刍议基于概率论的商业经济活动

孙涛

摘要：本文作者根据多年来的工作经验，对基于概率论的商业经济活动进行了研究，具有重要的参考意义。

关键词：概率论；商业经济活动；具体应用

中图分类号：D922文献标识码： A 文章编号：

经济学是一门研究如何将有限资源进行合理配置的社会科学，研究人类社会在各个发展阶段上的各种经济活动和各种相应的经济关系及其运行、发展的规律。现代市场经济充满了不确定性和风险，经济人做出某一项决策后，其后果往往是无法预知的，因此现代经济学就是研究在充满不确定性因素的条件下如何公平而有效地配置有限资源。经济学与我们的日常生活联系紧密。它帮助我们更好地进行个人决策，帮助我们理解生活于其中的世界是如何运转的，帮助我们制定政府政策并分析其优劣性等等，我们的生活不可缺少经济学。概率论近几年得到了广泛的应用，无论是在自然科学领域、社会科学领域、工程技术领域、军事领域、工农业生产还是在社会经济活动都大规模的被应用着。在经济领域，概率论得到了大规模的应用，企业的管理者会运用概率论来分析经营和生产中出现的信息，寻找其中的规律，再对生产实践进行指导。使经济效益能够有效地提高。

一、正态分布在自动控制中的应用

通过大量的调查获得的数据表明，如果一个饮料厂要生产容量为３００ｍｌ的罐装饮料，那么每罐饮料都会服从标准差是３０ｍｌ的正态分布。如果想要把少于３００ｍｌ的产品数量控制在百分之十以内，那么要怎样调节均值μ？一个全新的包装机一般在１０万元左右。然而，每一罐饮料的容量都要服从标准差为７．５ｍｌ的正态分布，这样的情况，要怎么调节均值μ，才能使每罐饮料少于３００ｍｌ的产品数量不超过１０％。

我们把通过原包装线上生产的一罐饮料的容量设置为Ｘ。则Ｘ～Ｎ（μ，３０２），如果把均值μ设置在３００ｍｌ上，那么如果出现５０％的产品少于３００ｍｌ，那么这批产品是不合格的。所以，要把均值μ调整到大于３００ｍｌ大的位置上，但是要注意μ一定要遵循概率方程Ｐ｛Ｘ＜３００｝＝０．１。根据这个公式得到＝１．２８，所以μ＝３３８．４。这就要求我们，把自动包装机的均值控制在３３８．４的位置上，这样才能使少于３００ｍｌ的产品数量不大于百分之十。如果投资１０万元新买一台包装机，新包装线上每罐饮料的容量为Ｙ，则Ｙ～Ｎ（μ１，７．５２），为了使少于３００ｍｌ的饮料所占的比例不多于１０％，其中μ１必须满足方程Ｐ｛Ｙ＜３００｝＝０．１。即Ｐ｛Ｙ＜３００｝＝Ｐ｛＜｝＝Φ（）＝０．１，于是Φ（）＝０．９，由此可得＝１．２８，从而μ１＝３０９．６。采用新包装机平均每罐可节约饮料

３３８．４－３０９．６＝２８．８ｍｌ。

如果按一天可以生产出２００００罐饮料来进行计算，那么通过这种方式可以节省２００００×２８．８＝５７６０００ｍｌ饮料，如果１００ｍｌ饮料的成本是１元，那么一个工厂一天就可以增加５７６０元的利润，这样在１８天成本就能赚回，第十九天就可以获得净利润了。所以，饮料厂应该买新的包装机，这样更有利于企业的发展。因为自动线包装的饮料的容量服从正态分布，而其出现的反差会对产品的质量造成影响，还会反应包装机的精度，对工程的效益也会产生很大的影响。因此，在控制产品质量时，要重视对方差的控制。方差越大，精度就越差，系统的性能就越差。而方差越小精度就越高，性能就越好。

二、大数定律在保险中的应用

大数定律应用在保险学中，就是保险的赔偿遵从大数定律。假如某保险公司有１００００个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付１２０元保险费，在一年内一个人死亡的概率为０．００６，死亡时，其家属可向保险公司领得１００００元。试问：平均每户支付赔偿金５９元至６１元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年在这项险种中利润大于４０万元的概率是多少？

设Ｘｉ表示保险公司支付给第ｉ户的赔偿金，则。Ｅ（Ｘｉ）＝６０，Ｄ（Ｘｉ）＝５９．６４（ｉ＝１，２，…，１００００）诸Ｘｉ相互独立。则表示保险公司平均对每户的赔偿金Ｅ（）＝６０。

