非交换子群共轭类个数为2的有限群

周志浩， 郭秀云

(上海大学理学院，上海200444)

在有限群论中，元素的可交换性是最基本最重要的性质.正因为如此，人们常常希望通过“较多”或“较大”交换子群来研究有限群的结构.例如，Miller等［1］早在1903年就确定了每一真子群都为交换群的有限群的结构.沿用这一思想，人们研究了每一个2-极大子群都为交换群的有限p-群(A2群)的结构.Kazarin［2］，Sheriev［3］，Berkovich等［4］都曾经独立地研究过这类群.经过长期努力，人们终于给出了这类群的完全分类［5］.本工作研究非交换子群的共轭类个数较小时有限群的结构，特别地，对非交换子群共轭类个数为2的有限非p-群给出了完全分类.

本工作中所研究的群都是有限群，没有特别说明的概念和术语均为标准的.设H是群G的非交换子群，则{Hg|g∈G}是G的一个非交换子群共轭类，记G的非交换子群共轭类的个数为γ(G).

1 基本定义和预备引理

下面给出本工作将要用到的一些基本定义和基本结果.

定义1 称Sylow q-子群正规的内幂零群为q-基本群.

定义2 如果群G的每个真子群皆为交换(幂零)群，但G不是交换(幂零)群，则称G为内交换(幂零)群.

内交换群的结构如下.

定理1［1］设G是内交换群，则G只有下列互不同构的类型.

(1)当G为幂零群时，G必为q-群.

①四元数群：q=2，G=Q8=〈a，b|a4=1，b2= a2，ba=a－1b〉;

②亚循环群：G=Mn，m，q=〈a，b|aqn=bqm=1，ab=a1+qn－1〉，其中n≥2，m≥1;

③非亚循环群：G=Nn，m，q=〈a，b，c|aqn=bqm= cq=1，［a，b］=c，［c，a］=［c，b］=1〉，其中n≥1，m≥1，并且当q=2时，m+n≥3;

下面给出内幂零群的性质.

定理2［6］设G为内幂零群，则G有下列性质：

(1)|G|=paqb，p≠q均为素数，且适当选择符号，可有G的Sylow q-子群QG，而Sylow p-子群P循环，且P在G中非正规，并有Φ(P)≤Z(G);

(2)Φ(Q)≤Z(G)，特别地，c(Q)≤2;

(3)若q＞2，则 exp(Q)=q;而若q=2，则exp(Q)≤4.

通过赋予群的极大子群一些条件，可对群的结构产生如下影响.

定理3［7］设H为群G的极大子群，若H幂零，且H的Sylow 2-子群的幂零类≤2，则G可解.

引理1［7］设群G的极大子群恰有2个共轭类，则G可解.

为方便起见，给出如下单群A5的极大子群.

引理2［8］设M是由5次交错群G=A5的极大子群的集合，则M={NG(Gp)|Gp∈Sylp(G)，p∈{2，3，5}}，且

以下的Maschke定理和Hall-Higman简化定理是群在群上作用的重要结果.

定理4［7］(Maschke定理) 设π'-群H作用在交换π-群G上，A为G的H-不变子群，并且为G的直因子，即存在B≤G，使G=A×B，则必可找到G的某个H-不变子群K，使G=A×K成立.

定理5［7］(Hall-Higman简化定理) 设π'-群H非平凡地作用在π-群G上，但平凡地作用在G的每个H-不变真子群上，则G为p-群，并且有

(1)H不可约地作用在G/G'上，且［G，H］=G，CG(H)=G'，CG/G'(H)=;

(2)若G交换，则G为初等交换p-群，若G非交换，则G'=Z(G)=Φ(G);

(3)Z(G)是初等交换p-群;

(4)若p≠2，则exp(G)=p.

2 主要结果

下面研究群G中非交换子群的共轭类个数较小时有限群G的结构.首先证明如下定理.

定理6 设G是一个群，如果γ(G)≤3，则G为可解群.

证明 分别考虑γ(G)=n(n=0，1，2，3)的情形.

(1)当γ(G)=0时，G为交换群，当然G是可解的.

(2)当γ(G)=1时，G为内交换群，G也是可解的.

