多径条件下均匀线阵DOA估计及互耦误差自校正✴

李强，陈俊鹏，景小荣（重庆邮电大学通信与信息工程学院，重庆400065）

多径条件下均匀线阵DOA估计及互耦误差自校正✴

李强，陈俊鹏，景小荣
（重庆邮电大学通信与信息工程学院，重庆400065）

针对多径信道环境下存在互耦误差的均匀线阵，提出了一种联合波达方向估计及互耦误差自校正算法。在不改变阵列互耦误差的条件下，首先利用虚拟阵列平移预处理方法，将相干信源协方差矩阵恢复到满秩。进而利用互耦误差的对称Toeplitz特性，基于子空间原理构造一代阶函数，采用秩损的方法得到互耦误差条件下的DOA估计及阵列互耦误差。数值仿真结果表明，该算法具有良好的DOA估计性能与互耦误差自校正性能。

均匀线阵；DOA估计；互耦误差；阵列自校正；多径信道

1 引言

在阵列测向中，以多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）［1］为代表的子空间类算法由于具有精度高、分辨率强的优点而受到广泛的关注。然而，该算法只有在阵列方向矢量无任何误差的条件下才能取得良好的测向性能。但在实际应用中，由于阵列误差等因素的存在，导致算法测向性能急剧下降［2-3］，甚至算法完全失效。因此，阵列误差成为高分辨测向技术走向实用的主要障碍。

在散射通信环境中，由于多径的存在，使得阵列接收到的是不同方向上的相干信号，现有大多数阵列校正算法几乎都没有考虑这一实际情况。空间平滑算法是一种常用的对相干源进行预处理的算法。该算法将一均匀线阵分成若干组互相重叠的子阵，得到每个子阵的协方差矩阵，最后以子阵矩阵协方差矩阵的平均值作为接收数据的协方差矩阵。但是当存在阵列误差时，经过空间平滑之后的误差矩阵将是一个非常复杂的矩阵，这将很难估计出阵列误差。王布宏等人在文献［4］中提出了一种基于加权空间平滑的算法，构造一个多径条件下的阵列校正代阶函数，最后使用遗传算法实现阵列误差的校正。陈德莉在文献［5］中提出了基于加权子空间拟合的算法，构造一个多径条件下的阵列校正代阶函数，最后使用高斯-牛顿算法进行迭代搜索。但是，上述两种算法由于复杂度过高而无法满足实际系统对实时性的要求。

针对均匀线阵，首先使用虚拟阵列变换的方法来构建子阵，在子阵互耦误差相同的条件下，保证信源协方差矩阵为一满秩矩阵；然后利用均匀线阵互耦误差矩阵带状和对称Toeplitz特性，基于子空间原理，提出了一种多径条件下均匀线阵的互耦误差估计及DOA估计算法。本文的互耦估计算法不涉及高维非线性优化搜索，只需要多项式求根，因此算法计算复杂低，具有易于实时实现的优点。

2 阵列互耦误差的数据模型

假设阵列与阵源共面，且阵列互耦误差与方位无关。对于N元均匀线阵，阵元间距为d，M（M＜N）个远场窄带信源（包括点源和它的多径传播）以波长为λ的平面波入射，其入射方向为θ=［θ1θ2…θM］。以第一个阵元为参考阵元，在时刻t，阵列接收信号X（t）为

式中X（t）=［X1（t），X2（t），…，XN（t）］T；A（θ）=［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］为理想阵列流型矩阵；S（t）=［s1（t），s2（t），…，sM（t）］T为入射信号的复包络矢量；a（θi）=［1 e-jφi…e-j（N-1）φi］为第i个信源的理想方向矢量，其中φi=2πd sin（θi）／λ，i=1，2，…，M；N（t）=［n1（t），n2（t），…，nN（t）］为噪声矢量；C表示阵列互耦误差矩阵。

均匀线阵互耦误差矩阵可用一带状、对称Toeplitz矩阵C来描述［6］，令ci，j表示矩阵C中第（i，j）个元素，p表示互耦度，则

由式（1），阵列协方差矩阵RY为

式中RS=E［S（t）S（t）H］为信源协方差矩阵，σ2表示噪声功率，I表示单位矩阵。

式中，ΣS表示由M个大特征值组成的对角矩阵，ΣN表示由（N-M）个小特征值组成的对角矩阵，US为信号子空间，UN为噪声子空间。

当考虑多径传输所引起的相干源时，第i个窄带入射信源可表示为

其中i=1，2，…，M。结合式（1）和式（4），阵列接收信号可进一步表示为

对应的阵列协方差矩阵RY变为

其中，η=E［s0（t）s0（t）H］。由式（7）可知，当信源完全相干时，与式（3）中对应的信源协方差矩阵RS的秩为1，当对RY进行特征值分解后，对应的信号子空间的维数为1，小于阵列流型A（θ）的秩，则与相干源相对应的阵列导向矢量不再与噪声子空间正交，从而导致子空间类测向算法完全失效。

