双光栅衍射在成像中色散与合成的实验研究

李柯楠，李 翔，周 进

（南京大学物理学院，南京210093）

1 引 言

光栅作为一种常用的衍射光学器件，被广泛应用于光学衍射的各个领域：如分光和摄谱等.用白光作为光源，可以在傅里叶频谱面上观察到色散的谱，这表明光栅具有色散效应[1].根据光路的可逆原理，如果色散的光逆向返回，那么光栅就可以起到消色散的作用，即光栅汇合光谱特性，它与光栅的色散特性正好相反.基于上述考虑，综合利用光栅的色散特性和汇合光谱特性，可以在第一块光栅之后再加上另一块光栅，如果满足一定条件，便可以得到没有发生色散的像，即利用光栅的色散效应和汇合光谱效应实现无色散的双光栅成像[2].本文对双光栅的这一应用进行了探讨与研究.

2 基本理论

已知光栅方程

其中：θ为入射角，βi为衍射角，k为衍射级数.于是对于同一k级的不同λi，衍射角有不同的值βi，这表明了光栅的色散特性，如图1（a）所示.

此时假设这些k级衍射光若再以βi为入射角反向通过相同的光栅，利用光栅方程得到

这便为光栅的汇合光谱特性，如图1（b）所示.如果不同波长的物光束经过第一个光栅并发生色散后，使其中某一级的光进入第二个光栅并满足式（3），那么在第二个光栅后的汇合光束中便可以观察到物体的虚像，这就是双光栅成像效应.

图1 光栅衍射的色散特性和汇合光谱特性

图2所示是双光栅成像系统，光栅常量分别为d1和d2的两光栅G1和G2平行放置，光栅刻线也是平行的.

图2 双光栅成像光路示意图

理论可以证明[3]，若双光栅周期d不同时，在双光栅系统中若要不发生色散，当且仅当

此时所有波长关于G2的第n级衍射光将在同一方向，达到了双光栅消色散的目的，此时虚光源刚好位于物平面上.（4）式是在双光栅平行的情况下导出的，当两光栅不平行时，成像方程应改为

式中w是与两光栅夹角δ有关的系数.当两光栅平行即δ＝0时，w＝1.

在搭建双光栅成像实验时应注意：

1）为了不让物光直接照射到光栅G2上，需要在G1旁放置遮光板，使光只能通过光栅G1的衍射到达光栅G2；

2）由于光栅的通光口径有大小限制，应将G2移至G1的m级衍射光谱处；

3）相机有傍轴条件的限制，相机也要随光栅G2作相应的移动.如图2所示，G1和G2分别为一维透射光栅，O为物.

3 实验结果与讨论

3.1 双光栅平行放置

利用不同空间频率的一维光栅分别作为G1和G2，并取定G1的m＝1（m≥2的衍射级光强较弱），并取z1＝15cm不变，d－11＝600m－1.根据成像方程（4）式，当等号右边取不同的n值时求得相应的z2值，将光栅G2移至z2处并拍照，所得结果如表1所示，对应的图像如图3所示.

表1 不同空间频率光栅实验组合

图3 不同空间频率光栅实验图像

理论上图中央清晰的像便是G2无色散的n级衍射光所成的像.图3为实验结果，图3（a）颜色偏冷色调，图3（b）颜色较为正常，图3（c）成像效果较好.

对合成的像出现偏色现象，其原因为实验中采用的相位光栅其衍射效率与波长有关.其次，如果光栅G1的衍射光谱比较密集时，当G1和G2距离很近时，很容易让G1的多级衍射光同时进入光栅G2，干扰了m级衍射光的成像.若在光栅G2前再置一适当小孔，或减小G1通光范围，防止非m级衍射光进入光栅G2，也可改善其成像.

3.2 当双光栅成一定角度时

平行光斜入射光栅时，不仅衍射条纹级数、正负级次位置不对称，而且正负级次强度也不对称；斜入射角度越大，不对称越明显[4－5].

实验中，让2个光栅成一定角度并让该角度变化时，无色散衍射级像的改变，而当调节双光栅间距时，可以使原衍射级恢复消色散.通过实验定性分析夹角δ变化与消色散关系，保持式（5）等号左边诸量不变，采用控制变量法：

1）当δ改变使w变化时，若保持z2不变，那么使无色散像的衍射级n发生变化，图4是δ逐渐增大依次获得的成像情况（图中n取绝对值），可见，随着δ的增大，消色散的像逐渐向衍射级小的方向移动.最初n＝2级消色散，最后变成了n＝1级消色散.

图4 双光栅夹角变化的衍射像

2）当δ改变使w变化时，也可以通过调节z2的大小使式（5）仍然成立，观察到n级无色散像.实验中G2转过一定角度时，必须减小z2才可以使n级像仍无色散，如图5所示.

图5 双光栅间距对夹角变化的补偿

综合1）和2）实验可知：系数w随着G1和G2夹角的增大而增大且w≥1.

4 结束语

利用光栅的色散效应和汇合光谱效应可以实现无色散的双光栅成像.实验所用相位光栅的衍射效率与波长有关，所以实验中双光栅衍射所合成的像会出现偏色现象.2个光栅之间的夹角会对成像产生影响，这种影响在转动角度大时表现尤为明显，可导致无色散衍射级的变化，成像方程中系数w随着两光栅夹角的增大而增大而且不小于1.本文通过对双光栅这一特殊应用的探讨与研究，清晰地阐述了双光栅的成像特性以及成像过程中各种因素对成像质量的影响，实现了利用普通光学器件的成像，提高了可操作性和成像质量.

感谢：本课题为大学物理实验中设计实验，感谢物理实验中心老师潘永华、周惠君高工给予的帮助.

[1] 马雪梅，张卫平，黄创高.基于光栅衍射的实验分析[J].大学物理实验，2010，23（4）：34－36.

[2] 张卫平，何小荣.光栅的汇合光谱特性与双光栅成像效应[J].中国科学G辑，2006，36（5）：556－560.

[3] 何小荣，张卫平.用菲涅耳理论分析双光栅成像效应[J].光学学报，2007，27（8）：1371－1376.

[4] 李争路，岑剡.平行光斜入射光栅（矩孔）的衍射光场[J].物理实验，2011，31（8）：43－46.

[5] 李芳菊，耿森林，文军，等.倾斜因子对夫琅禾费衍射强度的影响[J].物理实验，2010，30（10）：33－39.