(3)当γ(G)=2时，设H是G中非交换的真子群，则由γ(G)=2可知，G中非交换的真子群必与H共轭，且H为G的极大子群.若G中每一个极大子群皆与H共轭，则G只有一个极大子群的共轭类，从而是循环群，这与G非交换矛盾.因而，G中存在极大子群A使得A为交换群.根据定理3，G为可解群.

(4)当γ(G)=3时，G中有2个非交换真子群共轭类，并由上面的证明可知，这些共轭类中的子群是G的极大子群.若G中存在交换的极大子群，则由定理3可知，G可解，否则G的极大子群恰有2个共轭类.根据引理1可知，G为可解群.

下面举例说明当γ(G)=4时不能保证G的可解性，从而得出定理6给出的界是最好的.

例1 5次交错群A5中的非交换子群共轭类的个数是4，即γ(A5)=4.

下面给出本工作的主要结果.

定理7 设G是一个群，|π(G)|≥2，如果γ(G)=2，则G必定同构于下列群之一：

(1)G=Q8×Zp，p为奇素数;

(2)G=Mn，m，q×Zp，其中Mn，m，q是定理1中的亚循环群情形，并且p，q为互异的素数;

(3)G=Nn，m，q×Zp，其中Nn，m，q是定理1中的非亚循环群情形，并且p，q为互异的素数;

(4)G=Q8×|Z3=〈x，y，z|x4=y4=z3=1，y2= x2，yx=x－1y，xz=y，yz=xy〉;

(5)G=N1，1，q×|Zp，其中q为奇素数，|N1，1，q|= q3，p，q为互异的素数，Zp平凡地作用在N1，1，q的每个Zp-不变真子群上;

(6)G=Q×|P，其中|G|=pα+1qβ，Q∈Sylq(G)为初等交换q-群，P=〈y〉∈Sylp(G)为G的极大子群，并且子群H=〈yp〉Q为定理1中的q-基本群;

(9)G=Q×|P，其中|G|=pαq2β，Q∈Sylq(G)为齐次循环q-群，exp(Q)=q2，P∈Sylp(G)为pα阶循环群，并且商群G/Φ(Q)为定理1中的q-基本群，〈yp〉在Q上的作用是平凡的;

(10)G=H×Zt，其中H为定理1中的q-基本群，p，q，t为互异素数.

证明 设H为群G的非交换真子群，则由γ(G)=2且G本身非交换可知，G的所有非交换真子群都与H共轭，并且H的所有真子群都是交换的，即γ(H)=1.进一步可知，H为G的极大子群.

如果G是幂零群，则H也是幂零群.根据定理1中的情况(1)可知，H为 G的 Sylow q-子群，且|G∶H|=p(p≠q).因此，有G=H×P，其中P∈Sylp(G)为p阶循环群.由定理1中的情况(1)可知，G为(1)，(2)，(3)型群.

以下假设G不是幂零群.若H是幂零群，则G是内幂零群.根据定理2中的情况(1)以及H的极大性可知，H一定包含G中正规的非交换Sylow q-子群.又由γ(H)=1可知，H正是G中正规的Sylow q-子群，且|G∶H|=p(p≠q是素数).

如果H为四元数群Q8，由Aut(Q8)=S4知，p= 3，这表明G为定理7中的(4)型群.

如果H为亚循环群Mn，m，q，则Z(H)=Φ(H)=〈aq，bq〉，H'=〈aqn－1〉.根据定理5中的情况(2)可知，m=1，n=2.此时，exp(H)=q2＞q，根据定理5中的情况(4)得，q=2，于是 H=D8.因为Aut(D8)=D8，所以H≠Mn，m，q.

如果 H为非亚循环群 Nn，m，q，则Z(H)= Φ(H)=〈aq，bq，c〉，H'=〈c〉.根据定理5中的情况(2)可知，m=n=1.因此，q为奇素数，G为定理7中的(5)型群.

现在假设H为非幂零群.根据定理1中的情况(2)，H为q-基本群.设P1∈Sylp(H)，Q1∈Sylq(H)，又设P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G)，使得P1≤P，Q1≤Q.

