基于预测控制的车辆稳定性研究*

姚 俊 陈家琪

（上海理工大学）

1 前言

电子稳定系统（ESP）可通过传感器得知车辆的抱死情况、车辆横摆惯量，在车辆出现失控趋势时，对特定车轮给予额外的制动力，甚至通过调整车辆的牵引力，力求以最大程度保持住车轮的附着力。随着控制理论的发展，将先进的控制技术运用于ESP控制系统已经成为车辆控制发展的趋势[1～3]。目前，主要的控制方法有PID控制和门限自调整控制，这两种方法都具有计算简单、速度快的特点，可以充分满足ESP系统对实时性要求高的特点。但两种方法都是对车辆模型高度依赖并且控制器本身没有自学习功能，这使得这些ESP控制器的鲁棒性差，容易受外界因素影响。

预测控制具有实现简单、对车辆模型要求低以及自适应性和快速性强的特点，因此，本文将预测控制技术应用于ESP直接横摆力矩控制系统中，并以车辆横摆速度和质心侧偏角为内模状态变量，以直接横摆力矩为输出，通过制动系统直接将输出力矩合理分配到每一车轮上，从而调整车辆的横摆状态。

2 整车模型

2.1 7自由度整车动力学模型

根据车辆动力学特点，对整车模型提出了以下理论假设和简化[4]：

a. 汽车上的动坐标系原点与整车质心重合；

b. 忽略悬架的作用；

c. 汽车绕Y轴转动的俯仰角及绕X轴转动的侧倾角为0；

d. 各轮胎的机械特性相同。

在假设基础上建立车辆7自由度动力学模型如图1所示，7自由度分别为车身横向、纵向、横摆及4个车轮的旋转。

纵向动力学方程:

横向动力学方程：

横摆运动方程：

各车轮转动方程：

式中，M为汽车质量；vx为车辆纵向速度；vy为车辆横向速度；γ为车辆横摆速度；I为车辆转动惯量；θ为前轮转向角；a、b分别为质心到前、后轴的距离；c、d 分别为前、 后轮的轮距；Fxii、Fyii、wii、kii为车轮纵向力、横向力、滚动角速度和附加横摆力矩的分配系数，ii=fl，fr，rl，rr；Iw为车轮转动惯量；R 为车轮半径；Tr为控制器输出的直接横摆力矩。

2.2 轮胎模型

采用“魔术公式”来描述轮胎纵向力、侧向力和滑移率、车轮侧偏角的关系[5，6]。

当计算轮胎纵向力时，计入路面附着系数μ的影响，汽车轮胎纵向力Fx与滑移率λ和车轮垂直载荷反向力Fz之间的关系由“魔术公式”表达为：

同理，当计算轮胎侧向力时，汽车轮胎纵向力Fy与轮胎侧偏角α和车轮垂直载荷反向力Fz之间的关系由“魔术公式”表达为：

以上计算侧、 纵向力的过程中，a0～a10、b0～b13为魔术公式回归系数[7]，λ、Fz和 α 数值可由式（7）～式（9）计算出。

各车轮的滑移率：

各车轮垂直载荷：

式中，h为车辆质心高度。

各车轮侧偏角：

3 控制算法设计

预测控制系统结构如图2所示。

3.1 控制系统参考轨迹

2自由度线性单轨模型可以反映驾驶员转向输入与车辆横摆角速度γ、质心侧偏角β之间的线性关系，因此可以将其稳态转向特性作为车辆稳定性的理想状态。

2自由度线性模型[8]为：

由式（10）可进一步得式（11）：

式中，k1、k2分别为车辆前轮与后轮的侧偏刚度；Fyf、Fyr分别为车辆前轮与后轮侧向力。

当车辆进入稳态时，γ 为定值，此时v˙y=0，γ˙=0，将其代入（11）得名义横摆角速度γd、名义质心侧偏角βd：

式中，L为前、后轴距之和。

3.2 控制系统预测模型及最优控制力矩

根据式（10），将车辆直接横摆力矩Tr加入2自由度车辆模型可得：

取状态变量 x=[β，γ]，u=[Tr]，并由式（11）可得控制系统连续空间预测模型：

式（13）中前轮转向角输入θ在计算时可以是一组固定的离散向量，而u则是真正需要计算的最优解。所以为计算方便，在实际的算法中可将θ看成已知固定的干扰量加进预测模型中。

