n阶k次对合矩阵的性质
2012-01-25强春晨岳育英刘兴祥祝永华
强春晨,岳育英,刘兴祥,祝永华
(1.延安大学 数学与计算机学院,陕西 延安 716000;2.陕西省榆林市榆阳区 上盐湾中学,陕西 榆林 719000;3.石河子 第二中学,新疆 石河子 832000)
矩阵是代数学的一个重要研究对象,也是数学分支不可缺少的工具,矩阵论方法对处理其他各分支问题也相当有力,所以本文从三个方面讨论并总结了其中一种特殊矩阵的性质和用途,并对每个性质给予了必要的证明。下面就是关于n阶k次对合矩阵的性质问题。
1 预备知识
性质[1](AT)n=(An)T,n ∈ N*;(A-1)n=(An)-1,n∈N*(AT表示的转置,A-1表示 A 的逆矩阵,下同)。
定义1[1]若存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP=B,则A与B相似。
定义2[1]若n阶实矩阵U满足UUT=UTU=E(其中E为n阶单位矩阵,下同),则称U为一个正交矩阵。
定义3 设A是n阶矩阵,若存在最小正整数k∈N-{0,1},使得Ak=E,则称A为n阶k次对合矩阵。
定义4 设A是n阶矩阵,若存在最小正整数k∈N -{0,1},使得 Ak=lE(l≠0),则称 A为 n阶 k次广义对合矩阵。
2 n阶k次对合矩阵的性质
(以下简称k次对合矩阵)
2.1 基本性质
定理1 k次对合矩阵的转置是k次对合矩阵。
证明 设A是k次对合矩阵,则存在最小正整数 k∈N - {0,1},使得 Ak=E,则(AT)k=(Ak)T=ET,假设存在 m∈N -{0,1}且 m <k,使得(AT)m=ET,即有((AT)m)T=(ET)T=E,于是((AT)T)m=E,即Am=E,这与k为最小正整数矛盾,从而得知k为使得(AT)k=ET成立的最小正整数,因此A的转置是k次对合矩阵,命题得证。
定理2 k次对合矩阵的l次幂是k次对合矩阵。
证明 设A是k次对合矩阵,则存在最小正整数 k∈N -{0,1},使得 Ak=E,则(Al)k=(Ak)l=El,假设存在m∈N -{0,1}且 m <k,使得(Al)m=El,即有(Am)l=El,因此Am=E,这与k是最小正整数矛盾,因此,k次对合矩阵的l次幂是k次对合矩阵。
定理3 k次对合矩阵的特征值为k次单位根。
证明 设A是k次对合矩阵,则存在最小正整数k∈N-{0,1},使得Ak=E,不妨设λ是A的任意一个特征值,x是A的属于特征值λ的一个特征向量,因而有x≠0 且Ax=λx,则Akx=Ak-1(Ax)=Ak-1λx=… =λkx,又因为 Ak=E,所以(λk-1)x=λkxx=0,由于 x≠0,所以 λk=1,因此,A的特征值为 k次单位根。
定理4 k次对合矩阵与q(q≠0)的数量乘积是n阶k次广义对合矩阵。
证明 设A是k次对合矩阵,则存在最小正整数 k∈N - {0,1},使得 Ak=E,从而(qA)k=qkAk=qk-1(qAk)=qk-1(qE),令 qk-1=r,则 (qA)k=r(qE)(r≠0),由最小数原理知,一定存k0∈N-{0,1},r'∈R -{0},使得(qA)k0=r'(qE),因此 qA(q≠0)是k次广义对合矩阵。
2.2 带有一定条件的对合矩阵的性质
定理5[3]可逆的k次对合矩阵的逆仍是k次对合矩阵。