首先，证明Q是G的正规子群.由G的可解性可知，G中有正规的极大子群.若H不是G的正规子群，则 G中存在正规的交换极大子群 A.设|G∶A|=r(r是素数)，由G=HA，|H∶H∩A|= |HA∶A|=r，即r∈π(H).这样r=p或r=q.因为|π(G)|≥2，所以|A|中必定含有异于r的素因子.由A的交换性可知，A的Hall r'-子群N正规于G，设G=N×|R，其中R∈Sylr(G).如果r=q，则有P1≤N.由N的Sylow p-子群在G中正规可知，P1在H中正规，与定理1中的情况(2)矛盾.于是r=p，从而Q作为A的Sylow q-子群必然为G的正规子群.

由于G为可解群且H为G的极大子群，所以|G∶H|=tm.以下分3种情形来讨论.

(1)在t=p情形下，Q1=Q.由H的极大性可知，P1≅H/Q为 P≅G/Q的极大子群，从而|G∶H|=|P∶P1|=p，其中P为G的极大子群，且P为交换群.事实上，设M为G的包含P的极大子群，由于Q∩MM以及Q的交换性可知，Q∩MG.又由于Q∩M＜Q≤H以及Q=Q1为H的极小正规子群，所以Q∩M=1，从而P为G的极大子群.

注意到，P1为循环子群，则P为pα+1阶循环群或(pα，p)型交换群.

如果P=〈y〉，则〈yp〉为P唯一的极大子群，即P1=〈yp〉，H=〈yp〉Q，这就是定理7中的(6)型群.

如果P为(pα，p)型交换群，设P=〈y〉×〈z〉，其中P1=〈y〉，zp=1.注意到，由P正规化P1Q=H可知，H为G的正规子群.而由于Q〈z〉≠H，所以Q〈z〉是交换群，Q〈z〉=Q×〈z〉.故有G=〈x1，x2，…，［y，z］=1〉，其中f(x)=xβ－dβxβ－1－…－d2x－d1在Fq上不可约，且为xp－1的因子，这就是定理7中的(7)型群.

(2)在t=q情形下，P1=P，且由Q的交换性可知，Q1为G中的正规子群.

设M是满足条件Q1≤M＜Q的G的正规子群.如果M≠Q1，则有G=HM=PM，于是G/M=PM/ M≅P/P∩M=P，这与M≠Q矛盾.所以，必定有M=Q1，由此可知，Φ(Q)≤Q1.再由Q1是H的极小正规子群可知，Φ(Q)=1或Q1.

①若Φ(Q)=1，则Q为初等交换q-群，可设Q=Q1×Q3.由Q和Q1都是P-不变的，根据定理4，可以假定Q3也是P-不变的，即PQ3为G的子群.

②若Φ(Q)=Q1，由Q的交换性，有Q'=1.设Q=〈a1〉×〈a2〉×…×〈an〉，则有Q1=Φ(Q)= Q'Qq=Qq，即〈x1〉×〈x2〉×… ×〈xβ〉=〈〉×〈〉×… ×〈〉.因此，n=β，o(ai)=q2(i= 1，2，…，β)，Q为型齐次循环q-群.

(3)在p≠t≠q情形下，P1=P，Q1=Q，且H为G中的 Hall{p，q}-子群，|G|=pαqβtm.取T∈Sylt(G)，证明TG.若G中存在正规的交换极大子群A，则必有G=HA，从而T≤A，T char AG，故有TG.若HG，则G=H×|T.由G可解可知，G中存在Sylow系，即存在u，v∈G使得PuTv=TvPu成立.再由QTv≠H可得，Q与Tv可交换.于是PuQ= (PQ)u=H正规化Tv，从而TvG，这表明G中的Sylow t-子群是正规的.

因为T，PT和QT均不与H共轭，所以它们都是交换群，从而H为G中的正规子群.由H的极大性可知，T为t阶循环群，故G=H×Zt，这就是定理7中的(10)型群.

定理8 定理7中的10类群G都满足γ(G)=2.

证明 显然Q8，Mn，m，q，Nn，m，q分别为定理7中的(1)，(2)，(3)型群G中非交换的极大子群，且其余的极大子群都为交换群，故这3个型群都满足γ(G)=2.

以下设M为群G的任意极大子群.

