一类控制方向未知的非线性系统的输出调节

张戌希

(哈尔滨工业大学控制与仿真中心，黑龙江哈尔滨150001)

输出调节问题是设计一个反馈控制律使得被控系统的输出能够渐近的跟踪一个由外部系统产生的参考输出，并且渐近抑制由外部系统产生的干扰.从20世纪90年代开始，非线性系统的输出调节问题成为控制理论的核心问题之一［1-4］.当外部系统是线性的时候，输出调节问题得到了广泛深入的研究［5-7］.然而，当外部系统是非线性时，相关的研究却很少［8-9］.

在控制方向已知的条件下，应用鲁棒控制方法，文献［9］研究了具有非线性外部系统(2)的非线性系统(1)的全局鲁棒输出调节问题.众所周知，鲁棒控制方法本质上是一个高增益反馈控制.当控制方向未知时，文献［9］中的方法就不适用了.然而，Nussbaum增益技术是处理控制方向未知的强有力的方法［10］.当控制方向未知的时候，还没有关于具有非线性外部系统的非线性系统全局鲁棒输出调节的研究结果.因此，本文将Nussbaum动态增益技术、自适应控制方法和鲁棒稳定性技巧结合起来，研究了具有非线性外部系统和控制方向未知的不确定非线性系统全局鲁棒输出调节问题.

1 问题的提出

考虑如下的不确定非线性系统:

式中:x∈Rn是系统状态，y∈R是系统输出，u∈R是系统输入，e∈R是跟踪误差，w∈Rnw是不确定参数，h(w)表示控制方向，v∈Rnv是外部干扰或参考输入，并且由如下的外部系统生成:

假设系统(1)和(2)中的所有函数都是光滑的，且对所有的不确定参数w∈Rnw，都有G(0，0，w)=0，K(0，0，w)=0，D1(0，w)=0，D2(0，w)=0，q(0，w)=0，a(0)=0成立.

全局鲁棒输出调节问题就是设计一个只依赖于e和v的反馈控制器，使得对任意的v(0)∈V和w∈W，其中V，W分别是Rnv和Rnw上的任意已知紧集，对任意的初始条件，闭环系统的轨线在［0，+∞)都存在并且有界，跟踪误差e(t)渐近趋于0.

2 内模设计与问题转化

首先，引入如下假设:

假设1［8］对系统(1)和(2)，存在一个充分光滑的函数:

满足x(0，w)=0，使得对任意的(v，w)∈Rnv×W，都有

假设2 对任意的w∈Rnw，有h(w)≠0.

注1 在假设2下，可知系统(1)的控制方向是未知的.然而，存在正数hM和hm，使得对任意的w∈W，都有hM＞|h(w)|＞hm.

此外，在假设1和假设2下，令

那么，x(v，w)，y(v，w)，u(v，w)就组成系统(1)和(2)的调节器方程的解.

对于非线性外部系统(2)，存在一个正整数k≥2，和一组矩阵A1，A［i］∈Rnv×nv，i=2，…，k，使得系统(2)可以表示为［8］

其中a［i］(v)，i=2，…，k，是充分光滑的函数，满足a［i］(0)=0.

假设3［8］存在一列实数a1，a2，…，ar，满足

使得

假设4［8］对i=2，…，k，存在矩阵Φ［i］满足

令

式中:T是任意的可逆阵，并且

那么，(θ，α，β)是一个具有输出u的线性可观测稳态生成器［8］，满足

选取可控矩阵对(M，N)，其中M∈Rr×r是Hurwitz矩阵，则下面的Sylvester方程:

存在唯一的非奇异解T.

进一步，构造动态补偿器

那么系统(7)就是一个内模系统［8］.

结合系统(1)和(7)，再作如下的坐标变换和输入变换:

可得

系统(8)称为系统(1)和(2)的增广系统，对任意的(v，w)∈Rnv×W，具有如下性质:

引理1［8］假设存在一个动态输出反馈控制律

式中:ξ∈Rnξ，nξ是一个适当的正整数，f和g分别是满足f(0，0)=0和g(0，0)=0的光滑函数，使得对任意的w∈W和v(t)，闭环系统的解是有界的，且e(t)是渐近趋于零的.那么，下面的控制律:

可解决系统(1)和外部系统(2)的全局鲁棒输出调节问题.

为了解决系统(8)的全局鲁棒稳定性问题，再引入一个假设.

假设5［9］对任意的w∈W，矩阵F(w)都是Hurwitz的，并且对任意的由系统(2)产生的v(t)，系统

是一致指数稳定的.

注3 在假设5的条件下，存在2个正定矩阵Q(w)和P(t)分别满足下面的Lyapunov方程:

式中:对任意的t≥0，矩阵P(t)和R(t)满足:

I是单位矩阵，a2≥a1＞0，b＞0是一些适当的实数.

3 动态输出反馈控制器设计

引理2 在假设1－假设5的条件下，存在一个正定函数:

式中:Q(w)和P(t)分别是满足方程(12)和(13)的正定矩阵和是满足如下条件的正数:

q(v，w)和a(e)是光滑的正函数.

注4 当h(w)是正的情况下，文献［9］证明了引理2.类似于文献［9］的证明，当h(w)符号未知时，可以证明引理2仍成立.

