n阶k次对合矩阵的性质

2012-01-25强春晨岳育英刘兴祥祝永华

延安大学学报（自然科学版） 2012年3期

关键词：单位根正整数特征值

强春晨，岳育英，刘兴祥，祝永华

(1.延安大学数学与计算机学院，陕西延安 716000;2.陕西省榆林市榆阳区上盐湾中学，陕西榆林 719000;3.石河子第二中学，新疆石河子 832000)

矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学分支不可缺少的工具，矩阵论方法对处理其他各分支问题也相当有力，所以本文从三个方面讨论并总结了其中一种特殊矩阵的性质和用途，并对每个性质给予了必要的证明。下面就是关于n阶k次对合矩阵的性质问题。

1 预备知识

性质［1］(AT)n=(An)T，n ∈ N*;(A－1)n=(An)－1，n∈N*(AT表示的转置，A－1表示 A 的逆矩阵，下同)。

定义1［1］若存在可逆矩阵 P，使得 P－1AP=B，则A与B相似。

定义2［1］若n阶实矩阵U满足UUT=UTU=E(其中E为n阶单位矩阵，下同)，则称U为一个正交矩阵。

定义3 设A是n阶矩阵，若存在最小正整数k∈N－{0，1}，使得Ak=E，则称A为n阶k次对合矩阵。

定义4 设A是n阶矩阵，若存在最小正整数k∈N －{0，1}，使得 Ak=lE(l≠0)，则称 A为 n阶 k次广义对合矩阵。

2 n阶k次对合矩阵的性质

(以下简称k次对合矩阵)

2.1 基本性质

定理1 k次对合矩阵的转置是k次对合矩阵。

证明设A是k次对合矩阵，则存在最小正整数 k∈N － {0，1}，使得 Ak=E，则(AT)k=(Ak)T=ET，假设存在 m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得(AT)m=ET，即有((AT)m)T=(ET)T=E，于是((AT)T)m=E，即Am=E，这与k为最小正整数矛盾，从而得知k为使得(AT)k=ET成立的最小正整数，因此A的转置是k次对合矩阵，命题得证。

定理2 k次对合矩阵的l次幂是k次对合矩阵。

证明设A是k次对合矩阵，则存在最小正整数 k∈N －{0，1}，使得 Ak=E，则(Al)k=(Ak)l=El，假设存在m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得(Al)m=El，即有(Am)l=El，因此Am=E，这与k是最小正整数矛盾，因此，k次对合矩阵的l次幂是k次对合矩阵。

定理3 k次对合矩阵的特征值为k次单位根。

证明设A是k次对合矩阵，则存在最小正整数k∈N－{0，1}，使得Ak=E，不妨设λ是A的任意一个特征值，x是A的属于特征值λ的一个特征向量，因而有x≠0 且Ax=λx，则Akx=Ak－1(Ax)=Ak－1λx=… =λkx，又因为 Ak=E，所以(λk－1)x=λkxx=0，由于 x≠0，所以 λk=1，因此，A的特征值为 k次单位根。

定理4 k次对合矩阵与q(q≠0)的数量乘积是n阶k次广义对合矩阵。

证明设A是k次对合矩阵，则存在最小正整数 k∈N － {0，1}，使得 Ak=E，从而(qA)k=qkAk=qk－1(qAk)=qk－1(qE)，令 qk－1=r，则 (qA)k=r(qE)(r≠0)，由最小数原理知，一定存k0∈N－{0，1}，r＇∈R －{0}，使得(qA)k0=r＇(qE)，因此 qA(q≠0)是k次广义对合矩阵。

2.2 带有一定条件的对合矩阵的性质

定理5［3］可逆的k次对合矩阵的逆仍是k次对合矩阵。

证明设A是可逆的k次对合矩阵，则存在最小正整数 k∈N －{0，1}，使得 Ak=E，则有(A－1)k=(Ak)－1=E－1，假设存在 m∈N － {0，1}且 m ＜ k，使得(A－1)m=(Am)－1=E－1，则两边同时取逆，有((A－1)m)－1=(E－1)－1，于是((A－1)－1)m=E，即Am=E，这与k是最小正整数矛盾，从而得知k为使得(A－1)k=E－1成立的最小正整数，因此k次对合矩阵A的逆是k次对合矩阵，命题得证。

定理6 可逆的k次对合矩阵的伴随矩阵是k次对合矩阵。

证明设A是可逆的n阶k次对合矩阵，A*是A 的伴随矩阵，则有 A*=AA－1，且 Ak=E，即 Ak－1A=E，则 Ak－1=A－1，所以 A*=AA－1=AAk－1，则(A*)k=(AAk－1)k=Ak(Ak－1)k=E(Ak)k－1=E，由 k次对合矩阵的定义知A*是k次对合矩阵。

定理7 A，B均为k次对合矩阵，则AB是k次对合矩阵。

证明由于A，B均为k次对合矩阵，所以有Ak=E，Bk=E，则(AB)k=BkAk=EE=E，所以，由 k次对合矩阵的定义知AB是k次对合矩阵。

定理8 若A为k次对合的正交矩阵，则AT=Ak－1。

证明由A为正交矩阵知，AAT=ATA=E，即矩阵A可逆，A－1=AT且|A|2=1，由已知，存在最小正整数，k∈N －{0，1}使得 Ak=E，因而有Ak－1=AkA－1=EA－1=A－1=AT，因此 AT=Ak－1，命题得证。

定理9［3］与k次对合矩阵相似的矩阵仍为k次对合矩阵。

证明设A是k次对合矩阵，则存在最小正整数k∈N－{0，1}，使得Ak=E，若n阶矩阵B与A相似，则存在可逆矩阵T，使得T AT=B，因而有B=(T－1AT)k=T－1AkT=T－1ET=E，假设存在 m∈N －{0，1}且 m ＜k，使得 Bm=B，即(T－1AT)m=T－1ET，则 T－1AmT=T－1ET，上式两边分别左乘 T，右乘T－1，有 Am=E。

这与k为使得Ak=E成立的最小正整数矛盾，因此，根据定义可知B是n阶k次对合矩阵，所以命题得证。