基于CVaR风险度量的投资组合优化决策

杨爱军，高 岳，孟德锋

（南京审计学院 金融学院，南京 211815）

0 引言

Markowitz于1952年提出的组合投资理论与方法奠定了均值—方差分析框架，开创了对金融风险进行定量测度与防范的先河，是后续许多其他理论研究的基础。随着金融实践不断深化和金融计量建模技术的发展，该理论的不足之处也逐渐凸现出。

一方面，传统的均值—方差模型假设投资组合收益率分布函数为多元正态分布。尽管均值—方差模型仍很受欢迎，但它也受到了种种批评。重要一点是没有充分考虑投资组合收益率的尖峰厚尾和偏态特征。当投资组合收益率服从正态分布时,均值—方差模型能够完美地刻画投资组合收益率分布情况，从而为管理投资风险提供坚实的基础。事实上，大量实证研究成果表明，投资组合收益率往往呈现出尖峰胖尾和有偏特征。Markowitz[1]详细说明了当投资者效用函数与投资组合损益率的均值、方差和偏态有关时，均值—方差模型不再有效；Athayde和Flores[2]给出了基于均值—方差—偏度的有效前沿的许多性质，并且通过模拟得到有效前沿形状；Jurczenko[3]提出了一种优化算法来得到基于均值—方差—偏度的投资组合有效前沿。但是这些研究都没有充分考虑投资组合收益率的尖峰厚尾特性。

另一方面，尽管存在种种批评和多种与其竞争的风险度量方法,方差仍然是投资管理实践中应用最为广泛的风险度量方法。在金融市场波动较为平稳的情况下,均值—方差模型仍然能较好地发挥作用。然而在金融市场波动较为剧烈的情况下，投资组合收益率尖峰厚尾和偏态特性使得方差不能有效度量投资组合重大损失风险。当前金融市场的波动越来越大,投资者越来越关注投资组合重大损失风险的发生；同时监管当局也越来越重视对投资组合重大损失风险的监管。国内外一些学者提出了利用VaR来改造均值一方差模型,形成均值一方差模型。然而由于VaR不满足次可加性,从而不满足一致性风险度量标准，这个缺陷影响了投资组合选择的正确性。CVaR是一致性风险度量方法，且容易进行优化处理，受到学术界和实务界越来越多的重视。为了方便计算均值—CVaR模型有效前沿，常常假设投资组合收益率服从多元正态分布[4～6]。虽然多元正态分布简化了均值—CVaR模型的计算,却低估了实际的重大损失风险。

鉴于此，本文拟研究基于均值—CVaR模型的投资组合优化问题。首先，利用多元广义双曲线分布来拟合投资组合收益率，这个分布可以更好的考虑投资组合收益率的尖峰厚尾和偏态特征，还包含了多元正态分布和多元偏态分布为特例，进而可以从分布本身的角度来比较比较实证研究结果；其次，本文将引入CVaR代替方差和VaR来度量风险,进而建立均值—CVaR投资优化模型；最后，利用中国股票市场的真实数据来演示本文方法，笔者期望提出的基于多元广义双曲线分布的均值—CVaR模型能为投资者更好地管理投资风险,提供更广泛的选择空间。

1 均值-CVaR模型

假设有n种股票可用于构建投资组合，第i种股票期望收益率为ri(i=1,2,…,n)，记r=(r1,r2,…,rn)T，上标T表示矩阵的转置；第i种股票在投资组合中的投资比重为wi，则投资组合可以表示为w=(w1,w2,…,wn)T，那么投资组合损益率为有效反映投资组合收益率分布是进行风险管理的重要基础，进而对投资组合优化问题具有重要意义。本文在利用多元广义曲线分布来描述n种股票期望收益率基础上建立均值—CVaR模型。

1.1 多元广义双曲线分布

Kλ(z)为阶数为λ的第二类修正Bessel函数，那么r服从多元广义曲线分布，其中参数满足：当 λ＜0,则χ＞0,ψ≥0；当 λ=0,则 χ＞0,ψ＞0；当λ＞0,则 χ≥0, ψ＞0。这里λ可用于描述某个子类的特征，并且改变λ的值可以来调整分布尾部的厚度；λ,χ,ψ是分布的形状参数，决定了数据在分布尾部和中心部分的比重，当参数取值趋向无穷大时，分布演化为正态分布；u是位置参数；γ是偏态参数，越大表示分布函数偏度越大就说明分布函数是对称分布，也是一类椭圆分布，γ在描述金融收益率数据分布中具有重要的作用。由此可见，与多元正态分布仅有两个参数相比较，通过引进其他几个参数使得这个分布族非常灵活，能更好地拟合实际金融收益率分布。