证明 设A是可逆的k次对合矩阵,则存在最小正整数 k∈N -{0,1},使得 Ak=E,则有(A-1)k=(Ak)-1=E-1,假设存在 m∈N - {0,1}且 m < k,使得(A-1)m=(Am)-1=E-1,则两边同时取逆,有((A-1)m)-1=(E-1)-1,于是((A-1)-1)m=E,即Am=E,这与k是最小正整数矛盾,从而得知k为使得(A-1)k=E-1成立的最小正整数,因此k次对合矩阵A的逆是k次对合矩阵,命题得证。
定理6 可逆的k次对合矩阵的伴随矩阵是k次对合矩阵。
证明 设A是可逆的n阶k次对合矩阵,A*是A 的伴随矩阵,则有 A*=AA-1,且 Ak=E,即 Ak-1A=E,则 Ak-1=A-1,所以 A*=AA-1=AAk-1,则(A*)k=(AAk-1)k=Ak(Ak-1)k=E(Ak)k-1=E,由 k次对合矩阵的定义知A*是k次对合矩阵。
定理7 A,B均为k次对合矩阵,则AB是k次对合矩阵。
证明 由于A,B均为k次对合矩阵,所以有Ak=E,Bk=E,则(AB)k=BkAk=EE=E,所以,由 k次对合矩阵的定义知AB是k次对合矩阵。
定理8 若A为k次对合的正交矩阵,则AT=Ak-1。
证明 由A为正交矩阵知,AAT=ATA=E,即矩阵A可逆,A-1=AT且|A|2=1,由已知,存在最小正整数,k∈N -{0,1}使得 Ak=E,因而有Ak-1=AkA-1=EA-1=A-1=AT,因此 AT=Ak-1,命题得证。
定理9[3]与k次对合矩阵相似的矩阵仍为k次对合矩阵。
证明 设A是k次对合矩阵,则存在最小正整数k∈N-{0,1},使得Ak=E,若n阶矩阵B与A相似,则存在可逆矩阵T,使得T AT=B,因而有B=(T-1AT)k=T-1AkT=T-1ET=E,假设存在 m∈N -{0,1}且 m <k,使得 Bm=B,即(T-1AT)m=T-1ET,则 T-1AmT=T-1ET,上式两边分别左乘 T,右乘T-1,有 Am=E。
这与k为使得Ak=E成立的最小正整数矛盾,因此,根据定义可知B是n阶k次对合矩阵,所以命题得证。
2.3 与对合矩阵有关的性质
定理10[4]A为k次对合矩阵,若A与n阶对角矩阵B相似,则B的对角线上元素为k次单位根。
证明 因为k次对合矩阵A与n阶对角矩阵B相似,则存在n阶可逆矩阵T,使得,
因此 λik=1(i=1,2,…,n),命题得证。定理11 设A是非零n阶k次对合矩阵,m≠0,n≠0,mAk+nEn可逆的充要条件是 m+n≠0。
证明 充分性 若m+n≠0,则|(m+n)En|≠0,(m+n)En可逆,对合矩阵的定义知由Ak=En,则有 mAk+nEn=mEn+nEn=(m+n)En,因此,mAk+nEn可逆。
必要性 因为A是非零n阶k次对合矩阵,则Ak=En,又因为 mAk+nEn=mEn+nEn=(m+n)En,若mAk+nEn可逆,m≠0且 n≠0,则(m+n)En可逆,因此m+n≠0。综上命题成立。
2.4 应用
已知Ai(i=1,2,…,k)是n阶m次对合矩阵,
证明 由已知知,存在最小正整数m∈N-{0,1},使得 A1m=E(i=1,2,…,k),
是kn阶对合矩阵。
3 小结
本文在对合矩阵的有关概念与性质的基础上,把一般矩阵的性质推广到特殊的n阶k次对合矩阵,极大的丰富了代数这门课的内涵,推广了对合矩阵研究的相关理论。至于这种推广的理论与实际应用价值怎样,它对其他科学研究将产生何种影响,还有待科研工作者进一步探索与发掘。
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