一种基于反步法的移动机器人运动控制算法

2012-04-25段文杰武颖刘大亮

山西农业大学学报（自然科学版） 2012年3期

段文杰，武颖，刘大亮

（1.山西农业大学工学院，山西太谷030801；2.太原理工大学机械工程学院，山西太原030013；3.首都航天机械公司，北京100076）

球形机器人［1］、独轮机器人［2］以及双轮机器人［3］的运动控制问题一直是该研究领域的重要内容［4］。多数情况下，在平面内，这3类机器人的运动可以简化为一均质圆盘的垂直滚动。本文首先利用拉格朗日方法［5］建立均质圆盘垂直滚动的一阶链式非完整系统模型；其次利用反步法［6～8］设计系统的稳定运动控制算法，并证明了算法是渐进稳定的。状态镇定和路径跟踪仿真实验结果表明该算法是有效的、可行的。

1 系统建模

如图1所示，圆盘的位形由坐标平面上的位置x和y，进动角θ和圆盘的自转角ψ确定，记为q＝（x，y，ψ，θ）。圆盘的半径为r。对圆盘施加的力矩分别为绕铅垂轴的转向力矩τ1和自转动力矩τ2。圆盘作无滑动的纯滚动，该速度约束可以表示为

图1 系统坐标系与运动模型Fig.1 Coordinate system and motion mode

记m为圆盘的质量，J1，J2分别为关于铅垂轴和水平滚动轴的转动惯量，则系统的拉格朗日函数［9，10］为

其中，常值惯性矩阵 M ＝diag（m，m，J1，J2）。经计算得到系统的动力学方程为

其中ui＝τi／Ji，i＝1，2。如果系统的输入控制表示为˙ψ＝ω1和˙θ＝ω2，通过对半径r的单位正则化处理后，运动学形式的模型可以表示为

在θ∈（－π／2，π／2）上，应用坐标和输入控制变换

可以得到一个一阶链式非完整系统

2 运动控制算法

定理：存在时不变且有界的状态反馈

在

上，当t＞0时，系统（5）的状态x指数收敛至零。其中k1，k2和k3为正数，且k3＞k1。

证明：应用线性状态反馈

使x1指数稳定，其中k1为正常数。系统（5）变为

考虑x3子系统，将x2看成是Ω上的输入控制，设计反馈控制

3）资源丰富，情境真实。微课的核心就是视频的展现和多媒体课件，里面包含专家的点评和教学反思，还有练习和测验，可以给学生创设一个具象化的情境。微课的这一特点在国内外的微课交流平台上都展现出来。当前微课不应只是视频资源，还要将微课平台发展成一个互动性教学平台，不光有练习和测验，还要有知识讲解、学习反馈等资源，这些配套的资源能对学生自主学习发挥重要作用[4]。

以稳定原点x3＝0，其中x1不为零。取Lyapunov函数V1为

上式对时间的导数得

因此，˙x3＝－k3x3的原点是渐近稳定的。应用微分同胚变量代换

对（11）求导得

则x2和x3子系统变换为

取Lyaponov函数V2为

取

从而得

则x3和ξ是有界的，且当t→0时趋近于零。因此，x2收敛于ψ1。

为了保证x2的有界性和关于零的收敛性，当t→0时必须保证x1和x3的有界性和关于零的收敛性。因为

可知当t→∞时，V1以解e－2k3t收敛到零，x3以解e－k3t收敛到零。又因为x1以解e－k1t收敛到零，可知当k3＞k1时，且x1（0）≠0时，x3／x1是有界的，以解e－（k3－k1）t收敛到零。

当初始条件始于Ω，状态反馈（6）不仅保证了系统状态的有界性，而且原点是指数收敛。如果系统始于Ω的外部时，可以在任意小的时间内应用开环控制驱动系统从x1＝0点进入Ω内，再切换至状态反馈（6）。

3 仿真实验

图2和图3为在控制率（6）的作用下，系统（5）状态的收敛特性。系统初始状态为x（0）＝（x10，x20，x30）＝（0.5，－1，1），位于集合 Ω内。控制率的控制参数为k1＝5，k2＝5和k3＝10。如图所示，系统在控制率（6）的控制作用下，状态能够渐近收敛到零，因此控制算法是有效的。

图2 状态响应曲线Fig.2 Response curve of state

图3 运动轨迹响应曲线Fig.3 Response curve of motion trace

图4 圆周曲线跟踪曲线Fig.4 Tracking curve of circular curve

状态反馈控制率（6）可以应用于垂直圆盘的轨迹跟踪控制，即使状态（x1，x3）收敛到期望的状态（x1d，x3d）。一个期望的圆周曲线满足方程

其中期望轨迹的线速度和角速度分别为ur＝0.5m·s－1，rr＝0.5rad·s－1。系统初始状态为x（0）＝（x10，x20，x30）＝（0.5，－1，1），位于集合Ω内。期望轨迹的初始状态为（x1d，ψd，x3d）＝（1，π／4，1）。控制率的控制参数为k1＝5，k2＝5和k3＝10。系统轨迹跟踪特性如图4所示，控制算法（6）能够实现对期望轨迹的跟踪。