3 多径条件下基于虚拟阵列平移的阵列校正算法

3.1 虚拟阵列平移解相干算法

阵列平移可利用虚拟阵列平移来实现，具体是每次将N元的均匀线阵等间距的平移一个距离d（阵元间隔），形成一个子阵系列，第i个子阵的接收矢量信号为

式中Di表示M×M对角矩阵D的i次方，其中D为

与第i个子阵相对应的协方差矩阵为

对所有子阵的协方差矩阵R1，R2，…，RL进行平均，得到

3.2 联合互耦误差自校正的DOA估计算法

根据子空间原理［1］：

式（12）的求解等价为如下互耦误差及方位参数的联合优化估计问题：

由于互耦矩阵C是一个对称Toeplitz矩阵，通过适当变换［7］，有

其中，a为任意N维复向量，T（a）是由向量a确定的N阶Toeplitz矩阵，c为由C的第一行元素构成的N维列向量。

将式（14）代入式（12）有

其中B（θi）=T（a（θi）（a）），i=1，2，…，M。由于c中不全为0，式（15）成立的充要条件是矩阵Bθ）为奇异矩阵，当且仅当取信号的真实方位时才会出现秩损，使B（变为奇异矩阵［8］。

下面给出一种将方位估计与互耦矩阵估计的参数联合估计方法：

其中，emin［·］表示矩阵最小特征值所对应的特征矢量，det［·］表示矩阵行列式。

3.3 算法步骤

（1）根据公式（10）和（11），计算¯R；

（2）对¯R进行特征值分解，得到噪声子空间的估计值；

（3）谱峰搜索，根据式（17）在［-90°+90°］范围内搜索空间谱P（θ）的峰值，最终将搜索到的M个高峰值所对应的θ值作为信源的方位角度；

（4）将第3步搜索到的信源方位角代入公式（16）中，计算阵列的互耦误差。

4 算法仿真

考虑一具有8个阵元的均匀线阵，阵列孔径比为0.5，系统存在两个信源：一个以方位20°到达接收阵列（直射径），另外一个以方位40°到达接收阵列，相干系数为0.8ej0.3，信噪比为10 dB，采样快拍数设定为1 024。

4.1 互耦误差参数及DOA估计的性能仿真实验

对于算法有效性的仿真实验，仅考虑相邻4个阵元之间产生的互耦误差，假设对应的互耦因子分别为1.000 0，0.550 0+0.450 0i，-0.350 0-0.250 0i，

0.010 0-0.020 0i。图1给出了校正前后的空间谱图，表1给出了互耦因子的真实值与估计值。

下面对互耦误差校正前后DOA的估计情况进行对比。从图1可以看出，采取本文提出的互耦误差自校正算法后，利用传统的子空间算法可以完全估计到相干信源波达方位角，而对于未采取校正情形，传统的子空间类算法基本上完全失效。

从表1可以看出，在上述仿真条件下，文中所给出的算法可以比较准确地估计出阵列互耦误差。

4.2 互耦误差估计的均方根误差随SNR变化的性能仿真实验

假设第i次实验估计到的互耦矩阵为＾Ci，信噪比（SNR）在［-5+15］间以步长1递增，对每个SNR取值分别进行100次实验。阵列互耦误差的估计均方根误差用eC表示，定义如式（18）所示。图2给出了阵列互耦误差随SNR变化的关系曲线。从图上可以看出，随SNR增大，阵列互耦误差的均方根误差呈下降趋势，这也说明本文提出的算法对互耦误差的估计随SNR增加越来越精确。

5 结束语

本文针对多径环境下均匀线阵提出了一种联合DOA估计及互耦误差自校正算法，该算法无需迭代或者高维搜索求解，而且不受初始估计误差的影响。计算机仿真表明，该算法具有精确的测向及互耦误差校正性能。

［1］Schmidt R O.Multiple Emitter location and signal parameter estimation［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1986，34（3）：267-280.

［2］Weiss A J，Friedlander B.Effects of modeling errors on the resolution threshold ofthe MUSIC algorithm［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42（6）：1519-1526.

