共振条件下分数阶微分方程多点边值问题解的存在性

张宁，史小艺，张娣

（中国矿业大学a.理学院；b.管理学院，江苏徐州 221116）

共振条件下分数阶微分方程多点边值问题解的存在性

张宁a，史小艺a，张娣b

（中国矿业大学a.理学院；b.管理学院，江苏徐州 221116）

分数阶导数是整数阶导数的推广，主要利用Mawhin的连续性定理及迭合度理论，讨论了共振条件下分数阶微分方程多点边值问题解的存在性，得到了解存在的充分条件，推广了已有的结果．

分数阶；微分方程；多点边值问题；迭合度

1 引言

近年来，分数阶导数及分数阶微分方程在科学、工程和数学等领域得到了重要应用，在分数阶微分方程边值问题的理论研究上也获得了不少成果，如文献[1-12].值得注意的是，共振条件下分数阶微分方程多点边值问题作为分数阶非局部边值问题的一种特殊情况，近年来得到研究者们的重视，越来越多的人运用Mawhin的连续性定理来研究多点边值问题，如文献[3]研究的共振条件下分数阶微分方程耦合系统边值问题

本文受此文献启发，研究共振条件下分数阶微分方程多点边值问题

是标准Riemann-Liouville分数阶导数和积分，f:[0,1]×R3→R满足Caratheodory条件．

为了证明BVP（1.1）有解及计算的方便，我们假设下面的条件成立：

2 预备知识

首先介绍一些关于迭合度的基本理论：

设Y,Z是实Banach空间，L:domL⊂Y→Z是一个指标为零的Fredholm算子，P:Y→Y,Q:Z→Z是连续投影算子且满足ImP=KerL,KerQ=ImL，Y=KerL⊕KerP,Z=ImL⊕ImQ.则映射L|domL⋂KerP:domL⋂KerP→Im L是可逆的，记这个映射的逆映射为KP，令N:Y→Z是一个映射，Ω是Y的一个有界开集且满足domL⋂Ω≠Φ，如果有界是紧的，则称N是L-紧的，设J:ImQ→KerL是一个线性同构．

定义2.1[1]函数y:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶积分为

定义2.2[1]连续函数y:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶导数为

其中x∈C[0,1],ci∈R,i=1,2,…,N-1，其范数为

易证得Cμ[0,1]是Banach空间．

引理2.2[2]f⊂Cμ[0,1]是连续紧当且仅当f是一致有界且等度连续．

这里一致有界是存在M＞0，使得对任意u∈f有

定理2.1[5]（Mawhin连续性定理）设Ω⊂Y是一个有界开集，L是一个指标为零的Fredholm算子，N是L-紧的，如果下面条件成立：

3 主要结果

定义L是从dom L⋂Y到Z的线性算子，

则边值问题（1.1）就转化为Lu=Nu．

引理3.1假设（C1）（C2）成立，则映射L:dom L⊂Y→Z是一个指标为零的Fredholm算子，投影算子Q:Z→Z定义为

其中

由边值条件知c3=0，c1,c2是任意常数，y满足

因此

易知dim Im Q=2．

又有

依次可求得

因此

所以Q是一个连续线性投影算子．

如果y∈Im L，可推得Qy=0，反过来，如果Qy=0成立，则有

所以一定有T1y=T2y=0，即y∈Im L，得到KerQ=Im L．

对任意y∈Z，有y=(y-Qy)+Qy，使得y-Qy∈KerQ=Im L，Qy∈Im Q成立，因此，Z=Im L+Im Q．令y∈Im L⋂Im Q，假设y=atα-1+btα-2在[0,1]上不同时为0，因为y∈Im L，即y=atα-1+btα-2满足（3.1），易求得a=b=0，矛盾，所以，Im L⋂Im Q={0}．故Z=Im L⊕Im Q且IndL=dim KerL-co dim Im L=0，所以L:domL⊂Y→Z是一个指标为零的Fredholm算子．

作投影算子P:Y→Y为

结合引理2.2，我们可得到下面的引理．

引理3.2 KP(I-Q)N:Y→Y是全连续算子．

根据（3.5）式，有

通过以上的讨论易知满足定理2.1的（1）、（2），下证定理2.1的（3）也是满足的．

令H(u,λ)=±λJu+(1-λ)QNu，由上述证明可知对于u∈∂Ω⋂KerL，H(u,λ)≠0，又由同伦不变性可得：deg(QN|KerL,KerL⋂Ω,0)=deg(H(⋅,0),KerL⋂Ω,0)=deg(H(⋅,1),KerL⋂Ω,0)=deg(±J,KerL⋂Ω,0)≠0.由定理2.1可知，Lu=Nu在dom L上至少有一个解，即边值问题（1.1）在Y上至少有一个解．

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Existence of Solutions for Fractional Multi-point Boundary Value Problems at Resonance

ZHANG Ninga,SHIXiao-yia,ZHANG Dib
(a.College of sciences;b.College of Management,China University of Mining&Technology,Xuzhou 221116,China）

Fractional order derivative is a derivative of the promotion of integer.This paper discusses the exis⁃tence of solutions for fractionalmulti-point boundary value problems at resonance by using Mawhin’s continu⁃ous theorem and coincidence degree theory and the sufficient conditions for the boundary value problems is ob⁃tained,generalizing known results.

fractional;differential equation;multi-point boundary value

O175.8

A

1008-2794（2012）08-0001-07

2012-04-15

国家自然科学基金项目“微分方程边值问题”（10771212）

张宁（1985—），女，山西晋城人，中国矿业大学理学院研究生，研究方向：微分方程边值问题.