Ｄ（）＝５９．６４×１０－４，由中心极限定理，～Ｎ（６０，０．０７７２２），Ｐ｛５９睿叮保＝＝２Φ（１２．９５）－１≈１。虽然每一家的赔偿金差别很大，但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于６０元，在５９元至６１元内的概率接近于１。保险公司亏本，也就是赔偿金额大于１００００×１２０＝１２０（万元），即死亡人数大于１２０人的概率。死亡人数Ｙ～Ｂ（１００００，０．００６），Ｅ（Ｙ）＝６０，Ｄ（Ｙ）＝５９．６４。由中心极限定理，Ｙ近似服从正态分布Ｎ（６０，５９．６４），则Ｐ｛Ｙ＞１２０｝＝１－Φ（７．７７）≈０。这说明，保险公司亏本的概率几乎等于０。

如果保险公司每年的利润大于４０万元，即赔偿人数小于８０人。则Ｐ｛Ｙ＜８０｝＝Φ（２．５９）＝０．９９５２。可见，保险公司每年利润大于４０万元的概率接近１００％。在激烈的竞争中，保险公司要想得到相同的收益可以采取两种办法，一个是提高保险的赔偿金额，这样可以吸引更多的客户。第二个是降低保费，但是这种方式没有第一个吸引的人数多。

三、数字特征在组合证券投资决策中的应用

投资者在选择投资策略时，降低投资风险的有效途径是组合证券投资方式。假定投资者选定ｎ种证券，Ｘｉ为证券投资期内第ｉ种证券的收益率，它受证券市场波动的影响，其预期收益率和风险分别为Ｘｉ的数学期望Ｅ（Ｘｉ）＝μｉ及方差Ｄ（Ｘｉ）＝σｉ２（ｉ＝１，２，…，ｎ）。ｎ种风险证券收益率向量为Ｘ＝（Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ）Ｔ，若Ｘ的期望向量μ＝［Ｅ（Ｘ１），Ｅ（Ｘ２），…，Ｅ（Ｘｎ）］Ｔ＝（μ１，μ２，…，μｎ）Ｔ，协方差矩阵，其中σｉｊ＝Ｃｏｖ（Ｘｉ，Ｘｊ），σｉｊ＝σｊｉ，σｉｊ＝σｉ２（ｉ＝１，２，…，ｎ）。且假定∑为正定矩阵。

组合证券投资的收益率为Ｒ＝ｗｉＸｉ，ｗｉ为投资期内在第ｉ种证券投资占总投资额的比例，满足ｗｉ＝１，ｗｉ≥０。则Ｒ是随机变量，其数学期望为Ｅ（Ｒ）＝ｗｉμｉ，方差为σ２＝Ｄ（Ｒ）＝ｗｉｗｊσｉｊ。记Ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…，ｗｎ）Ｔ，ＦｎＴ＝（１，１，…，１）。则组合证券投资的期望收益率和风险可以分别表示为Ｅ（Ｒ）＝ＷＴμ和σ２＝ＷＴ∑Ｗ。由此可以看出，在选定ｎ种投资证券的前提下，ｎ种证券的预期收益率向量μ及协方差矩阵∑就是已知的（可以根据统计数据给出估计），组合证券投资的收益率及风险都是由投资比例向量Ｗ所确定的，投资者可以根据自己的偏好选择投资比例向量。

如果一个投资者既想要获得高收益，又不想承担高风险这是不可能的，投资者只有建立一个组合证券投资的方式才能够在达到预期收益时承担最小的风险。接下来我们来建立一个组合证券投资决策模型：其中μ０是给定的预期收益率。该模型的意义是：在达到预期收益率不低于μ０的情况下使组合证券投资的风险最小。这就是著名的马克维兹均值—方差模型。现在，人们越来越接受经济学和概率论之间的共同发展和相互作用。通过本文的案例我们可以知道，经济活动和概率论是密切相关的，不能分离。概率论能够为经济的发展提供一个科学严谨的分析办法，这样就可以发现经济发展中的规律，从而能够更好地促进经济的发展。

【参考文献】

［１］茆诗松．概率论与数理统计［Ｍ］．中国统计出版社，２０００

［２］张明军．浅谈数学在金融领域的发展及应用［Ｊ］．甘肃科技，２００９（４）

［３］廖炜伟，张伟．运用概率与数理统计对经济分析的探讨［Ｊ］．北方经贸，２０９（４）