去掉θ输入项并将式（13）离散化可得线性时不变系统：

其中，x（k）=[β（k），γ（k）]，u（k）=[Tr（k）]

由式（13）可以推出以P为预测步长的输出为：

式中，yp0（k）为预测前一步的输入通过预测模型产生的输出；Δum（k）为每一步预测控制输出对前一步的增量，共有m步预测控制输出。

考虑性能指标：

式中，wp=[w（k+1），…，w（k+P）]T为预测控制系统的参考轨迹，亦即2自由度名义参考轨迹；Q=diag（q1，…，qp）为预测输出的权系数；R=dian（r1，…，ru）为预测控制的权系数。

将式（15）代入式（16），可得：

在 k 时刻，wp（k）、yp0（k）均为已知，若使 J（k）对 Δuu（k）取极小值，可通过极值必要条件 dJ（k）/dΔuu（k）=0求得：

而 um（k）=um（k-1）+Δum（k）为直接作用于车轮的直接横摆力矩。

4 仿真分析

根据所建立的车辆模型和控制算法，采用Matlab/Simulink软件进行了仿真分析。选取车辆参数：M=2 200 kg，I=4000 kg·m2，a=1.6 m，b=2 m，k1=k2=40 kN/rad，c=d=1.7 m，Iw=1.1 kg·m2，R=0.318 m，h=0.55 m。在Simulink中建立的控制结构如图3所示。

车辆速度为90 km/h时转向角阶跃输入曲线如图4所示。转向角阶跃输入下的车辆横摆角速度响应曲线如图5所示。从图5可以看出，预测控制器能很好地将车辆横摆角速度控制在理论值附近。

图6显示了车辆在阶跃输入下质心侧偏角的变化。从图6中可以看出，由于阶跃角度很大，没有ESP控制器的车辆质心侧偏角将超出控制范围，而有ESP的车辆能将侧偏角基本控制在2°以内。

车辆速度为70 km/h时转向角正弦输入曲线如图7所示。从图7中可以看出，曲线峰值为168°，周期为2s。正弦输入是测试车辆紧急变换车道的一种仿真，图8为车辆变换车道的侧向位移。从图8中可以看出，有ESP控制器的车辆侧向位移固定在8 m左右，表明车辆能很好地应对突发车道转换事件；而未安装ESP控制器的车辆由于车速过快，在突然转向之后完全失控，随着时间的推移远离既定车道。

图9～图11显示装配了预测控制器的车辆在突发情况下横摆加速度和质心侧偏角响应良好的稳定性，也验证了ESP控制器在车辆紧急换道工况下的良好控制作用。

1 Chen B C，et al.Differential Braking Based Rollover Prevention for Sport Utility Vehicles with Human－in－theloop Evaluations.Vehicle System Dynamics，November 2001， Vol 36， 359～389.

2 Best M C，et al.Real－Time State Estimation of Vehicle Handling Dynamics Using an Adaptive Kalman Filter.International Symposium on Advanced vehicle Control－AVEC， 1998，No.9836590.

3 Kou Y， et al.Wotst－case evaluation for integrated chassis control systems.Taylor&Francis，2008.

4 欧建，房占鹏.汽车ESP系统模型和模糊控制仿真.重庆邮电大学学报（自然科学版）， 2010，22（4）:516～520.

5 Wang H Y，et al.Modeling and Simulation of Electric Stability Program for the Passenger Car，SAE Paper 2004.

6 Yu F，et al.The System Dynamics of the Vehicle.Beijing:Mechanical Industry Press，2005.9.

7 马春卉，吴志林，王良模，李松焱.汽车ESP系统的建模和控制方法.南京理工大学学报（自然科学版），2010，34（1）： 108～112.

8 郭建华，初亮，刘明辉.汽车ESP模糊自适应控制.汽车技术，2009（3）：18～22.