［3］Swindlehurst A，Kailath T.A performance analysis of subspace-based methods in the presence of model error：part I -the MUSIC algorithm［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1992，40（7）：1758-1774.

［4］王布宏，王永良，陈辉.多径条件下基于加权空间平滑的阵元幅相误差校正［J］.通信学报，2004，25（5）：166-174. WANG Bu-hong，WANG Yong-liang，CHEN Hui.Array gain and phase Calibration in the presence of multipath based on weighted spatial smoothing［J］.Journal of China Institute of Communications，2004，25（5）：166-174.（in Chinese）

［5］陈德利，卢焕章，张聪.多径条件下基于WSF的均匀圆阵幅相误差自校正［J］.系统仿真学报，2008，20（17）：4563-4566. CHEN De-li，LU Huan-zhang，ZHANG Cong.UCA Gain／Phase Self-calibration in Presence of Multipath Based on Weighted Subspace Fitting［J］.Journal of System Simulation，2008，20（17）：4563-4566.（in Chinese）

［6］Friedlander B，Weiss A J.Direction finding in the presence of mutual coupling［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1991，39（3）：273-284.

［7］Fabrizio S，Alberto S.A novel mutual coupling compensation algorithm for uniform and linear arrays［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2007，55（2）：500-573.

［8］王布宏，王永良，陈辉，等.均匀线阵互耦条件下的鲁棒DOA估计及互耦自校正［J］.中国科学E辑：技术科学，2004，34（2）：229-240. WANG Bu-hong，WANG Yong-liang，CHEN Hui.，et al.Robust DOA estimation and array calibration in the presence of mutual coupling for uniform linear array［J］.Science in China Ser E，2004，34（2）：229-240.（in Chinese）

LIQiang was born in Yiyan，Hunan Province，in 1968.He received the M.S.degree from Chongqing University of Posts and Telecommunications in 2002.He is now an associate professor.His research direction is signal and information processing.

Email：y99lq＠163.com

陈俊鹏（1987—），男，重庆璧山人，2009年于重庆邮电大学获工学学士学位，现为硕士研究生，主要研究方向为阵列信号处理；

CHEN Jun-peng was born in Bishan，Chongqing，in 1987. He received the B.S.degree from Chongqing University of Posts and Telecommunications in 2009.He is now a graduate student. His research concerns array signal processing.

景小荣（1974—），男，甘肃平凉人，2009年于电子科技大学获博士学位，现为重庆邮电大学通信与信息工程学院副教授，主要研究方向为信号处理及传输。

JING Xiao-rong was born in Pingliang，Gansu Province，in 1974.He received the Ph.D.degree from University of Electronic Science and Technology of China in 2009.He is now an associate professor.His research concerns signalprocessing and transmission.

A DOA Estimation and Mutual Coupling Self-calibration Algorithm for Uniform Linear Array in the Presence of Multipath

LI Qiang，CHEN Jun-peng，JING Xiao-rong
（School of Communication and Information Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

To solve mutual coupling of uniform linear array（ULA）in the presence of multipath channel，a joint Direction of Arrival（DOA）estimation and mutual coupling calibration algorithm is proposed.Firstly，coherent source covariance matrix is restored to full rank via the preprocessing method of virtual array moving without changing the mutualcoupling.Then a costfunction is constructed based on subspace theory and is minimized by rank loss method to estimate the DOA of the signals and mutualcoupling error using the Toeplitz structure ofthe covariance matrix for ULA.Simulation results show thatthe algorithm has effective performance for DOA estimation and mutual coupling self-calibration.

uniform linear array；DOA estimation；mutual coupling；array self-calibration；multipath channel

The National Science＆Technology Major Project（2011ZX03003-001-01）；The Natural Science Foundation of Chongqing（CSTS，2010BB2417）；The Natural Science Foundation of Chongqing Municipal Education Commission（KJ110526）；The Project of Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing（CSTC2009CA2003）

TN821

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.012

李强（1968—），男，湖南益阳人，2002年于重庆邮电大学获硕士学位，现为副教授，主要研究方向为信号与信息处理；

1001-893X（2012）03-0314-04

2011-09-28；

2012-01-10

国家科技重大专项资助项目（2011ZX03003-001-01）；重庆市自然科学基金资助项目（CSTS，2010BB2417）；重庆市教委自然科学基金资助项目（KJ110526）；信号与信息处理重庆市重点实验室建设项目（CSTC2009CA2003）