恰好把弦AB平分，求弦AB所在的直线方程。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A，B两点均在椭圆上，将其代入椭圆方程双曲线?祝：b2x2-a2y=a2b2得：

b2x12-a2y12=a2b2①b2x22-a2y22=a2b2②①-②得：

■=■·■

∴■=■·kABkop·kAB=■（定值）

可见这个类比，通过我们的证明也是正确的，太妙了！

【生成6】生5：老师，这一结论是在圆锥曲线这同一类中得到的，我想它们应该有共性的地方。从结论的结构上来看，我感觉跟它们的离心率有着密切的关系。（纵同学猜疑的眼光）

师：是圆锥曲线这同一类的，确实不假，有没有共性的东西呢？我们不妨一起来推证下它们的离心率：

椭圆：e=■?圯e2=■=■=1-■?圯-■=e2-1

双曲线：e=■?圯e2=■=■=1+■?圯-■=e2-1

∴kop·kAB=e2-1（e指的是椭圆，双曲线的离心率）

太精彩了！！！原来无论是在椭圆，还是在双曲线中kop·kAB都等于各自的离心率的平方减一，这正是它们共性的地方。

【生成7】生6：老师，我刚才悄悄推导了一下当圆锥曲线为抛物线时也有一个结论。

师：是吗？确实在圆锥曲线中，我们还差了一个抛物线，请写出您的结论好吗？（这位学生兴奋、自信地快歩上到讲台进行了板演）

解：设抛物线方程y2=2px（p＞0）内一点P（x0，y0），过点P的直线交椭圆于A（x1，y2），B（x2，y2），两点，将其代入方程得：

y12=2px1①y22=2px2②

①-②得：■=2P

∴2y0·kAB=2p

故kAB=■（此时全班同学都向他投出了惊羡的目光）

教后反思

学生们的出色表现，让我深深感到，每一位学生都有着巨大的潜力，就看作为教师的我们，是否意识、乐意把这些潜力给挖掘出来，而要挖掘学生们的潜力，把他们学习数学的积极性调动起来，就需要我们去创造一种宽松的氛围，让学生们敢于参与、乐于参与，让他们张扬，让他们“表演”。虽然有的时候，学生的想法在老师看来似乎很幼稚，甚至是可笑的，但是我们却要像呵护幼苗一样去保护它，不能让它葬送在我们手里。也许教师不经意间的一个冷漠的眼神，就可能挫伤学生的积极性；相反，一句激励的话语，就可能让学生因此而爱上数学。