定理1 考虑系统(8)，在假设1～假设5的条件下，设计如下控制律:

式中:α=N(k)ρ(e)e，ρ(·)是一个待设计的非负光滑函数.N(k)=k2cos(k)是一个Nussbaum型的函数，是h(w)的估计.那么，存在一个正定函数V2，使得V2关于时间t的导数满足:

式中:l1和l2是正数

证明 令

那么，V2关于时间t的导数满足

利用Young不等式，得到

再根据公式(15)，有

再由Young不等式，得到

式中:l1=c1－‖H(w)‖2，l2=c2－‖ΨT－1h(w)‖2，a2(e).结合公式(15)和(17)，可得

因为对任意给定的b＞0，存在ε＞0满足

那么，存在一个正数:

使得l2＞0.

由于W是Rnw上的一个已知紧集，存在一个正常数H0，对所有的w∈W都有H0≥‖H(w)‖2.那么，对给定的ε＞0和，存在

使得l1＞0.

另一方面，可以选择一个函数:

使得ρ(e，v，w)≥1.

进而，可得

引理3［11］令V(·)和k(·)是定义在［0，tf)上的两个光滑函数，N(·)是一个光滑的Nussbaum型函数，b是一个非零常数.如果对任意的t∈［0，tf)，满足

其中，const表示任意的常数.

那么，在时间区间［0，tf)上V(t)，k(t)和都是有界的.

由引理3，可得下面的结果.

定理2 考虑系统(8)，在假设1～假设5的条件下，存在形如式(16)的控制器，使得对任意的初始条件，闭环系统的状态在［0，+∞)上是存在并有界的，且跟踪误差e(t)渐近趋于零.

证明 首先，假设对任意初始条件，闭环系统的解的最大存在区间为［0，tf)，tf＞0.

由不等式(16)，可得

在式(18)两边从0到t积分，可得

由引理3，V2(t)，k(t)和τ在［0，tf)上是有界的.进一步，根据V2的构造，能够得出在［0，tf)上都是有界的.所以，不可能发生有限时间逃逸现象.

因此，对任意的t≥0，闭环系统的状态是有界的.另一方面，从系统(8)得到也是有界的.在式(18)两边从0到+∞积分，可知和e在［0，+∞)上平方可积.

最后，应用Barbalat引理［12］，可得

4 数值仿真

考虑下面的非线性系统［9］:

式中:col(x1，x2，y)∈R3是状态，u∈R是输入，v2∈R是由如下非线性系统:

生成外部干扰.

假设参数w=col(ε1，ε2，μ1，μ2)是不确定的，其中ε1＞0，ε2＞0，μ1＞0，μ2＞0，

并且h(w)≠0.与文献［9］不同的是，在系统(20)中h(w)是符号未知的不确定常数.在文献［9］中，已经指出系统(20)和(21)满足假设1和假设3－假设5.外部系统(21)可以表示为

约定h(w)≠0，但是符号未知，因此假设2也满足.易知，x1(v，w)=0，x2(v，w)=0，y(v，w)=0，u(v，w)=－h－1(w)v2组成相应于系统(19)和(20)的调节器方程的解.另一方面，公式(3)和(4)中的矩阵可以分别取为

为了构造内模系统(7)，选取

可得Sylvester方程(6)的解:

式中:

进一步，选取a=b=1，q1=1，q2=2，可得

仿真结果如图1～3所示，其中初始条件为

图1描述了闭环系统的时间响应，图2描述了动态控制器状态的时间响应，图3描述了控制输入的时间响应.

图1 闭环系统的时间响应Fig.1 Time response of the closed-loop system

图2 动态控制器的状态的时间响应Fig.2 Time response of the states of the controllor

图3 控制输入的时间响应Fig.3 Time response of the control input

5 结束语

本文研究了具有非线性外部系统和控制方向未知的不确定非线性系统的全局鲁棒输出调节问题.当控制方向未知时，我们通过使用Nussbaum增益技术，非线性内模方法和鲁棒稳定性技术进一步研究了具有非线性外部系统的非线性系统全局鲁棒输出调节问题.仿真结果验证了本文理论的有效性.

［1］ISIDORI A，BYRNES C I.Output regulation of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1990，35(2):131-140.

［2］HUANG J，RUGH W J.On a nonlinear multivariable servomechanism problem［J］.Automatica，1990，26(6):963-972.

［3］程代展，董亚丽.输出调节与内模原理［J］.自动化学报，2003，29(2):284-295.

CHENG Daizhan，DONG Yali.Output regulation and internal model principle［J］.Acta Automatica Sinica，2003，29 (2):284-295.

［4］BYRNES C I，ISIDORI A.Nonlinear Internal Models for Output Regulation［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49(12):2244-2247.

［5］HUANG J，CHEN Z.A general framework for tackling the output regulation problem［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49(12):2203-2218.

［6］LIU L，HUANG J.Global robust output regulation of output feedback systems with unknown high frequency gain sign［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，51(4): 625-631，2006.

［7］NIKIFOROV V O.Adaptive nonlinear tracking with complete compensation of unknown disturbances［J］.Eur J Control，1998，4:132-139.

［8］CHEN Z，HUANG J.Robust output regulation with nonlinear exosystems［J］.Automatica，2005，41:1447-1454.

［9］SUN W，HUANG J.Output regulation for a class of uncertain nonlinear systems with nonlinear exosystems and its application［J］.Sci China Ser F-Inf Sci，2009，52:2172-2179.

［10］LIU L，HUANG J.Global robust output regulation of lower triangular systems with unknown control direction［J］.Automatica，2008，44:1278-1284.

［11］YE X，JIANG J.Adaptive nonlinear design without a priori knowledge of control directions［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1998，43(11):1617-1621.

［12］KHALIL H K.Nonlinear systems［M］.3rd ed.［s.l.］: Prentice Hall，2002:323-324.