多元广义双曲线分布族包含许多分布，并且这些分布的一维形式已经被广泛应用于金融领域：当λ=1时，为多元广义双曲线分布[7]；当λ=(n+1)/2时，为多元双曲线分布；当λ=-1/2时，为多元正态逆高斯(NIG)分布[8,9]；当λ＞0,χ=0时 ，为 多 元 方 差 -gamma分 布[10]；当λ=-ν/2,χ=ν,ψ=0时，为多元偏态 t分布[11,12]；当λ=-ν/2,χ=ν,ψ=0,γ=0时，为多元学生t分布。

1.2 风险度量

VaR是在一定的持有期和一定的置信度内，投资组合所面临的、潜在的最大损失金额；VaR不仅指出了市场风险暴露的大小，同时也给出了损失的概率。如令α∈(0,1)为给定置信度，则VaR可表示为：

VaR=inf{l∈R∶Pr(L＞l)≤1-α}=inf{l∈R∶FL(l)≥α}

CVaR是指损失超过VaR的条件均值[13]，也称为平均超额损失，代表了超额损失的平均水平，其表达式为：

在方差、VaR和CVaR三种风险度量中，方差不一定满足一致性风险测度标准；VaR不一定满足次可加性，从而不一定满足一致性风险测度标准，但是当分布函数为椭圆分布族时[14]，VaR满足次可加性，也满足一致性风险测度标准；对CVaR而言，无论分布函数是否为椭圆分布族时，其都满足一致性风险测度标准。一致性风险测度标准对方差、VaR和CVaR三种风险度量在投资组合优化问题中的重要性可以用如下结论来描述。

假如r服从椭圆分布，并且分布的所有边际分布方差有限；对所有g∈R，记

那么对任何满足正齐次性，传递不变性的风险度量ρ而言，argminL∈Ωρ(L)=argminL∈Ωσ2L。

这里σ2L为变量L的方差。以上结论说明，如果投资组合收益率向量服从椭圆分布，那么在给定组合收益率的期望值的条件下，基于Markowitz方差最小化理论所得到的最优投资组合同基于其他满足正齐次性，传递不变性的风险度量方法所得到的最优投资组合一样。也就是说，最优投资组合不仅依赖于风险度量方法的选取，也依赖于投资组合收益率向量分布函数的选取(本文省略具体证明过程，感兴趣可以和作者联系)。但通过具体例子来说明上述结论的内涵。因为多元正态分布和多元t分布为椭圆分布的特例，这里假设投资组合收益率向量服从多元t分布，通过简单计算可得

其中，c1,c2为依赖于α和自由度的常数。因此，在给定组合收益率的期望值条件下，即ωTu为常数，对CVaR进行极小化求解相当于对方差(ωTΣω)进行极小化求解。因此，无论使用方差、VaR和CVaR那一种来度量风险，所得最优投资组合的结果始终一致；同时优化结果也不依赖α的选取。当多元广义双曲线分布中的γ=0时，多元广义双曲线分布演化为一类椭圆分布，此时投资组合优化问题不依赖于风险度量方法的选取；但是当γ≠0时，投资组合优化问题依赖于风险度量的选取。因此本文将利用CVaR来度量投资组合潜在损失。

1.3 投资组合优化

由于在投资组合收益率向量服从多元广义双曲线分布下，无法得到CVaR的具体表达式，对此本文利用Rockafellar and Uryasev[15]的算法①当分布函数为正态或者学生分布时，我们也可以继续使用这个方法，所得结果和直接求解所得结果一致。，具体过程如下。

步骤1：首先将CVaR表示为如下形式：

这里[x]+=max(x,0)。由于上式涉及高维积分，传统方法非常困难，本文利用MCMC抽样技术从r的密度函数中随机产生m个样本，得到Fα(w,p)估计为：

步骤2：在给定组合收益率的期望值约束下，关于(w,p)对 F∧α(w,p)进行最小化求解②这里我们可以使用Matlab软件提供的线形规划算法，fmincon，对F∧α(w,p)进行最小化问题的求解。。如果 F∧α(w,p)在(w*,p*)处取得极小值，那么w*为最优投资组合，p*为VaR，极小值为CVaR。

