方形蜂窝夹芯夹层板弯曲问题的新解法

伍 莉，刘 均，程远胜

（1武汉市第二船舶设计研究所，武汉 430064；2华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉430074）

1 引 言

由于夹层结构具有重量轻、强度高的特点，同时也具有良好的抗振、隔声和隔热等性能，目前已被广泛应用于航空航天、船舶及土木建筑等领域，因此研究各种形式夹层结构的力学特性显得尤为重要。典型的夹层结构由其上下面板和中间的芯层所组成，按其芯层的结构形式可分为连续和离散两种。在过去几十年里，针对连续芯层的夹层结构，国内外学者进行了广泛和深入的研究，取得了很多研究成果。对于离散芯层的夹层结构如棱柱形夹芯、折板夹芯、波纹形夹芯、四边形蜂窝夹芯、六边形蜂窝夹芯以及金字塔栅格夹芯等，由于结构形式的复杂性，其力学特性已成为目前国内外研究的热点之一[1-4]。对离散芯层夹层结构，欲从理论上建立准确的力学模型，运用解析方法进行分析是比较困难的，目前国内外学者采用较多的一种方法，是将其结构进行均匀等效[5-7]，把离散的芯层等效为均匀的连续体，利用一定等效原则得到对应的力学参数，然后利用这些参数和连续体假设再对夹层结构进行力学分析。

本文针对方形蜂窝夹芯夹层板，应用离散的力学模型进行了研究，将其离散的芯层视为密加筋形式，在经典夹层板理论的基础上[8]，利用能量原理推导出方形蜂窝夹芯夹层板离散模型的弯曲控制方程，然后假设夹层板位移为双傅立叶级数形式，采用伽辽金法求解。

2 理论分析

2.1 基本假设

方形蜂窝夹芯夹层板由上下两块面板和中间的方形芯层所组成，如图1所示。tt和tb为上下面板的厚度，tc和Hc为芯层薄壁的厚度和高度，Lc表示芯层薄壁的间距。在以下公式中，下标t和b分别表示上面板 （top）和下面板（bottom），下标 c表示芯层（core）。

以下分析都基于线弹性范围内，基本假设为：

（1）夹层板的上下面板为普通薄板，沿用经典的薄板理论；

（2）芯层横向不可压缩；

（3）离散的芯层薄壁承受横向弯曲和剪切，且假设整体芯层存在统一的位移场；

（4）夹芯中面法线在变形后保持直线，忽略芯层薄壁之间的交叉连接。

图1 方形蜂窝夹芯夹层板示意图Fig.1 Schematic diagram of a square-honeycomb sandwich plate

2.2 基本方程

2.2.1 几何方程

对于上面板：

其中uk、vk和wk（k=t或b）分别表示上下面板的面内x向、y向的位移函数和横向位移函数；uok和vok（k=t或b）分别表示上下面板中面面内x向、y向的位移函数，φxk和φyk（k=t或b）分别表示x法向和y法向转角，zk（k=t或b）表示垂向坐标，垂向坐标的零点在各面板的中面上，方向向下；uc和vc分别表示芯层的面内x向和y向的位移函数；uoc和voc分别表示芯层中面面内x向和y向的位移函数；φxc和φyc分别表示芯层x法向和y法向转角；zc为垂向坐标，垂向坐标的零点在芯层的中面上，方向向下；w为夹层板的横向位移函数。

对上下面板和芯层的中面位移函数，根据变形协调性，存在如下关系：在上面板与芯层交界处

其中uci和wci分别为沿x轴方向的第i根薄壁的面内位移和横向位移，vcj和wcj分别为沿y轴方向的第j根薄壁的面内位移和横向位移，yi为沿x轴方向的第i根薄壁y轴坐标，xj为沿y轴方向第j根薄壁x轴坐标。