对于定理7中的(4)型群，记H=Q8，p=3;对于定理7中的(5)型群，记H=N1，1，q.如果M≠H，则|M|中必定含有素因子p.由Sylow定理，存在g∈G，使得Zp≤Mg.于是Mg=G∩Mg=HZp∩Mg=(H∩Mg)Zp，且Zp共轭作用在H∩Mg上.注意到，H∩Mg为H的真子群，则Mg是交换的，从而M也是交换的，故这2个型群都满足γ(G)=2.

对于定理7中的(6)型群，令H=P1Q是G的极大子群，其中P1为循环群P唯一的极大子群.若|G∶M|=pk，则Q≤M.根据Sylow定理，存在g∈G，使得 Mp≤(Mp∈Sylp(M))，于是 M=MpQ≤Q=Hg.由M的极大性可知，M=Hg.若|G∶M|= qk，由Sylow定理，存在g1∈G，使得Pg1≤M.而P为G的极大子群，所以M=Pg1是交换的，故该型群满足γ(G)=2.

对于定理7中的(7)型群，令H=〈x1，x2，…，xβ，y〉为G的极大子群.若|G∶M|=pk，则有Q=〈x1，x2，…，xβ〉≤M.如果z∈M，则存在g∈G，使得Mp≤〈yp〉g〈z〉，其中Mp∈Sylp(M).注意到，〈yp〉及〈z〉在Q上的作用均是平凡的，于是M=MpQ≤〈yp〉g〈z〉Q是交换的.否则，存在g1∈G，使得Mp≤〈y〉g1，于是M=MpQ≤〈y〉g1Q=Hg1.由M的极大性可知，M= Hg1.若|G∶M|=qk，则存在g2∈G，使得P=〈y，z〉≤Mg2.于是Mg2=G∩Mg2=PQ∩Mg2=P(Q∩Mg2)，且Q∩Mg2为Mg2的正规子群，从而〈y〉作用在Q∩Mg2上.另一方面，由于Q为〈y〉Q=H的极小正规子群，所以Q∩Mg2=1，从而M=Pg－12是交换的，故该型群满足γ(G)=2.

对于定理7中的(8)型群，令H=〈x1，x2，…，xβ，y〉为G的极大子群.若|G∶M|=pk，则有Q=〈x1，x2，…，xβ+1〉≤M，从而M=PQ∩M=(P∩M)Q，其中P=〈y〉.由P∩M在Q上的作用平凡可知，M是交换的.若|G∶M|=qk，则存在g∈G，使得P≤Mg.于是Mg=PQ∩Mg=P(Q∩Mg).记Q1=〈x1，x2，…，xβ〉，如果Q∩Mg=Q1，则Mg=H.如果Q∩Mg≠Q1，必有Q∩Mg=B×〈xβ+1〉，其中B＜Q1.注意到，P正规化〈xβ+1〉，则P正规化B.因为Q1是PQ1的极小正规子群，所以B=1，从而Mg=P×〈xβ+1〉是交换的，即M是交换的，故该型群满足γ(G)=2.

对于定理7中的(9)型群，令H=PΦ(Q)为G的极大子群.若|G∶M|=qk，则存在g∈G，使得P≤Mg.因为Q为G的正规子群，所以Φ(Q)≤Φ(G)≤M，即H≤Mg，必有H=Mg.若|G∶M|=pk，则存在g1∈G，使得Mg1=PpkQ.由于Pp在Q上的作用平凡，所以M=(PpkQ)g－11是交换的，故该型群满足γ(G)=2.

对于定理7中的(10)型群，若M≠H，则|M|中必定含有素因子t，使得Zt≤M.于是M=G∩M= HZt∩M=(H∩M)Zt=(H∩M)×Zt，所以M是交换的，故该型群满足γ(G)=2.

结合定理7和定理8，就得到了本工作的如下主要定理.

定理9 设G是一个群，|π(G)|≥2，则γ(G)=2当且仅当G是定理7给出的10类群之一.

如果G为 p-群，且γ(G)=2，则G一定是A2群［5］.由于A2群已经给出了完全的分类，所以满足γ(G)=2的p-群可以从A2群中逐个找出，因而理论上可以给出γ(G)=2的所有群的完全分类.

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［6］ 徐明曜.有限群导引(上册)［M］.北京：科学出版社，2001：142-144.

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