2 实证分析

本文选择不同行业的五只股票作为研究对象③本文也研究了其他不同种类股票组合的优化情况，所得结果也支持本文结论。限于篇幅，这里不再列出，感兴趣的读者可以向或者索取。，这五只股票分别是：东方航空、浦发银行、万科A、中国石化和中国重汽；计算使用的历史数据区间为：2000年1月1日到2010年6月29日；数据来源：金融研究数据库(RESSET)。所选取的股票相关统计资料见表1。

表1 五只股票收益率的相关统计分析

从表1中单个股票来看，可以发现东方航空股票平均收益率最高，而其偏态情况也最显著。中国石化和中国重汽也存在比较明显的偏态情形。根据前面的理论，运用广义双曲线分布和CVaR风险度量来研究投资组合优化问题时，必须对数据的联合分布进行检验。表2运用MardiaTest统计量对数据的多元正态性进行检验。从表2分析中，五只股票的数据显然不满足多元正态分布。这个结论可以从表3得到进一步确认。在表3中，我们用三种不同分布来拟合数据。从最优拟合优度AIC值可以得出，正态逆高斯分布和偏态t分布的拟合效果差别不是很大，但是正态逆高斯分布对数据拟合效果最好，无论是正态逆高斯分布还是偏态t分布，拟合结果都表明数据具有尖峰厚尾和偏态特征。因此有必要对传统的均值—方差模型进行改进。

表2 多元正态分布检验

表3 不同分布下的AIC值

表4 基于多元正态分布和方差、95%VaR和95%CVaR度量的优化结果

在前面部分我们指出，当分布为多元正态分布时④我们这里仅以多元正态分布为例，这个结论对椭圆分布族中的任何分布都满足。，使用方差、VaR和CVaR中任一种作为风险度量工具，所得到最优投资组合结果是不变的。表4给出基于这三种风险度量的优化结果，显然优化结果始终保持一致。下面利用正态逆高斯分布和CVaR研究投资组合优化问题。为了对均值—方差模型与均值—CVaR模型做一个比较，进而分析均值—CVaR模型的特点，我们对每一个模型都计算了在给定组合收益率的期望值约束下的最优投资组合。表5分别给出了五组最优投资组合的计算结果。分析表4和表5可以发现，尽管在给定组合收益率的期望值约束下，基于均值—方差模型与均值—CVaR模型得到的最优投资组合并不相同。具体来说，东方航空和万科A的投资比重显著增大(+20%,+30%)；浦发银行的投资比重减少很多(-60%)；而其他两个股票的投资比重基本保持不变。这个结果表明本文的方法运用到证券投资管理是相当有潜力的。由于在均值—CVaR的模型中，损失是用货币来表示的，它更加直观，同时由于CVaR是下方风险的度量方法，更接近投资者的心理习惯。因此应用正态逆高斯分布和CVaR风险度量有着更多的优点。

表5 基于正态逆高斯分布和95%CVaR度量的优化结果

3 结论

现代证券投资组合管理依靠数量化、模型化的方法来确定最优资产组合。在国内，数量化组合投资这一方法已引起一批机构投资者的兴趣，已有不少券商研究机构和基金管理公司对此展开了研究，越来越多的投资组合管理者将采用现代投资组合优化模型来管理组合。尽管均值—方差模型仍很受欢迎，但它受到的批评也是很多的，主要在于均值—方差模型是建立在分布函数为多元正态分布和使用方差作为风险度量方法的基础之上。然而，大量实证研究成果表明：投资组合收益率向量往往呈现出尖峰胖尾和有偏特征，如果我们仍然使用多元正态分布来拟合投资组合收益率向量，那么我们将得到不精确的结果；同时方差对极值并不敏感，恰恰这些极值就是投资者所关心的。本文提出使用一种灵活的多元广义双曲线分布来描述投资组合收益率向量。另外本文使用CVaR来度量风险，CVaR可以把风险量化为货币表示。通过对市场的实证研究我们发现，分布函数和风险度量的选取对最优投资组合具有显著影响。这表明本文方法运用到证券投资管理中是相当有潜力的。

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