在线弹性范围内，应变位移关系为：

对上下面板

式中，k＝t或b表示上面板或下面板。

对沿x轴方向的第i根薄壁

对沿y轴方向的第j根薄壁

式中，εxci和γxzi分别为沿x轴方向的第i根薄壁的正应变和剪应变；εycj和γyzj分别为沿y轴方向的第j

根薄壁的正应变和剪应变。

2.2.2 物理方程

假设材料为各向同性，对上下面板

式中，下标k＝t或b，E、μ为面板材料的弹性模量和泊松比。

对于芯层，沿x方向第i根薄壁：

沿y方向第j根薄壁：

其中Ec和μc为芯层材料的弹性模量和泊松比。

2.2.3 平衡方程

运用能量变分原理推导出夹层板在横向载荷下的弯曲平衡方程。能量变分原理表示如下：

式中，U和V分别表示夹层板的应变能和外力功。δ表示一次变分。

夹层板总的应变能可以表示为：

式中，Ut、Uc和Ub分别表示上面板、芯层和下面板的应变能。它们可以分别表示为

在横向载荷作用下，其外力功为：

3 方程求解

要求得以上方程准确的解析解是比较困难的，本文针对矩形方形蜂窝夹芯夹层板，运用伽辽金法求得近似解。

对于固支夹层板，其边界条件为：

将上面的函数代入方程组 （20），运用伽辽金法可得到关于未知量代数方程组，当位移函数取有限项时，则得到其近似解。

4 算 例

为了验证本文方法的正确性，针对某四边固支和四边简支矩形方形蜂窝夹芯夹层板，运用本文方法得到了位移场和应力场结果，并与有限元数值仿真的结果进行了比较。

4.1 边界条件为固支

矩形夹层板的几何参数为：矩形夹层板长度a=205 mm，宽度b=165 mm，上面板厚度tt=2 mm，下面板厚度tb=2 mm，芯层薄壁的厚度tc=0.5 mm，芯层薄壁的高度Hc=10 mm，薄壁间距Lc=5 mm；材料参数为：面板和芯层为同种材料，其弹性模量E=Ec=2.1×105MPa，泊松比μ=μc=0.3。假设夹层板四边刚固，承受横向均布载荷q＝2.5 MPa。下面给出相关的位移和应力计算结果。为比较起见，有限元方法的相应结果也一并在图中给出。

图2和图3给出了y=b/2和x=a/2处夹层板的横向位移，从图中可以看出本文方法和有限元法两者计算结果吻合得比较好，本文解的最大位移为0.147 mm，而有限元解为0.148 mm，两者非常接近。

图4－7给出上面板的应力值，从图中可以看出，在上面板上表面，本文方法得到的应力值和有限元解吻合较好，如图4和图5所示；但是在下表面，也即面板和芯层交界处，由于离散芯层薄壁局部加强的作用，有限元计算得到的应力值在芯层薄壁的位置会有较大的波动，如图6和图7所示，这是本文方法所不能模拟的，下面板的应力解类似于上面板，限于篇幅，不再累述。总体而言，本文半解析解的正应力结果和有限元解基本一致。

本文方法基于芯层的一阶剪切理论，计算得到的芯层剪应力与有限元计算结果有所差异。

图2 y=b/2处上面板横向位移Fig.2 Lateral displacement of top face sheet at y=b/2

图3 x=a/2处上面板横向位移Fig.3 Lateral displacement of top face sheet at x=a/2

图4 y=b/2处上面板上表面y方向正应力Fig.4 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in y direction at y=b/2

图5 x=a/2处上面板上表面x方向正应力Fig.5 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in x direction at x=a/2

图6 y=b/2处上面板下表面y方向正应力Fig.6 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in y direction at y=b/2

图7 x=a/2处上面板下表面x方向正应力Fig.7 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in x direction at x=a/2

4.2 边界条件为简支

本算例中夹层板的几何参数和材料参数与固支算例相同，但边界为四边简支，承受横向均布载荷q＝1 MPa，下面给出应用本文方法和有限元方法得到的相关位移和应力计算结果。

图8和图9给出了y=b/2和x=a/2处夹层板的横向位移，从图中可以看出本文方法和有限元法计算结果吻合得比较好。图10－13给出上面板的应力值，从图中可以看出在上表面，两者比较接近，在下表面，和固支边界条件计算结果相似，由于离散芯层的局部影响，有限元计算的应力有一些波动，但总体而言，两者基本一致。上述结论与固支边界夹层板结论相似。

图8 y=b/2处上面板横向位移Fig.8 Lateral displacement of top face sheet at y=b/2

图9 x=a/2处上面板横向位移Fig.9 Lateral displacement of top face sheet at x=a/2

图10 y=b/2处上面板上表面y方向正应力Fig.10 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in y direction at y=b/2

图11 x=a/2处上面板上表面x方向正应力Fig.11 Normal stress distribution of upper surface of top face sheet in x direction at x=a/2

图12 y=b/2处上面板下表面y方向正应力Fig.12 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in y direction at y=b/2

图13 x=a/2处上面板下表面x方向正应力Fig.13 Normal stress distribution of lower surface of top face sheet in x direction at x=a/2

5 结 论

本文研究了方形蜂窝夹芯夹层板弯曲问题，在经典夹层板理论基础上，利用能量原理推导出方形蜂窝夹芯夹层板离散模型的弯曲控制方程，运用伽辽金法求解。理论分析和数值计算结果表明：

（1）本文方法简单，收敛较快，计算量小，具有很好的精度，利用本文方法能够较准确地得到夹层板横向弯曲的位移场分布；

（2） 利用本文方法能够从整体上较好地预测上下面板的应力值 （下面板的应力值和上面板类似），但是由于本文方法是基于整体上的假设，对于局部变形所导致的应力局部变化不能很好地模拟，这也是今后需要进一步探讨和研究的。

（3）本文方法基于芯层的一阶剪切理论，故计算得到的芯层剪应力与有限元计算结果有所差异，今后可采用高阶剪切理论，进一步提高计算精度。

（4）该方法直接对夹层板的离散模型建立平衡方程，夹层板的实际几何参数和材料参数全部保留在方程中，能够方便地在本文方法的基础上对方形蜂窝夹层板进行参数化研究和结构优化设计。

该方法为有效、快捷地分析夹层板的力学性能提供了新的途径，也为以后的研究提供了理论参考和依据。

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